云南省红河州2019-2020学年高二下学期期末考试教学质量监测数学（文）试题 Word版含解析 20页

红河州2020年中小学教学质量监测 高二文科数学试题卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考试结束后，将答题卡交回.满分150分，考试用时120分钟.‎ 注意事项：‎ ‎1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、班级、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并将条形码准确粘贴在条形码区域内.‎ ‎2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.答在试卷上的答案无效.‎ 第Ⅰ卷（选择题共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.‎ ‎1. 设集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出集合A，B，然后再求交集即可 ‎【详解】解：由得：，所以 由得：，所以 所以.‎ 故选：D ‎【点睛】此题考查集合的交集运算，考查对数不等式的法，考查分式不等式的解法，属于基础题 ‎2. 复数（i为虚数单位）的虚部为（ ）‎ A. B. C. D. 3‎ - 20 -‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先把化简，从而可求得答案 ‎【详解】解：因为，所以虚部为.‎ 故选：A ‎【点睛】此题考查复数的运算和复数的有关概念，属于基础题 ‎3. 执行如图所示的程序框图，则输出i的值是（ ）‎ ‎ ‎ A. 4 B. 5 C. 6 D. 7‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算S的值并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ ‎【详解】初始值：，，‎ 第一次循环：，，不符合“”继续循环；‎ 第二次循环：，，不符合“”继续循环;‎ 第三次循环：，，不符合“”继续循环；‎ - 20 -‎ 第四次循环：，，符合“”退出循环；故输出.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．‎ ‎4. 已知碳14是一种放射性元素，在放射过程中，质量会不断减少.已知1克碳14经过5730年，质量经过放射消耗到0.5克，则再经过多少年，质量可放射消耗到0.125克.（ ）‎ A. 5730 B. 11460 C. 22920 D. 45840‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题知，碳14的半衰期为5730年，要使其质量从0.5克消耗到0.125克，则再经历两个半衰期即可．‎ ‎【详解】由题意可得：碳14的半衰期为5730年，则过5730年后，质量从0.5克消耗到0.25克，过11460年后，质量可消耗到0.125克.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查函数的实际应用，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．‎ ‎5. 已知数列的前n项和为，，，，则正整数n的值为（ ）‎ A. 6 B. 4 C. 3 D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可知为等比数列，根据等比数列的通项公式和求和公式，代入即可得解.‎ ‎【详解】由得数列是以1为首项，‎ ‎2为公比的等比数列，‎ 故 由得，‎ - 20 -‎ 解得，即.‎ ‎【点睛】本题考查了由数列的递推关系证明等比数列，考查了等比数列的通项公式和等比数列的求和公式，同时考查了计算能力，属于简单题.‎ ‎6. 已知向量，且与的夹角是，则x的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由两个向量的夹角公式直接计算即可.‎ ‎【详解】因为向量的夹角是，所以，解得.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查两个向量夹角公式的应用，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎7. 设抛物线的焦点为F，过F且斜率为1的直线与抛物线相交于A，B两点，若线段的中点为E，O为坐标原点，且，则（ ）‎ A. 2 B. 3 C. 6 D. 12‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用点差法求解，设，由题意得，相减化简得，得，因为E在直线上，所以，再由，可求得 ‎【详解】解：由题意可知，则直线为，‎ - 20 -‎ 设，由题意得，相减得：‎ ‎，‎ 因为E为线段的中点，所以，即，‎ 因为E在直线上，所以，‎ 又因为，所以.‎ 故选：A ‎【点睛】此题考查直线与抛物线的位置关系，考查点差法的应用，属于基础题 ‎8. 已知直线是圆的一条对称轴，若点，B为圆C上任意的一点，则线段长度的最小值为（ ）‎ A. B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由直线是圆的一条对称轴，求得，得到点，再结合圆的性质，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，圆，可得圆心，半径为 ‎ 因为直线是圆的一条对称轴，‎ 则在直线上，即，解得，‎ 所以，则，‎ 所以线段长度的最小值为.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系及其应用，其中解答中熟练应用直线与圆的位置关系求得的值，转化为点与圆的位置关系，结合圆的性质求解是解得关键，着重考查转化思想，以及计算能力.‎ - 20 -‎ ‎9. 某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的体积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由三视图知该几何体为棱锥,其中平面ABCD,‎ 此三棱锥的体积.故选A . ‎ ‎10. 已知函数，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件判断函数的奇偶性和单调性，利用函数的奇偶性单调性进行判断即可.‎ ‎【详解】定义域为R，且，‎ - 20 -‎ 即，函数为奇函数，又在上为增函数 所以是R上单调递增的奇函数，‎ 因为，所以.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查函数值的大小比较，考查函数奇偶性和单调性性质的应用，属于基础题.‎ ‎11. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，的面积为10，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由同角公式求出，根据三角形面积公式求出，根据余弦定理求出，根据正弦定理求出.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 因为，的面积为10，所以，故，‎ 从而，解得，‎ 由正弦定理得：.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了同角公式，考查了三角形面积公式，考查了余弦定理，考查了正弦定理，属于基础题.‎ ‎12. 已知函数，其图象的相邻两条对称轴间的距离为，且满足，则的解析式为（ ）‎ - 20 -‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题设条件，求得函数的周期，得到，再由，得出为的一条对称轴，求得，即可求得函数的解析式.‎ ‎【详解】由题意得图象的相邻两条对称轴间的距离为，‎ 可得，所以，所以，‎ 又由，可得为的一条对称轴，‎ 所以，解得，‎ 又因为，所以，‎ 所以函数的解析式为 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，准确计算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 《数术记遗》相传是汉末徐岳（约公元2世纪）所著.该书主要记述了：积算（即筹算）、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算、计数共14种计算方法.某研究学习小组共6人，他们搜集整理该14种算法的相关资料所花费的时间（单位：）分别为：93，93，88，81，9，91则这组时间数据的标准差为___________.‎ - 20 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由搜集算法所费的时间的数据，求得数据的平均数，再结合方差的计算公式，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，搜集算法所费的时间的数据，‎ 可得数据的平均数为，‎ 所以方差为，‎ 所以标准差.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了数据的平均数和方差的计算，其中解答中熟记数据的平均数和方差的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.‎ ‎14. 已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则该双曲线的离心率为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线的一条渐近线与直线平行，求得，进而求得双曲线的离心率，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为，‎ 因为双曲线的一条渐近线与直线平行，‎ 可得，即，则.‎ 故答案：.‎ ‎【点睛】‎ - 20 -‎ 本题主要考查了双曲线的标准方程及其几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查运算与求解能力.‎ ‎15. 已知函数，若，都有：，则实数的最小值是___________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知等价转化恒成立关系后，构造新函数由其单调性再次转化为其导函数大于等于零恒成立问题，变量分离求最值可得.‎ ‎【详解】不妨设，因为在上单调递减，则，‎ 故，‎ 记，‎ 则在区间上单调递增，所以在上恒成立，‎ 所以，故k的最小值为1.‎ 故答案为:1‎ ‎【点睛】等价转化是解决问题的途径，构造新函数是关键，此题属于难题.‎ ‎16. 已知函数，则下述四个结论正确的是___________.‎ ‎①的图象关于y轴对称；②是的一个周期；‎ ‎③在上单调递减；④的值域是.‎ ‎【答案】②④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数奇偶性的定义，可判定①错误；根据函数的周期性的定义，可判定②正确；利用导数与函数的关系，可判定③错误；根据函数的几何意义，结合直线与圆的位置关系，可判定 - 20 -‎ ‎④正确.‎ ‎【详解】由题意，函数的定义域为关于原点对称，‎ 且满足，所以奇函数，‎ 可得函数的图象关于原点对称，故①错误；‎ 由，可得是的一个周期，故②正确；‎ 因为，‎ 令，解得，‎ 当，，是增函数；‎ 当，，是减函数，故③错误；‎ 由函数可化为，可看成点与连线的斜率，‎ 即圆心为原点的单位圆上的点与所在直线的斜率的取值范围，‎ 可得，故④正确.‎ 综上可得，正确结论为②④.‎ 故答案为：②④.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的判定及应用，以及利用导数求解函数的单调区间，其中解答中熟练函数的基本性质的判定方法，以及熟记导数在函数中的应用是解答的关键，着重考查推理与论证能力.‎ 三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17. 已知数列是首项为1，公差是4的等差数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式及前n项和；‎ - 20 -‎ ‎（2）设，求数列的前n项和.‎ ‎【答案】（1）；；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接代入等差数列的通项公式和前项和公式；‎ ‎（2）由（1）求得，再用错位相减法求和即可.‎ ‎【详解】（1）因所以.‎ 所以；‎ ‎（2）由（1）得：‎ 所以 故 因此 所以.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式、前项和公式，错位相减法求和.‎ ‎18. 为调查某学校胖瘦程度不同（通过体重指数值的计算进行界定）的学生是否喜欢吃高热量的食物，从该校调查了300名偏胖与偏瘦的学生，结果如下：‎ 胖瘦程度 是否喜欢 偏胖 偏瘦 喜欢 ‎60‎ ‎100‎ 不喜欢 ‎30‎ ‎110‎ ‎（1）能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为该校学生是否喜欢吃高热量的食物与胖瘦程度有关？请说明理由；‎ ‎（2）已知该校的甲、乙两人约定到食堂吃午饭，两人都在11：30至12：30的任意时刻到达，求甲比乙早到至少20分钟的概率.‎ - 20 -‎ 附：‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）能；答案详见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由公式计算出，与已知表中的数据做参考，求得答案；‎ ‎（2）求出图中正方向的面积，再求出图中阴影部分的面积，根据几何概型概率求出答案即可.‎ ‎【详解】（1），‎ 由于，故能在犯错误概率不超过0.010的前提下认为该校学生是否喜欢吃高热量的食物与胖瘦程度有关；‎ ‎（2）设甲、乙到达食堂的时刻分别为x，y，则可有，其表示的区域记为D，‎ 表示的区域记为，作图得：‎ - 20 -‎ 则甲比乙早到至少钟的概率.‎ ‎【点睛】本题考查列联表，要正确运用参考值；考查几何概型用面积求概率.‎ ‎19. 如图，在棱长为1的正方体中，点E，F分别为线段，上的动点.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）当点F与点重合时，求四面体的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）要证，只要证垂直于所在平面即可；‎ ‎（2）又因为平面，所以点E到平面的距离与点A到平面的距离相等，转化成求四面体的体积，即可得解.‎ - 20 -‎ ‎【详解】证明：（1）连接交于点O，因为四边形为正方形，‎ 所以，又因为平面，‎ 所以，又，‎ 所以平面.因为平面，‎ 所以；‎ ‎（2）因为点F与点重合，所以，‎ 又因为平面，‎ 所以点E到平面的距离与点A到平面的距离相等，‎ 又因为平面，‎ 所以线段即为四面体的高，‎ 所以，‎ 故四面体的体积为.‎ ‎【点睛】本题考查了线线、线面垂直的证明，考查了利用转化思想求四面体体积，同时考查了逻辑推理能力，属于较难题.‎ ‎20. 已知函数.‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）讨论函数的零点的个数.‎ ‎【答案】（1）单调递增区间是，单调递减区间为；（2）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 20 -‎ ‎（1）本题首先可根据题意得出，然后分别令以及，通过计算即可得出结果；‎ ‎（2）本题首先可将转化为，然后记，求出函数的单调性以及最值，最后根据函数的单调性以及最值即可得出结果.‎ ‎【详解】（1）当时，，，‎ 令，则；令，则；‎ 故函数的单调递增区间是，单调递减区间为；‎ ‎（2）令，因为，所以，‎ 记，有，‎ 令，则；令，则，‎ 故在上单调递增，在上单调递减，从而，‎ 因此当时，直线与的图像没有交点；‎ 当或时，直线与的图像有1个交点；‎ 当时，直线与的图像有2个交点.‎ 综上：当时，函数没有零点；当或时，函数有1个零点；‎ 当时，函数有2个零点.‎ ‎【点睛】本题考查函数单调区间的求法以及函数零点个数的判断，可通过构造函数以及利用函数单调性和最值来判断函数零点，考查导函数的灵活应用，考查计算能力，是中档题.‎ ‎21. 已知椭圆的离心率为，且过点.‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）若不过原点的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，O为坐标原点，直线的斜率依次成等比数列，求面积的最大值.‎ - 20 -‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据条件可建立方程求出，即可写出标准方程；‎ ‎（2）设l方程为：，，，根据直线的斜率依次成等比数列，可得出，联立直线与椭圆，结合韦达定理可求出，继而得出，则可求出最大值.‎ ‎【详解】（1）由题意可得，解得，‎ 故椭圆的标准方程为：；‎ ‎（2）由题意得直线l的斜率存在且不为0，设l方程为：，，因为直线的斜率依次成等比数列，所以：‎ ‎，即：，故，从而①‎ 联立得：，‎ 由得，又由韦达定理得：‎ ‎②‎ - 20 -‎ 由①②得：，故（*）‎ 所以，‎ 且原点O到直线l的距离：，‎ ‎，当且仅当，，且满足（*）式：；此时：.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆中三角形面积的最值问题，属于较难题.‎ 选考题：请考生在第22、23两道题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22. 在直角坐标系中，直线l的参数方程为：（t为参数），曲线C的参数方程为：（为参数）.‎ ‎（1）求直线l与曲线C的普通方程；‎ ‎（2）设直线l与曲线C交于M，N两点，求线段的长度.‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据直线l和曲线C参数方程，消去参数，即可求得直线和曲线的普通方程；‎ ‎（2）将直线参数方程的标准形式代入曲线，利用参数的几何意义即可求解.‎ ‎【详解】（1）由直线l的参数方程为：（t为参数），‎ 得直线l的普通方程为：，‎ - 20 -‎ 由曲线C的参数方程为：（为参数），‎ 得曲线C的普通方程为：；‎ ‎（2）直线l的参数方程的标准形式为：（t为参数）‎ 将其代入曲线方程化简得：，‎ 解得：，由t的几何意义可得：.‎ ‎【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查直线参数的几何意义，属于基础题.‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23. 设函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若不等式对一切实数x均成立，求实数m的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分类讨论后，分段求不等式；‎ ‎（2）由不等式恒成立，即恒成立，‎ 再根据三角不等式求得的最小值，即可得解.‎ ‎【详解】解：（1），‎ 或或 - 20 -‎ 或或，‎ 故原不等式的解集为；‎ ‎（2）不等式恒成立恒成立 恒成立 又因为 所以，解得，故实数m的取值范围为：.‎ ‎【点睛】【点睛】‎ 本题考查了利用分类讨论解绝对值不等式，考查了恒成立问题和利用绝对值的三角不等式求最值，同时考查了计算能力，属于中档题.‎ - 20 -‎