高科数学专题复习课件：第十三章 13_1合情推理与演绎推理 67页

§13.1 　 合情推理与演绎推理 基础知识 　 自主学习 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 1. 合情推理 知识梳理 (1) 归纳推理 ① 定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类 事物的 _____ 对象 都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括 出 的 推理，称为归纳推理 ( 简称归纳 ). ② 特点： 由 到 整体、 由 到 一般的推理 . 全部 一般结论 部分 个别 (2) 类比推理 ① 定义：由两类对象具有 某些 和 其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理 ( 简称类比 ). ② 特点： 由 到 的 推理 . (3) 合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳 、 ， 然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理 . 类似 特征 特殊 特殊 类比 (1) 演绎推理 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理 . 简言之，演绎推理是 由 到 的 推理 . (2) “ 三段论 ” 是演绎推理的一般模式，包括： ① 大前提 —— 已知 的 ； ② 小前提 —— 所研究 的 ； ③ 结论 —— 根据一般原理， 对 做出 的判断 . 2. 演绎推理 一般 特殊 一般原理 特殊情况 特殊情况 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确 .( 　　 ) (2) 由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理 .( 　　 ) (3) 在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适 .( 　　 ) 思考辨析 × √ × (4) “ 所有 3 的倍数都是 9 的倍数，某数 m 是 3 的倍数，则 m 一定是 9 的倍数 ” ，这是三段论推理，但其结论是错误的 .( 　　 ) (5) 一个数列的前三项是 1,2,3 ，那么这个数列的通项公式是 a n ＝ n ( n ∈ N * ).( 　　 ) (6) 在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确 .( 　　 ) √ × × 考点自测 1. 观察下列各式： a ＋ b ＝ 1 ， a 2 ＋ b 2 ＝ 3 ， a 3 ＋ b 3 ＝ 4 ， a 4 ＋ b 4 ＝ 7 ， a 5 ＋ b 5 ＝ 11 ， … ，则 a 10 ＋ b 10 等于 A.28 B.76 C.123 D.199 答案 解析 从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值 ， 从 第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，依据此规律， a 10 ＋ b 10 ＝ 123. 答案 解析 2. 下面几种推理过程是演绎推理的是 A. 在数列 { a n } 中， a 1 ＝ 1 ， a n ＝ ( a n － 1 ＋ )( n ≥ 2) ，由此归纳数列 { a n } 的 通项公式 B. 由平面三角形的性质，推测空间四面体性质 C. 两直线平行，同旁内角互补，如果 ∠ A 和 ∠ B 是两条平行直线与 第 三 条直线形成的同旁内角，则 ∠ A ＋ ∠ B ＝ 180° D. 某校高二共 10 个班， 1 班 51 人， 2 班 53 人， 3 班 52 人，由此推测各 班 都 超过 50 人 A 、 D 是归纳推理， B 是类比推理， C 符合三段论模式，故选 C. 3.(2017· 济南 调研 ) 类比平面内 “ 垂直于同一条直线的两条直线互相平行 ” 的性质，可得出空间内的下列结论： ① 垂直于同一个平面的两条直线互相平行； ② 垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ③ 垂直于同一个平面的两个平面互相平行； ④ 垂直于同一条直线的两个平面互相平行 . 则正确的结论是 ________. 答案 解析 ①④ 显然 ①④ 正确；对于 ② ，在空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，也可以异面或相交 ； 对于 ③ ，在空间中垂直于同一个平面的两个平面可以平行，也可以相交 . 4.( 教材改编 ) 在等差数列 { a n } 中，若 a 10 ＝ 0 ，则有 a 1 ＋ a 2 ＋ … ＋ a n ＝ a 1 ＋ a 2 ＋ … ＋ a 19 － n ( n <19 ， n ∈ N * ) 成立，类比上述性质，在等比数列 { b n } 中，若 b 9 ＝ 1 ，则存在的等式为 _____ __ ___________________________. 答案 解析 利用类比推理，借助等比数列的性质， b 1 b 2 … b n ＝ b 1 b 2 … b 17 － n ( n <17 ， n ∈ N * ) 5.( 2017· 西安 质检 ) 观察下列式子： 1,1 ＋ 2 ＋ 1,1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 2 ＋ 1,1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＋ 3 ＋ 2 ＋ 1 ， … ，由以上可推测出一个一般性结论：对于 n ∈ N * ， 1 ＋ 2 ＋ … ＋ n ＋ … ＋ 2 ＋ 1 ＝ ____. 答案 解析 ∵ 1 ＝ 1 2, 1 ＋ 2 ＋ 1 ＝ 2 2, 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 2 ＋ 1 ＝ 3 2 ， 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＋ 3 ＋ 2 ＋ 1 ＝ 4 2 ， … ， ∴ 归纳可得 1 ＋ 2 ＋ … ＋ n ＋ … ＋ 2 ＋ 1 ＝ n 2 . n 2 题型分类　深度剖析 题型一　归纳推理 命题点 1 　与数字有关的等式的推理 例 1 　 (2016· 山东 ) 观察下列等式： 第 2 个数对应行数 n ，第 3 个数为 n ＋ 1. 答案 解析 命题点 2 　与不等式有关的推理 例 2 　 n n 第一个式子是 n ＝ 1 的情况，此时 a ＝ 1 1 ＝ 1 ； 第二 个式子是 n ＝ 2 的情况，此时 a ＝ 2 2 ＝ 4 ； 第三 个式子是 n ＝ 3 的情况，此时 a ＝ 3 3 ＝ 27 ，归纳可知 a ＝ n n . 答案 解析 命题点 3 　与数列有关的推理 例 3 　 三角形数 N ( n, 3 ) ＝ n 2 ＋ n ， 正方形数 N ( n, 4 ) ＝ n 2 ， 五边形 数 N ( n, 5) ＝ n 2 － n ， 六边形数 N ( n, 6 ) ＝ 2 n 2 － n . … … 答案 解析 可以推测 N ( n ， k ) 的表达式，由此计算 N (10,24) ＝ _______. 1 000 由 N ( n, 4) ＝ n 2 ， N ( n, 6) ＝ 2 n 2 － n ，可以推测：当 k 为偶数时， ＝ 1 100 － 100 ＝ 1 000. 命题点 4 　与图形变化有关的推理 例 4 　 (2017· 大连 调研 ) 某种树的分枝生长规律如图所示，第 1 年到第 5 年的分枝数分别为 1,1,2,3,5 ，则预计第 10 年树的分枝数为 由 2 ＝ 1 ＋ 1,3 ＝ 1 ＋ 2,5 ＝ 2 ＋ 3 知，从第三项起，每一项都等于前两项的和 ， 则 第 6 年为 8 ，第 7 年为 13 ，第 8 年为 21 ，第 9 年为 34 ，第 10 年为 55 ，故选 D. 答案 解析 A.21 B.34 C.52 D.55 归纳推理问题的常见类型及解题策略 (1) 与数字有关的等式的推理 . 观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解 . (2) 与不等式有关的推理 . 观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解 . (3) 与数列有关的推理 . 通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可 . (4) 与图形变化有关的推理 . 合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性 . 思维 升华 跟踪训练 1 　 (1)(2015· 陕西 ) 观察下列等式 ： 据此 规律，第 n 个等式可 为 ______________________________________ _______________. 答案 解析 (2)(2016· 抚顺模拟 ) 观察下图，可推断出 “ x ” 处应该填的数字 是 _____ _ . 答案 解析 183 由前两个图形发现：中间数等于四周四个数的平方和， ∴“ x ” 处应填的数字是 3 2 ＋ 5 2 ＋ 7 2 ＋ 10 2 ＝ 183. 例 5 　 (1)(2017· 西安 月考 ) 对于命题：如果 O 是线段 AB 上一点， 则 ＋ ＝ 0 ；将它类比到平面的情形是：若 O 是 △ ABC 内一点， 有 ＝ 0 ；将它类比到空间的情形应该是：若 O 是四面体 ABCD 内一点，则有 ________________________________ . 题型二　类比推理 线段长度类比到空间为体积，再结合类比到平面的结论， 答案 解析 答案 解析 (1) 进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想 . 其中找到合适的类比对象是解题的关键 .(2) 类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等 . 思维 升华 跟踪训练 2 　 在平面上，设 h a ， h b ， h c 是三角形 ABC 三条边上的高， P 为三角形内任一点， P 到相应三边的距离分别为 P a ， P b ， P c ，我们可以得到 结论： ＝ 1. 把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为 ______________________. 设 h a ， h b ， h c ， h d 分别是三棱锥 A － BCD 四个面上的高， P 为三棱锥 A － BCD 内任一点， P 到相应四个面的距离分别为 P a ， P b ， P c ， P d ， 答案 解析 题型三　演绎推理 例 6 　 设各项均为正数的数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，满足 4 S n ＝ － 4 n － 1 ， n ∈ N * ，且 a 2 ， a 5 ， a 14 构成等比数列 . (1) 证明： a 2 ＝ ； 证明 (2) 求数列 { a n } 的通项公式； 解答 又 a n >0 ， ∴ a n ＋ 1 ＝ a n ＋ 2 ， ∴ 当 n ≥ 2 时， { a n } 是公差为 2 的等差数列 . 又 a 2 ， a 5 ， a 14 成等比数列， 解得 a 2 ＝ 3 . ∴ a n ＝ 2 n － 1. 由 (1) 知 a 1 ＝ 1 ， 又 a 2 － a 1 ＝ 3 － 1 ＝ 2 ， ∴ 数列 { a n } 是首项 a 1 ＝ 1 ，公差 d ＝ 2 的等差数列 . 证明 演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提 . 思维 升华 跟踪训练 3 　 (1) 某国家流传这样的一个政治笑话： “ 鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅 . ” 结论显然是错误的，是 因为 答案 解析 A. 大前提错误 B. 小前提错误 C. 推理形式错误 D. 非以上错误 因为大前提 “ 鹅吃白菜 ” ，不是全称命题，大前提本身正确 ， 小前提 “ 参议员先生也吃白菜 ” 本身也正确 ， 但 不是大前提下的特殊情况，鹅与人不能 类比， 所以 不符合三段论推理形式，所以推理形式错误 . (2)(2016· 洛阳模拟 ) 下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的 是 A. 大前提：无限不循环小数是无理数；小前提： π 是无理数；结论： π 是 无限不循环小数 B. 大前提：无限不循环小数是无理数；小前提： π 是无限不循环小数 ； 结论 ： π 是无理数 C. 大前提： π 是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数 ； 结论 ： π 是无理数 D. 大前提： π 是无限不循环小数；小前提： π 是无理数；结论：无限 不 循环小数 是无理数 答案 解析 A 中小前提不是大前提的特殊情况，不符合三段论的推理形式，故 A 错误； C 、 D 都不是由一般性命题到特殊性命题的推理，所以 C 、 D 都不正确， 只有 B 正确，故选 B. 合 情推理在近年来的高考中，考查频率逐渐增大，题型多为选择、填空题，难度为中档 . 解决此类问题的注意事项与常用方法： (1) 解决归纳推理问题，常因条件不足，了解不全面而致误 . 应由条件多列举一些特殊情况再进行归纳 . (2) 解决类比问题，应先弄清所给问题的实质及已知结论成立的缘由，再去类比另一类问题 . 高考 中的合情推理 问题 高频小考点 10 考点分析 典例 　 (1) 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数 . 他们研究过如图所示的三角形数： 将三角形数 1,3,6,10 ， … 记为数列 { a n } ，将可被 5 整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列 { b n } ，可以推测： ① b 2 014 是数列 { a n } 的第 ________ 项； 答案 解析 5035 … ② b 2 k － 1 ＝ ________.( 用 k 表示 ) 答案 解析 (2) 设 S ， T 是 R 的两个非空子集，如果存在一个从 S 到 T 的函数 y ＝ f ( x ) 满足： (i) T ＝ { f ( x )| x ∈ S } ； (ii) 对任意 x 1 ， x 2 ∈ S ，当 x 1 < x 2 时，恒有 f ( x 1 )< f ( x 2 ). 那么称这两个集合 “ 保序同构 ”. 以下集合对不是 “ 保序同构 ” 的是 ________. ① A ＝ N * ， B ＝ N ； ② A ＝ { x | － 1 ≤ x ≤ 3} ， B ＝ { x | x ＝－ 8 或 0< x ≤ 10} ； ③ A ＝ { x |0< x <1} ， B ＝ R ； ④ A ＝ Z ， B ＝ Q . ④ 答案 解析 对于 ① ，取 f ( x ) ＝ x － 1 ， x ∈ N * ， 所以 A ＝ N * ， B ＝ N 是 “ 保序同构 ” 的，故排除 ① ； 所以 A ＝ { x | － 1 ≤ x ≤ 3} ， B ＝ { x | x ＝－ 8 或 0< x ≤ 10} 是 “ 保序同构 ” 的，故排除 ② ； 对于 ③ ，取 f ( x ) ＝ tan(π x － )(0< x <1) ，所以 A ＝ { x |0< x <1} ， B ＝ R 是 “ 保序同构 ” 的，故排除 ③ . ④ 不符合，故填 ④ . 课时作业 1.(2016· 重庆检测 ) 演绎推理 “ 因为对数函数 y ＝ ( a >0 且 a ≠ 1) 是增函数，而函数 y ＝ 是 对数函数，所以 y ＝ 是 增函数 ” 所得结论错误的原因 是 A. 大前提错误 B . 小前提错误 C. 推理形式错误 D . 大前提和小前提都错误 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ log a x 因为当 a >1 时， y ＝ log a x 在定义域内单调递增 ， 当 0< a <1 时， y ＝ log a x 在定义域内单调递减，所以大前提错误 . 2. 下列推理是归纳推理的 是 A. A ， B 为定点，动点 P 满足 | PA | ＋ | PB | ＝ 2 a >| AB | ，则 P 点的轨迹为椭圆 B. 由 a 1 ＝ 1 ， a n ＝ 3 n － 1 ，求出 S 1 ， S 2 ， S 3 ，猜想出数列的前 n 项和 S n 的 表 达 式 C. 由圆 x 2 ＋ y 2 ＝ r 2 的面积 π r 2 ，猜想出 椭圆 ＝ 1 的面积 S ＝ π ab D. 科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 答案 解析 从 S 1 ， S 2 ， S 3 猜想出数列的前 n 项和 S n ，是从特殊到一般的推理 ， 所以 B 是归纳推理，故应选 B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 3.(2016· 西安八校联考 ) 观察一列算式： 1 ⊗ 1,1 ⊗ 2,2 ⊗ 1,1 ⊗ 3,2 ⊗ 2,3 ⊗ 1, 1 ⊗ 4,2 ⊗ 3, 3 ⊗ 2,4 ⊗ 1 ， … ，则式子 3 ⊗ 5 是第 A.22 项 B.23 项 C.24 项 D.25 项 答案 解析 两数和为 2 的有 1 个，和为 3 的有 2 个，和为 4 的有 3 个，和为 5 的有 4 个 ， 和 为 6 的有 5 个，和为 7 的有 6 个，前面共有 21 个 ， 3 ⊗ 5 是和为 8 的第 3 项，所以为第 24 项 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 4.(2016· 泉州模拟 ) 正偶数列有一个有趣的现象： ① 2 ＋ 4 ＝ 6 ； ② 8 ＋ 10 ＋ 12 ＝ 14 ＋ 16 ； ③ 18 ＋ 20 ＋ 22 ＋ 24 ＝ 26 ＋ 28 ＋ 30 ， … 按照这样的规律，则 2 016 所在等式的序号 为 A.29 B.30 C.31 D.32 答案 解析 即第 31 个等式中最后一个偶数是 1 023 × 2 ＝ 2 046 ，且第 31 个等式中含有 63 个偶数，故 2 016 在第 31 个等式中 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 若 { c n } 是等比数列， 即 { d n } 为等比数列，故选 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6. 把正整数按一定的规则排成如图所示的三角形数表，设 a ij ( i ， j ∈ N * ) 是位于这个三角形数表中从上往下第 i 行，从左往右数第 j 个数，如 a 42 ＝ 8 ， 若 a ij ＝ 2009 ，则 i 与 j 的和为 _____. 答案 解析 107 由题可知奇数行为奇数列，偶数行为偶数列， 2 009 ＝ 2 × 1 005 － 1 ， 所以 2 009 为第 1 005 个奇数，又前 31 个奇数行内数的个数为 961 ， 前 32 个奇数行内数的个数为 1024 ，故 2009 在第 32 个奇数行内，则 i ＝ 63 ， 因为第 63 行第 1 个数为 2 × 962 － 1 ＝ 1 923,2 009 ＝ 1 923 ＋ 2( j － 1) ， 所以 j ＝ 44 ，所以 i ＋ j ＝ 107 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 则 P 1 ， P 2 的切线方程分别是 设 P 1 ( x 1 ， y 1 ) ， P 2 ( x 2 ， y 2 ) ， 因为 P 0 ( x 0 ， y 0 ) 在这两条切线上， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8. 如图，我们知道，圆环也可以看作线段 AB 绕圆心 O 旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积 S ＝ π( R 2 － r 2 ) ＝ ( R － r ) × 2π × . 所以，圆环的面积等于以线段 AB ＝ R － r 为宽，以 AB 中点绕圆心 O 旋转一周所形成的圆的周长 2π × 为长的矩形面积 . 请你将上述想法拓展到空间，并解决下列问题：若将平面区域 M ＝ {( x ， y )|( x － d ) 2 ＋ y 2 ≤ r 2 }( 其中 0< r < d ) 绕 y 轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积是 ________. 2π 2 r 2 d 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 解析 平面区域 M 的面积为 π r 2 ， 由 类比知识可知 ： 平面 区域 M 绕 y 轴旋转一周得到的旋转体为实心的车轮内胎 ， 旋转体 的体积等于以圆 ( 面积为 π r 2 ) 为底 ， 以 O 为圆心、 d 为半径的圆的周长 2π d 为高的圆柱的体积 ， 所以 旋转体的体积 V ＝ π r 2 × 2π d ＝ 2π 2 r 2 d . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10.(2016· 泉州模拟 ) 先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题： 已知 a 1 ， a 2 ∈ R ， a 1 ＋ a 2 ＝ 1 ， 求证 . 证明：构造函数 f ( x ) ＝ ( x － a 1 ) 2 ＋ ( x － a 2 ) 2 ， 因为对一切 x ∈ R ，恒有 f ( x ) ≥ 0 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (1) 若 a 1 ， a 2 ， … ， a n ∈ R ， a 1 ＋ a 2 ＋ … ＋ a n ＝ 1 ，请写出上述结论的推广式； 解答 若 a 1 ， a 2 ， … ， a n ∈ R ， a 1 ＋ a 2 ＋ … ＋ a n ＝ 1 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2) 参考上述证法，对你推广的结论加以证明 . 证明 构造函数 f ( x ) ＝ ( x － a 1 ) 2 ＋ ( x － a 2 ) 2 ＋ … ＋ ( x － a n ) 2 . 因为对一切 x ∈ R ，恒有 f ( x ) ≥ 0 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 *11. 对于三次函数 f ( x ) ＝ ax 3 ＋ bx 2 ＋ cx ＋ d ( a ≠ 0) ，给出定义：设 f ′ ( x ) 是函数 y ＝ f ( x ) 的导数， f ″ ( x ) 是 f ′ ( x ) 的导数，若方程 f ″ ( x ) ＝ 0 有实数解 x 0 ，则称点 ( x 0 ， f ( x 0 )) 为函数 y ＝ f ( x ) 的 “ 拐点 ”. 某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有 “ 拐点 ” ；任何一个三次函数都有对称中心，且 “ 拐点 ” 就是对称中心 . 若 f ( x ) ＝ ， 请你根据这一发现， (1) 求函数 f ( x ) 的对称中心； 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 f ′ ( x ) ＝ x 2 － x ＋ 3 ， f ″ ( x ) ＝ 2 x － 1 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 即 f ( x ) ＋ f (1 － x ) ＝ 2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11