高中数学必修3教案：1_1_1算法的概念（二） (2) 3页

高中新课程数学必修③ 1.1.1 算法的概念 一、三维目标： 1.知识与技能： （1）了解算法的含义，体会算法的思想。（2）能够用自然语言叙述算法。（3）掌握正确的 算法应满足的要求。（4）会写出解线性方程（组）的算法。（5）会写出一个求有限整数序列 中的最大值的算法。（6）会应用 Scilab 求解方程组。 2.过程与方法： 通过求解二元一次方程组，体会解方程的一般性步骤，从而得到一个解二元一次方程组 的步骤，这些步骤就是算法，不同的问题有不同的算法。由于思考问题的角度不同，同一个 问题也可能有多个算法，能模仿求解二元一次方程组的步骤，写出一个求有限整数序列中的 最大值的算法。 3.情感态度与价值观： 通过本节的学习，使我们对计算机的算法语言有一个基本的了解，明确算法的要求，认 识到计算机是人类征服自然的有力工具，进一步提高探索、认识世界的能力。 二、重点与难点： 重点：算法的含义、解二元一次方程组和判断一个数为质数的算法设计。 难点：把自然语言转化为算法语言。 三、教学设想： （一）问题提出： 一个大人和两个小孩一起渡河，渡口只有一条小船，每次只能渡 1 个大人或两个小孩， 他们三人都会划船，但都不会游泳。试问他们怎样渡过河去？请写出一个渡河方案。 第一步，两个小孩同船过河去； 第二步，一个小孩划船回来； 第三步，一个大人划船过河去； 第四步，对岸的小孩划船回来； 第五步，两个小孩同船渡过河去。 （二）算法的概念 思考 1：在初中，对于解二元一次方程组你学过哪些方法？（加减消元法和代入消元法） 思考 2：用加减消元法解二元一次方程组 2 1 2 1 x y x y       的具体步骤是什么？ 思考 3:参照上述思路，一般地，解方程组     1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 02 a x b y c a b a ba x b y c       的基 本步骤是什么？ 小结：根据上述分析，用加减消元法解二元一次方程组，可以分为五个步骤进行，这五 个步骤就构成了解二元一次方程组的一个“算法”。我们再根据这一算法编制计算机程序， 就可以让计算机来解二元一次方程组。 在数学中，按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤称为算法。 （三）算法的步骤设计 思考 1：如果让计算机判断 7 是否为质数，如何设计算法步骤？ 第一步，用 2 除 7，得到余数 1，所以 2 不能整除 7． 第二步，用 3 除 7，得到余数 1，所以 3 不能整除 7． 第三步，用 4 除 7，得到余数 3，所以 4 不能整除 7． 第四步，用 5 除 7，得到余数 2，所以 5 不能整除 7． 第五步，用 6 除 7，得到余数 1，所以 6 不能整除 7． 因此，7 是质数． 思考 2：如果让计算机判断 35 是否为质数，如何设计算法步骤？ 第一步，用 2 除 35，得到余数 1，所以 2 不能整除 35． 第二步，用 3 除 35，得到余数 2，所以 3 不能整除 35． 第三步，用 4 除 35，得到余数 3，所以 4 不能整除 35． 第四步，用 5 除 35，得到余数 0，所以 5 能整除 35． 因此，35 不是质数． 思考 3：整数 89 是否为质数？如果让计算机判断 89 是否为质数，按照上述算法需要设计多 少个步骤？ 第一步，用 2 除 89，得到余数 1，所以 2 不能整除 89． 第二步，用 3 除 89，得到余数 2，所以 3 不能整除 89． 第三步，用 4 除 89，得到余数 1，所以 4 不能整除 89． …… …… …… …… 第八十七步，用 88 除 89，得到余数 1，所以 88 不能整除 89． 因此，89 是质数． 思考 4：用 2～88 逐一去除 89 求余数，需要 87 个步骤，这些步骤基本是重复操作，我们可 以按下面的思路改进这个算法，减少算法的步骤． 算法分析： （1）用 i 表示 2～88 中的任意一个整数，并从 2 开始取数； （2）用 i 除 89，得到余数 r. 若 r=0，则 89 不是质数；若 r≠0，将 i 用 i+1 替代，再 执行同样的操作； （3）这个操作一直进行到 i 取 88 为止． （四）理论迁移 例 用二分法设计一个求方程 x2–2=0 的近似根的算法。 算法分析：回顾二分法解方程的过程，并假设所求近似根与准确解的差的绝对值不超 过 0.005，则不难设计出以下步骤： 第一步：令 f(x)=x2–2．因为 f(1)<0，f(2)>0，所以设 x1=1，x2=2． 第二步：令 m=(x1+x2)/2，判断 f(m)是否为 0，若则，则 m 为所求；若否，则继续判断 f(x1)·f(m)大于 0 还是小于 0． 第三步：若 f(x1)·f(m)>0，则令 x1=m；否则，令 x2=m． 第四步：判断|x1–x2|<0.005 是否成立？若是，则 x1、x2 之间的任意取值均为满足条 件的近似根；若否，则返回第二步． 小结：算法是建立在解法基础上的操作过程，算法不一定要有运算结果，问题答案可以 由计算机解决．设计一个解决某类问题的算法的核心内容是设计算法的步骤，它没有一个固 定的模式，但有几个基本要求。 小结：算法具有以下特性：(1)有穷性；(2)确定性；(3)顺序性；(4)不惟一性；(5)普 遍性 （五）基础知识应用题 思考 1:有人对哥德巴赫猜想“任何大于 4 的偶数都能写成两个质数之和”设计了如下操作 步骤： 第一步，检验 6=3+3， 第二步，检验 8=3+5， 第三步，检验 10=5+5， …… 利用计算机无穷地进行下去！ 请问：这是一个算法吗？ 思考 2:一个人带三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可以容纳一个人和两只动物。 没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量，狼就会吃掉羚羊。设计过河的算法； 解：算法或步骤如下： S1 人带两只狼过河 S2 人自己返回 S3 人带一只羚羊过河 S4 人带两只狼返回 S5 人带两只羚羊过河 S6 人自己返回 S7 人带两只狼过河 S8 人自己返回带一只狼过河 五、课堂小结 本节课主要讲了算法的概念，算法就是解决问题的步骤，平时列论我们做什么事都离不 开算法，算法的描述可以用自然语言，也可以用数学语言。