2020届高考文科数学二轮专题复习课件：专题3 数列2-3-解答题 1 53页

第 1 课时　 数列的求和问题 考向一　公式法、分组转化法求和 【例 1 】 (2019 · 延安一模 ) 设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n . 已知 a 1 =1,a 2 =2, 且 a n+2 =3S n -S n+1 +3 ① ,n∈N * . (1) 证明 :a n+2 =3a n . (2) 求 【题眼直击 】 题眼 思维导引 ① 想到依据已知等式再构造一个类似的等式 → 两式相减 → 将和 S n 消掉进行证明 . ② 利用 (1) 中得到的关系求出该数列的通项公式 , 然后分组求和 . 【解析 】 (1) 由条件 , 对任意 n∈N * , 有 a n+2 =3S n -S n+1 +3, 因而对任意 n∈N * ,n≥2, 有 a n+1 =3S n-1 -S n +3. 两式相减 , 得 a n+2 -a n+1 =3a n -a n+1 , 即 a n+2 =3a n ,n≥2. 又 a 1 =1,a 2 =2, 所以 a 3 =3S 1 -S 2 +3=3a 1 -(a 1 +a 2 )+3=3a 1 . 故对一切 n∈N * ,a n+2 =3a n . (2) 由 (1) 知 ,a n ≠0, 所以 =3. 于是数列 {a 2n-1 } 是首项 a 1 =1, 公比为 3 的等比数列 ; 数列 {a 2n } 是首项 a 2 =2, 公比 为 3 的等比数列 . 因此 a 2n-1 =3 n-1 ,a 2n =2×3 n-1 . 于是当项数为 2n 项时 S 2n =a 1 +a 2 +…+a 2n =(a 1 +a 3 +…+a 2n-1 )+(a 2 +a 4 +…+a 2n ) =(1+3+…+3 n-1 )+2(1+3+…+3 n-1 ) =3(1+3+…+3 n-1 ) = , 从而当项数为 2n-1 时 ,S 2n-1 =S 2n -a 2n = -2×3 n-1 = (5×3 n-2 -1). 综上所述 , 【拓展提升 】 　分组转化法求和的常见类型 (1) 若 a n =b n ±c n , 且 {b n },{c n } 为等差或等比数列 , 可采用 分组求和法求 {a n } 的前 n 项和 . (2) 通项公式为 a n = 的数列 , 其中数列 {b n }, {c n } 是等比数列或等差数列 , 可采用分组求和法求和 . 【变式训练 】 已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n = ,n∈N * . (1) 求数列 {a n } 的通项公式 . (2) 设 b n = +(-1) n a n , 求数列 {b n } 的前 2n 项和 . 【解析 】 (1) 当 n=1 时 ,a 1 =S 1 =1; 当 n≥2 时 ,a n =S n -S n-1 = =n, 故数列 {a n } 的通项公式为 a n =n. (2) 由 (1) 知 a n =n, 故 b n =2 n +(-1) n n, 记数列 {b n } 的前 2n 项 和为 T 2n , 则 T 2n =(2 1 +2 2 +…+2 2n )+(-1+2-3+4-…+2n). 记 A=2 1 +2 2 +…+2 2n ,B=-1+2-3+4-…+2n, 则 A= =2 2n+1 -2, B=(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n-1)+2n]=n, 故数列 {b n } 的前 2n 项和 T 2n =A+B=2 2n+1 +n-2. 考向二　错位相减法求和 【例 2 】 (2019 · 常州一模 ) 设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n . 已知 2S n =3 n +3 ① . (1) 求 {a n } 的通项公式 . (2) 若数列 {b n } 满足 a n b n = , 求 {b n } 的前 n 项和 T n . 【题眼直击 】 题眼 思维导引 ① 利用 S n 与 a n 的关系求解 , 但要注意验证首项 . ② 利用对数的运算性质求出 b n , 再利用错位相减法求和 . 【解析 】 (1) 因为 2S n =3 n +3, 所以 2a 1 =3+3, 故 a 1 =3, 当 n≥2 时 ,2S n-1 =3 n-1 +3, 此时 2a n =2S n -2S n-1 =3 n -3 n-1 =2×3 n-1 , 即 a n =3 n-1 , 所以 a n = (2) 因为 a n b n =log 3 a n , 所以 b 1 = , 当 n≥2 时 ,b n =3 1-n log 3 3 n-1 =(n-1)·3 1-n , 所以 T 1 =b 1 = . 当 n≥2 时 ,T n =b 1 +b 2 +b 3 +…+b n = +[1×3 -1 +2×3 -2 +…+(n-1)×3 1-n ], 所以 3T n =1+[1×3 0 +2×3 -1 +…+(n-1)×3 2-n ], 两式相减 , 得 2T n = +(3 0 +3 -1 +3 -2 +…+3 2-n )-(n-1)×3 1-n = 所以 T n = . 经检验 ,n=1 时也适合 . 综上可得 T n = . 【拓展提升 】 　错位相减法求和的具体步骤 步骤 1→ 写出 S n =c 1 +c 2 + … +c n ; 步骤 2→ 等式两边同乘以等比数列的公比 q, 即 qS n =qc 1 +qc 2 + … +qc n ; 步骤 3→ 两式错位相减转化成等比数列求和 ; 步骤 4→ 两边同除以 1-q, 求出 S n . 同时注意对 q 是否为 1 进行讨论 . 【变式训练 】 (2019 · 天津高考 ) 设 {a n } 是等差数列 ,{b n } 是等比数列 , 公比大于 0, 已知 a 1 =b 1 =3,b 2 =a 3 ,b 3 =4a 2 +3. (1) 求 {a n } 和 {b n } 的通项公式 . (2) 设数列 {c n } 满足 c n = 求 a 1 c 1 +a 2 c 2 + … + a 2n c 2n (n∈N * ). 【解题指南 】 (1) 首先设出等差数列的公差 , 等比数列的公比 , 根据题意 , 列出方程组 , 求出公差和公比 , 进而求得等差数列和等比数列的通项公式 . (2) 根据题中所给的 c n 所满足的条件 , 将 a 1 c 1 +a 2 c 2 + … +a 2n c 2n 表示出来 , 之后应用分组求和法 , 结合等差数列的求和公式 , 以及错位相减法求和 , 最后求得结果 . 【解析 】 (1) 设等差数列 {a n } 的公差为 d, 等比数列 {b n } 的公比为 q, 依题意 , 得 故 a n =3+3(n-1)=3n,b n =3×3 n-1 =3 n , 所以 {a n } 的通项公式为 a n =3n,{b n } 的通项公式为 b n =3 n . (2)a 1 c 1 +a 2 c 2 +…+a 2n c 2n =(a 1 +a 3 +a 5 +…+a 2n-1 )+(a 2 b 1 +a 4 b 2 +a 6 b 3 +…+a 2n b n ) = +(6×3 1 +12×3 2 +18×3 3 +… +6n×3 n )=3n 2 +6×(1×3 1 +2×3 2 +…+n×3 n ), 记 T n =1×3 1 +2×3 2 +…+n×3 n ① 则 3T n =1×3 2 +2×3 3 +…+n×3 n+1 ② ②-① 得 2T n =-3-3 2 -3 3 -…-3 n +n×3 n+1 =- +n×3 n+1 = , 所以 a 1 c 1 +a 2 c 2 +…+a 2n c 2n =3n 2 +6T n =3n 2 +3× (n∈N * ). 考向三　裂项相消法求和 角度 1 　形如 a n = 型 【 例 3 】 (2019 · 桂林一模 ) 数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 且 a n 是 S n 和 1 的等差中项 ① , 等差数列 {b n } 满足 b 1 =a 1 ,b 4 = . (1) 求数列 {a n },{b n } 的通项公式 . (2) 设 , 数列 {c n } 的前 n 项和为 T n , 证明 : 【题眼直击 】 题眼 思维导引 ① 由 a n 与 S n 之间的关系求通项 . ② 由等差数列的通项公式及前 n 项和公式分析求解 . ③ 采用裂项相消法求和 【解析 】 (1) 因为 a n 是 S n 和 1 的等差中项 , 所以 S n =2a n -1. 当 n=1 时 ,a 1 =S 1 =2a 1 -1, 所以 a 1 =1. 当 n≥2 时 ,a n =S n -S n-1 =(2a n -1)-(2a n-1 -1) =2a n -2a n-1 , 所以 a n =2a n-1 , 即 =2, 所以数列 {a n } 是以 a 1 =1 为首项 ,2 为公比的等比数列 , 所以 a n =2 n-1 ,S n =2 n -1. 设 {b n } 的公差为 d,b 1 =a 1 =1,b 4 =1+3d=7, 所以 d=2, 所以 b n =1+(n-1)×2=2n-1. (2)c n = 所以 因为 n∈N * , 所以 所以数列 {T n } 是一个递增数列 , 所以 T n ≥T 1 = . 综上所述 , ≤T n < . 角度 2 　形如 a n = 型 【例 4 】 已知 f(x )=- , 数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 点 在曲线 y=f(x ) 上 ① (n∈N * ), 且 a 1 =1, a n >0. (1) 证明 : 数列 { } 为等差数列并求数列 {a n } 的通项公 式 . (2) 求证 : ,n∈N * . 【题眼直击 】 题眼 思维导引 ① 将点的坐标代入函数解析式 , 构造新数列求解 . ② 对不等式进行放缩 , 利用裂项求和 . 　 【解析 】 (1) 因为 - =f(a n )=- , 且 a n >0, 所以 . 所以 =4(n∈N * ). 所以数列 是等差数列 , 首项 =1, 公差 d=4. 所以 =1+4(n-1). 所以 . 因为 a n >0, 所以 a n = (n∈N * ). (2) 因为 a n = 所以 S n =a 1 +a 2 +…+a n > 角度 3 　形如 型 【例 5 】 正项数列 {a n } 的前 n 项和 S n 满足 : -(n 2 +n-1)S n -(n 2 +n)=0 ① . (1) 求数列 {a n } 的通项公式 a n . (2) 令 b n = , 数列 {b n } 的前 n 项和为 T n . 证明 : 对于任意的 n∈N * , 都有 T n < . 【题眼直击 】 题眼 思维导引 ① 先求出 S n , 再根据 a n 与 S n 的关系求通项 . ② 先裂项再求和 【解析 】 (1) 由 -(n 2 +n-1)S n -(n 2 +n)=0, 得 [S n -(n 2 +n)](S n +1)=0. 由于 {a n } 是正项数列 , 所以 S n >0,S n =n 2 +n. 于是 a 1 =S 1 =2, 当 n≥2 时 ,a n =S n -S n-1 =n 2 +n-(n-1) 2 -(n-1)= 2n. 综上 , 数列 {a n } 的通项公式为 a n =2n. (2) 由于 a n =2n, 故 b n = T n = 【拓展提升 】 1. 用裂项法求和的裂项原则及规律 (1) 裂项原则 : 一般是前边裂几项 , 后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止 . (2) 消项规律 : 消项后前边剩几项 , 后边就剩几项 , 前边剩第几项 , 后边就剩倒数第几项 . 2. 裂项相消法求数列和的步骤 (1) 求通项 : 利用求通项的常见方法求出数列的通项公式 . (2) 巧裂项 : 对数列的通项公式准确裂项 , 表示为两项之差的形式 . (3) 消项求和 : 把握消项的规律 , 求和时正负项相消 , 只剩下首尾若干项 , 准确求和 . 【变式训练 】 1. 已知函数 f(x)=x a 的图象过点 (4,2), 令 a n = , n∈N * . 记数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 则 S 2 014 = ( 　　 ) 【解析 】 选 C. 由 f(4)=2 可得 4 a =2, 解得 a= , 则 f(x )= . 所以 a n = S 2 014 =a 1 +a 2 +a 3 +…+a 2 014 = 2. 已知数列 {a n } 的各项均为正数 , 前 n 项和为 S n , 且 S n = ,n∈N * . (1) 求证 : 数列 {a n } 是等差数列 . (2) 设 b n = ,T n =b 1 +b 2 + … +b n , 求 T n . 【解析 】 (1) 因为 2S n = +a n .① 当 n=1 时 ,2a 1 = +a 1 , 因为 a 1 >0, 所以 a 1 =1. 当 n≥2 时 ,2S n-1 = +a n-1 .② ①-② 得 ,2a n = +a n -a n-1 , 所以 (a n -a n-1 )(a n +a n-1 )-(a n +a n-1 )=0. 因为 a n >0, 所以 a n -a n-1 =1, 所以 d=1. 所以 a n =1+(n-1)×1=n. 所以数列 {a n } 为等差数列 . (2) 因为 b n = 所以 T n =b 1 +b 2 +…+b n =