【数学】2019届一轮复习北师大版第4章三角函数解三角形第4节学案 19页

第4节　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及应用 最新考纲　1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图像，了解参数A，ω，φ对函数图像变化的影响；2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.‎ 知 识 梳 理 ‎1.“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的简图 ‎“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点，作图时的一般步骤为 ‎ ‎(1)定点 如下表所示.‎ x ‎－ ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π y＝Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ A ‎0‎ ‎－A ‎0‎ ‎(2)作图 在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图像.‎ ‎(3)扩展 将所得图像，按周期向两侧扩展可得y＝Asin(ωx＋φ)在R上的图像.‎ ‎2.函数y＝Asin(ωx＋φ)中各量的物理意义 当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示简谐振动时，几个相关的概念如下表 ‎ 简谐振动 振幅 周期 频率 相位 初相 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，‎ x∈[0，＋∞)‎ A T＝ f＝ ωx＋φ φ ‎3.函数y＝sin 的图像经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图像的两种途径 ‎[常用结论与微点提醒]‎ ‎1.由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换 向左平移个单位长度而非φ个单位长度.‎ ‎2.函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝ π＋， ∈ 确定；对称中心由ωx＋φ＝ π， ∈ 确定其横坐标.‎ 诊 断 自 测 ‎1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)将函数y＝3sin 2x的图像左移个单位长度后所得图像的解析式是y＝3sin.(　　)‎ ‎(2)利用图像变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.(　　)‎ ‎(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图像的两个相邻对称中心之间的距离为.(　　)‎ ‎(4)由图像求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图像中最高点的值与最低点的值确定的.(　　)‎ 解析　(1)将函数y＝3sin 2x的图像向左平移个单位长度后所得图像的解析式是y＝3cos 2x.‎ ‎(2)“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|φ|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为.故当ω≠1时平移的长度不相等.‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√‎ ‎2.(教材习题改编)y＝2sin的振幅、频率和初相分别为(　　)‎ A.2，4π， B.2，， C.2，，－ D.2，4π，－ 解析　由题意知A＝2，f＝＝＝，初相为－.‎ 答案　C ‎3.(2016·全国Ⅰ卷)若将函数y＝2sin的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为(　　)‎ A.y＝2sin B.y＝2sin C.y＝2sin D.y＝2sin 解析　函数y＝2sin的周期为π，将函数y＝2sin的图像向右平移个周期即个单位，所得函数为y＝2sin＝2sin，故选D.‎ 答案　D ‎4.(2018·南昌模拟改编)y＝cos(x＋1)图像上相邻的最高点和最低点之间的距离是________.‎ 解析　相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2，横坐标之差恰为半个周期π，故它们之间的距离为.‎ 答案　 ‎5.(2018·沈阳质检)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图像如图所示，则f 的值为________.‎ 解析　由图像可知A＝2，T＝－＝，∴T＝π，‎ ‎∴ω＝2.‎ ‎∵当x＝时，函数f(x)取得最大值，‎ ‎∴2×＋φ＝＋2 π( ∈ )，∴φ＝＋2 π( ∈ )，‎ ‎∵0<φ<π，∴φ＝，∴f(x)＝2sin，‎ 则f ＝2sin＝2cos ＝.‎ 答案　 考点一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及变换 ‎【例1】 某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) 在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表 ‎ ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π x Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎－5‎ ‎0‎ ‎(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)将y＝f(x)图像上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图像.若y＝g(x)图像的一个对称中心为，求θ的最小值.‎ 解　(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如下表 ‎ ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π x π Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎－5‎ ‎0‎ 且函数解析式为f(x)＝5sin.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝5sin，‎ 得g(x)＝5sin.‎ 因为函数y＝sin 图像的对称中心为( π，0)， ∈ .‎ 令2x＋2θ－＝ π， ∈ ，解得x＝＋－θ， ∈ .‎ 由于函数y＝g(x)的图像关于点成中心对称，所以令＋－θ＝， ∈ ，解得θ＝－， ∈ .‎ 由θ>0可知，当 ＝1时，θ取得最小值.‎ 规律方法　作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图像常用如下两种方法 ‎ ‎(1)五点法作图，用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设 ＝ωx＋φ，由 取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图像；‎ ‎(2)图像的变换法，由函数y＝sin 的图像通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图像有两种途径 “先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.‎ ‎【训练1】 (2017·全国Ⅰ卷)已知曲线C1 y＝cos ，C2 y＝sin，则下面结论正确的是(　　)‎ A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2‎ B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2‎ C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2‎ D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线C2‎ 解析　易知C1 y＝cos ＝sin，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin的图像，再把所得函数的图像向左平移个单位长度，可得函数y＝sin＝sin的图像，即曲线C2，因此D项正确.‎ 答案　D 考点二　求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 ‎【例2】 (1)(一题多解)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图像如图所示，则函数f(x)的解析式为________.‎ ‎(2)(2018·西安质检)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图像上的一个最高点和它相邻的一个最低点的距离为2，且过点，则函数f(x)＝________.‎ 解析　(1)由题图可知A＝，‎ 法一　＝－＝，‎ 所以T＝π，故ω＝2，‎ 因此f(x)＝sin(2x＋φ)，‎ 又对应五点法作图中的第三个点，‎ 因此2×＋φ＝π，所以φ＝，故f(x)＝sin.‎ 法二　以为第二个“零点”，为最小值点，‎ 列方程组解得 故f(x)＝sin.‎ ‎(2)依题意得＝2，则＝2，即ω＝，所以f(x)＝sin，由于该函数图像过点，因此sin(π＋φ)＝－，即sin φ＝，而－≤φ≤，故φ＝，所以f(x)＝sin.‎ 答案　(1)f(x)＝sin　(2)sin 规律方法　已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图像求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法 ‎ ‎(1)五点法，由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图像上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ；‎ ‎(2)代入法，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.‎ ‎【训练2】 (2018·茂名一模)如图所示，函数f(x)＝Asin(2x＋φ)的图像过点(0，)，则f(x)的图像的一个对称中心是(　　)‎ A. B. C. D. 解析　由题中函数图像可知 A＝2，‎ 由于函数图像过点(0，)，‎ 所以2sin φ＝，即sin φ ＝，‎ 由于|φ|<，所以φ＝，‎ 则有f(x)＝2sin.‎ 由2x＋＝ π， ∈ 可解得x＝－， ∈ ，‎ 故f(x)的图像的对称中心是， ∈ ，则f(x)的图像的一个对称中心是，故选B.‎ 答案　B 考点三　三角函数模型及其应用 ‎【例3】 如图，某大风车的半径为2 m，每12 s旋转一周，它的最低点O离地面0.5 m.风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t(s)后与地面的距离为h(m).‎ ‎(1)求函数h＝f(t)的关系式；‎ ‎(2)画出函数h＝f(t)(0≤t≤12)的大致图像.‎ 解　(1)如图，以O为原点，过点O的圆的切线为x轴，建立直角坐标系.‎ 设点A的坐标为(x，y)，则h＝y＋0.5.‎ 设∠OO1A＝θ，则cos θ＝，‎ y＝－2cos θ＋2.‎ 又θ＝×t，即θ＝t，‎ 所以y＝－2cost＋2，‎ h＝f(t)＝－2cost＋2.5(t≥0).‎ ‎(2)函数h＝－2cost＋2.5(0≤t≤12)的大致图像如下.‎ 规律方法　三角函数模型的应用体现在两方面 一是已知函数模型求解数学问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题.‎ ‎【训练3】 某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y＝a＋Acos(x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28 ℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温为________℃.‎ 解析　因为当x＝6时，y＝a＋A＝28；‎ 当x＝12时，y＝a－A＝18，所以a＝23，A＝5，‎ 所以y＝f(x)＝23＋5cos，‎ 所以当x＝10时，f(10)＝23＋5cos ‎＝23－5×＝20.5.‎ 答案　20.5‎ 考点四　y＝Asin(ωx＋φ)图像与性质的综合应用 ‎【例4】 (2018·昆明诊断)已知函数f(x)＝4cos ωx·sin＋a(ω>0)图像上最高点的纵坐标为2，且图像上相邻两个最高点的距离为π.‎ ‎(1)求a和ω的值；‎ ‎(2)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间.‎ 解　(1)f(x)＝4cos ωx· sin＋a ‎＝4cos ωx·＋a ‎＝2sin ωxcos ωx＋2cos2ωx－1＋1＋a ‎＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋1＋a ‎＝2sin＋1＋a.‎ 当sin＝1时，f(x)取得最大值2＋1＋a＝3＋a.‎ 又f(x)最高点的纵坐标为2，∴3＋a＝2，即a＝－1.‎ 又f(x)图像上相邻两个最高点的距离为π，‎ ‎∴f(x)的最小正周期为T＝π，‎ ‎∴2ω＝＝2，ω＝1.‎ ‎(2)由(1)得f(x)＝2sin，‎ 由＋2 π≤2x＋≤＋2 π， ∈ ，‎ 得＋ π≤x≤＋ π， ∈ .‎ 令 ＝0，得≤x≤.‎ ‎∴函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间为.‎ 规律方法　函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的单调区间和对称性的确定，基本思想是把ωx＋φ看做一个整体.(1)在单调性应用方面，比较大小是一类常见的题目，依据是同一区间内函数的单调性.(2)对称性是三角函数图像的一个重要性质，因此要抓住其轴对称、中心对称的本质，同时还要会综合利用这些性质解决问题，解题时可利用数形结合思想.‎ ‎【训练4】 (2018·咸阳调研)已知x＝是函数f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)(0<φ<π)图像的一条对称轴，将函数f(x)的图像向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图像，则函数g(x)在上的最小值为(　　)‎ A.－2 B.－1 C.－ D.－ 解析　∵x＝是f(x)＝2sin图像的一条对称轴，∴＋φ＝ π＋( ∈ )，即φ＝ π＋( ∈ ).‎ ‎∵0<φ<π，∴φ＝，则f(x)＝2sin，‎ ‎∴g(x)＝－2sin在上的最小值为g＝－1.‎ 答案　B 基础巩固题组 ‎(建议用时 40分钟)‎ 一、选择题 ‎1.(2018·华中师大高考联盟质检)要得到函数y＝sin的图像，只需将函数y＝sin 2x的图像(　　)‎ A.向左平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 解析　由y＝sin 2x的图像得到y＝sin的图像只需向左平移个单位，故选A.‎ 答案　A ‎2.(2016·全国Ⅱ卷)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图像如图所示，则(　　)‎ A.y＝2sin ‎ B.y＝2sin C.y＝2sin ‎ D.y＝2sin 解析　由题图可知，A＝2，T＝2＝π，‎ 所以ω＝2，由五点作图法知2×＋φ＝，‎ 所以φ＝－，所以函数的解析式为y＝2sin.‎ 答案　A ‎3.(2018·合肥二模)函数f(x)＝cos(ω>0)的最小正周期是π，则其图像向右平移个单位后对应函数的单调递减区间是(　　)‎ A.( ∈ ) ‎ B.( ∈ )‎ C.( ∈ ) ‎ D.( ∈ )‎ 解析　由函数f(x)＝cos(ω>0)的最小正周期是π，得＝π，解得ω＝2，则f(x)＝cos.‎ 将其图像向右平移个单位后，对应函数的解析式为y＝cos＝cos＝sin 2x，‎ 由＋2 π≤2x≤＋2 π( ∈ )，‎ 解得所求单调递减区间为( ∈ ).‎ 答案　B ‎4.(2018·西安质检)将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图像向左平移个单位长度后关于原点对称，则函数f(x)在上的最小值为(　　)‎ A.－ B.－ C. D. 解析　依题设，平移后得y＝sin的图像，又该图像关于原点对称，则＋φ＝ π， ∈ ，由|φ|<，得φ＝－，所以f(x)＝sin.当x∈时，2x－∈，所以当2x－＝－时，f(x)取最小值－.‎ 答案　A ‎5. (2018·宜春调研)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)，其导函数 f′(x)的图像如图所示，则f 的值为(　　)‎ A.2 B. C.－ D.－ 解析　依题意得f′(x)＝Aωcos(ωx＋φ)，结合函数y＝f′(x)的图像，则T＝＝4＝π，ω＝2.‎ 又Aω＝1，因此A＝.‎ 因为0<φ<π，<＋φ<，且f′＝cos＝－1，所以＋φ＝π，即φ＝，f(x)＝sin，‎ 所以f ＝sin＝－×＝－.‎ 答案　D 二、填空题 ‎6.(教材例题改编)如图，某地一天，从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)，则这段曲线的函数解析式为________.‎ 解析　从题图中可以看出，从6～14时是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期，‎ 又×＝14－6，‎ 所以ω＝.‎ 由图可得A＝(30－10)＝10，‎ b＝(30＋10)＝20.‎ 又×10＋φ＝2π，解得φ＝，‎ ‎∴y＝10sin＋20，x∈[6，14].‎ 答案　y＝10sin＋20，x∈[6，14]‎ ‎7.(2018·大连双基测试)函数f(x)＝sin ＋cos 的图像向右平移t(t>0)个单位长度后所得函数为偶函数，则t的最小值为________.‎ 解析　函数f(x)＝sin ＋cos ＝sin，其图像向右平移t(t>0)个单位长度后所得函数y＝sin为偶函数，则－t＋＝＋ π( ∈ )，即t＝－－ π( ∈ )，又t>0，∴当 ＝－1时，tmin＝.‎ 答案　 ‎8.已知f(x)＝sin(ω>0)，f ＝f ，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则ω＝______________________________________________________.‎ 解析　依题意，x＝＝时，y有最小值，‎ ‎∴sin＝－1，∴ω＋＝2 π＋ ( ∈ ).‎ ‎∴ω＝8 ＋ ( ∈ )，因为f(x)在区间上有最小值，无最大值，‎ 所以－≤，即ω≤12，令 ＝0，‎ 得ω＝.‎ 答案　 三、解答题 ‎9.设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f ＝.‎ ‎(1)求ω和φ的值；‎ ‎(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图像.‎ 解　(1)∵T＝＝π，ω＝2，‎ 又f ＝cos＝，∴sin φ＝－，‎ 又－＜φ＜0，∴φ＝－.‎ ‎(2)由(1)得f(x)＝cos，列表 ‎ ‎2x－ ‎－ ‎0‎ π π π x ‎0‎ π π π π f(x)‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎－1‎ ‎0‎ 描点画出图像(如图).‎ ‎10.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图像关于直线x＝对称，且图像上相邻最高点的距离为π.‎ ‎(1)求f 的值；‎ ‎(2)将函数y＝f(x)的图像向右平移个单位后，得到y＝g(x)的图像，求g(x)的单调递减区间.‎ 解　(1)因为f(x)的图像上相邻最高点的距离为π，‎ 所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.‎ 又f(x)的图像关于直线x＝对称，‎ 所以2×＋φ＝ π＋( ∈ )，‎ 因为－≤φ＜，所以 ＝0，‎ 所以φ＝－＝－，所以f(x)＝sin，‎ 则f ＝sin＝sin ＝.‎ ‎(2)将f(x)的图像向右平移个单位后，得到 f 的图像，‎ 所以g(x)＝f ＝sin ‎＝sin.‎ 当2 π＋≤2x－≤2 π＋( ∈ )，‎ 即 π＋≤x≤ π＋( ∈ )时，g(x)单调递减.‎ 因此g(x)的单调递减区间为( ∈ ).‎ 能力提升题组 ‎(建议用时 20分钟)‎ ‎11.(2018·延安调研)已知函数f(x)＝sin ＋λcos (λ∈R)的图像关于直线x＝－对称，把函数f(x)的图像上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图像，则函数g(x)图像的一条对称轴方程为(　　)‎ A.x＝ B.x＝ C.x＝ D.x＝ 解析　由f(0)＝f ，可得λ＝－1，所以f(x)＝sin －cos ＝sin，横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图像，g(x)＝·sin＝sin，令x－＝ π＋( ∈ )，得x＝2 π＋， ∈ .当 ＝0时，对称轴的方程为x＝.‎ 答案　D ‎12.(2018·湖北七市联考)将函数f(x)＝sin 2x的图像向左平移个单位，再向上平移2个单位，得到g(x)的图像，若g(x1)·g(x2)＝9，且x1，x2∈[－2π，2π]，则|x1－x2|的最大值为________.‎ 解析　由题意，得g(x)＝f ＋2＝sin＋2，所以g(x)max＝3.又g(x1)·g(x2)＝9，所以g(x1)＝g(x2)＝3，即sin＝1，所以2x＋＝＋2 π( ∈ )⇒x＝＋ π( ∈ ).又因为x1，x2∈[－2π，2π]，所以x1，2＝＋π，，－π，－2π，从而|x1－x2|max＝－＝3π.‎ 答案　3π ‎13.某实验室一天的温度(单位 ℃)随时间t(单位 h)的变化近似满足函数关系 f(t)＝10－cost－sint，t∈[0，24).‎ ‎(1)求实验室这一天的最大温差；‎ ‎(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？‎ 解　(1)因为f(t)＝10－2 ‎＝10－2sin，‎ 又0≤t<24，所以≤t＋<，‎ 当t＝2时，sin＝1；‎ 当t＝14时，sin＝－1.‎ 于是f(t)在[0，24)上取得最大值12，取得最小值8.‎ 故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.‎ ‎(2)依题意，当f(t)>11时实验室需要降温，‎ 由(1)得f(t)＝10－2sin，‎ 故有10－2sin>11，即sin<－.‎ 又0≤t<24，因此