2020届河南省顶级名校高三尖子生11月诊断性检测数学（理）试题（解析版） 24页

‎2020届河南省顶级名校高三尖子生11月诊断性检测数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据集合并集的定义求出，根据集体补集的定义求出.‎ ‎【详解】‎ 因为，，所以，又因为集合 ‎，所以，故本题选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了集合的并集、补集运算，掌握集合的并集、补集的定义是解题的关键.‎ ‎2．已知空间三条直线，若与垂直，与垂直，则（ ）‎ A．与异面 B．与相交 C．与平行 D．与平行、相交、异面均有可能 ‎【答案】D ‎【解析】由题意知，可知的关系不确定，可以是任意的空间直线的关系.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 所以与既可以相交，也可以异面，还可以平行，‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查了空间两条直线间的位置关系，属于容易题.‎ ‎3．复数满足，则（ ）‎ A．恒等于1 B．最大值为1，无最小值 C．最小值为1，无最大值 D．无最大值，也无最小值 ‎【答案】C ‎【解析】设，（），由可得，由即可求解.‎ ‎【详解】‎ 设，（），‎ 因为，‎ 所以，‎ 即，‎ 解得，‎ 所以，‎ 所以有最小1，无大值.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查了复数的概念，复数的模，属于中档题.‎ ‎4．某几何体的三视图如图所示(单位：cm) ，则该几何体的表面积(单位：cm2)是( )‎ A．16 B．32 C．44 D．64‎ ‎【答案】B ‎【解析】由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面是直角三角形，底面．然后由直角三角形面积公式求解．‎ ‎【详解】‎ 解：由三视图还原原几何体如图，‎ 该几何体为三棱锥，底面是直角三角形，底面．‎ 则．‎ 该几何体的表面积．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．‎ ‎5．已知，则“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】构造函数,利用函数的奇偶性和单调性，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.‎ ‎【详解】‎ 设，‎ 则函数是偶函数，当时，为增函数，‎ 若，即 可得，‎ 平方得，即，‎ 由，‎ 可得，‎ 即，且，‎ 所以，‎ 则成立，即充分性成立，‎ 当时，满足，且，‎ 但，即必要性不成立，‎ 故“”是“”的充分不必要条件.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查了充分条件和必要条件的判断，结合函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键，属于中档题.‎ ‎6．函数y＝ln|x|·cos(－2x)的图像可能是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据函数的奇偶性，和特殊值，可判断。‎ ‎【详解】‎ 解：‎ 所以函数是奇函数，关于原点对称，故排除；当时，故故排除 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性及已知函数解析式确定其函数图象问题，属于基础题。‎ ‎7．已知两个不相等的非零向量，，满足，且与－的夹角为60°，则的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设，，由已知与的夹角为可得，由正弦定理得，从而可求的取值范围 ‎【详解】‎ 解：设，，，‎ 如图所示：‎ 则由 又与的夹角为，‎ 又由 由正弦定理得 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主考查了向量的减法运算的三角形法则，考查了三角形的正弦定理及三角函数的性质，属于中档题．‎ ‎8．已知随机变量ξ的分布列，则下列说法正确的是( )‎ A．存在x，y∈(0，1)，E(ξ)> B．对任意x，y∈(0，1)，E(ξ)≤‎ C．对任意x，y∈(0，1)，D(ξ)≤E(ξ) D．存在x，y∈(0，1)，D(ξ)>‎ ‎【答案】C ‎【解析】表示出期望与方差，利用基本不等式证明不等关系。‎ ‎【详解】‎ 解：依题意可得，‎ 因为 所以即故，错误；‎ 即，故成立；‎ 故错误 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查简单随机变量的分布列中期望和方差的运算，属于难题。‎ ‎9．设函数，若，则的取值范围是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意构造新函数，结合所给条件和函数的性质确定的取值范围即可．‎ ‎【详解】‎ 令，其中，‎ 取可得 ‎ 取可得 ‎ 取可得 ‎ 由可得：， ‎ 将代入可得：．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查构造函数解题的方法，整体代换的数学思想等知识，属于比较困难的试题．‎ ‎10．已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，使得点F2到直线PF1的距离为a，则该双曲线的离心率的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设过且与一条渐近线平行的直线的方程，依题意在双曲线右支上存在点P，使得点到直线的距离为，则点到直线距离大于，可求出与的关系，即可求出离心率的取值范围。‎ ‎【详解】‎ 解：双曲线的渐近线为，由极限思想，设过且与一条渐近线平行的直线的方程为即，依题意若在双曲线右支上存在点P，使得点到直线的距离为，则点到直线距离大于，即 即 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线中离心率的范围的求解，极限思想的运用，属于中档题。‎ ‎11．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E，F分别是边AB，CD的中点，现将△ABC沿着对角线AC翻折，则直线EF与平面ACD所成角的正切值最大值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】建立空间直角坐标系，设二面角为，用含的式子表示点坐标，利用向量法表示出线面角的正弦值的平方，构造函数利用函数的单调性求出，即可求出线面角的正切值的最大值。‎ ‎【详解】‎ 解：如图，‎ 以的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系，设二面角为，可证，设棱形的边长为，则，，，，，‎ 易知平面的法向量 设直线与平面所成角为，则 令，‎ 则时即在上单调递增；‎ 时即在上单调递减；‎ 则 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用空间向量法求线面角的最值问题，综合性比较强，难度比较大。‎ ‎12．己数列{an}满足a1＝1，an＋1＝lnan＋＋1，记Sn＝[a1]＋ [a2]＋···＋[an]，[t]表示不超过t的最大整数，则S2019的值为( )‎ A．2019 B．2018 C．4038 D．4037‎ ‎【答案】D ‎【解析】首先求出数列的前几项，猜想时构造函数证明猜想是正确的，即可求出.‎ ‎【详解】‎ 解：依题意得，，‎ 可猜想时 证明：令 则 可得在单调递减，在单调递增.‎ 即 ‎，满足条件，故猜想正确；‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查由递推公式求数列的和，综合性较强，难度比较大。‎ 二、填空题 ‎13．上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆相交”发生的概率为_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由直线y=kx与圆相交得 ‎ 所以概率为 .‎ ‎14．如图，在△ABC中，AB>AC，BC＝，A＝60°，△ABC的面积等于，则角平分线AD的长等于__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知利用三角形的面积公式可求，由余弦定理可得，联立解得：，根据余弦定理可求的值，利用角平分线可得，结合，解得的值，在中，由余弦定理可得的值．‎ ‎【详解】‎ 解：，，的面积等于，‎ 解得：，①‎ 由余弦定理，‎ 可得：，‎ 解得：，②‎ 由①②联立解得：，或（由于，舍去）．‎ ‎， 为角平分线，可得，且，‎ 解得：，‎ 在中，由余弦定理可得：‎ ‎．‎ 故答案为： ．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．‎ ‎15．已知数列满足，其前项和为，若恒成立，则的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意设，由递推关系表示出，要使恒成立，则,解得即可.‎ ‎【详解】‎ 设，‎ 因为，‎ 则，，，，，，，‎ ‎，‎ 可知数列的奇数项是递减的，且偶数项也是递减的，‎ 且当时，，‎ 当时，，‎ 要使恒成立，则，‎ 解得，即，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了数列的递推关系式及数列前n项和的性质，属于难题.‎ ‎16．已知P为椭圆C：上一个动点，F1、F2是椭圆C的左、右焦点，O为坐标原点，O到椭圆C在P点处的切线距离为d，若，则d＝__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】计算，的值得出点坐标，再求出切线方程，利用点到直线的距离公式计算．‎ ‎【详解】‎ 解：设，，则，‎ 不妨设在第一象限，则，，‎ 故以为圆心以为半径的圆为：，①‎ 以为圆心以为半径的圆为：，②‎ ‎①②得：，代入椭圆方程可得：，‎ 故，，‎ 当时，由得，故，‎ 椭圆在处的切线的斜率．‎ 切线方程为：，即，‎ 原点到切线的距离．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的性质，切线的求法，点到直线的距离应用，属于中档题．‎ 三、解答题 ‎17．已知函数f(x)＝sinx－cosx ‎(1)求函数f(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若f(B)＝，b＝3，求△ABC面积的最大值.‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】（1）利用辅助角公式将函数化简，根据正弦函数的单调性求出函数的单调区间；‎ ‎（2）由（1）可求利用余弦定理及重要不等式，可求面积最大值。‎ ‎【详解】‎ 解：‎ ‎（1）令，解得 ‎，‎ 故函数的单调递增区间为，‎ ‎（2）由 或，‎ 或，‎ 是三角形的内角，‎ 即 当且仅当时， 的面积取最大值是 ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的性质，余弦定理在解三角形中的应用，属于一般题。‎ ‎18．如图，已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD//BC，BC＝2AD，AD⊥CD，PD⊥平面ABCD，E为PB的中点.‎ ‎(1)求证：AE//平面PDC；‎ ‎(2)若BC＝CD＝PD，求直线AC与平面PBC所成角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）取的中点，连结、，推导出四边形是平行四边形，从而，由此能证明平面．‎ ‎（2）推导出，由，得，再推导出，，从而平面，，，，进而平面，连结，，则就是直线与平面所成角，由此能求出直线与平面所成角的余弦值．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）证明：取的中点，连结、，‎ 是的中点，，且，‎ ‎，，，且，‎ 四边形是平行四边形，，‎ 又平面，平面．‎ ‎（2）解：，是等腰三角形，‎ ‎，又，，‎ 平面，平面，‎ ‎，又，平面，‎ 平面，，，‎ 又，平面，‎ 连结，，则就是直线与平面所成角，‎ 设，‎ 在中，解得，，，‎ 在中，解得，‎ 在中，，‎ 直线与平面所成角的余弦值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面平行的证明，考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎19．已知甲盒内有大小相同的2个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的3个红球和3个黑球，现从甲，乙两个盒内各取2个球.‎ ‎(1)求取出的4个球中恰有1个红球的概率；‎ ‎(2)设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】（1）；（2）分布列见解析，‎ ‎【解析】（1）设事件“从甲盒内取出的个红球；事件为“从乙盒内取出的个红球”，表示出事件的概率，取出的4个球中恰有1个红球的，包含两个基本事件，利用互斥事件和概率计算公式计算；‎ ‎（2）为取出的4个球中红球的个数，则可能的取值为0，1，2，3，4，结合（1）中信息分别求出相应的概率，写出分布列即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设事件“从甲盒内取出的个红球；事件为“从乙盒内取出的个红球” ‎ 则， ‎ 设事件为“取出的4个球中恰有1个红球”，‎ 取出的4个球中恰有1个红球的概率为，‎ ‎（2）可能的取值为0，1，2，3，4．‎ 由（1）得，，，‎ ‎，，‎ 则的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 即 ‎【点睛】‎ 本题考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列，考查运用概率知识解决实际问题的能力．‎ ‎20．如图，斜率为k的直线l与抛物线y2＝4x交于A、B两点，直线PM垂直平分弦AB，且分别交AB、x轴于M、P，已知P(4，0).‎ ‎(1)求M点的横坐标；‎ ‎(2) 求面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）设，，，，，，运用点差法和直线的斜率公式和中点坐标公式，解方程可得所求坐标；‎ ‎（2）设直线即，与抛物线联立，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，化简整理，运用导数判断单调性，可得最大值．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）设，，，，，，‎ 则，，，‎ ‎，‎ 而，‎ 由得，即；‎ ‎（2）设直线即，‎ 与抛物线联立得，‎ 则，，‎ 所以，‎ 而到直线的距离为，‎ 所以，‎ 又由于，‎ 所以，‎ 令，则且，‎ 所以，‎ 令，‎ 则，‎ 当，，当时，，‎ 故，‎ 即面积的最大值为8．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的方程和性质，直线和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．‎ ‎21．已知函数，.‎ ‎（1）若函数有且只有两个零点，求实数的取值范围；‎ ‎（2）设函数的两个零点为，，且，求证.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）见解析 ‎【解析】（1）求导，根据导数求函数唯一的极大值，函数有两个零点转化为极大值大于零，且时，时，即可，分类讨论即可求出（2）变形方程，可得，是的两根，构造函数，利用导数求其单调区间，可得，即可证明不等式.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）解：，∴‎ 当时，，∴在上单调递增，‎ 当时，，∴在上单调递减.‎ ‎∴‎ ‎∵有且只有两个零点，‎ ‎∴，即，‎ 且时，时，，函数有两个零点，‎ 若时，不符合题意，‎ 若时，不符合，‎ 若时，满足，‎ 综上，若使有且只有两个零点，∴‎ ‎（2）证法一：‎ ‎∵，∴，∴，∴，是的两根 设，，，，‎ ‎∴在上单调递增，在上单调递减，‎ ‎∵，设，则必有，‎ 构造函数，，‎ ‎∵，‎ ‎∴在上单调递增，∴，‎ ‎∴，‎ 又∵，在上单调递减，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴，即；‎ ‎∴，即.‎ 证法二：不妨设，‎ ‎∵，∴，即，‎ 设，∴，∴，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∵，要证，只需证，‎ 即证，即证.‎ 设，（），‎ ‎∵，∴在单调递增.‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，∴，即.‎ 证法三：‎ 不妨设，‎ ‎∵，∴，‎ 要证，只需证，‎ 变形，得：，即.‎ 设∴，设，（），‎ ‎∵，∴在上单调递增，‎ ‎∴，∴成立，∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力、分类讨论方法，属于难题．‎ ‎22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P的极坐标为，直线l的极坐标方程为.‎ ‎(1)求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；‎ ‎(2)若Q是曲线C上的动点，M为线段PQ的中点，直线l上有两点A，B，始终满足|AB|＝4，求△MAB面积的最大值与最小值.‎ ‎【答案】（1），；（2）最大值为，最小值为.‎ ‎【解析】（1）由，，可将直线的方程转化为直角坐标方程，由曲线的参数方程消去参数，可得其普通方程；‎ ‎（2）设，由条件可得，再由到直线的距离求出最值即可．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）直线的极坐标方程为，即．‎ 由，，可得直线的直角坐标方程为，‎ 将曲线的参数方程，消去参数，‎ 得曲线的普通方程为；‎ ‎（2）设，，‎ 点的极坐标化为直角坐标为，‎ 则，‎ 点到直线的距离，其中 所以 面积的最大值为，最小值为 ‎【点睛】‎ 本题考查了极坐标方程转化为直角坐标方程，参数方程转化为普通方程和利用参数法求点到直线的距离，考查了转化思想和计算能力，属中档题．‎ ‎23．已知a，b，c为正实数，且满足a＋b＋c＝3.证明：‎ ‎(1)ab＋bc＋ac≤3；‎ ‎(2).‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】（1）利用重要不等式证明；‎ ‎（2）由基本不等式有：，，，三式相加可得：，即可证明．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：正实数，，满足，‎ ‎，，‎ 当且仅当时等号成立 ‎（2），，‎ 当且仅当时等号成立 ‎【点睛】‎ 本题考查了重要不等式、基本不等式的性质，属于基础题．‎