高考数学专题复习课件：12-6 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 77页

§12.6 　离散型随机变量的均值与方差、正态分布 [ 考纲要求 ] 　 1. 理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念 .2. 能计算简单的离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题 .3. 利用实际问题的直方图，了解正态密度曲线的特点及曲线所表示的意义． 1 ．离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为 X x 1 x 2 … x i … x n P p 1 p 2 … p i … p n 2 ．均值与方差的性质 (1) E ( aX ＋ b ) ＝ ___________ ． (2) D ( aX ＋ b ) ＝ _______ ． ( a ， b 为常数 ) 3 ．两点分布与二项分布的均值、方差 (1) 若 X 服从两点分布，则 E ( X ) ＝ __ ， D ( X ) ＝ _______ ． (2) 若 X ～ B ( n ， p ) ，则 E ( X ) ＝ __ ， D ( X ) ＝ __________ ． aE ( X ) ＋ b a 2 D ( X ) p p (1 － p ) np np (1 － p ) ⑤ 当 σ 一定时，曲线的位置由 μ 确定，曲线随着 __ 的变化而沿 x 轴平移，如图甲所示； μ ⑥ 当 μ 一定时，曲线的形状由 σ 确定， σ ______ ，曲线越 “ 瘦高 ” ，表示总体的分布越集中； σ________ ，曲线越 “ 矮胖 ” ，表示总体的分布越分散，如图乙所示． 越小 越大 正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ① P ( μ － σ < X ≤ μ ＋ σ ) ＝ ________ ； ② P ( μ － 2 σ < X ≤ μ ＋ 2 σ ) ＝ _______ ； ③ P ( μ － 3 σ < X ≤ μ ＋ 3 σ ) ＝ _______ ． 0.682 6 0.954 4 0.997 4 【 思考辨析 】 　判断下面结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “ ×” ) (1) 随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定． ( 　　 ) (2) 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小． ( 　　 ) (3) 正态分布中的参数 μ 和 σ 完全确定了正态分布，参数 μ 是正态分布的均值， σ 是正态分布的标准差． ( 　　 ) (4) 一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布． ( 　　 ) (5) 均值是算术平均数概念的推广，与概率无关． ( 　　 ) 【 答案 】 (1) √ 　 (2) √ 　 (3) √ 　 (4) √ 　 (5) × 1 ． ( 教材改编 ) 某射手射击所得环数 ξ 的分布列如下： ξ 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知 ξ 的均值 E ( ξ ) ＝ 8.9 ，则 y 的值为 ( 　　 ) A ． 0.4 　　　　　　　　　　　　 B ． 0.6 C ． 0.7 D ． 0.9 【 答案 】 A 2 ．设样本数据 x 1 ， x 2 ， … ， x 10 的均值和方差分别为 1 和 4 ，若 y i ＝ x i ＋ a ( a 为非零常数， i ＝ 1 ， 2 ， … ， 10) ，则 y 1 ， y 2 ， … ， y 10 的均值和方差分别为 ( 　　 ) A ． 1 ＋ a ， 4 B ． 1 ＋ a ， 4 ＋ a C ． 1 ， 4 D ． 1 ， 4 ＋ a 【 答案 】 A 【 答案 】 B 4 ． (2016· 四川 ) 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在 2 次试验中成功次数 X 的均值是 ________ ． 5 ． ( 教材改编 ) 抛掷两枚骰子，当至少一枚 5 点或一枚 6 点出现时，就说这次试验成功，则在 10 次试验中成功次数的均值为 ________ ． 题型一　离散型随机变量的均值、方差 命题点 1 　求离散型随机变量的均值、方差 【 例 1 】 (2015· 福建 ) 某银行规定，一张银行卡若在一天内出现 3 次密码尝试错误，该银行卡将被锁定．小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的 6 个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择 1 个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定． (1) 求当天小王的该银行卡被锁定的概率； (2) 设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为 X ，求 X 的分布列和均值． 命题点 2 　已知离散型随机变量的均值与方差，求参数值 【 例 2 】 设袋子中装有 a 个红球， b 个黄球， c 个蓝球，且规定：取出一个红球得 1 分，取出一个黄球得 2 分，取出一个蓝球得 3 分． 【 方法规律 】 离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略 ( 1) 求离散型随机变量的均值与方差．可依题设条件求出离散型随机变量的概率分布列，然后利用均值、方差公式直接求解． (2) 由已知均值或方差求参数值．可依据条件利用均值、方差公式得出含有参数的方程，解方程即可求出参数值． (3) 由已知条件，作出对两种方案的判断．可依据均值、方差的意义，对实际问题作出判断． ① 小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； ② 两次回球结束后，小明得分之和 ξ 的分布列与均值． (2) 一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示． 将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立． ① 求在未来连续 3 天里，有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另 1 天的日销售量低于 50 个的概率； ② 用 X 表示在未来 3 天里日销售量不低于 100 个的天数，求随机变量 X 的分布列，均值 E ( X ) 及方差 D ( X ) ． (2) ① 设 A 1 表示事件 “ 日销售量不低于 100 个 ” ， A 2 表示事件 “ 日销售量低于 50 个 ” ， B 表示事件 “ 在未来连续 3 天里有连续 2 天的日销售量不低于 100 个且另一天销售量低于 50 个 ” ． 因此 P ( A 1 ) ＝ (0.006 ＋ 0.004 ＋ 0.002) × 50 ＝ 0.6 ， P ( A 2 ) ＝ 0.003 × 50 ＝ 0.15 ， P ( B ) ＝ 0.6 × 0.6 × 0.15 × 2 ＝ 0.108. 可得随机变量 X 的分布列为 因为 X ～ B (3 ， 0.6) ，所以期望 E ( X ) ＝ 3 × 0.6 ＝ 1.8 ， 方差 D ( X ) ＝ 3 × 0.6 × (1 － 0.6) ＝ 0.72. X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 题型二　均值与方差在决策中的应用 【 例 4 】 (2017· 德州模拟 ) 十八届三中全会提出以管资本为主加强国有资产监管，改革国有资本授权经营体制 .2015 年 1 月 20 日，中国恒天集团有限公司新能源汽车总部项目签约仪式在天津举行，说明国有企业的市场化改革已经踏上新的破冰之旅．恒天集团和绿地集团利用现有闲置资金可选择投资新能源汽车和投资文化地产，以推进混合所有制改革，使国有资源效益最大化． (2) 记事件 A 为 “ 恒天集团选择投资新能源汽车且盈利 ” ，事件 B 为 “ 绿地集团选择投资文化地产且盈利 ” ，事件 C 为 “ 一年后两集团中至少有一个集团盈利 ” ，则 C ＝ AB ∪ AB ∪ AB ，且 A ， B 相互独立． 假设恒天集团选择投资文化地产，且记 Y 为恒天集团投资文化地产的盈利金额 ( 单位：亿元 ) ，则 Y 的所有可能取值为 5 ， 0 ，－ 3.5 ， 所以随机变量 Y 的分布列为 【 方法规律 】 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定． 从回答对题数的数学期望考查，两人水平相当；从回答对题数的方差考查，甲较稳定；从至少正确回答 2 题的概率考查，甲通过的可能性大．因此可以判断甲的通过能力较强． 题型三　正态分布的应用 【 例 5 】 (2016· 云南昆明、玉溪统考 ) 云南省 2015 年全省高中男生身高统计调查数据显示：全省 100 000 名高中男生的身高服从正态分布 N (170.5 ， 16) ．现从云南省某校高三年级男生中随机抽取 50 名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于 157.5 cm 和 187.5 cm 之间，将测量结果按如下方式分成 6 组：第 1 组 [157.5 ， 162.5) ，第 2 组 [162.5 ， 167.5) ， …… ，第 6 组 [182.5 ， 187.5] ，如图是按上述分组方式得到的频率分布直方图． (1) 试评估该校高三年级男生在全省高中男生中的平均身高状况； (2) 求这 50 名男生身高在 177.5 cm 以上 ( 含 177.5 cm) 的人数； (3) 从这 50 名男生身高在 177.5 cm 以上 ( 含 177.5 cm) 的人中任意抽取 2 人，这 2 人中身高排名 ( 从高到低 ) 在全省前 130 名的人数记为 ξ ，求 ξ 的数学期望． 参考数据：若 ξ ～ N ( μ ， σ 2 ) ，则 P ( μ － σ ＜ ξ ≤ μ ＋ σ ) ＝ 0.682 6 ， P ( μ － 2 σ ＜ ξ ≤ μ ＋ 2 σ ) ＝ 0.954 4 ， P ( μ － 3 σ ＜ ξ ≤ μ ＋ 3 σ ) ＝ 0.997 4. 【 解析 】 (1) 由频率分布直方图知，该校高三年级男生平均身高为 160 × 0.1 ＋ 165 × 0.2 ＋ 170 × 0.3 ＋ 175 × 0.2 ＋ 180 × 0.1 ＋ 185 × 0.1 ＝ 171.5(cm) ， ∵ 171.5 cm ＞ 170.5 cm ，故该校高三年级男生的平均身高高于全省高中男生身高的平均值． (2) 由频率分布直方图知，后两组频率和为 0.2 ， ∴ 人数和为 0.2 × 50 ＝ 10 ，即这 50 名男生中身高在 177.5 cm 以上 ( 含 177.5 cm) 的人数为 10. 【 方法规律 】 解决正态分布问题有三个关键点： (1) 对称轴 x ＝ μ ； (2) 标准差 σ ； (3) 分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由 μ ， σ ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为 3 σ 特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为 x ＝ 0. 跟踪训练 3 在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布 N (80 ， 5 2 ) ，现已知该班同学中成绩在 80 ～ 85 分的有 17 人．试计算该班成绩在 90 分以上的同学有多少人． 【 解析 】 ∵ 成绩服从正态分布 N (80 ， 5 2 ) ， ∴ μ ＝ 80 ， σ ＝ 5 ， μ － σ ＝ 75 ， μ ＋ σ ＝ 85. 于是成绩在 (75 ， 85] 内的同学占全班同学的 68.26%. 答题模板系列 8 离散型随机变量的均值与方差问题 【 典例 】 (12 分 )(2017· 豫东、豫北十所名校联考 ) 为了了解两种电池的待机时间，研究人员分别对甲、乙两种电池做了 7 次测试，测试结果统计如下表所示： 测试次数 1 2 3 4 5 6 7 甲种电池待机时间 (h) 120 125 122 124 124 123 123 乙种电池待机时间 (h) 118 123 127 120 124 120 122 (1) 试计算 7 次测试中，甲、乙两种电池的待机时间的平均值和方差，并判断哪种电池的性能比较好，简单说明理由； (2) 为了深入研究乙种电池的性能，研究人员从乙种电池待机时间测试的 7 组数据中随机抽取 4 组分析，记抽取的数据中大于 121 的个数为 X ，求 X 的分布列及数学期望． 【 答题模板 】 求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤 第一步：确定随机变量的所有可能值． 第二步：求每一个可能值所对应的概率． 第三步：列出离散型随机变量的分布列． 第四步：求均值和方差． 第五步：反思回顾．查看关键点、易错点和答题规范． 【 温馨提醒 】 (1) 本题重点考查了概率、离散型随机变量的分布列、均值． (2) 本题解答中的典型错误是计算不准确以及解答不规范．如第 (3) 问中，不明确写出 ξ 的所有可能值，不逐个求概率，这都属于解答不规范 . ► 方法与技巧 1 ．均值与方差的性质 (1) E ( aX ＋ b ) ＝ aE ( X ) ＋ b ， D ( aX ＋ b ) ＝ a 2 D ( X )( a ， b 为常数 ) ． (2) 若 X 服从两点分布，则 E ( X ) ＝ p ， D ( X ) ＝ p (1 － p ) ． (3) 若 X 服从二项分布，即 X ～ B ( n ， p ) ，则 E ( X ) ＝ np ， D ( X ) ＝ np (1 － p ) ． 2 ．求离散型随机变量的均值与方差的基本方法 (1) 已知随机变量的分布列求它的均值、方差，按定义求解． (2) 已知随机变量 X 的均值、方差，求 X 的线性函数 Y ＝ aX ＋ b 的均值、方差，可直接用 X 的均值、方差的性质求解． (3) 如果所给随机变量是服从常用的分布 ( 如两点分布、二项分布等 ) ，利用它们的均值、方差公式求解． 3 ．若 X 服从正态分布，即 X ～ N ( μ ， σ 2 ) ，要充分利用正态曲线的对称性和曲线与 x 轴之间的面积为 1. ► 失误与防范 1 ．在没有准确判断分布列模型之前不能随便套用公式． 2 ．对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的分布列，然后按定义计算出随机变量的均值、方差 .