高考数学专题复习课件：9-2 两条直线的位置关系 54页

§9.2　两条直线的位置关系 ［考纲要求］1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平 行或垂直；2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐 标；3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求 两条平行直线间的距离. 1．两条直线的位置关系 (1)两条直线平行与垂直 ①两条直线平行： (ⅰ)对于两条不重合的直线l1、l2，若其斜率分别为k1、 k2，则有l1∥l2 ⇔____________ ． (ⅱ)当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2. k1＝k2 ②两条直线垂直： (ⅰ)如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则有 l1⊥l2 ⇔___________________ ． (ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为 0时，l1⊥l2. k1·k2＝－1 【知识拓展】 1．一般地，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设 为Ax＋By＋m＝0；与之垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋n ＝0. 2．过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0 的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝ 0(λ∈R)，但不包括l2. 3．点到直线与两平行线间的距离的使用条件： (1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式． (2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x， y的系数对应相等． 【思考辨析】 　判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2 ⇒ l1∥l2.(　　) (2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－ 1.(　　) 【答案】 (1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√　(6)√ 1．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与 直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的(　　) A．充分不必要条件　　　　　　 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】 (1)充分性：当a＝1时，直线l1：x＋2y－1＝0 与直线l2：x＋2y＋4＝0平行； (2)必要性：当直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋ 1)y＋4＝0平行时有a＝－2或1. 所以“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋ (a＋1)y＋4＝0平行”的充分不必要条件，故选A. 【答案】 A 【答案】 C 【答案】 A 4．(2014·福建)已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且 与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是(　　) A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0 C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0 【解析】 圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为点(0，3)， 又因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直， 所以直线l的斜率k＝1. 由点斜式得直线l：y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0. 【答案】 D 5．(教材改编)若直线(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0与(5a－ 2)x＋(a＋4)y－7＝0垂直，则a＝________． 【解析】 由两直线垂直的充要条件，得(3a＋2)(5a－2) ＋(1－4a)(a＋4)＝0，解得a＝0或a＝1. 【答案】 0或1 题型一　两条直线的平行与垂直 【例1】 (1)(2015·济南模拟)已知两条直线l1：(a－1)·x＋ 2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0平行，则a等于(　　) A．－1　　　　　　　　　　　B．2 C．0或－2 D．－1或2 (2)已知两直线方程分别为l1：x＋y＝1，l2：ax＋2y＝0， 若l1⊥l2，则a＝________． 【答案】 (1)D　(2)－2 【方法规律】 (1)当直线方程中存在字母参数时，不仅 要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的 特殊情况．同时还要注意x、y的系数不能同时为零这一隐 含条件． (2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方 程的系数间的关系得出结论． 跟踪训练1 已知两直线l1：x＋ysin α－1＝0和l2：2x·sin α＋y＋1＝0，求α的值，使得： (1)l1∥l2； (2)l1⊥l2. 【解析】 (1)方法一 当sin α＝0时，直线l1的斜率不存 在， l2的斜率为0，显然l1不平行于l2. 【方法规律】 (1)两直线交点的求法 求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程 组，以方程组的解为坐标的点即为交点． (2)常见的三大直线系方程 ①与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是 Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)． ②与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是 Bx－Ay＋m＝0(m∈R)． ③过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的 交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝ 0(λ∈R)，但不包括l2. (3)利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距 离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②两平行线 间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等． 跟踪训练2 (1)(2017·山西忻州训练)已知两直线l1：ax－ by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，若l1∥l2，且坐标原点到 这两条直线的距离相等，则a＋b＝________． (2)(2017·江西鹰潭一中月考)经过两条直线l1：x＋y－4 ＝0和l2：x－y＋2＝0的交点，且与直线2x－y－1＝0垂直 的直线方程为_________________________． 题型三　对称问题 命题点1　点关于点中心对称 【例3】 (2016·泉州模拟)过点P(0，1)作直线l，使它被 直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l的方程为________． 【解析】 设l1与l的交点为A(a，8－2a)，则由题意知， 点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程 得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4，0)在直线l 上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0. 【答案】 x＋4y－4＝0 命题点2　点关于直线对称 【例4】 (2016·日照模拟)已知直线l：2x－3y＋1＝0， 点A(－1，－2)，则点A关于直线l的对称点A′的坐标为 ________． 命题点3　直线关于直线的对称问题 【例5】 (2016·泰安模拟)已知直线l：2x－3y＋1＝0， 求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程． 【解析】 在直线m上任取一点，如M(2，0)，则M(2， 0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上． 设对称点M′(a，b)，则 跟踪训练3 在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点 P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC， CA发射后又回到原点P(如图)．若光线QR经过△ABC的重 心，则AP等于(　　) 【答案】 D 思想与方法系列18 妙用直线系求直线方程 一、平行直线系 由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存 在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必 然的联系． 【典例1】 求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1，2)的 直线l的方程． 【思维点拨】 因为所求直线与3x＋4y＋1＝0平行，因 此，可设该直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠1)． 【规范解答】 依题意，设所求直线方程为3x＋4y＋c＝ 0(c≠1)， 又因为直线过点(1，2)， 所以3×1＋4×2＋c＝0，解得c＝－11. 因此，所求直线方程为3x＋4y－11＝0. 【温馨提醒】 与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程 为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由其他条件求C1. 二、垂直直线系 由于直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充 要条件为A1A2＋B1B2＝0.因此，当两直线垂直时，它们的 一次项系数有必要的关系．可以考虑用直线系方程求解． 【典例2】 求经过A(2，1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的 直线l的方程． 【思维点拨】 依据两直线垂直的特征设出方程，再由待 定系数法求解． 【规范解答】 因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直， 所以设该直线方程为x－2y＋C1＝0， 又直线过点(2，1)， 所以有2－2×1＋C1＝0，解得C1＝0， 即所求直线方程为x－2y＝0. 【温馨提醒】 与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程 为Bx－Ay＋C1＝0，再由其他条件求出C1. 三、过直线交点的直线系 【典例3】 求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2 ＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方 程． 【思维点拨】 可分别求出直线l1与l2的交点及直线l的斜 率k，直接写出方程；也可以利用过交点的直线系方程设 直线方程，再用待定系数法求解． 方法二 设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0， 即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0. 又∵l⊥l3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0， 解得λ＝11. ∴直线l的方程为4x＋3y－6＝0. 【温馨提醒】 本题方法一采用常规方法，先通过方程组 求出两直线交点，再根据垂直关系求出斜率，由于交点在 y轴上，故采用斜截式求解；方法二则采用了过两直线A1x ＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程： A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，直接设出过两直线 交点的方程，再根据垂直条件用待定系数法求解. ►方法与技巧 1．两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合．对于 斜率都存在且不重合的两条直线l1、l2，l1∥l2 ⇔ k1＝k2； l1⊥l2 ⇔ k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一 条直线的斜率一定要特别注意． 2．对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对 称．利用坐标转移法． ►失误与防范 1．在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的 斜率是否存在．若两条直线都有斜率，可根据判定定理判 断，若直线无斜率，要单独考虑．