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  • 2021-06-15 发布

高中数学必修3教案:2_2用样本估计总体(三)

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‎2.2用样本估计总体(三) 问题提出 ‎1. 对一个未知总体,我们常用样本的频率分布估计总体的分布,其中表示样本数据的频率分布的基本方法有哪些? 频率分布直方图、频率分布表、频率分布折线图、茎叶图 ‎2. 美国NBA在2006——2007年度赛季中,甲、乙两名篮球运动员在随机抽取的12场比赛中的得分情况如下: 甲运动员得分:12,15,20,25,31,30, 36,36,37,39,44,49. 乙运动员得分:8,13,14,16,23,26, 28,38,39,51,31,39. 如果要求我们根据上面的数据,估计、比较甲,乙两名运动员哪一位发挥得比较稳定,就得有相应的数据作为比较依据,即通过样本数据对总体的数字特征进行研究,用样本的数字特征估计总体的数字特征. 知识探究(一):众数、中位数和平均数 思考1:以上两组样本数据如何求它们的众数、中位数和平均数? 思考2:在城市居民月均用水量样本数据的频率分布直方图中,你认为众数应在哪个小矩形内?由此估计总体的众数是什么? 思考3:中位数左右两侧的直方图的面积应有什么关系? 思考4:在城市居民月均用水量样本数据的频率分布直方图中,从左至右各个小矩形的面积分别是0.04,0.08,0.15,0.22,0.25,0.14,0.06,0.04,0.02.由此估计总体的中位数是什么? ‎0.5-0.04-0.08-0.15-0.22=0.01,0.5×0.01÷0.25=0.02,中位数是2.02. 思考5:平均数是频率分布直方图的“重心”,从直方图估计总体在各组数据内的平均数分别为多少? ‎0.25,0.75,1.25,1.75,2.25, 2.75,3.25,3.75,4.25. 思考6:将频率分布直方图中每个小矩形的 面积与小矩形底边中点的横坐标之积相加, 就是样本数据的估值平均数. 由此估计总体的平均数是什么? ‎0.25×0.04+0.75×0.08+1.25×0.15+1.75×0.22+2.25×0.25+2.75×0.14+3.25×06+3.75×0.04+4.25×0.02=2.02(t). 平均数是2.02. 思考7:从居民月均用水量样本数据可知,该样本的众数是2.3,中位数是2.0,平均数是1.973,这与我们从样本频率分布直方图得出的结论有偏差,你能解释一下原因吗? 频率分布直方图损失了一些样本数据,得到的是一个估计值,且所得估值与数据分组有关. 注: 在只有样本频率分布直方图的情况下,我们可以按上述方法估计众数、中位数和平均数,并由此估计总体特征. 思考8 (1)一组数据的中位数一般不受少数几个极端值的影响,这在某些情况下是一个优点,但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点,你能举例说明吗? 如:样本数据收集有个别差错不影响中位数;大学毕业生凭工资中位数找单位可能收入较低. ‎(2)样本数据的平均数大于(或小于)中位数说明什么问题? 平均数大于(或小于)中位数,说明样本数据中存在许多较大(或较小)的极端值. ‎(3)你怎样理解“我们单位的收入水平比别的单位高”这句话的含义? 这句话具有模糊性甚至蒙骗性,其中收入水平是员工工资的某个中心点,它可以是众数、中位数或平均数.‎ 样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”,其中众数和中位数容易计算,不受少数几个极端值的影响,但只能表达样本数据中的少量信息. ‎ ‎ 平均数代表了数据更多的信息,但受样本中每个数据的影响,越极端的数据对平均数的影响也越大.‎ 当样本数据质量比较差时,使用众数、中位数或平均数描述数据的中心位置,可能与实际情况产生较大的误差,难以反映样本数据的实际状况,因此,我们需要一个统计数字刻画样本数据的离散程度.‎ 知识探究(二):标准差 思考1:在一次射击选拔赛中,甲、乙两名运动员各射击10次,每次命中的环数如下:‎ 甲:7 8 7 9 5 4 9 10 7 4‎ 乙:9 5 7 8 7 6 8 6 7 7‎ 甲、乙两人本次射击的平均成绩分别为多少环?‎ 思考2:甲、乙两人射击的平均成绩相等,观察两人成绩的频率分布条形图,你能说明其水平差异在那里吗?‎ 甲的成绩比较分散,极差较大,乙的成绩相对集中,比较稳定.‎ 思考3:对于样本数据x1,x2,…,xn,设想通过各数据到其平均数的平均距离来反映样本数据的分散程度,那么这个平均距离如何计算?‎ 思考4:反映样本数据的分散程度的大小,最常用的统计量是标准差,一般用s表示.假设样本数据x1,x2,…,xn的平均数为,则标准差的计算公式是:‎ 那么标准差的取值范围是什么?标准差为0的样本数据有何特点? ‎ s≥0,标准差为0的样本数据都相等. ‎ 思考5:对于一个容量为2的样本:x1,x2(x1