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- 2021-06-16 发布
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5.5.2
简单的三角恒等变换
(
一
)
必备知识
·
自主学习
1.
半角公式
(1)
公式:
导思
1.
半角的正弦、余弦、正切公式是什么?
2.
半角公式的符号是由哪些因素决定的?
(2)
本质:
①半角公式的正弦、余弦公式实际上是由二倍角公式变形得到的
.
②
半角公式给出了求 的正弦、余弦、正切的另一种方式,即只需知道
cos α
的值及相应
α
的条件,便可求出
sin
,
cos
,
tan .
(3)
应用:①求值;②化简;③证明
.
【
思考
】
(1)
半角公式中的正负号能否去掉?该如何选择?
提示:
不能
.①
若没有给出决定符号的条件,则在根号前保留正负两个符号;
②若给出
α
的具体范围
(
即某一区间
)
时,则先求 所在范围,然后根据 所在
范围选用符号
.
(2)
半角公式对
α∈R
都成立吗?为什么?
提示:
公式 对
α∈R
都成立,但公式 要求
α≠(2k+1)π(k∈Z).
2.
辅助角公式
(1)
公式
asin x+bcos x= sin(x+θ).
(2)
本质:辅助角公式实际是两角和与差的正弦、余弦公式的逆用,它能把不同名的弦函数的和差转化成同名的弦函数,进而利用三角函数的性质解决问题
.
(3)
应用:①化简;②求值
.
【
思考
】
(1)asin x+bcos x
化简的步骤有哪些?
(2)
在上述化简过程中,如何确定
θ
所在的象限?
提示:
(1)①
提常数,提出 得到
②定角度,确定一个角
θ
满足:
cos θ=
(
或
(sin θsin x+cos θcos x)).
③
化简、逆用公式得
asin x+bcos x= sin(x+θ)(
或
asin x+bcos x=
cos(x-θ)).
(2)θ
所在的象限由
a
和
b
的符号确定
.
【
基础小测
】
1.
辨析记忆
(
对的打“√”,错的打“
×”)
(1) (
)
(2)
存在
α∈R
,使得
cos = cos α. (
)
(3)
对于任意
α∈R
,
sin = sin α
都不成立
. (
)
(4)
若
α
是第一象限角,则
tan = . (
)
提示:
(1)×.
只有当
- +2kπ≤ ≤ +2kπ(k∈Z)
,
即
-π+4kπ≤α≤π+4kπ(k∈Z)
时,
cos = .
(2)√.
当
cos α=- +1
时,上式成立,但一般情况下不成立
.
(3)×.
当
α=2kπ(k∈Z)
时,上式成立,但一般情况下不成立
.
(4)√.
若
α
是第一象限角,则 是第一、三象限角,此时
tan =
成立
.
2.(
教材二次开发:例题改编
)
若
cos α=
,
α∈(0
,
π)
,则
cos
的值为
(
)
【
解析
】
选
C.
因为 ∈ ,所以
cos >0
,
cos = = .
3.cos α-sin α
的化简结果是
(
)
【
解析
】
选
D.cos α-sin α=
关键能力
·
合作学习
类型一 求值问题
(
数学运算
)
【
题组训练
】
1.
设
5π<θ<6π
,
cos =a
,那么
sin
等于
(
)
2.
已知
α∈
,
cos α=
,则
tan = (
)
A.3 B.-3 C. D.-
3.
已知
tan α=
,且
α
为第一象限角,则
sin
的值为
(
)
【
解析
】
1.
选
D.
若
5π<θ<6π
,则
则
2.
选
D.
因为
α∈
,且
cos α=
,所以 ∈ ,
tan =
3.
选
C.
因为
tan α=
,所以 又
sin
2
α+cos
2
α=1
,
所以
因为
α
为第一象限角,
所以 为第一、三象限角,且
【
解题策略
】
利用半角公式求值的思路
(1)
看角:若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍,则求解时常常借助半角公式求解
.
(2)
明范围:由于半角公式求值常涉及符号问题,因此求解时务必依据角的范围,求出相应半角的范围
.
(3)
选公式:涉及半角公式的正切值时,常用
tan =
其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题;涉及半角公式的正、
余弦值时,常先利用 计算
.
(4)
下结论:结合
(2)
求值
.
【
补偿训练
】
已知
sin α=-
,
π<α<
,求
sin
,
cos
,
tan
的值
.
【
解析
】
因为
π<α<
,
sin α=-
,所以
cos α=-
,
且
类型二 化简问题
(
数学运算
)
【
典例
】
化简:
【
思路导引
】
利用二倍角公式及半角公式解决,注意角度的范围
.
【
解析
】
原式
=
又因为
180°<α<360°
,
所以
90°< <180°
,
所以
cos <0
,
所以原式
=
=cos α.
【
解题策略
】
化简问题中的“三变”
(1)
变角:三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系,通过拆、凑等手段消除角之间的差异,合理选择联系它们的公式
.
(2)
变名:观察三角函数种类的差异,尽量统一函数的名称,如统一为弦或统一为切
.
(3)
变式:观察式子的结构形式的差异,选择适当的变形途径
.
如升幂、降幂、配方、开方等
.
【
跟踪训练
】
化简:
【
解析
】
原式
因为
π<α<
,
所以
所以
cos <0
,
sin >0.
所以原式
【
拓展延伸
】
1.
积化和差公式
sin αcos β=
cos αsin β=
cos αcos β=
sin αsin β=
2.
和差化积公式
sin θ+sin
φ
=
sin θ-sin
φ
=
cos θ+cos
φ
=
cos
θ
-cos
φ
=
【
拓展训练
】
求值
:
sin
2
20°+cos
2
80°+ sin 20°cos 80°.
【
解析
】
sin
2
20°+cos
2
80°+ sin 20°cos 80°
类型三 恒等式的证明问题
(
数学运算、逻辑推理
)
角度
1
绝对恒等式的证明
【
典例
】
求证:
【
思路导引
】
左边切化弦,通分,变形,直至与右边相等
.
【
证明
】
因为左边
=
所以原式成立
.
【
变式探究
】
若本例变为:求证:
=tan x
,试证明
.
【
证明
】
因为左边
=
所以原式成立
.
角度
2
条件恒等式的证明
【
典例
】
已知
0<α<
,
0<β<
,且
3sin β=sin(2α+β)
,
4tan =1-tan
2
.
证明:
α+β= .
【
思路导引
】
结合已知条件,求
α+β
的某个三角函数值,进而求出角的大小
.
【
证明
】
因为
3sin β=sin(2α+β)
,
即
3sin(α+β-α)=sin(α+β+α)
,
所以
3sin(α+β)cos α-3cos(α+β)sin α
=sin(
α
+
β
)cos
α
+cos(
α
+
β
)sin
α
,
所以
2sin(
α
+
β
)cos
α
=4cos(
α
+
β
)sin
α
,所以
tan(
α
+
β
)=2tan
α
.
又因为
4tan =1-tan
2
,
所以
tan
α
=
所以
tan(
α
+
β
)=2tan
α
=1.
因为
α+β∈
,所以
α+β= .
【
解题策略
】
(1)
证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异,有目的的化繁为简、左右归一
.
(2)
三角恒等式的证明主要有两种类型:绝对恒等式与条件恒等式
.
①
证明绝对恒等式要根据等式两边的特征,化繁为简,左右归一,通过三角恒等式变换,使等式的两边化异为同
.
②
条件恒等式的证明则要认真观察,比较已知条件与求证等式之间的联系,选择适当途径
.
常用代入法、消元法、两头凑等方法
.
【
题组训练
】
1.
求证:
2sin
4
x+ sin
2
2x+5cos
4
x- (cos 4x+cos 2x)=2(1+cos
2
x).
【
证明
】
左边
=
所以原等式成立
.
2.
已知
sin
β
=msin(2
α
+
β
)(m≠1)
,
求证:
tan(
α
+
β
)= tan
α
.
【
证明
】
由
β=(α+β)-α
,
2α+β=(α+β)+α
得
sin[
(α
+
β)
-
α]
=m
·
sin[
(α
+
β)
+
α]
,
即
sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α
=m[
sin(α
+
β)cos α
+
cos(α
+
β)sin α]
,
即
(1-m)sin(α+β)cos α=(1+m)cos(α+β)sin α.
两边同除以
(1-m)cos(α+β)cos α
,
得
tan(α+β)= tan α(m≠1)
,即原等式成立
.
【
补偿训练
】
已知
sin α=Asin(α+β)
,
|A|>1.
求证:
tan(α+β)= .
【
证明
】
因为
sin α=sin[
(α
+
β)
-
β]
=sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β
,
所以
sin α=Asin(α+β)
化为
sin(α+β)cos β-cos(α+β)
·
sin β
=Asin(α+β)
,
所以
sin(α+β)(cos β-A)=cos(α+β)sin β
,又因为
|A|>1
,
所以
tan(α+β)=
课堂检测
·
素养达标
1.
已知
cos α=-
,
<α<π
,则
sin
等于
(
)
【
解析
】
选
D.
因为
<α<π
,所以
2.(
教材二次开发:练习改编
)
已知
cos θ=- (-180°<θ<-90°)
,则
cos = (
)
【
解析
】
选
B.
因为
-180°<θ<-90°
,所以
-90°< <-45°.
又
cos θ=
3.
化简 的结果是
(
)
A.-cos 1 B.cos 1 C. cos 1 D.- cos 1
【
解析
】
选
C.
原式
=
4.
若
sin +2cos =0
,则
tan θ=_______.
【
解析
】
由
sin +2cos =0
,得
tan =-2
,
答案:
5.
化简
=_______.
【
解析
】
原式
=
答案:
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