山东专用2021版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第5讲幂函数与二次函数课件 50页

第二章 函数、导数及其应用 第五讲　幂函数与二次函数 1 　　知识梳理 • 双基自测 2 　 　 考点突破 • 互动探究 3 　 　 名师讲坛 • 素养提升 知识梳理 • 双基自测 知识点一　幂函数 { x | x ≥0} { x | x ≠0} { y | y ≥0} { y | y ≥0} { y | y ≠0} 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 ( －∞， 0) (0 ，＋∞ ) [0 ，＋∞ ) ( －∞， 0) (0 ，＋∞ ) (1,1) 知识点二　二次函数的图象和性质 b ＝ 0 1 ．二次函数解析式的三种形式： (1) 一般式： f ( x ) ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ( a ≠0) ； (2) 顶点式： f ( x ) ＝ a ( x － m ) 2 ＋ n ( a ≠0) ； (3) 零点式： f ( x ) ＝ a ( x － x 1 )( x － x 2 )( a ≠0) ． 2 ．一元二次不等式恒成立的条件： (1) “ ax 2 ＋ bx ＋ c >0( a ≠0) 恒成立 ” 的充要条件是 “ a >0 ，且 Δ <0 ” ． (2) “ ax 2 ＋ bx ＋ c <0( a ≠0) 恒成立 ” 的充要条件是 “ a <0 ，且 Δ <0 ” ． ABD C 3 ． ( 必修 1P 39 BT1 改编 ) 函数 f ( x ) ＝－ x 2 － 6 x ＋ 8 ，当 x ＝ ________ 时，函数取得最大值 ________. 4 ． ( 必修 1P 44 AT9 改编 ) 二次函数 y ＝ f ( x ) 满足 f ( － 1) ＝ f (3) ， x 1 ， x 2 是方程 f ( x ) ＝ 0 的两根，则 x 1 ＋ x 2 ＝ ______. － 3 17 2 A 6 ． (2017 · 浙江卷， 5) 若函数 f ( x ) ＝ x 2 ＋ ax ＋ b 在区间 [0,1] 上的最大值是 M ，最小值是 m ，则 M － m ( 　　 ) A ．与 a 有关，且与 b 有关 B ．与 a 有关，且与 b 无关 C ．与 a 无关，且与 b 无关 D ．与 a 无关，且与 b 有关 B 考点突破 • 互动探究 考点一　幂函数图象与性质 —— 自主练透 C 例 1 (2) 若四个幂函数 y ＝ x a ， y ＝ x b ， y ＝ x c ， y ＝ x d 在同一坐标系中的图象如图所示，则 a ， b ， c ， d 的大小关系是 ( 　　 ) A ． d > c > b > a B ． a > b > c > d C ． d > c > a > b D ． a > b > d > c B － 1 (1) 幂函数的形式是 y ＝ x α ( α ∈ R ) ，其中只有一个参数 α ，因此只需一个条件即可确定其解析式． (2) 在区间 (0,1) 上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近 x 轴 ( 简记为 “ 指大图低 ” ) ，在区间 (1 ，＋∞ ) 上，幂函数中指数越大，函数图象越远离 x 轴． (3) 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键． 已知二次函数 f ( x ) 满足 f (2) ＝－ 1 ， f ( － 1) ＝－ 1 ，且 f ( x ) 的最大值是 8 ，求此二次函数的解析式． 例 2 考点二　二次函数的图象与性质 考向 1 　二次函数的解析式 —— 师生共研 根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下： 〔 变式训练 1〕 (1) 若函数 f ( x ) ＝ ( x ＋ a )( bx ＋ 2 a )( 常数 a ， b ∈ R ) 是偶函数，且它的值域为 ( －∞， 4] ，则该函数的解析式 f ( x ) ＝ ________________. (2) 已知二次函数 f ( x ) 满足 f (1 ＋ x ) ＝ f (1 － x ) ，且 f (0) ＝ 0 ， f (1) ＝ 1 ，则 f ( x ) 的解析式为 __________________. [ 解析 ] 　 (1) 因为 f ( x ) ＝ ( x ＋ a )( bx ＋ 2 a ) ＝ bx 2 ＋ a ( b ＋ 2) x ＋ 2 a 2 ，由 f ( x ) 是偶函数可知： f ( x ) 的图象关于 y 轴对称，所以 b ＝－ 2 或 a ＝ 0 ，当 a ＝ 0 时， f ( x ) ＝ bx 2 与值域 ( －∞， 4] 矛盾，当 b ＝－ 2 时， f ( x ) ＝－ 2 x 2 ＋ 2 a 2 ，又因为 f ( x ) 的值域为 ( －∞， 4] ，所以 2 a 2 ＝ 4 ，因此 f ( x ) ＝－ 2 x 2 ＋ 4. － 2 x 2 ＋ 4 f ( x ) ＝－ x 2 ＋ 2 x 解法二： ( 两根式 ) ∵ 对称轴方程为 x ＝ 1 ， ∴ f (2) ＝ f (0) ＝ 0 ， f ( x ) ＝ 0 的两根分别为 0,2. ∴ 可设其解析式为 f ( x ) ＝ ax ( x － 2) ． 又 ∵ f (1) ＝ 1 ，可得 a ＝－ 1 ， ∴ f ( x ) ＝－ x ( x － 2) ＝－ x 2 ＋ 2 x . 解法三： ( 顶点式 ) 由已知，可得顶点为 (1,1) ， ∴ 可设其解析式为 f ( x ) ＝ a ( x － 1) 2 ＋ 1. 又由 f (0) ＝ 0 ，可得 a ＝－ 1 ， ∴ f ( x ) ＝－ ( x － 1) 2 ＋ 1. 一次函数 y ＝ ax ＋ b 与二次函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 在同一坐标系中的图象大致是 ( 　　 ) 考向 2 　二次函数的图象和性质 —— 多维探究 角度 1 　二次函数的图象 C 例 3 二次函数图象的识别方法 二次函数的图象应从开口方向、对称轴、顶点坐标以及图象与坐标轴的交点等方面识别． 已知 f ( x ) ＝ x 2 － 2 x ＋ 5. (1) 若 x ∈ R ，则函数 f ( x ) 的最小值为 ______ ； (2) 若 x ∈[ － 1,2] ，则函数 f ( x ) 的最小值为 ______ ，最大值为 ______ ； (3) 若 x ∈[ t ， t ＋ 1] ，则函数 f ( x ) 的最小值为 __ _ __ __ __ __ __ ___ __. [ 分析 ] 　 对于 (1)(2) 直接利用二次函数的图象性质求解；对于 (3) 由于函数 f ( x ) 的对称轴确定为 x ＝ 1 ，但函数的定义域不确定，因此解题时要以定义域内是否含有对称轴为标准分情况讨论． 4 例 4 角度 2 　利用二次函数的图象和性质求参数 4 8 [ 解析 ] 　 (1) f ( x ) ＝ x 2 － 2 x ＋ 5 ＝ ( x － 1) 2 ＋ 4 ≥ 4 ， ∴ f ( x ) 的最小值为 4. (2) ∵ f ( x ) 的对称轴为 x ＝ 1 ，又 1 ∈ [ － 1,2] ， ∴ f ( x ) min ＝ f (1) ＝ 4 ，由二次函数的图象知， f ( x ) 在 [ － 1,1] 上单调递减，在 [1,2] 上单调递增． 又 f ( － 1) ＝ ( － 1) 2 － 2 × ( － 1) ＋ 5 ＝ 8 ， f (2) ＝ 2 2 － 2 × 2 ＋ 5 ＝ 5 ， ∴ f ( x ) max ＝ 8 ， f ( x ) min ＝ 4. [ 引申 ] 在 (3) 的条件下，求 f ( x ) 的最大值． (2020 · 石家庄模拟 ) 设函数 f ( x ) ＝ ax 2 － 2 x ＋ 2 ，对于满足 1< x <4 的一切 x 值都有 f ( x )>0 ，则实数 a 的取值范围为 ____ __ __________. 角度 3 　二次函数中的恒成立问题 例 5 [ 引申 ] 若将“一切 x 值都有 f ( x )>0” 改为“ f ( x )>0 有解”呢？ 二次函数中恒成立问题的求解思路 (1) 一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数，分类求解． (2) 两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否能分离．这两个思路的依据是： a ≥ f ( x ) 恒成立 ⇔ a ≥ f ( x ) max ， a ≤ f ( x ) 恒成立 ⇔ a ≤ f ( x ) min . 注： a ≥ f ( x ) 有解⇔ a ≥ f ( x ) min ， a ≤ f ( x ) 有解⇔ a ≤ f ( x ) max . ABD B A 名师讲坛 • 素养提升 转换变量 —— 解决二次函数问题中的核心素养 例 6 D [ 解析 ] 　 奇函数 f ( x ) 在 [ － 1,1] 上是增函数，且 f ( － 1) ＝－ 1 ，在 [ － 1,1] 上最大值是 1 ，所以 1 ≤ t 2 － 2 at ＋ 1 ，当 t ＝ 0 时，恒成立；当 t ≠0 时，则 t 2 － 2 at ≥ 0 成立，又 a ∈ [ － 1,1] ，令 r ( a ) ＝－ 2 ta ＋ t 2 ， a ∈ [ － 1,1] ，当 t >0 时， r ( a ) 是减函数，故令 r (1) ≥ 0 得 t ≥ 2 ，当 t <0 时， r ( a ) 是增函数，故令 r ( － 1) ≥ 0 ，解得 t ≤ － 2 ，综上知， t ≥ 2 或 t ≤ － 2 或 t ＝ 0. 转换变量有时会起到意想不到的效果，一般已知给出谁的范围，通常让它作变量，求谁的范围，谁作参数． 〔 变式训练 3〕 已知 f ( x ) ＝ x 2 － ax ＋ 1 ，当 a ∈[ － 1,2] 时恒有 f ( x )<3 ，则 x 的取值范围为 ________ __ ________.