高考数学命题角度2_4应用正弦定理和余弦定理解实际问题大题狂练理 13页

命题角度 2.4：应用正弦定理和余弦定理解实际问题 1.如图，某公司要在 两地连线上的定点 处建造广告牌 ，其中 为顶端， 长 米， 长为 80 米，设 在同一水平面上，从 看 的仰角分别为 . （1）若 ，求 的长。 （2）设计中 是铅垂方向（ 垂直于 ），若要求 ，问 的长至多为多少？ 【答案】（1） ；（2） 的长至多约为 米. 【解析】试题分析：（1）利用正弦定理求解即可； （2）利用三角函数的关系式建立不等式关系即可得到结论． 2. 某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H （单位：m），如图所示，垂直放置的标杆 BC 的高度 4h m ，仰角 ABE ADE    ， ． （1）该小组已经测得一组 ， 的值， tan 1.24 tan 1.20  ， ，请据此算出 H 的值； （2）该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离 d（单位：m ），使 与  的差较大，可以提高测量精确度，若电视塔高度为 125m，问 d 为多大时，  最大？ 【答案】（1）124 米 （2）当 55 5d  m 时，  最大． 【解析】 试 题 分 析 ：（ 1 ） 在 直 角 ABE 中 ， 可 得 tan HAD  ， 在 直 角 ADE 中 可 得 tan tan H hAB BD  ， ，再根据 AB BD AD  ，即可求解 H 的值；（2）先用 d 表示出和 tan ,tan  ， 再 根 据 两 角 和 的 公 式 ， 求 出  tan   ， 利 用 基 本 不 是 可 知 当    125 125 4 55 5d H H h      时， tan( )  有最大值，即可得到答案． 试题解析：（1）由 tan tan tan H h HAB BD AD    ， ， 及 AB BD AD  ，得 tan tan H h H tna    ，解得 tan 4 1.24 124tan tan 1.24 1.20 hH        ． 因此，算出的电视塔的高度 H 是 124m． 考点：解三角形的实际应用． 3.某海轮以 公里/小时的速度航行，在点 测得海上面油井 在南偏东 ，向北航行 40 分 钟后到达 点，测得油井 在南偏东 ，海轮改为北偏东 的航向再行驶 40 分钟到达 点. （1）求 间的距离； （2）在点 测得油井的方位角是多少？ 【答案】（1） ；（2） . 【解析】试题分析：（1）在 中，根据正弦定理，求 ，再利用余弦定理算出 的长， 即可算出 两地间的距离；（2）根据内错角相等可证明 ，从而可得出结论. 4 .如图，某生态园将一块三角形地 ABC 的一角 APQ 开辟为水 果园，已知角 A 为120 ， ,AB AC 的长度均大于 200 米，现在边界 ,AP AQ 处建围墙，在 PQ 处围竹篱笆. （1）若围墙 AP 、 AQ 总长度为 200 米，如何可使得三角形地块 APQ 面积最大？ （2）已知竹篱笆长为50 3 米， AP 段围墙高 1 米， AQ 段围墙高 2 米，造价均为每平方 米 100 元，若 AP AQ ，求围墙总造价的取值范围. 【答案】（1） 100AP AQ  (米)， max 2500 3S  (米 2)；（2） 5000 315000， . 【解析】试题分析： (1)设 AP x ，利用题意列出面积的表达式，最后利用均值不等式求解最值即可，注意讨论 等号成立的条件和实际问题的定义域； (2)利用题意结合正弦定理求得围墙造价的函数解析式，利用三角形的性质求得 cos AQP 的 范围即可求得造价的取值范围. 试题解析： 设 AP x ( 米 ) ， 则 200AQ x  , 所 以   2 01 3 200200 sin120 2500 32 4 2APQS x x        (米 2) 当且仅当 200x x  时，取等号。即 100AP AQ  (米)， max 2500 3S  (米 2) (2) 由 正 弦 定 理 sin sin sin AP AQ PQ AQP APQ A     ， 得 100sin , 100sinAP AQP AQ APQ    故 围 墙 总 造 价    100 2 100000 sin 2sin 10000 3cosy AP AQ AQP APQ AQP        因为 AP AQ ， 所以 6 3AQP    ， 3 33cos2 2AQP    所以围墙总造价的取值范围为 5000 315000， (元) 5. 如 图 ， 有 一 码 头 P 和 三 个 岛 屿 , ,A B C ， 30 3 , 90 mi , 30PC nmile PB n le AB nmile   ， 0120PCB  ， 090ABC  . （1）求 ,B C 两个岛屿间的距离； （2）某游船拟载游客从码头 P 前往这三个岛屿游玩，然后返回码头 P .问该游船应按何路线 航行，才能使得总航程最短？求出最短航程. 【答案】（1）30 3 nmile （2） 30 60 3 30 7 nmile  （2）因为 0 090 , 30ABC PBC    ，所以 0 0 090 30 60PBA ABC PBC        ， 在 PAB 中， 90, 30PB AB  ，由余弦定理得， 2 2 0 2 2 12 · cos60 90 30 2 90 30 30 72PA PB AB PB AB          ， 根据“两点之间线段最短”可知， 最短航线是“ P A B C P    ”或“ P C B A P    ”， 其航程为 30 7 30 30 3 30 3 30 60 3 30 7S PA AB BC CP           . 所以应按航线“ P A B C P    ”或“ P C B A P    ”航行， 其航程为  30 60 3 30 7 nmile  . 6.如图， OAB 是一块半径为1 ，圆心角为 π 3 的扇形空地.现决定在此空地上修建一个矩形 的花坛CDEF ，其中动点C 在扇形的弧 AB 上，记 COA   . (1)写出矩形CDEF 的面积 S 与角 之间的函数关系式； (2)当角 取何值时，矩形CDEF 的面积最大？并求出这个最大面积. 【答案】（1） 23sin cos sin3S     （2） π 6   时，S 取得最大值 3 6 【 解 析 】 试 题 分 析 ： (1) 由 OF cos CF sin  ，  sin π 3 3tan 3 DE CFOE EF OF OE      2sin 3cos • sin cos sin33 S EF CF       ， π0, 3      ； (2) 化 简 得 3 πsin 23 6S       3 6 .再由 π π π 5π0, 2 ,3 6 6 6               当 π 6   时，矩形 CDEF 的面积 S 取得最大值 3 6 . 试题解析：(1)因为： OF cos CF sin  ， ， 所 以 sin π 3 3tan 3 DE CFOE    ， sincos 3 EF OF OE     ， 所 以 2sin 3• cos sin sin cos sin33 S EF CF             ， π0, 3      . (2) 23sin cos sin3S     1 3 3sin2 cos22 6 6     3 3 1 3sin2 cos23 2 2 6         = 3 π 3sin 23 6 6      . 因为 π0, 3      ， 所以 π π 5π2 ,6 6 6       ， 所以当 π π2 6 2    ，即 π 6   时，矩形 CDEF 的面积 S 取得最大值 3 6 . 【点睛】本题的主要步骤有： 利用三角函数的定义求得 ,CE EF ,再由矩形的面积公式求得函数； 利用三角恒等变换化简函数的表达式； 利用正弦函数图像求得最值. 7.如下图，为对某失事客轮 AB 进行有效援助，现分别在河岸 MN 选择两处C 、 D 用强光柱 进行辅助照明，其中 A 、B 、C 、D 在同一平面内．现测得 CD 长为 100 米， 105ADN  ， 30BDM   ， 45ACN  ， 60BCM   ． （1）求△ BCD的面积； （2）求船 AB 的长． 【答案】（1） 32500 ；（2）100 15 3 . 【解析】 （2）由题意 75ADC   ， 45ACD   ， 45BDA  ， 在△ ACD 中， sin sin CD AD CAD ACD   ，即 100 sin 60 sin 45 AD  ， ∴ 100 63AD  ， 在△ BCD中， 2 2 2 cosBD BC CD BC CD BCD     2 2 1100 100 2 100 100 ( )2        100 3 ， 在 △ ABD 中 ， 2 2 2 cosAB AD BD AD BD BDA     2 2100 6 100 6( ) (100 3) 2 100 3 cos453 3        100 15 3  ． 故船长为 100 15 3 米． 考点：正、余弦定理的应用． 8.如图，某城市有一条公路从正西方 AO 通过市中心O 后转向东偏北 角方向的 OB ．位于 该市的某大学 M 与市中心O 的距离 3 13OM km ，且 AOM   ．现要修筑一条铁路 L ， L 在OA上设一站 A ，在OB 上设一站 B ，铁路在 AB 部分为直线段，且经过大学 M ．其中 tan 2  ， 3cos 13   ， 15AO km ． （Ⅰ）求大学 M 与 A 站的距离 AM ； （Ⅱ）求铁路 AB 段的长 AB ． 【答案】（Ⅰ） 6 2AM  ；（Ⅱ） 30 2AB  ． 【解析】 试题分析：（Ⅰ）在 AOM 中，利用已知及余弦定理即可解得 AM 的值；（Ⅱ）由 3cos 13   ， 且  为锐角，可求 sin ，由正弦定理可得 MAOsin ，结合 tan 2  ，可求 sin ， cos ， AOBsinABOsin  ， ，结合 15AO  ，由正弦定理即可解得 AB 的值． （II）∵ 3cos 13   ，且  为锐角，∴ 2sin 13   ， 在 AOM 中，由正弦定理得， sin sin AM OM MAO   ， 即 6 2 3 132 sin13 MAO   ，∴ 2sin 2MAO  ，∴ 4MAO   ， ∴ 4ABO    ，∵ tan 2  ，∴ 2sin 5   ， 1cos 5   ， ∴ 1sin sin( )4 10 ABO     ，又 AOB     ，∴ 2sin sin( ) 5 AOB      ， 在 AOB 中， 15AO  ，由正弦定理得， sin sin AB AO AOB ABO   ， 即 15 2 1 5 10 AB  ，∴ 30 2AB  ，即铁路 AB 段的长 AB 为30 2km ． 考点：1、正弦定理，余弦定理；2、同角三角函数关系式，诱导公式的应用． 9.如图所示， MCN 是某海湾旅游区的一角，为营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决 定建立面积为 4 3 平分千米的三角形主题游戏乐园 ABC ，并在区域CDE 建立水上餐厅. 已知 120ACB   ， 30DCE   . （1）设 AC x ， AB y ，用 x 表示 y ，并求 y 的最小值； （2）设 ACD   （ 为锐角），当 AB 最小时，用 表示区域CDE 的面积 S ，并求 S 的最 小值. 【答案】(1) 2 2 256y 16,4 3x x    ;(2)S= 4 3 2 2sin  ,8－ 4 3 . 试题解析： （1）由 S△ACB＝ AC·BC·sin∠ACB＝4 得，BC＝ ， 在△ACB 中，由余弦定理可得，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB， 即 y2＝x 2＋ ＋16， 所以 y＝ y＝ ≥ ＝4 ， 当且仅当 x2＝ ，即 x＝4 时取等号． 所以当 x＝4 时，y 有最小值 4 ． （2）由（1）可知，AB＝4 ，AC＝BC＝4，所以∠BAC＝30°， 在△ACD 中，由正弦定理，CD＝ ＝ ＝ ， 在△ACE 中，由正弦定理，CE＝ ＝ ＝ ， 所以，S＝ CD·CE·sin∠DCE＝ ＝ ． 因为θ为锐角， 所以当θ＝ 时，S 有最小值 8－4 ． 10.某学校的平面示意图为如下图五边形区域 ABCDE ，其中三角形区域 ABE 为生活区，四 边形区域 BCDE 为教学区， , , , , ,AB BC CD DE EA BE 为学校的主要道路（不考 虑宽度）. 2 9, , 3 33 3 10BCD CDE BAE DE BC CD km          . （1）求道路 BE 的长度；（2）求生活区 ABE 面积的最大值． 【答案】（1） 3 3 5BE  ;（2） 227 3 100 km . 【解析】试题分析：(1)连接 BD，由余弦定理可得 BD，由已知可求 6CDB CBD     ， 2 3CDE   ，可得 2BDE   ，利用勾股定理即可得解 BE 的值． (2)设 ABE   ， 由正弦定理，可得 6 2 6sin , sin5 3 5AB AE        ，利用三角函数恒等变换的应用化简 可得 1 9 3 2sin sin sin2 3 25 3ABES AB AE              ，结合范围 3 5 6 6 6      ， 利用正弦函数的性质可求 ABE 面积的最大值，从而得解． （2）设 ABE   ，∵ 3BAE   ，∴ 2 3AEB     . 在 ABE 中，由正弦定理，得 3 3 6 sin sin sin 55sin 3 AB AE BE AEB ABE BAE       ， ∴ 6 2 6sin , sin5 3 5AB AE        . ∴ 1 9 3 2sin sin sin2 3 25 3ABES AB AE              9 3 1 1 9 3 1 1 27 3sin 225 2 6 4 25 2 4 100                   . ∵ 20 3   ，∴ 5 6 6 6      . ∴当 2 6 2     ，即 3   时， ABES 取得最大值为 27 3 100 ， 即生活区 ABE 面积的最大值为 227 3 100 km .