2021届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第1讲函数与映射的概念课件 34页

第二章 函数、导数及其应用 第 1 讲　函数与映射的概念 课标要求 考情风向标 1. 通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念 . 2. 知道指数函数 y ＝ a x 与对数函数 y ＝ log a x 互为反函数 ( a ＞ 0, a ≠ 1) 对函数概念的理解是学好函数的关键，函数的概念比较抽象，不易理解，应做适量练习，通过练习弥补理解的缺陷，纠正理解上的错误 . 本讲重点解决求函数的定义域，但也涉及反函数的概念及求法，新课标在 2011 年、 2012 年、 2013 年连续三年都考查求简单函数的反函数 映射的 概念 设 A ， B 是两个非空集合，如果按照某种对应关系 f ，对于集 合 A 中的任意元素，在集合 B 中都有唯一确定的元素与之对 应，那么这样的对应关系叫做从集合 A 到集合 B 的映射，通 常记为 f ： A → B 函数 概念 设 A ， B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应 关系 f ，使对于集合 A 中的任意一个数 x ，在集合 B 中 都有唯一确定的数和它对应，那么就称 f ： A → B 为从 集合 A 到集合 B 的一个函数，通常记为 y ＝ f ( x ) ， x ∈ A 三个 要素 定义域 x 的取值范围 A 值域 函数值的集合 { f ( x )| x ∈ A } 对应关系 f 1. 下列函数中，与函数 y ＝ x 相同的是 ( ) B A ) A. y ＝ 2 x 3.(2019 年上海 ) 下列函数中，值域为 [0 ，＋∞ ) 的是 ( C. y ＝ tan x D. y ＝ cos x B 解析： y ＝ 2 x 的值域为 (0 ，＋∞ ) ，故 A 错； y ＝ 　的定义域 为 [0 ，＋∞ ) ，值域也是 [0 ，＋∞ ) ，故 B 正确； y ＝ tan x 的值域 为 ( －∞，＋∞ ) ，故 C 错； y ＝ cos x 的值域为 [ － 1,1] ，故 D 错 . 故选 B. C 解析： 由映射的定义，集合 M 中的每一个元素在集合 N 中 必须有唯一的元素与它对应，对选项 C,2 2 ＝ 4 　 N . 故选 C. 考点 1 有关映射与函数的概念 例 1 ： (1) (2018 年甘肃武威调研 ) 下列四个对应中，哪个对 应不是从 A 到 B 的映射？ ( ) A. 设 A ＝ { 矩形 } ， B ＝ { 实数 } ，对应关系 f ：矩形和它的面 积对应 解析： x ＝ 1∈ A ， x →| x － 1| ＝ 0 　 B ，即对集合 A 中元素 1 ， 在集合 B 中没有元素与之对应 . 故选 C. 答案： C (2)( 多选 ) 下列四个图象中，是函数图象的是 ( ) A B C D 解析： 由每一个自变量 x 对应唯一一个 f ( x ) 可知 B 不是函 数图象， ACD 是函数图象 . 故选 ACD. 答案： ACD (3) 存在函数 f ( x ) ，满足对任意 x ∈ R 都有 ( ) A. f (sin 2 x ) ＝ sin x C. f ( x 2 ＋ 1) ＝ | x ＋ 1| B. f (sin 2 x ) ＝ x 2 ＋ x D. f ( x 2 ＋ 2 x ) ＝ | x ＋ 1| 答案： D x 1 2 3 f ( x ) 1 3 1 x 1 2 3 g ( x ) 3 2 1 (4) 已知函数 f ( x ) ， g ( x ) 分别由下表给出： 答案： 1 2 则 f ( g (1)) 的值为 ________ ； 满足 f ( g ( x ))> g ( f ( x )) 的 x 的值为 ________. (5) 已知映射 f ： A → B ，其中 A ＝ B ＝ R ，对应关系 f ： x → y ＝－ x 2 ＋ 2 x ，对于实数 k ∈ B ，且在集合 A 中没有元素与之对应， ) 则 k 的取值范围是 ( A. k >1 C. k <1 B. k ≥ 1 D. k ≤ 1 解析： y ＝－ ( x － 1) 2 ＋ 1 ≤ 1 ，若 k ∈ B ，且在集合 A 中没有 元素与之对应，则 k >1. 故选 A. 答案： A 【 规律方法 】 理解映射的概念，应注意以下几点： ① 集合 A ， B 及对应法则 f 是确定的，是一个整体系统； ② 对应法则有 “ 方向性 ” ，即强调从集合 A 到集合 B 的对 应，它与从集合 B 到集合 A 的对应关系一般是不同的； ③ 集合 A 中每一个元素在集合 B 中都有象，并且象是唯一 的，这是映射区别于一般对应的本质特征； ④ 集合 A 中不同的元素在集合 B 中对应的象可以是同一 个； ⑤ 不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象 . 考点 2 求函数的定义域 考向 1 具体函数的定义域 ________. 解析： 要使函数 f ( x ) 有意义， 则 log 2 x － 1 ≥ 0. 解得 x ≥ 2. 即函 数 f ( x ) 的定义域为 [2 ，＋∞ ). 答案： [2 ， ＋∞ ) 解析： 由已知得 7 ＋ 6 x － x 2 ≥ 0 ，即 x 2 － 6 x － 7 ≤ 0 ， 解得－ 1 ≤ x ≤ 7 ，故函数的定义域为 [ － 1,7]. 答案： [ － 1,7] 答案： { x | x ∈ R ， x ≠ － 1 ，且 x ≠ － 2} 【 规律方法 】 (1) 求函数定义域 的一般步骤： ①写出使得函数式有意义的不等式 ( 组 ) ； ② 解不等式 ( 组 ) ； ③ 写出函数的定义域 . (2) 常见的一些具体函数的定义域： 有分母的保证 “ 分母 ≠ 0” ；有开偶次方根的要保证 “被开 方数≥ 0” ；有对数函数的保证 “ 真数 >0 ，底数 >0 ，且底数 ≠ 1”. 【 跟踪训练 】 ( ) A.( － 2,1) C.(0,1) B.[ － 2,1] D.(0,1] C 考向 2 抽象 ( 复合 ) 函数的定义 域、值域 例 3 ： (1) 已知函数 f ( x ) 的定义域为 ( － 1,0) ，则函数 f (2 x ＋ 1) 的定义域为 ( ) 思维点拨： 求抽象函数定义域的关键， f 后面括号内部分取 值范围相同 . 解析： 由函数 f ( x ) 的定义域为 ( － 1,0) ，则使函数 f (2 x ＋ 1) 有 答案： B (2) 已知函数 f (2 x ＋ 1) 的定义域为 ( － 1,0) ，则函数 f ( x ) 的定义 域为 ( ) 解析： f (2 x ＋ 1) 的定义域为 ( － 1,0) ，即－ 1< x <0 ， ∴ － 1<2 x ＋ 1<1. ∴ f ( x ) 的定义域为 ( － 1,1). 答案： A 答案： C (4) 若函数 f ( x ) 的值域为 [2,3] ，则 f ( x － 1) 的值域为 ________ ， f ( x ) － 1 的值域为 ________. 解析： f ( x － 1) 的图象是将 f ( x ) 的图象向右平移 1 个单位长度 得到的，不改变值域 . f ( x ) － 1 的图象是将 f ( x ) 的图象向下平移 1 个单位长度得到的 . 故 f ( x － 1) 的值域为 [2,3] ， f ( x ) － 1 的值域为 [1,2]. 答案： [2,3] [1,2] 【 规律方法 】 抽象函数： ① 若已知函数 f ( x ) 的定义域为 [ a ， b ] ，其复合函数 f ( g ( x )) 的 定义域由不等式 a ≤ g ( x ) ≤ b 求出； ② 若已知函数 f ( g ( x )) 的定义域为 [ a ， b ] ，则 f ( x ) 的定义域为 g ( x ) 在 x ∈ [ a ， b ] 时的值域 . 【 跟踪训练 】 2. (2019 年重庆模拟 ) 已知函数 f ( x ) ＝ ln( － x － x 2 ) ，则函数 f (2 x ＋ 1) 的定义域为 _______________. f ( x ) 的定义域为 __________. [ － 1,2] 难点突破 ⊙ 对反函数概念的理解 答案： A (2) (2019 年上海 ) 函数 f ( x ) ＝ x 2 ( x >0) 的反函数为 ________. 答案： C 【 规律方法 】 本题主要考查反函数的求解，利用原函数反 解，再互换得到结论，同时也考查函数值域的求法；特别要注 意的是教材关于反函数的内容不多，只有对数函数与指数函数 互为反函数，因此本知识点要引起我们的重视 . 【 跟踪训练 】 4. 已知点 (3,9) 在函数 f ( x ) ＝ 1 ＋ a x 的图象上，则 f ( x ) 的反函数 f － 1 ( x ) ＝ _______________. log 2 ( x － 1)( x >1) 解析： 将点 (3,9) 代入函数 f ( x ) ＝ 1 ＋ a x 中，得 a ＝ 2. ∴ f ( x ) ＝ 1 ＋ 2 x . 用 y 表示 x ，得 x ＝ log 2 ( y － 1). ∴ f － 1 ( x ) ＝ log 2 ( x － 1)( x >1). 1. 函数的三要素是定义域、值域及对应法则，判断两个函 数是否相同，只需判断这两个函数的对应法则与定义域是否相 同即可 . 2. 对于求抽象的复合函数的定义域，主要理解三种情形： (1) 已知 f ( x ) 的定义域为 [ a ， b ] ，求 f [ u ( x )] 的定义域，只需求 不等式 a ≤ u ( x ) ≤ b 的解集即可； (2) 已知 f [ u ( x )] 的定义域为 [ a ， b ] ，求 f ( x ) 的定义域，只需求 u ( x ) 在区间 [ a ， b ] 内的值域； (3) 已知 f [ u ( x )] 的定义域为 [ a ， b ] ，求 f [ g ( x )] 的定义域，必须 先利用 (2) 的方法求 f ( x ) 的定义域，然后利用 (1) 的方法求解 .