2021届高考数学一轮复习第二章函数概念及基本初等函数Ⅰ第3节函数的奇偶性与周期性课件新人教A版 51页

第 3 节　函数的奇偶性与周期性 考试要求　 1. 结合具体函数，了解函数奇偶性的含义； 2. 会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性； 3. 了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性 . 知 识 梳 理 f ( － x ) ＝ f ( x ) 1. 函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数 f ( x ) 的定义域内任意一个 x ，都有 ______________ ，那么函数 f ( x ) 是偶函数 关于 _______ 对称 奇函数 如果对于函数 f ( x ) 的定义域内任意一个 x ，都有 ______________ ，那么函数 f ( x ) 是奇函数 关于 _______ 对称 y 轴 f ( － x ) ＝－ f ( x ) 原点 2. 函数的周期性 (1) 周期函数：对于函数 y ＝ f ( x ) ，如果存在一个非零常数 T ，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 ________________ ，那么就称函数 y ＝ f ( x ) 为周期函数，称 T 为这个函数的周期 . (2) 最小正周期：如果在周期函数 f ( x ) 的所有周期中 _______________ 的正数，那么这个最小正数就叫做 f ( x ) 的 _______ 正周期 . f ( x ＋ T ) ＝ f ( x ) 存在一个最小 最小 [ 常用结论与微点提醒 ] 1.(1) 如果一个奇函数 f ( x ) 在原点处有定义，即 f (0) 有意义，那么一定有 f (0) ＝ 0. (2) 如果函数 f ( x ) 是偶函数，那么 f ( x ) ＝ f (| x |). 2. 奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性 . 3. 函数周期性常用结论 4. 对称性的三个常用结论 (1) 若函数 y ＝ f ( x ＋ a ) 是偶函数，则函数 y ＝ f ( x ) 的图象关于直线 x ＝ a 对称 . (2) 若对于 R 上的任意 x 都有 f (2 a － x ) ＝ f ( x ) 或 f ( － x ) ＝ f (2 a ＋ x ) ，则 y ＝ f ( x ) 的图象关于直线 x ＝ a 对称 . (3) 若函数 y ＝ f ( x ＋ b ) 是奇函数，则函数 y ＝ f ( x ) 的图象关于点 ( b ， 0) 中心对称 . 诊 断 自 测 1. 判断下列结论正误 ( 在括号内打 “√” 或 “×” ) 解析 　 (1) 由于偶函数的定义域关于原点对称，故 y ＝ x 2 在 (0 ，＋ ∞ ) 上不具有奇偶性， (1) 错 . (2) 由奇函数定义可知，若 f ( x ) 为奇函数，其在 x ＝ 0 处有意义时才满足 f (0) ＝ 0 ， (2) 错 . 答案 　 (1) × 　 (2) × 　 (3) √ 　 (4) √ 2. ( 新教材必修第一册 P84 例 6 改编 ) 下列函数中为偶函数的是 ( 　　 ) A. y ＝ x 2 sin x B. y ＝ x 2 cos x C. y ＝ |ln x | D. y ＝ 2 － x 解析 　根据偶函数的定义知偶函数满足 f ( － x ) ＝ f ( x ) 且定义域关于原点对称， A 选项为奇函数； B 选项为偶函数； C 选项定义域为 (0 ，＋ ∞ ) ，不具有奇偶性； D 选项既不是奇函数，也不是偶函数 . 答案 　 B 答案　 1 4. (2020· 济南一中月考 ) 已知 f ( x ) ＝ ax 2 ＋ bx 是定义在 [ a － 1 ， 2 a ] 上的偶函数，那么 a ＋ b 的值是 ( 　　 ) 答案　 B 5. (2019· 全国 Ⅱ 卷 ) 设 f ( x ) 为奇函数，且当 x ≥ 0 时， f ( x ) ＝ e x － 1 ，则当 x <0 时， f ( x ) ＝ ( 　　 ) A.e － x － 1 B.e － x ＋ 1 C. － e － x － 1 D. － e － x ＋ 1 解析　 由题意知，当 x <0 时， f ( x ) ＝－ f ( － x ) ＝－ (e － x － 1) ＝－ e － x ＋ 1. 答案　 D 6. (2020· 衡水中学调研 ) 已知定义在 R 上的偶函数 f ( x ) ，满足 f ( x ＋ 2) ＝ f ( x ) ，当 x ∈ [0 ， 1] 时， f ( x ) ＝ e x － 1 ，则 f ( － 2 017) ＋ f (2 018) ＝ ________. 解析　 由 f ( x ＋ 2) ＝ f ( x ) 可知，函数 f ( x ) 的周期为 2 ，又 f ( x ) 为偶函数， ∴ f ( － 2 017) ＋ f (2 018) ＝ f ( － 2 016 － 1) ＋ f (0) ＝ f ( － 1) ＋ f (0) ＝ f (1) ＋ f (0) ＝ e － 1. 答案　 e － 1 考点一　函数的奇偶性及其应用　 多维探究 角度 1 　函数奇偶性的判断 【例 1 － 1 】 判断下列函数的奇偶性： 因此 f ( － x ) ＝－ f ( x ) 且 f ( － x ) ＝ f ( x ) ， ∴ 函数 f ( x ) 既是奇函数又是偶函数 . (2) 显然函数 f ( x ) 的定义域为 ( － ∞ ， 0) ∪ (0 ，＋ ∞ ) ，关于原点对称 . ∵ 当 x <0 时，－ x >0 ， 则 f ( － x ) ＝－ ( － x ) 2 － x ＝－ x 2 － x ＝－ f ( x ) ； 当 x >0 时，－ x <0 ， 则 f ( － x ) ＝ ( － x ) 2 － x ＝ x 2 － x ＝－ f ( x ) ； 综上可知：对于定义域内的任意 x ，总有 f ( － x ) ＝－ f ( x ) 成立， ∴ 函数 f ( x ) 为奇函数 . (3) 显然函数 f ( x ) 的定义域为 R ， 故 f ( x ) 为奇函数 . 规律方法　 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1) 定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2) 判断 f ( x ) 与 f ( － x ) 是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式 ( f ( x ) ＋ f ( － x ) ＝ 0( 奇函数 ) 或 f ( x ) － f ( － x ) ＝ 0( 偶函数 )) 是否成立 . 角度 2 　函数奇偶性的应用 A.2 B.1 C.6 D.3 (2) 已知 f ( x ) 为定义在 R 上的奇函数，当 x ≥ 0 时， f ( x ) ＝ 2 x ＋ m ，则 f ( － 3) ＝ ________. (2) 因为 f ( x ) 为 R 上的奇函数，所以 f (0) ＝ 0 ， 即 f (0) ＝ 2 0 ＋ m ＝ 0 ，解得 m ＝－ 1 ， 故 f ( x ) ＝ 2 x － 1( x ≥ 0) ， 则 f ( － 3) ＝－ f (3) ＝－ (2 3 － 1) ＝－ 7. 答案　 (1)C 　 (2) － 7 规律方法　 利用函数奇偶性可以解决以下问题： (1) 求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值 . (2) 求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出 . (3) 求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据 f ( x )± f ( － x ) ＝ 0 得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得方程 ( 组 ) ，进而得出参数的值 . (4) 画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象 . (5) 求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值 . A. 与 a 无关，且与 b 无关 B. 与 a 有关，且与 b 有关 C. 与 a 有关，但与 b 无关 D. 与 a 无关，但与 b 有关 (2) ( 角度 2) 若 f ( x ) ＝ ln(e 3 x ＋ 1) ＋ ax 是偶函数，则 a ＝ ________. 所以 f ( x ) 一定不是偶函数； 设 f ( x ) 为奇函数，则由奇函数的定义知 f ( － x ) ＋ f ( x ) ＝ 0. 即当 b ＝ 1 时， f ( x ) 为奇函数， 当 b ≠ 1 时， f ( x ) 为非奇非偶函数， 所以 f ( x ) 的奇偶性与 a 无关，但与 b 有关 . (2) 由于 f ( － x ) ＝ f ( x ) ， 即 ln(e － 3 x ＋ 1) － ax ＝ ln(e 3 x ＋ 1) ＋ ax ， 化简得 2 ax ＋ 3 x ＝ 0( x ∈ R ) ，则 2 a ＋ 3 ＝ 0 ， 考点二　函数的周期性及其应用 解析　 (1) 因为 f ( x ＋ 2π) ＝ f ( x ) ，所以 f ( x ) 的周期为 2π. (2) 由题意，得 f (1) ＝ f (4) ＝ 11 ， f (2) ＝ 5 ， f (3) ＝ 8. 故 f (1) ＋ f (2) ＋ f (3) ＝ 24 ， 所以 f (1) ＋ f (2) ＋ f (3) ＋ … ＋ f (100) ＝ 33 × [ f (1) ＋ f (2) ＋ f (3)] ＋ f (33 × 3 ＋ 1) ＝ 803. 答案　 (1)C 　 (2)803 规律方法　 1. 注意周期性的常见表达式的应用 . 2. 根据函数的周期性，可以由函数局部的解析式 ( 或函数值 ) 得到整个定义域内的解析式 ( 或相应的函数值 ). (2) 已知 f ( x ) 是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0 ≤ x <2 时， f ( x ) ＝ x 3 － x ，则函数 y ＝ f ( x ) 的图象在区间 [0 ， 6] 上与 x 轴的交点个数为 ________. (2) 因为当 0 ≤ x <2 时， f ( x ) ＝ x 3 － x . 又 f ( x ) 是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且 f (0) ＝ 0 ， 则 f (6) ＝ f (4) ＝ f (2) ＝ f (0) ＝ 0. 又 f (1) ＝ 0 ， ∴ f (3) ＝ f (5) ＝ f (1) ＝ 0 ， 故函数 y ＝ f ( x ) 的图象在区间 [0 ， 6] 上与 x 轴的交点有 7 个 . 考点三　函数性质的综合运用　 多维探究 角度 1 　函数的单调性与奇偶性 【例 3 － 1 】 (1) 已知奇函数 f ( x ) 在 R 上是增函数， g ( x ) ＝ xf ( x ). 若 a ＝ g ( － log 2 5.1) ， b ＝ g (2 0.8 ) ， c ＝ g (3) ，则 a ， b ， c 的大小关系为 ( 　　 ) 解析　 (1) 易知 g ( x ) ＝ xf ( x ) 在 R 上为偶函数， ∵ 奇函数 f ( x ) 在 R 上是增函数，且 f (0) ＝ 0. ∴ g ( x ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上是增函数 . 又 3>log 2 5.1>2>2 0.8 ，且 a ＝ g ( － log 2 5.1) ＝ g (log 2 5.1) ， ∴ g (3)> g (log 2 5.1)> g (2 0.8 ) ，则 c > a > b . (2) 由已知得函数 f ( x ) 为偶函数，所以 f ( x ) ＝ f (| x |) ， 由 f ( x )> f (2 x － 1) ，可得 f (| x |)> f (|2 x － 1|). 由 f (| x |)> f (|2 x － 1| ，可得 | x |>|2 x － 1| ， 规律方法　 1. 比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小； 2. 对于抽象函数不等式的求解，应变形为 f ( x 1 )> f ( x 2 ) 的形式，再结合单调性，脱去法则 “ f ” 变成常规不等式，如 x 1 < x 2 ( 或 x 1 > x 2 ) 求解 . 角度 2 　函数的奇偶性与周期性 【例 3 － 2 】 (1) (2020· 德州联考 ) 已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足 f ( x ＋ 2) ＝－ f ( x ) ，当 0 ≤ x ≤ 1 时， f ( x ) ＝ x 2 ，则 f (2 023) ＝ ( 　　 ) A.2019 2 B.1 C.0 D. － 1 解析　 (1) 根据题意，函数 f ( x ) 满足 f ( x ＋ 2) ＝－ f ( x ) ，则有 f ( x ＋ 4) ＝－ f ( x ＋ 2) ＝ f ( x ) ，即函数是周期为 4 的周期函数，则 f (2 023) ＝ f ( － 1 ＋ 2 024) ＝ f ( － 1) ，又函数 y ＝ f ( x ) 为奇函数，且 x ∈ [0 ， 1] 时， f ( x ) ＝ x 2 ，则 f ( － 1) ＝－ f (1) ＝－ 1 ，故 f (2 023) ＝－ 1. 答案　 (1)D 　 (2)A 规律方法　 1. 周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解 . 2. 函数 f ( x ) 满足的关系 f ( a ＋ x ) ＝ f ( b － x ) 表明的是函数图象的对称性，函数 f ( x ) 满足的关系 f ( a ＋ x ) ＝ f ( b ＋ x )( a ≠ b ) 表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆 . 【训练 3 】 (1) ( 角度 1) 已知定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 在 [0 ，＋ ∞ ) 上单调递增，若 f (ln x )< f (2) ，则 x 的取值范围是 ( 　　 ) A.(0 ， e 2 ) B.(e － 2 ，＋ ∞ ) C.(e 2 ，＋ ∞ ) D.(e － 2 ， e 2 ) (2) ( 角度 2) 已知奇函数 f ( x ) 的图象关于直线 x ＝ 3 对称，当 x ∈ [0 ， 3] 时， f ( x ) ＝－ x ，则 f ( － 16) ＝ ________. 解析　 (1) 根据题意知， f ( x ) 为偶函数且在 [0 ，＋ ∞ ) 上单调递增， 则 f (ln x )< f (2) ⇔ |ln x |<2 ，即－ 23 的解集为 ( 　　 ) A.( － ∞ ，－ 2) ∪ (2 ，＋ ∞ ) B.( － ∞ ，－ 4) ∪ (4 ，＋ ∞ ) C.( － 2 ， 2) D.( － 4 ， 4) 解析　 由题意， f (0) ＝ log 2 2 ＋ b ＝ 0 ，解得 b ＝－ 1. 所以 f ( x ) ＝ log 2 ( x ＋ 2) ＋ x － 1 ， f (2) ＝ 3 ，且在 R 上单调递增，又 | f ( x )|>3 ，所以 | f ( x )|> f (2) ，即 f ( x )> f (2) 或 f ( x )< f ( － 2) ，解得 x >2 或 x < － 2. 答案　 A 数学运算 —— 活用函数性质中 “ 三个二级 ” 结论 数学运算是解决数学问题的基本手段，通过运算能够促进学生数学思维的发展 . 通过常见的 “ 二级结论 ” 解决数学问题，可优化数学运算的过程，使学生逐步形成规范化、程序化的思维品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神 . 类型 1 　奇函数的最值性质 已知函数 f ( x ) 是定义在区间 D 上的奇函数，则对任意的 x ∈ D ，都有 f ( x ) ＋ f ( － x ) ＝ 0. 特别地，若奇函数 f ( x ) 在 D 上有最值，则 f ( x ) max ＋ f ( x ) min ＝ 0 ，且若 0 ∈ D ，则 f (0) ＝ 0. 解析　 显然函数 f ( x ) 的定义域为 R ， ∴ g ( x ) 为奇函数， 由奇函数图象的对称性知 g ( x ) max ＋ g ( x ) min ＝ 0 ， ∴ M ＋ m ＝ [ g ( x ) ＋ 1] max ＋ [ g ( x ) ＋ 1] min ＝ 2 ＋ g ( x ) max ＋ g ( x ) min ＝ 2. 答案 　 2 类型 2 　抽象函数的周期性 【例 2 】 已知函数 f ( x ) 为定义在 R 上的奇函数，当 x ≥ 0 时，有 f ( x ＋ 3) ＝－ f ( x ) ，且当 x ∈ (0 ， 3) 时， f ( x ) ＝ x ＋ 1 ，则 f ( － 2 023) ＋ f (2 024) ＝ ( 　　 ) A.3 B.2 C.1 D.0 解析　 因为函数 f ( x ) 为定义在 R 上的奇函数，所以 f ( － 2 023) ＝－ f (2 023) ， 因为当 x ≥ 0 时，有 f ( x ＋ 3) ＝－ f ( x ) ，所以 f ( x ＋ 6) ＝－ f ( x ＋ 3) ＝ f ( x ) ， 即当 x ≥ 0 时，自变量的值每增加 6 ，对应函数值重复出现一次 . 又当 x ∈ (0 ， 3) 时， f ( x ) ＝ x ＋ 1 ， ∴ f (2 023) ＝ f (337 × 6 ＋ 1) ＝ f (1) ＝ 2 ， f (2 024) ＝ f (337 × 6 ＋ 2) ＝ f (2) ＝ 3. 故 f ( － 2 023) ＋ f (2 024) ＝－ f (2 023) ＋ 3 ＝ 1. 答案 　 C 类型 3 　抽象函数的对称性 【例 3 】 已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 在 [1 ，＋ ∞ ) 上单调递减，且 f ( x ＋ 1) 是偶函数，不等式 f ( m ＋ 2) ≥ f ( x － 1) 对任意的 x ∈ [ － 1 ， 0] 恒成立，则实数 m 的取值范围是 ( 　　 ) A.[ － 3 ， 1] B.( － ∞ ，－ 3) ∪ [1 ，＋ ∞ ) C.[ － 4 ， 2] D.( － ∞ ，－ 4] ∪ [2 ，＋ ∞ ) 解析　 由于 f ( x ＋ 1) 是偶函数，所以 f ( － x ＋ 1) ＝ f ( x ＋ 1) ， 因此函数 y ＝ f ( x ) 的图象关于 x ＝ 1 对称 . 由 f ( x ) 在 [1 ，＋ ∞ ) 上递减，知 f ( x ) 在 ( － ∞ ， 1] 上递增 . 又 x ∈ [ － 1 ， 0] ，知 x － 1 ∈ [ － 2 ，－ 1] ， ① 当 m ＋ 2 ≤ 1 ，即 m ≤ － 1 时， f ( m ＋ 2) ≥ f ( x － 1) 对 x ∈ [ － 1 ， 0] 恒成立， 则有 m ＋ 2 ≥ x － 1 对 x ∈ [ － 1 ， 0] 恒成立， ∴ － 3 ≤ m ≤ － 1 ， ② 当 m ＋ 2>1 ，即 m > － 1 时， f ( m ＋ 2) ≥ f ( x － 1) ＝ f (3 － x ) ， 则有 m ＋ 2 ≤ 3 － x 对 x ∈ [ － 1 ， 0] 恒成立，则－ 1< m ≤ 1 ， 由以上知，实数 m 的取值范围是 [ － 3 ， 1]. 答案　 A 【例 4 】 函数 y ＝ f ( x ) 对任意 x ∈ R 都有 f ( x ＋ 2) ＝ f ( － x ) 成立，且函数 y ＝ f ( x － 1) 的图象关于点 (1 ， 0) 对称， f (1) ＝ 4 ，则 f (2 020) ＋ f (2 021) ＋ f (2 022) 的值为 ________. 解析 　因为函数 y ＝ f ( x － 1) 的图象关于点 (1 ， 0) 对称， 所以函数 y ＝ f ( x ) 的图象关于原点对称，即函数 f ( x ) 是 R 上的奇函数， 所以 f ( x ＋ 2) ＝－ f ( x ) ，所以 f ( x ＋ 4) ＝－ f ( x ＋ 2) ＝ f ( x ) ，故 f ( x ) 的周期为 4. 所以 f (2 021) ＝ f (505 × 4 ＋ 1) ＝ f (1) ＝ 4 ， 所以 f (2 020) ＋ f (2 022) ＝ f (2 020) ＋ f (2 020 ＋ 2) ＝ f (2 020) ＋ f ( － 2 020) ＝ f (2 020) － f (2 020) ＝ 0 ， 所以 f (2 020) ＋ f (2 021) ＋ f (2 022) ＝ 4. 答案 　 4