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- 2021-06-16 发布
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5.1 函数的概念和图象
第1课时 函数的概念
学 习 目 标
核 心 素 养
1.在集合对应的基础上理解函数的概念,并能应用函数的有关概念解题.(重点、难点)
2.会求几种简单函数的定义域、值域.(重点)
通过学习本节内容培养学生的数学抽象核心素养,提升学生的数学运算核心素养.
(1)国家统计局的课题组公布,如果将2005年中国创新指数记为100,近些年来中国创新指数的情况如下表所示:
年度
2008
2009
2010
2011
2012
2013
2014
2015
中国创新指数
116.5
125.5
131.8
139.6
148.2
152.6
158.2
171.5
如果用y表示年度值,I表示中国创新指数的取值,则I是y的函数吗?如果是,这个函数用数学符号可以怎样表示?
(2)利用医疗仪器可以方便地测量出心脏在各时刻的指标值,据此可以描绘出心电图,如图所示.医生在看心电图时,会根据图形的整体形态来给出诊断结果(如根据两个峰值的间距来得出心率等).
如果用t表示测量的时间,v表示测量的指标值,则v是t的函数吗?如果是,这个函数用数学符号可以怎样表示?
1.函数的概念
函数的定义
一般地,给定两个非空实数集合A和B,如果按照某种对应关系f,对于集合A中的每一个实数x,在集合B中都有唯一的实数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数
函数的记法
从集合A到集合B的一个函数通常记为y=f(x),x∈A
函数的定义域
在函数y=f(x),x∈A中,所有的x(输入值)组成的集合A
- 8 -
叫做函数y=f(x)的定义域.
函数的值域
若A是函数y=f(x)的定义域,则对于A中的每一个x(输入值),都有一个y(输出值)与之对应,则将所有输出值y组成的集合{y|y=f(x),x∈A}称为函数的值域
2.两个函数是同一函数
(1)定义域和对应关系都相同的两个函数.
(2)函数的对应关系和定义域都确定后,函数才能够确定.
(3)给定函数时要指明函数的定义域,对于用表达式表示的函数,如果没有指明定义域,那么,就认为函数的定义域是指使得函数表达式有意义的输入值的集合.
思考:定义域和值域都相同的函数是同一个函数吗?
[提示] 不一定是,如函数y=x,x∈[0,1],和y=x2,x∈[0,1].定义域和值域都相同,但不是同一个函数.
1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系. ( )
(2)已知定义域和对应关系就可以确定一个函数. ( )
(3)根据函数的定义,定义域中的每一个x可以对应着不同的y.
( )
[答案] (1)× (2)√ (3)×
2.(1)函数f(x)=的定义域为 .
(2)函数f(x)=的定义域为 .
(3)函数f(x)=(x∈N)的定义域为 .
(1){x|x≥10} (2){x|x>2} (3){0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} [(1)x-10≥0,∴x≥10,即{x|x≥10}.
(2)x-2>0,∴x>2,即{x|x>2}.
(3)⇒∴x的取值为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,即{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.]
3.若f(x)=x2-3x+2,则f(1)= .
0 [f(1)=12-3×1+2=0.]
4.若f(x)=x-3,x∈{0,1,2,3},则f(x)的值域为 .
{-3,-2,-1,0} [f(0)=-3,f(1)=-2,f(2)=-1,f(3)=0.]
- 8 -
函数的概念
【例1】 判断下列对应f是否为从集合A到集合B的函数.
(1)A=N,B=R,对于任意的x∈A,x→±;
(2)A=R,B=N,对于任意的x∈A,x→|x-2|;
(3)A=R,B={正实数},对任意x∈A,x→;
(4)A={1,2,3},B=R,f(1)=f(2)=3,f(3)=4;
(5)A=[-1,1],B={0},对于任意的x∈A,x→0.
[思路点拨] 求解本题的关键是判断在对应关系f的作用下,集合A中的任意一个元素在集合B中是否都有唯一的元素与之对应.
[解] (1)对于A中的元素,如x=9,y的值为y=±=±3,即在对应关系f之下,B中有两个元素±3与之对应,不符合函数的定义,故不能构成函数.
(2)对于A中的元素x=2,在f作用下,|2-2|B,故不能构成函数.
(3)A中元素x=0在B中没有对应元素,故不能构成函数.
(4)依题意,f(1)=f(2)=3,f(3)=4,即A中的每一个元素在对应关系f之下,在B中都有唯一元素与之对应,依函数的定义,能构成函数.
(5)对于集合A中任意一个实数x,按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的数0与它对应,故是集合A到集合B的函数.
1.判断一个对应关系是否是函数,要从以下三个方面去判断,即A,B必须是非空数集;A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应;A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应.
2.函数的定义中“每一个元素x”与“有唯一的元素y”说明函数中两变量x,y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”.
1.下列对应关系式中是A到B的函数的有 .(填序号)
①A=B=[-1,1],x∈A,y∈B且x2+y2=1;
②A={1,2,3,4},B={0,1},对应关系如图;
- 8 -
③A=R,B=R,f:x→y=;
④A=Z,B=Z,f:x→y=.
② [对于①项,x2+y2=1可化为y=±,显然对任意x∈A,y值可能不唯一,故不符合.对于②项,符合函数的定义.对于③项,2∈A,但在集合B中找不到与之相对应的数,故不符合.对于④项,-1∈A,但在集合B中找不到与之相对应的数,故不符合.]
求函数的定义域
【例2】 求下列函数的定义域.
(1)f(x)=;
(2)f(x)=+;
(3)f(x)=+x0+;
(4)f(x)=;
(5)f(x)=ln(x+1)+;
(6)f(x)=(x+1)-+lg(-x).
[思路点拨] 根据使式子在实数范围内有意义的条件列不等式(组),求出x的范围,就是所求函数的定义域.
[解] (1)要使f(x)有意义,则有3x-2>0,∴x>,
即f(x)的定义域为.
(2)要使f(x)有意义,则⇒x≥-1且x≠2,
即f(x)的定义域为[-1,2)∪(2,+∞).
(3)要使f(x)有意义,则
解得x≥-4且x≠0,x≠-2,
即f(x)的定义域为[-4,-2)∪(-2,0)∪(0,+∞).
(4)要使f(x)有意义,则x2-2x-3≥0解得x≥3或x≤-1,
即f(x)的定义域为(-∞,-1]∪[3,+∞).
(5)要使f(x)有意义,则 即
解得x>-1且x≠0且x≠1,
即f(x)的定义域为(-1,0)∪(0,1)∪(1,+∞).
- 8 -
(6)要使f(x)=+lg(-x)有意义,则
解得x<0且x≠-1,
即f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,0).
1.求函数定义域时,不要化简所给解析式,而是直接从所给的解析式寻找使解析式有意义时自变量满足的条件.
2.函数的定义域要用集合或区间形式表示,这一点初学者易忽视.
2.求下列函数的定义域.
(1)f(x)=+;
(2)f(x)=+ln(x+1)且 x∈Z.
[解] (1)要使函数有意义,只需所以x<且x≠0,所以函数的定义域为.
(2)要使函数有意义,只需所以-1≤x≤3.
又x∈Z,所以x=0,1,2,3.
所以函数的定义域为{0,1,2,3}.
求函数的值域或函数值
【例3】 已知f(x)=x2-4x+2.
(1)求f(2),f(a),f(a+1)的值;
(2)求f(x)的值域;
(3)若g(x)=x+1,求f(g(3))的值.
[思路点拨] (1)将x=2,a,a+1代入f(x)即可;(2)配方求值域;(3)先求g(3)再算f(g(3)).
[解] (1)f(2)=22-4×2+2=-2,
f(a)=a2-4a+2,
f(a+1)=(a+1)2-4(a+1)+2=a2-2a-1.
(2)f(x)=x2-4x+2=(x-2)2-2≥-2,
∴f(x)的值域为[-2,+∞).
(3)g(3)=3+1=4,
- 8 -
∴f(g(3))=f(4)=42-4×4+2=2.
在例3中,g(x)=x+1,求f(g(x)),g(f(x)).
[解] f(g(x))=g(x)2-4g(x)+2=(x+1)2-4(x+1)+2=x2-2x-1,
g(f(x))=f(x)+1=x2-4x+2+1=x2-4x+3.
1.函数值f(a)就是a在对应关系f下的对应值,因此由函数关系求函数值,只需将f(x)中的x用对应的值(包括值在定义域内的代数式)代入即得.
2.求f(g(a))时,一般要遵循由里到外逐层计算的原则.
3.配方法是一种常用的求值域的方法,主要解决“二次函数型”的函数求值域.
抽象函数求定义域
[探究问题]
1.在y=f(x)中,f(x)的定义域指的是什么?x是什么?
[提示] f(x)的定义域指的是x的范围,其中x是函数的自变量.
2.在函数y=f(x+1)中,自变量是谁?而它的定义域指的是什么?
[提示] y=f(x+1)中自变量为x,其定义域指的是x的范围.
3.如何将函数y=f(x)与y=f(x+1)中的自变量联系起来?
[提示] 由于x,x+1均为f的作用对象,故二者均应在f(x)定义域之中,即y=f(x)中x的范围与y=f(x+1)中x+1的范围一致.
【例4】 (1)已知函数y=f(x)的定义域为[1,4],则f(x+2)的定义域为 .
(2)已知函数y=f(x+2)的定义域为[1,4],则f(x)的定义域为 .
(3)已知函数y=f(x+3)的定义域为[1,4],则f(2x)的定义域为 .
[思路点拨] 找准每一个函数中的自变量,通过括号内范围相同来解决问题.
(1)[-1,2] (2)[3,6] (3) [(1)由题知对于f(x+2)有x+2∈[1,4],∴x∈[-1,2],
故f(x+2)的定义域为[-1,2].
(2)由题知x∈[1,4],∴x+2∈[3,6],∴f(x)的定义域是[3,6].
(3)由题知x∈[1,4],∴x+3∈[4,7],对于f(2x)有2x∈[4,7],∴x∈,
即f(2x)的定义域为.]
- 8 -
抽象函数的定义域
(1)已知f(x)的定义域,求f(g(x))的定义域:若f(x)的定义域为[a,b],则f(g(x))中a≤g(x)≤b,从中解得x的取值范围即为f(g(x))的定义域.
(2)已知f(g(x))的定义域,求f(x)的定义域:若f(g(x))的定义域为[a,b],即a≤x≤b,求得g(x)的取值范围,g(x)的取值范围即为f(x)的定义域.
用较为口语化的语言可以将上述两类题型的解法合并成两句话:
①定义域指自变量的取值范围.(告诉我们已知什么,求什么)
②括号内范围相同.(告诉我们如何将条件与结论联系起来
3.已知函数y=f(x-1)的定义域为[-3,2],则f(x+1)的定义域为 .
[-5,0] [对于y=f(x-1)有x∈[-3,2],∴x-1∈[-4,1],∴在f(x+1)中有x+1∈[-4,1],∴x∈[-5,0].]
理解函数的概念应关注五点
(1)“A,B是非空的数集”,一方面强调了A,B只能是数集,即A,B中的元素只能是实数;另一方面指出了定义域、值域都不能是空集,也就是说定义域为空集的函数是不存在的.
(2)理解函数的概念要注意函数的定义域是非空数集A,但函数的值域不一定是非空数集B,而是集合B的子集.
(3)函数定义中强调“三性”:任意性、存在性、唯一性,即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x,在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的实数y与之对应.这三性只要有一个不满足,便不能构成函数.
(4)y=f(x)仅仅是函数符号,不是表示“y等于f与x的乘积”,f(x)表示以x为自变量的函数,f是确定函数的对应关系.
(5)除f(x)外,有时还用g(x)、u(x)、F(x)、G(x)等符号来表示函数.
1.下列图象表示函数图象的是( )
- 8 -
C [根据函数定义知,对定义域内的任意变量x,都有唯一的函数值y和它对应,即作垂直x轴的直线与图象至多有一个交点(有一个交点即x是定义域内的一个变量,无交点即x不是定义域内的变量).显然,只有答案C中图象符合.]
2.下列四组函数中,表示相等函数的一组是( )
A.f(x)=|x|,g(x)=
B.f(x)=,g(x)=()2
C.f(x)=,g(x)=x+1
D.f(x)=·,g(x)=
A [A中定义域,对应关系都相同,是同一函数;B中定义域不同;C中定义域不同;D中定义域不同.]
3.函数y=+ln|2-x|的定义域是 .
{x|x≥-1且x≠2} [要使函数有意义,需满足解不等式得定义域为{x|x≥-1且x≠2}.]
4.求下列函数的值域:
(1)y=x+1,x∈{1,2,3,4,5};
(2)y=x2-2x+3,x∈[0,3);
(3)y=.
[解] (1)因为x∈{1,2,3,4,5},分别代入求值,可得函数的值域为{2,3,4,5,6}.
(2)y=x2-2x+3=(x-1)2+2,由x∈[0,3),再结合函数的图象(如图),可得函数的值域为[2,6).
(3)y===2+,
显然≠0,所以y≠2,故函数的值域为(-∞,2)∪(2,+∞).
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