【数学】2018届一轮复习北师大版第三章三角函数解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数教案 8页

第一节　任意角和弧度制及任意角的三角函数 ‎☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆‎ 考纲要求 真题举例 命题角度 ‎1.了解任意角的概念；‎ ‎2.了解弧度制概念，能进行弧度与角度的互化；‎ ‎3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义。‎ ‎2016，四川卷，3,5分(诱导公式)‎ 本部分很少直接考查，往往结合三角函数的其他公式及三角函数的图象及性质间接考查。‎ 微知识　小题练 自|主|排|查 ‎1．角的有关概念 ‎(1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角。‎ ‎(2)从终边位置来看，角可分为象限角与轴线角。‎ ‎(3)若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝2kπ＋α，k∈Z。‎ ‎2．弧度与角度的互化 ‎(1)1弧度的角 长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。‎ ‎(2)角α的弧度数 如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝。‎ ‎(3)角度与弧度的换算 ‎①1°＝rad；②1 rad＝°。‎ ‎(4)弧长、扇形面积的公式 设扇形的弧长为l，圆心角大小为α(rad)，半径为r，则l＝|α|r，扇形的面积为S＝lr＝|α|·r2。‎ ‎3．任意角的三角函数 ‎(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝y，cosα＝x，tanα＝(x≠0)。‎ ‎(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示。正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)。如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线。‎ ‎ ‎ 微点提醒 ‎1．“小于90°的角”“锐角”“第一象限的角”的区别如下：小于90°的角的范围：，锐角的范围：，第一象限角的范围：(k∈Z)，所以说小于90°的角不一定是锐角；锐角是第一象限角，反之不成立。‎ ‎2．角的概念推广到任意角后，角既有大小之分又有正负之别。‎ ‎3．角度制与弧度制在一个式子中不能同时出现。‎ ‎4．在判定角的终边所在的象限时，要注意对k进行分类讨论。‎ 小|题|快|练 一 、走进教材 ‎1．(必修4P‎10A组T10改编)单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为(　　)‎ A．10π　　　 B．9π　　　‎ C.π　　　 D.π ‎【解析】　单位圆的半径r＝1,200°的弧度数是200×＝π，由弧度数的定义知＝，所以l＝π。故选D。‎ ‎【答案】　D ‎2．(必修4P15练习T6改编)若角θ满足tanθ>0，sinθ<0，则角θ所在的象限是(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【解析】　由tanθ>0知，θ是一、三象限角，由sinθ<0知，θ是三、四象限角，故θ是第三象限角。故选C。‎ ‎【答案】　C 二、双基查验 ‎1．与－463°终边相同的角的集合是(　　)‎ A．{α|α＝k·360°＋463°，k∈Z}‎ B．{α|α＝k·360°＋103°，k∈Z}‎ C．{α|α＝k·360°＋257°，k∈Z}‎ D．{α|α＝k·360°－257°，k∈Z}‎ ‎【解析】　显然当k＝－2时，k·360°＋257°＝－463°。故选C。‎ ‎【答案】　C ‎2．给出下列命题：‎ ‎①小于的角是锐角；‎ ‎②第二象限角是钝角；‎ ‎③终边相同的角相等；‎ ‎④若α与β有相同的终边，则必有α－β＝2kπ(k∈Z)。‎ 其中正确命题的个数是(　　)‎ A．0 B．1 ‎ C．2 D．3‎ ‎【解析】　①锐角的取值范围是，故不正确；②钝角的取值范围是，而第二象限角为，k∈Z，故不正确；③若α＝β＋2kπ，k∈Z，α与β的终边相同，但当k≠0时，α≠β，故不正确；④正确。故选B。‎ ‎【答案】　B ‎3．(2016·锦州模拟)在平面直角坐标系中，点M(3，m)在角α的终边上，若sinα＝，则m＝(　　)‎ A．－6或1 B．－1或6‎ C．6 D．1‎ ‎【解析】　由题意知＝，‎5m2‎＝‎4m2‎＋36，且m>0，所以m＝6。故选C。‎ ‎【答案】　C ‎4．半径为R的圆的一段弧长等于2R，则这段弧所对的圆心角的弧度数是________。‎ ‎【解析】　圆心角的弧度数α＝＝2。‎ ‎【答案】　2 ‎5．已知角α和角β的终边关于直线y＝x对称，且β＝－，则sinα＝________。‎ ‎【解析】　∵角α和角β的终边关于直线y＝x对称，∴α＋β＝2kπ＋(k∈Z)。又β＝－，∴α＝2kπ＋(k∈Z)，sinα＝。‎ ‎【答案】　 微考点　大课堂 考点一 ‎ 象限角及终边相同的角的表示 ‎【典例1】　(1)已知角α的终边在第二象限，则的终边在第________象限。(　　)‎ A．一或二　　　　　　 B．二或三 C．一或三 D．二或四 ‎(2)与－2 015°终边相同的最小正角是________。‎ ‎【解析】　(1)由角α的终边在第二象限，所以＋k·2π<α<π＋k·2π，k∈Z，‎ 所以＋·2π<<＋·2π，k∈Z，‎ 当k＝‎2m，m∈Z时，＋m·2π<<＋m·2π，m∈Z，‎ 所以在第一象限；‎ 当k＝‎2m＋1，m∈Z时，＋m·2π<<＋m·2π，m∈Z，所以在第三象限。‎ 综上，的终边在第一或三象限。故选C。‎ ‎(2)因为－2 015°＝－6×360°＋145°，‎ 所以145°与－2 015°终边相同，又终边相同的两个角相差360°的整数倍，‎ 所以在0°～360°中只有145°与－2 015°终边相同，‎ 所以与－2 015°终边相同的最小正角是145°。‎ ‎【答案】　(1)C　(2)145°‎ 反思归纳　1.判断角β所在的象限，先把β表示为β＝2kπ＋α，α∈[0,2π)，k∈Z，然后判断角α的象限即可。‎ ‎2．确定角kα，(k∈N*)的终边的位置：先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写出kα或的范围，然后根据k的可能取值讨论确定kα或的终边所在位置。‎ ‎【变式训练】　(1)若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在(　　)‎ A．第一或第三象限　　　 B．第一或第二象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限 ‎(2)已知角α＝45°，在区间[－720°，0°]内所有与角α有相同的终边的角β为________。‎ ‎【解析】　(1)当k为偶数时，α在第一象限；当k为奇数时，α在第三象限，故选A。‎ ‎(2)所有与角α有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，‎ 则令－720°≤45°＋k×360°≤0°。‎ 得－765°≤k×360°≤－45°。‎ 解得－≤k≤－，从而k＝－2或k＝－1，‎ 代入得β＝－675°或β＝－315°。‎ ‎【答案】　(1)A　(2)－675°或－315°‎ 考点二 ‎ 扇形的弧长公式及面积公式……母题发散 ‎【典例2】　若扇形的周长为10，面积为4，则该扇形的圆心角为________。‎ ‎【解析】　设圆心角是θ，半径是r，‎ 则⇒(舍)， 故扇形圆心角为。‎ ‎【答案】　 ‎【母题变式】　1.若去掉本典例条件“面积为4”，则当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？‎ ‎【解析】　设圆心角是θ，半径是r，‎ 则2r＋rθ＝10(00时，r＝‎5a，sinα＝，cosα＝－，tanα＝－；‎ 当a<0时，r＝－‎5a，sinα＝－，cosα＝，tanα＝－。‎ ‎【答案】　(1)±　(2)见解析 角度二：根据定义求点的坐标 ‎【典例4】　顶点在原点，始边在x轴的正半轴上的角α，β的终边与圆心在原点的单位圆交于A，B两点，若α＝30°，β＝60°，则弦AB的长为________。‎ ‎【解析】　由三角函数的定义得A(cos30°，sin30°)，‎ B(cos60°，sin60°)，即A，B。‎ 所以|AB|＝ ‎＝＝。‎ ‎【答案】　 角度三：三角函数线的应用 ‎【典例5】　(2017·郑州模拟)函数y＝lg(2sinx－1)＋的定义域为________________。‎ ‎【解析】　要使原函数有意义，必须有：‎ 即如图，在单位圆中作出相应三角函数线，由图可知，原函数的定义域为 (k∈Z)。‎ ‎【答案】　(k∈Z)‎ 反思归纳　1.三角函数定义的应用问题的解题思路 ‎(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值。‎ ‎(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出参数的方程，求参数的值。‎ ‎2．三角函数线的应用问题的求解思路 确定单位圆与角的终边的交点，作出所需要的三角函数线，然后求解。‎ 微考场　新提升 ‎1．设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cosα＝x，则tanα＝(　　)‎ A.　　　 B.　　　‎ C．－　　　 D．－ 解析　因为α是第二象限角，所以cosα＝x＜0，即x＜0。又cosα＝x＝。解得x ‎＝－3，所以tanα＝＝－。故选D。‎ 答案　D ‎2．已知扇形的周长是‎4 cm，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是(　　)‎ A．2 B．1 ‎ C. D．3‎ 解析　设此扇形的半径为r，弧长为l，则2r＋l＝4，面积S＝rl＝r(4－2r)＝－r2＋2r＝－(r－1)2＋1，故当r＝1时S最大，这时l＝4－2r＝2。从而α＝＝＝2。故选A。‎ 答案　A ‎3．已知角x的终边上一点的坐标为，则角x的最小正值为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. 解析　∵sin＝，cos＝－，∴角x的终边经过点，tanx＝－，∴x＝2kπ＋π，k∈Z，∴角x的最小正值为。(也可用同角基本关系式tanx＝得出。)故选B。‎ 答案　B ‎4．已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角。‎ 解析　由α是第二象限的角可得90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，则180°－(180°＋k·360°)<180°－α<180°－(90°＋k·360°)，即－k·360°<180°－α<90°－k·360°(k∈Z)，所以180°－α是第一象限的角。‎ 答案　一 ‎5．在直角坐标系中，O是原点，A(，1)，将点A绕O逆时针旋转90°到B点，则B点坐标为________。‎ 解析　依题意知OA＝OB＝2，∠AOx＝30°，∠BOx＝120°，设点B坐标为(x，y)，所以x＝2cos120°＝－1，y＝2sin120°＝，即B(－1，)。‎ 答案　(－1，)‎