【数学】2018届一轮复习北师大版空间几何体教案 13页

第 1 讲　空间几何体 　　　　　　　　　　　　　　　空间几何体的三视图 自主练透　夯实双基 1．一个物体的三视图的排列规则 俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视 图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、 宽相等”． 2．由三视图还原几何体的步骤 一般先由俯视图确定底面，再利用正视图与侧视图确定几何体． [题组通关] 1．(2016·高考天津卷)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何 体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为(　　) B　[解析] 由几何体的正视图和俯视图可知该几何体为图①，故其侧(左)视图为图②. 2．已知长方体的底面是边长为 1 的正方形，高为 2，其俯视图是一个面积为 1 的正方 形，侧视图是一个面积为 2 的矩形，则该长方体的正视图的面积等于(　　) A．1　　　　　　　　 B. 2 C．2 D．2 2 C　[解析] 依题意得，题中的长方体的侧视图的高等于 2，正视图的长是 2，因此相应 的正视图的面积等于 2× 2＝2，故选 C. 由三视图还原到直观图的思路 (1)根据俯视图确定几何体的底面． (2)根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对 应的棱、面的位置． (3)确定几何体的直观图形状． 　　　　　　　　　　　　空间几何体的表面积与体积 高频考点　多维探明 1．柱体、锥体、台体的侧面积公式 (1)S 柱侧＝ch(c 为底面周长，h 为高)； (2)S 锥侧＝ 1 2ch′(c 为底面周长，h′为斜高)； (3)S 台侧＝1 2(c＋c′)h′(c′，c 分别为上下底面的周长，h′为斜高)． 2．柱体、锥体、台体的体积公式 (1)V 柱体＝Sh(S 为底面面积，h 为高)； (2)V 锥体＝ 1 3Sh(S 为底面面积，h 为高)； (3)V 台＝ 1 3(S＋ SS′＋S′)h(S，S′分别为上下底面面积，h 为高)(不要求记忆)． 　由空间几何体的结构特征计算表面积与体积 如图，在棱长为 6 的正方体 ABCD ­A1B1C1D1 中，E，F 分别在 C1D1 与 C1B1 上，且 C1E＝4，C1F＝3，连接 EF，FB，DE，BD，则几何体 EFC1­DBC 的体积为(　　) A．66　　　　　　　　　 B．68 C．70 D．72 【解析】　如图，连接 DF，DC1，那么几何体 EFC1­DBC 被分割成 三棱锥 D­EFC1 及四棱锥 D ­CBFC1 ，那么几何体 EFC1 ­DBC 的体积为 V＝ 1 3× 1 2×3×4×6＋ 1 3× 1 2×(3＋6)×6×6＝12＋54＝66. 故所求几何体 EFC1­DBC 的体积为 66. 【答案】A 　由三视图求空间几何体的表面积与体积 (1)(2016·高考全国卷甲)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几 何体的表面积为(　　) A．20π B．24π C．28π D．32π (2)(2016· 高 考 四 川 卷 ) 已 知 某 三 棱 锥 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 该 三 棱 锥 的 体 积 是 __________． 【解析】　(1)该几何体是圆锥与圆柱的组合体，由三视图可知圆柱底面圆的半径 r＝2， 底面圆的周长 c＝2πr＝4π，圆锥的母线长 l＝ 22＋（2 3）2＝4，圆柱的高 h＝4，所以该几 何体的表面积 S 表＝πr2＋ch＋ 1 2cl＝4π＋16π＋8π＝28π，故选 C. (2)根据三视图可知该三棱锥的底面积 S＝ 1 2×2 3×1＝ 3，高为 1，所以该三棱锥的体 积 V＝ 1 3× 3×1＝ 3 3 . 【答案】　(1)C　(2) 3 3 (1)求解几何体的表面积及体积的技巧 ①求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键所 在．求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何 体的某一面上． ②求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体 以易于求解． (2)根据几何体的三视图求其表面积与体积的三个步骤 第一步：根据给出的三视图判断该几何体的形状． 第二步：由三视图中的大小标示确定该几何体的各个度量． 第三步：套用相应的面积公式与体积公式计算求解． [题组通关] 1．(2016·河南省八市重点高中质量检测)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则 此几何体的体积是(　　) A．36 cm3 B．48 cm3 C．60 cm3 D．72 cm3 B　[解析] 由三视图可知，该几何体的上面是个长为 4，宽为 2，高为 2 的长方体，下 面是一个放倒的四棱柱，高为 4，底面是个梯形，梯形的上、下、底分别为 2、6，高为 2.长 方体的体积为 4×2×2＝16.四棱柱的体积为 4× 2＋6 2 ×2＝32，所以该几何体的体积为 32＋ 16＝48(cm3)，选 B. 2．(2016·昆明市两区七校调研)一个正三棱柱被平面截去一部分后，剩余部分的三视图 如图，则截去部分体积和剩余部分体积的比值为(　　) A. 1 5 B. 1 6 C. 1 7 D. 1 8 A　[解析] 依题意，剩余部分所表示的几何体是从正三棱柱 ABC­A1B1C1(其底面边长是 2)中截去三棱锥 E­A1B1C1(其中 E 是侧棱 BB1 的中点)，因此三棱锥 E­A1B1C1 的体积为 VE­ A1B1C1＝ 1 3× 3 4 ×22×1＝ 3 3 ，剩余部分的体积为 V＝VABC­A1B1C1－VE­A1B1C1＝ 3 4 ×22×2 － 3 3 ＝ 5 3 3 ，因此截去部分体积与剩余部分体积的比值为 1 5，选 A. 3．(2016·山西省高三考前质量检测)某几何体的三视图如图所示，当 xy 取得最大值时， 该几何体的体积是________． [解析] 分析题意可知，该几何体为如图所示的四棱锥 P­ABCD， CD＝ y 2，AB＝y，AC＝5，CP＝ 7，BP＝x，所以 BP2＝BC2＋CP2，即 x2＝25－y2＋7， x2＋y2＝32≥2xy，则 xy≤16，当且仅当 x＝y＝4 时，等号成立．此时该几何体的体积 V＝ 1 3× 2＋4 2 ×3× 7＝3 7. [答案] 3 7 　　　　　　　　　　　　　　多面体与球的切接问题 共研典例　类题通法 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点 和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图． (2016·高考全国卷丙)在封闭的直三棱柱 ABC­A1B1C1 内有一个体积为 V 的球．若 AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则 V 的最大值是(　　) A．4π　　　　　　　　　 B. 9π 2 C．6π D. 32π 3 【解析】　由题意可得若 V 最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若与三个侧面都相 切，可求得球的半径为 2，球的直径为 4，超过直三棱柱的高，所以这个球放不进去，则球 可与上下底面相切，此时球的半径 R＝3 2，该球的体积最大，Vmax＝ 4 3πR3＝ 4π 3 × 27 8 ＝ 9π 2 . 【答案】B 多面体与球接、切问题的求解策略 (1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、 切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间 的关系，或只画内接、外切的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该 几何体已知量的关系，列方程(组)求解． (2)若球面上四点 P，A，B，C 构成的三条线段 PA，PB，PC 两两互相垂直，且 PA＝a， PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，则 4R 2＝a2＋b2＋c2 求 解． [题组通关] 1．(2016·河北省“五校联盟”质量检测)已知球 O 的表面积为 25π，长方体的八个顶点 都在球 O 的球面上，则这个长方体的表面积的最大值等于________． [解析] 设球的半径为 R，则 4πR2＝25π，所以 R＝ 5 2，所以球的直径为 2R＝5，设长方体 的长、宽、高分别为 a、b、c，则长方体的表面积 S＝2ab＋2ac＋2bc≤a2＋b2＋a2＋c2＋b2＋ c2＝2(a2＋b2＋c2)＝50. [答案] 50 2．(2016·重庆第一次适应性测试)已知三棱锥 P­ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，△ ABC 是边长为 1 的正三角形，PC 为球 O 的直径，该三棱锥的体积为 2 6 ，则球 O 的表面积 为________． [解析] 依题意，设球 O 的半径为 R，球心 O 到平面 ABC 的距离为 d，则由 O 是 PC 的 中点得，点 P 到平面 ABC 的距离等于 2d，所以 VP­ABC＝2VO ­ABC＝2× 1 3S△ABC×d＝ 2 3× 3 4 ×12 ×d＝ 2 6 ，解得 d＝ 2 3，又 R2＝d2＋( 3 3 ) 2 ＝1，所以球 O 的表面积等于 4πR2＝4π. [答案] 4π 课时作业 1．如图所示是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是(　　) D　[解析] 先观察俯视图，由俯视图可知选项 B 和 D 中的一个正确，由正视图和侧视 图可知选项 D 正确，故选 D. 2．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为(　　) A．长方形　　　　　　　 B．直角三角形 C．圆 D．椭圆 C　[解析] 当俯视图为圆时，由三视图可知为圆柱，此时正视图和侧视图应该相同，所 以俯视图不可能是圆，故选 C. 3．(2016·贵阳市监测考试)甲、乙两个几何体的正视图和侧视图相同，俯视图不同，如 图所示，记甲的体积为 V 甲，乙的体积为 V 乙，则(　　) A．V 甲＜V 乙 B．V 甲＝V 乙 C．V 甲＞V 乙 D．V 甲、V 乙大小不能确定 C　[解析] 由三视图知，甲几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，乙几何体是在甲几 何体的基础上去掉一个角，即去掉一个三个面是直角三角形的三棱锥后得到的一个三棱锥， 所以 V 甲＞V 乙，故选 C. 4．(2016·云南省第一次统一检测)如图是底面半径为 1，高为 2 的圆柱被削掉一部分后 剩下的几何体的三视图(注：正视图也称主视图，侧视图也称左视图)，则被削掉的那部分的 体积为(　　) A.π＋2 3 B. 5π－2 3 C. 5π 3 －2 D．2π－ 2 3 B　[解析] 由三视图可知，剩下部分的几何体由半个圆锥和一个三棱锥组成，其体积 V ＝ 1 3× 1 2×π×1 2 ×2＋ 1 3× 1 2×2×1×2＝ π 3＋ 2 3，所以被削掉的那部分的体积为 π×1 2 ×2－ (π 3＋2 3 )＝ 5π－2 3 . 5．(2016·高考山东卷)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几 何体的体积为(　　) A. 1 3＋ 2 3π B. 1 3＋ 2 3 π C. 1 3＋ 2 6 π D．1＋ 2 6 π C　[解析] 由三视图可知，四棱锥的底面是边长为 1 的正方形，高为 1，其体积 V1＝ 1 3× 12×1＝ 1 3.设半球的半径为 R，则 2R＝ 2，即 R＝ 2 2 ，所以半球的体积 V2＝ 1 2× 4π 3 R3＝ 1 2× 4π 3 × ( 2 2 ) 3 ＝ 2 6 π.故该几何体的体积 V＝V1＋V2＝ 1 3＋ 2 6 π.故选 C. 6.(2016·高考全国卷乙)如图，某几何体的三视图是三个半径相 等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是 28π 3 ， 则它的表面积是(　　) A．17π B．18π C．20π D．28π A　[解析] 由三视图可得此几何体为一个球切割掉1 8后剩下的几何体，设球的半径为 r， 故 7 8× 4 3πr3＝ 28 3 π，所以 r＝2，表面积 S＝ 7 8×4πr2＋ 3 4πr2＝17π，选 A. 7．(2016·长春市质量检测(二))某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　) A. 32 3 B．16－ 2π 3 C. 40 3 D．16－ 8π 3 C　[解析] 该几何体可视为长方体挖去一个四棱锥所得，所以其体积为 2×2×4－ 1 3×2 ×2×2＝ 40 3 .故选 C. 8．(2016·湖北省七市(州)协作体联考)《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高 1 丈 3 尺 3 1 3寸，容纳米 2 000 斛(1 丈＝10 尺，1 尺＝10 寸，斛为容积单位，1 斛≈1.62 立方 尺，π≈3)，则圆柱底圆周长约为(　　) A．1 丈 3 尺 B．5 丈 4 尺 C．9 丈 2 尺 D．48 丈 6 尺 B　[解析] 设圆柱底面圆的半径为 r，若以尺为单位，则 2 000×1.62＝3r2(10＋3＋1 3)， 解得 r＝9(尺)，所以底面圆周长约为 2×3×9＝54(尺)，换算单位后为 5 丈 4 尺，故选 B. 9．(2016·兰州市诊断考试)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多 面体的三视图，则该多面体最长的棱长等于(　　) A. 34 B. 41 C．5 2 D．2 15 C　[解析] 由正视图、侧视图、俯视图的形状，可判断该几何体为三棱锥，形状如图， 其中 SC⊥平面 ABC，AC⊥AB，所以最长的棱长为 SB＝5 2. 10．(2016·东北四市联考(二))如图，在正方体 ABCD ­A1B1C1D1 中，P 是线段 CD 的中点， 则三棱锥 P­A1B1A 的侧视图为(　　) D　[解析] 如图，画出原正方体的侧视图，显然对于三棱锥 P­A1B1A，B(C)点均消失了， 其余各点均在，从而其侧视图为 D. 11．(2016·兰州市实战考试)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长 为 1 的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为(　　) A. 3 2 π B. 3 2 C．3π D．3 A　[解析] 由题意得，该几何体为四棱锥，且该四棱锥的外接球即为棱长为 1 的正方体 的外接球，其半径为 3 2 ，故体积为 4 3π( 3 2 ) 3 ＝ 3 2 π，故选 A. 12．(2016·广州市综合测试(一))一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有 棱的长都为 1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为(　　) A．20π B. 20 5π 3 C．5π D. 5 5π 6 D　[解析] 由题意知六棱柱的底面正六边形的外接圆半径 r＝1，其高 h＝1，所以球半 径为 R＝ r2＋(h 2 )2 ＝ 1＋1 4＝ 5 4，所以该球的体积 V＝ 4 3πR3＝ 4 3× 5 4 5 4π＝ 5 5π 6 . 13．(2016·唐山市统一考试)三棱锥 P­ABC 中，PA⊥平面 ABC 且 PA＝2，△ABC 是边 长为 3 的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为(　　) A. 4π 3 B．4π C．8π D．20π C　[解析] 由题意得，此三棱锥外接球即为以△ABC 为底面、以 PA 为高的正三棱柱的 外接球，因为△ABC 的外接圆半径 r＝ 3 2 × 3× 2 3＝1，外接球球心到△ABC 的外接圆圆心的 距离 d＝1，所以外接球的半径 R＝ r2＋d2＝ 2，所以三棱锥外接球的表面积 S＝4πR2＝8π， 故选 C. 14．(2016·福建省毕业班质量检测)在空间直角坐标系 O ­xyz 中，A(0，0，2)，B(0，2， 0)，C(2，2，2)，则三棱锥 O ­ABC 外接球的表面积为(　　) A．3π B．4 3π C．12π D．48π C　[解析] 设三棱锥 O ­ABC 的外接球的半径为 R，画出空间直角坐标系 O ­xyz 与点 A， B，C 的位置，易知三棱锥 O ­ABC 的四个顶点均落在棱长为 2 的正方体的顶点上，所以该 正方体的体对角线长即为三棱锥 O ­ABC 的外接球的直径，所以 R＝ 1 2 22＋22＋22＝ 3，所 以三棱锥 O ­ABC 的外接球的表面积 S＝4πR2＝12π，故选 C. 15．已知某组合体的正视图与侧视图相同(其中 AB＝AC，四边形 BCDE 为矩形)，则该 组合体的俯视图可以是________(把正确的图的序号都填上)． [解析] 几何体由四棱锥与四棱柱组成时，得①正确；几何体由四棱锥与圆柱组成时， 得②正确；几何体由圆锥与圆柱组成时，得③正确；几何体由圆锥与四棱柱组成时，得④正 确． [答案] ①②③④ 16．(2016·高考北京卷)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________． [ 解 析 ] 通 过 俯 视 图 可 知 该 四 棱 柱 的 底 面 为 等 腰 梯 形 ， 则 四 棱 柱 的 底 面 积 S ＝ （1＋2） × 1 2 ＝ 3 2，通过侧(左)视图可知四棱柱的高 h＝1，所以该四棱柱的体积 V＝Sh＝ 3 2. [答案] 3 2 17．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1，S2，体积分别为 V1，V2，若它们的侧面积 相等，且 S1 S2＝ 9 4，则 V1 V2的值是________． [解析] 设两个圆柱的底面半径和高分别为 r1，r2 和 h1，h2，由 S1 S2＝ 9 4，得πr πr＝ 9 4，则 r1 r2＝ 3 2.由圆柱的侧面积相等，得 2πr1h1＝2πr2h2，即 r1h1＝r2h2，则 h1 h2＝ 2 3，所以 V1 V2＝πrh1 πrh2＝ 3 2. [答案] 3 2 18．如图，正方体 ABCD­A1B1C1D1 的棱长为 1，E，F 分别为线段 AA1，B1C 上的点， 则三棱锥 D1­EDF 的体积为________． [解析] 因为 B1C∥平面 ADD1A1，所以 F 到平面 ADD1A1 的距离 d 为定值 1，△D1DE 的 面积为 1 2D1D·AD＝ 1 2，所以 VD1­EDF＝VF­D1DE＝ 1 3S△D1DE·d＝ 1 3× 1 2×1＝ 1 6. [答案] 1 6 19．已知棱长均为 a 的正三棱柱 ABC­A1B1C1 的六个顶点都在半径为 21 6 的球面上，则 a 的值为________． [解析] 设 O 是球心，D 是等边三角形 A 1B1C1 的中心，则 OA1＝ 21 6 ，因为正三棱柱 ABC­A1B1C1 的所有棱长均为 a，所以 A1D＝ 3 2 a× 2 3＝ 3 3 a，OD＝ a 2，故 A1D2＋OD2＝( 3 3 a ) 2 ＋(a 2 ) 2 ＝( 21 6 ) 2 ，得 7 12a2＝ 21 36，即 a2＝1，得 a＝1. [答案] 1 20．(2016·东北四市联考(二))已知底面为正三角形的三棱柱内接于半径为 1 的球，则此 三棱柱的体积的最大值为________． [解析] 如图，设球心为 O，三棱柱的上、下底面的中心分别为 O1，O2，底 面正三角形的边长为 a， 则 AO1＝ 2 3× 3 2 a＝ 3 3 a. 由已知得 O1O2⊥底面，在 Rt△OAO1 中， 由勾股定理得 OO1＝ 12－( 3 3 a )2 ＝ 3· 3－a2 3 ， 所以 V 三棱柱＝ 3 4 a2×2× 3· 3－a2 3 ＝ 3a4－a6 2 ， 令 f(a)＝3a4－a6(0＜a＜2)，则 f′(a)＝12a 3－6a5＝－6a3(a2－2)，令 f′(a)＝0，解得 a＝ 2. 因为当 a∈(0， 2)时，f′(a)＞0；当 a∈( 2，2)时，f′(a)＜0，所以函数 f(a)在(0， 2)上 单调递增，在( 2，2)上单调递减． 所以 f(a)在 a＝ 2 处取得极大值． 因为函数 f(a)在区间(0，2)上有唯一的极值点， 所以 a＝ 2 也是最大值点． 所以(V 三棱柱)max＝ 3 × 4－8 2 ＝1. [答案] 1