2020-2021学年数学新教材人教B版必修第四册教案：第10章 10 10页

www.ks5u.com ‎10.2.2　‎复数的乘法与除法 学 习 目 标 核 心 素 养 ‎1.能进行复数代数形式的乘法和除法运算．(重点)‎ ‎2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．(重点、难点)‎ ‎3.了解实系数一元二次方程在复数范围内的解集．(难点)‎ 通过复数的乘法、除法运算法则及运算性质的学习，提升数学运算、逻辑推理素养.‎ ‎　‎ 数系扩充后，在复数系中规定的加、减运算与原来的实数系中规定的加、减运算协调一致．‎ 思考：你能根据数系扩充过程的基本原则及复数代数形式的加减运算法则，解决下面这个问题吗？‎ ‎(1－2i)×(3＋4i)＝？‎ ‎1．复数的乘法 ‎(1)定义 一般地，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，称z1z2(或z1×z2)为z1与z2的积，并规定：‎ z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.‎ ‎(2)运算律 对任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1·z2＝z2·z1‎ 结合律 ‎(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)‎ 乘法对加法的分配律 z1·(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3‎ ‎(3)运算性质 zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zmn，(z1z2)n＝zz.(其中m，n∈N*)．‎ ‎(4)i的乘方运算性质 i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i；i4n＝1.‎ ‎[拓展]　‎ ‎(1)若规定i0＝1，i－m＝(m∈N*)，则i的幂的周期性可推广到整数，即m∈Z时上式都成立．‎ ‎(2)利用i的幂的周期性可解决i的高次幂问题．‎ ‎(5)两个共轭复数的乘积等于这个复数(或其共轭复数)模的平方．‎ ‎2．复数的除法 ‎(1)定义 如果复数z2≠0，则满足zz2＝z1的复数z称为z1除以z2的商，并记作z＝(或z＝z1÷z2)，z1称为被除数，z2称为除数．‎ ‎(2)意义 一般地，给定复数z≠0，称为z的倒数，z1除以z2的商也可以看成z1与z2的倒数之积，显然，利用“分母实数化”可以求出任意一个非零复数的倒数，以及任意两个复数的商(除数不能为0)．当z为非零复数且n是正整数时，规定z0＝1，z－n＝.‎ ‎(3)复数倒数运算 设z＝a＋bi，则＝，且＝.‎ ‎(4)复数的除法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，‎ ＝＝＋i.‎ ‎3．实系数一元二次方程在复数范围内的解集 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a ，b，c∈R且a≠0)在复数范围内总是有解的，而且 ‎(1)当Δ＝b2－‎4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根．‎ ‎(2)当Δ＝b2－‎4ac＝0时，方程有两个相等的实数根．‎ ‎(3)当Δ＝b2－‎4ac＜0时，方程有两个互为共轭的虚数根．‎ ‎1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)设x1，x2是实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个虚数根，则x1＋x2＝－，x1x2＝. (　　)‎ ‎(2)若复数z的共轭复数为，z＝a＋bi，则z·＝a2＋b2. (　　)‎ ‎(3)若z∈C，则z2＝|z|2. (　　)‎ ‎[答案]　(1)√　(2)√　(3)×‎ ‎2．如果复数(m2＋i)(1＋mi)是实数，则实数m等于(　　)‎ A．1　　　 B．－1‎ C． D．－ B　[∵(m2＋i)(1＋mi)＝(m2－m)＋(m3＋1)i是实数，m∈R，‎ ‎∴由a＋bi(a，b∈R)是实数的充要条件是b＝0.‎ 得m3＋1＝0，即m＝－1.]‎ ‎3．已知复数z满足(1＋2i)z＝4＋3i，则z＝(　　)‎ A．2＋i B．2－i C．1＋2i D．1－2i B　[法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则 ‎(1＋2i)(a＋bi)＝(a－2b)＋(‎2a＋b)i，‎ 由已知及复数相等的条件得，‎ 解之得故选B．‎ 法二：z＝＝＝＝2－i.]‎ ‎4．若复数z满足i·z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z的实部为________．‎ ‎2　[∵i·z＝1＋2i，∴z＝＝2－i，故z的实部为2.]‎ 复数代数形式的乘法运算 ‎【例1】　(1)已知a，b∈R，i是虚数单位．若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝(　　)‎ A．5－4i B．5＋4i C．3－4i D．3＋4i ‎(2)复数z＝(3－2i)i的共轭复数等于(　　)‎ A．－2－3i B．－2＋3i C．2－3i D．2＋3i ‎(3)i是虚数单位，复数(3＋i)(1－2i)＝__________.‎ ‎(1)D　(2)C　(3)5－5i　[(1)由题意知a－i＝2－bi，∴a＝2，b＝1，∴(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.‎ ‎(2)∵z＝(3－2i)i＝3i－2i2＝2＋3i，‎ ‎∴＝2－3i.故选C．‎ ‎(3)(3＋i)(1－2i)＝3－6i＋i－2i2＝5－5i.]‎ 复数乘法运算的方法与常用公式 ‎(1)两个复数代数形式乘法的一般方法 首先按多项式的乘法展开；再将i2换成－1；然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．‎ ‎(2)常用公式 ‎①(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)；‎ ‎②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；‎ ‎③(1±i)2＝±2i.‎ ‎1．若|z1|＝5，z2＝3＋4i，且z1·z2是纯虚数，则z1＝__________.‎ ‎4＋3i或－4－3i　[设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则|z1|＝＝5，即a2＋b2＝25，‎ z1·z2＝(a＋bi)·(3＋4i)＝(‎3a－4b)＋(3b＋‎4a)i.‎ ‎∵z1·z2是纯虚数，‎ ‎∴解得或 ‎∴z1＝4＋3i或z1＝－4－3i.]‎ 复数代数形式的除法运算 ‎【例2】　(1)＝(　　)‎ A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i ‎(2)i是虚数单位，复数＝(　　)‎ A．1－i B．－1＋i C．＋i D．－＋i ‎(1)D　(2)A　[(1)法一：＝＝＝＝＝－1－i.故选D．‎ 法二：＝ (1＋i)＝i2(1＋i)＝－(1＋i)＝－1－i.‎ ‎(2)＝＝＝1－i，故选A．]‎ 复数除法运算的方法与常用公式 ‎(1)两个复数代数形式的除法运算方法 ‎①首先将除式写为分式．‎ ‎②再将分子、分母同乘以分母的共轭复数．‎ ‎③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．‎ ‎(2)常用公式 ‎①＝－i.②＝i.③＝－i.‎ ‎2．(1)满足＝i(i为虚数单位)的复数z＝(　　)‎ A．＋i　 B．－i C．－＋i D．－－i ‎(2)若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝(　　)‎ A．1　 B．‎2 C．　　　D． ‎(1)B　(2)C　[(1)∵＝i，∴z＋i＝zi，∴i＝z(i－1)．‎ ‎∴z＝＝＝＝－i.‎ ‎(2)∵z(1＋i)＝2i，∴z＝＝＝1＋i，‎ ‎∴|z|＝＝.]‎ in的周期性及应用 ‎[探究问题]‎ ‎1．i5与i是否相等？‎ ‎[提示]　i5＝i4·i＝i，相等．‎ ‎2．i＋i2＋i3＋i4的值为多少？‎ ‎[提示]　i＋i2＋i3＋i4＝0.‎ ‎【例3】　计算i1＋i2＋i3＋…＋i2 020.‎ ‎[思路探究]　可利用in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N＋)化简．‎ ‎[解]　∵i1＋i2＋i3＋i4＝0，‎ ‎∴in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N＋)，‎ ‎∴i1＋i2＋i3＋…＋i2 020＝(i1＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋(i2 017＋i2 018＋i2 019＋i2 020)＝0.‎ 虚数单位i的周期性 ‎(1)i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N＋)．‎ ‎(2)in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N＋)．‎ ‎3．计算：···…·.‎ ‎[解]　∵＝i，‎ ‎∴原式＝i·i2·i3·…·i10＝i1＋2＋3＋…＋10＝i55＝i3＝－i.‎ 解复数方程 ‎【例4】　已知关于x的方程x2＋kx＋k2－2k＝0有一个模为1的虚根，求实数k的值．‎ ‎[思路探究]　设两根为z1，z2，则z2＝，|z2|＝|z1|＝1，得z1·z2＝1，利用根与系数的关系列方程可求得k的值，结合判别式小于零即可得结果．‎ ‎[解]　由题意，得Δ＝k2－4(k2－2k)＝－3k2＋8k＜0⇒k＜0或k＞，‎ 设两根为z1，z2，则z2＝，|z2|＝|z1|＝1，‎ 所以z1·z2＝k2－2k＝1，‎ 解得k1＝1－，k2＝1＋.‎ 又k＜0或k＞，所以k＝1－.‎ 在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式为 (1)当Δ≥0时，x＝；(两个实数根) (2)当Δ＜0时，x＝.(两个共轭虚数根) ‎4．已知1＋i是关于x的方程ax2＋bx＋2＝0(a，b∈R)的一个根，则a＋b＝(　　)‎ A．－1 B．‎1 C．－3 D．3‎ A　[当a＝0时，解得b∉R，不符合题意，所以原方程为实系数一元二次方程．‎ 因为实系数的一元二次方程虚根成对出现(互为共轭复数)，‎ 所以1±i为方程的两根，所以 解得故a＋b＝－1.]‎ 知识：‎ ‎1．复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数，可推广到任意多个复数，任意多个复数的积仍然是一个复数．‎ ‎2．复数的除法和实数的除法有所不同，实数的除法可以直接约分、化简得出结果；而复数的除法是先将两复数的商写成分式，然后分母实数化(分子、分母同乘分母的共轭复数)，若分母为纯虚数，则只需分子、分母同乘i.‎ ‎3．对共轭复数的理解 ‎(1)当a，b∈R时，有a2＋b2＝(a＋bi)(a－bi)，其中a＋bi与a－bi是一对共轭复数，这是虚数实数化的一个重要依据．‎ ‎(2)互为共轭复数的两个复数的模相等，且||2＝|z|2＝z.‎ 方法：‎ 熟练掌握乘除法运算法则，求解运算时要灵活运用in的周期性．此外，实数运算中的平方差公式，两数和、差的平方公式在复数运算中仍然成立．‎ ‎1．若复数z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1·z2＝(　　)‎ A．4＋2i B．2＋i C．2＋2i D．3‎ A　[z1·z2＝(1＋i)(3－i)＝3－i＋3i－i2＝4＋2i.]‎ ‎2．设复数z＝，则|z|＝(　　)‎ A．2 B．‎1 C． D． C　[∵复数z＝＝1－i，∴|z|＝.]‎ ‎3．若＝a＋bi(i为虚数单位，a，b∈R)，则a＋b＝________.‎ ‎2　[因为＝＝1＋i，所以1＋i＝a＋bi，所以a＝1，b＝1，所以a＋b＝2.]‎ ‎4．设z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________．‎ 　[设＝bi(b∈R且b≠0)，所以z1＝bi·z2，即a＋2i＝bi(3－4i)＝4b＋3bi，所以所以a＝.]‎ ‎5．计算：‎ ‎(1)(1－i)(1＋i)；‎ ‎(2)；‎ ‎(3)(2－i)2.‎ ‎[解]　(1)法一：(1－i)(1＋i)‎ ‎＝(1＋i)‎ ‎＝(1＋i)‎ ‎＝＋i＋i＋i2‎ ‎＝－1＋i.‎ 法二：原式＝(1－i)(1＋i) ‎＝(1－i2) ‎＝2＝－1＋i.‎ ‎(2) ‎＝ ‎＝ ‎＝＝＝i.‎ ‎(3)(2－i)2＝(2－i)(2－i)‎ ‎＝4－4i＋i2＝3－4i.‎