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  • 2021-06-16 发布

2020届湖南省郴州市湘南中学高三上学期期中考试数学(文)试题(解析版)

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‎2020届湖南省郴州市湘南中学高三上学期期中考试数学(文)试题 一、单选题 ‎1.集合,,则是( )‎ A., B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】化简集合 ,进而求交集即可.‎ ‎【详解】‎ ‎∵,,‎ ‎∴,‎ 故选:D ‎【点睛】‎ 本题考查交集的概念及运算,考查二次函数的值域及一次函数的定义域,属于基础题.‎ ‎2.若,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用诱导公式得到和,计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎;‎ 故选:‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了诱导公式的应用,属于简单题.‎ ‎3.函数f(x)=的零点所在的一个区间是 A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2)‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析:因为函数f(x)=2+3x在其定义域内是递增的,那么根据f(-1)=,f(0)=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知,函数的零点的区间为(-1,0),选B。‎ ‎【考点】本试题主要考查了函数零点的问题的运用。‎ 点评:解决该试题的关键是利用零点存在性定理,根据区间端点值的乘积小于零,得到函数的零点的区间。‎ ‎4.设,,,则 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据指、对数的单调性直接将的范围求出来,然后再比较大小.‎ ‎【详解】‎ 因为,所以;;;‎ 所以,‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 指对数比较大小,常用的方法是:中间值分析法(与比较大小),单调性分析法(根据单调性直接写出范围).‎ ‎5.要得到函数的图象,只要将函数的图象( )‎ A.向左平移1个单位 B.向右平移1个单位 C.向左平移 个单位 D.向右平移个单位 ‎【答案】C ‎【解析】y=cos2x向左平移个单位得y=cos2(x+)=cos(2x+1),选C项.‎ ‎6.命题“”的否定是( )‎ A. B.‎ C.不存在 D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】先将命题“”的任意与存在互换,再将结论否定即可解.‎ ‎【详解】‎ 的否定为,的否定为 ‎,∴命题“”的否定 是.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 考查全称命题的否定,对全称命题的否定除了要对结论进行否定外,还要对全称量词作相应变化.‎ ‎7.函数的图象在点处的切线的倾斜角为( )‎ A.0 B. C.1 D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析:,令,则倾斜角为.‎ ‎【考点】导数的几何意义.‎ ‎8.已知函数,若,则 ( )‎ A.3 B.4 C.5 D.25‎ ‎【答案】A ‎【解析】,,‎ ‎.‎ 故选A.‎ ‎9.设奇函数在上为单调递减函数,且,则不等式的解集为 ( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】本题首先可以根据函数是奇函数将转化为,再根据“函数在上为单调递减函数且”判断出函数 的函数值的正负,最后即可得出结果。‎ ‎【详解】‎ 因为函数是奇函数,‎ 所以,即,‎ 因为奇函数在上为单调递减函数,且,‎ 所以奇函数在上为单调递减函数,且,‎ 所以奇函数在上是正值,在上是负值,‎ 在上是正值,上是负值,‎ 所以在上满足大于等于0,故选A。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考察函数的单调性,对奇函数的相关性质的理解是解决本题的关键,奇函数有,考查推理能力,考查化归思想,是中档题。‎ ‎10.已知函数是定义在上的偶函数,且对任意的,当,若直线与函数的图像在内恰有两个不同的公共点,则实数的值是( )‎ A.0 B.0或 C.或 D.0或 ‎【答案】D ‎【解析】分析:先根据条件得函数周期,结合奇偶性画函数图像,根据函数图像确定满足条件实数的值.‎ 详解:因为,所以周期为2,作图如下:‎ 由图知,直线与函数的图像在内恰有两个不同的公共点时直线 点A(1,1)或与相切,即或 选D.‎ 点睛:‎ 对于方程解的个数(或函数零点个数)问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性、草图确定其中参数范围.从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值;从图象的对称性,分析函数的奇偶性;从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等.‎ ‎11.奇函数f(x)、偶函数g(x)的图象分别如图1、2所示,方程f(g(x))=0、g(f(x))=0的实根个数分别为a、b,则a+b等于(  )‎ A.14 B.10 C.7 D.3‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析:,即当时,而此时时,函数与轴的交点有个,当时,与图像由个交点,当时,与图像由个交点,,所以共个,即,而当时,即,而时,与轴有个交点,当时,有0个交点,所以,所以.‎ ‎【考点】函数的图像 ‎【方法点睛】此题考查根据图像解决复合函数实根个数的问题,属于中档习题,如果会看这两个图像,此题本身不难,对于方程,先看有和三个值使,对于复合函数来说,就是,和对应几个的值,所以该看的图像了,时,函数与轴的交点有个,当时,与图像由个交点,当时,与图像由个交点,,所以共个,对于是先看函数,然后再看函数.‎ ‎12.已知函数,若,且 ,则的取值范围为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析:作出函数的图象,利用消元法转化为关于的函数,构造函数求得函数的导数,利用导数研究函数的单调性与最值,即可得到结论.‎ 详解:作出函数的图象,如图所示,若,且,‎ 则当时,得,即,‎ 则满足,‎ 则,即,则,‎ 设,则,‎ 当,解得,当,解得,‎ 当时,函数取得最小值,‎ 当时,;‎ 当时,,‎ 所以,即的取值范围是,故选A.‎ 点睛:本题主要考查了分段函数的应用,构造新函数,求解新函数的导数,利用导数研究新函数的单调性和最值是解答本题的关键,着重考查了转化与化归的数学思想方法,以及分析问题和解答问题的能力,试题有一定的难度,属于中档试题.‎ 二、填空题 ‎13.,则______________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】利用赋值法即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求函数值,考查赋值法,考查对应法则的理解,属于基础题.‎ ‎14.曲线在点处的切线方程为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求导,可得斜率,进而得出切线的点斜式方程.‎ ‎【详解】‎ 由,得,‎ 则曲线在点处的切线的斜率为,‎ 则所求切线方程为,即.‎ ‎【点睛】‎ 求曲线在某点处的切线方程的步骤:①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率;②写出切线的点斜式方程;③化简整理.‎ ‎15.已知, 是夹角为的两个单位向量,=-2,=k+,若 ·=0,则实数k的值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解:因为为两个夹角为的单位向量,,‎ 所以即为 ‎16.已知函数,则不等式的解集是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当当时,利用导数知识可知在上单调递增,分类讨论解不等式即可.‎ ‎【详解】‎ 当时,,,‎ ‎∴在上单调递增,‎ 由不等式可得:‎ ‎ 或 解得:或,‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数的图象与性质,考查利用导数判断函数的单调性,考查学生的计算能力,比较基础.‎ 三、解答题 ‎17.在中,三个内角,,所对的边分别为,,,且,,成等差数列,,,成等比数列,求证:为等边三角形.‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】通过A、B、C成等差数列,且a、b、c成等比数列,得和,结合正弦定理以及余弦定理即可证明△ABC为等边三角形;‎ ‎【详解】‎ 由,,成等差数列,得 ①.‎ 因为,,为的内角,所以 ②.‎ 由①②,得 ③,‎ 由,,成等比数列,得 ④.‎ 由余弦定理及③,可得.‎ 将④代入,可得,即,因此,从而有 ⑤.‎ 由②③⑤,得,所以为等边三角形.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查判断三角形的形状,也考查了正弦定理以及余弦定理和等差,等比数列的基本知识的应用,属于中档题.‎ ‎18.在锐角三角形中,内角的对边分别为且.‎ ‎(1)求角的大小;‎ ‎(2)若,,求 △的面积.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】(1)利用正弦定理及,便可求出,得到的大小;(2)利用(1)中所求的大小,结合余弦定理求出 的值,最后再用三角形面积公式求出值.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由及正弦定理,得.‎ 因为为锐角,所以.‎ ‎(2)由余弦定理,得,‎ 又,所以,‎ 所以.‎ ‎【考点】正余弦定理的综合应用及面积公式.‎ ‎19.已知.‎ ‎(1)若的解集为,求的值;‎ ‎(2)若对任意的,恒成立,求实数的范围.‎ ‎【答案】(1)-(2)‎ ‎【解析】(1)f(x)>k⇔kx2-2x+6k<0.‎ 由已知{x|x<-3,或x>-2}是其解集,得kx2-2x+6k=0的两根是-3,-2.‎ 由根与系数的关系可知(-2)+(-3)=,即k=-.‎ ‎(2)∵x>0,f(x)==≤=,当且仅当x=时取等号.由已知f(x)≤t对任意x>0恒成立,故t≥,即t的取值范围是.‎ ‎20.函数 ‎ ‎(1)当 时,求函数在 上的值域;‎ ‎(2)是否存在实数 ,使函数在递减,并且最大值为1,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】(1) (2)不存在 ‎【解析】试题分析:‎ ‎(1)函数为单调递减函数,根据单调性求值域(2)由复合函数单调性可得,根据函数最值可得,解得,根据函数定义域知无意义 ,所以不存在.‎ 试题解析:解:(1)由题意:,‎ 令,所以,所以函数的值域为; ‎ ‎(2)令,则在上恒正,,在上单调递减,,即 ‎ 又函数在递减,在上单调递减,‎ ‎,即 , 又函数在的最大值为1,,‎ 即, 与矛盾,不存在.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎(1)若曲线在点处的切线与直线平行,求的值;‎ ‎(2)在(1)条件下,求函数的单调区间和极值;‎ ‎(3)当,且时,证明:.‎ ‎【答案】(1)0;(2)的单调递增区间是,单调递减区间是,极大值为;(3)证明见解析.‎ ‎【解析】(1)求导得到,代入计算得到答案.‎ ‎(2)求导得到,的变化情况表,得到单调区间和极值.‎ ‎(3)证明等价于,设,求导得到函数单调递增,计算最小值得到证明.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)函数的定义域为,所以.‎ 又曲线在点处的切线与直线平行,‎ 所以,即.‎ ‎(2)令,得,当变化时,,的变化情况如下表:‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ 极大值 由表可知:的单调递增区间是,单调递减区间是,‎ 所以在处取得极大值,的极大值为.‎ ‎(3)当时,.由于,要证,‎ 只需证明,令,则.‎ 因为,所以,故在上单调递增,‎ 当时,,即成立.‎ 故当时,有,即.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的切线,单调区间,极值,证明恒成立问题,将恒成立问题转化为最值问题是解题的关键.‎ ‎22.某车间有50名工人,要完成150件产品的生产任务,每件产品由3个型零件和1个型零件配套组成,每个工人每小时能加工5个型零件或者3个型零件,现在把这些工人分成两组同时工作(分组后人数不再进行调整),每组加工同一种型号的零件.设加工型零件的工人数为名.‎ ‎(1)设完成、型零件加工所需的时间分别为、小时,写出与的解析式;‎ ‎(2)当取何值时,完成全部生产任务的时间最短?‎ ‎【答案】(1)(,且);(,且);(2)为了在最短时间内完成生产任务,应取32.‎ ‎【解析】(1)分别计算得到和,再计算定义域得到答案.‎ ‎(2)根据和的大小关系得到,分别计算函数的最小值得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)生产150件产品,需加工型零件450个,‎ 则完成型零件加工所需时间(,且).‎ 生产150件产品,需加工型零件150个,‎ ‎ 则完成型零件加工所需时间(,且).‎ ‎(2)设完成全部生产任务所需时间为小时,则为与的较大者.‎ 令,即,解得.‎ 所以,当时,;当时,. ‎ 故.‎ 当时,,故在上单调递减,‎ 则在上的最小值为(小时); ‎ 当时,,故在上单调递增,‎ 则在上的最小值为(小时); ‎ ‎∵,∴在上的最小值为.‎ ‎∴.‎ 为了在最短时间内完成生产任务,应取32.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的应用,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎