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- 2021-06-16 发布
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第3讲 导数的简单应用
限时50分钟 满分76分
一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
1.(2020·南开中学质检)已知函数f(x)=g(x)+2x且曲线y=g(x)在x=1处的切线为y=2x+1,则曲线y=f(x)在x=1处的切线的斜率为( )
A.2 B.4
C.6 D.8
解析:B [∵曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,∴g′(1)=2.∵函数f(x)=g(x)+2x,∴f′(x)=g′(x)+2,∴f′(1)=g′(1)+2,∴f′(1)=2+2=4,即曲线y=f(x)在x=1处的切线的斜率为4.故选B.]
2.(2019·南京三模)若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)上单调递增,则k的取值范围是( )
A.(-∞,-2] B.(-∞,-1]
C.[2,+∞) D.[1,+∞)
解析:D [因为f(x)=kx-ln x,所以f′(x)=k-.因为f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,所以当x>1时,f′(x)=k-≥0恒成立,即k≥在区间(1,+∞)上恒成立.因为x>1,所以0<<1,所以k≥1.故选D.]
3.(2019·保定三模)函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值,则a的取值范围是( )
A.[0,1) B.(-1,1)
C. D.(0,1)
解析:D [f′(x)=3x2-3a=3(x2-a).
当a≤0时,f′(x)>0,
∴f(x)在(0,1)内单调递增,无最小值.
当a>0时,f′(x)=3(x-)(x+).
当x∈(-∞,-)和(,+∞)时,f(x)单调递增;
当x∈(-,)时,f(x)单调递减,
所以当<1,即0<a<1时,f(x)在(0,1)内有最小值.]
4.(2020·长沙模拟)已知函数f(x)=x3+ax2+3x+1有两个极值点,则实数a
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的取值范围是( )
A.(,+∞) B.(-∞,-)
C.(-,) D.(-∞,-)∪(,+∞)
解析:D [f′(x)=x2+2ax+3.
由题意知方程f′(x)=0有两个不相等的实数根,
所以Δ=4a2-12>0,
解得a>或a<-.]
5.(2019·长春质量监测)已知函数f(x)是定义在R上的函数,且满足f′(x)+f(x)>0,其中f′(x)为f(x)的导函数,设a=f(0),b=2f(ln 2),c=ef(1),则a,b,c的大小关系是( )
A.c>b>a B.a>b>c
C.c>a>b D.b>c>a
解析:A [令g(x)=exf(x),则g′(x)=ex[f(x)+f′(x)]>0,所以函数g(x)在定义域R上单调递增,从而g(0)<g(ln 2)<g(1),得f(0)<2f(ln 2)<ef(1),即a<b<c.故选A.]
6.(山东卷)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是( )
A.y=sin x B.y=ln x
C.y=ex D.y=x3
解析:A [当y=sin x时,y′=cos x,cos 0·cos π=-1,所以在函数y=sin x图象存在两点x=0,x=π使条件成立,故A正确;函数y=ln x,y=ex,y=x3的导数值均非负,不符合题意,故选A.]
二、填空题(本大题共2小题,每小题5分,共10分)
7.(2019·厦门三模)已知直线y=kx-2与曲线y=xln x相切,则实数k的值为____________.
解析:由y=xln x知y′=ln x+1,设切点为(x0,x0ln x0),则切线方程为y-x0ln x0=(ln x0+1)(x-x0),因为切线y=kx-2过定点(0,-2),所以-2-x0ln x0=(ln x0+1)(0-x0),解得x0=2,故k=1+ln 2.
答案:1+ln 2
8.(2019·潍坊三模)设函数f(x)=ln x-ax2-bx,若x=1是f(x)的极大值点,则a的取值范围是____________.
解析:f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=-ax-b,
由f′(1)=0,得b=1-a.
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∴f′(x)=-ax+a-1==-.
①若a≥0,当0<x<1时,f′(x)>0,f(x)单调递增;
当x>1时,f′(x)<0,f(x)单调递减;
所以x=1是f(x)的极大值点.
②若a<0,由f′(x)=0,得x=1或x=-.
因为x=1是f(x)的极大值点,
所以->1,解得-1<a<0.
综合①②得a的取值范围是(-1,+∞).
答案:(-1,+∞)
三、解答题(本大题共3小题,每小题12分,共36分)
9.(2018·北京卷)设函数f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]ex.
(1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为0,求a;
(2)若f(x)在x=1处取得极小值,求a的取值范围.
解:(1)∵f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]ex
∴f′(x)=[ax2-(a+1)x+1]ex
∴f′(2)=(2a-1)e2=0
∴a=
(2)f′(x)=(ax-1)(x-1)ex
①当a=0时,令f′(x)=0得x=1
f′(x),f(x)随x变化如下表:
x
(-∞,1)
1
(1,+∞)
f′(x)
+
0
-
f(x)
极大值
∴f(x)在x=1处取得极大值(舍)
②当a>0时,令f′(x)=0得x1=,x2=1
a.当x1=x2,即a=1时,
f′(x)=(x-1)2ex≥0
∴f(x)在R上单调递增
∴f(x)无极值(舍)
b.当x1>x2,即0<a<1时,f′(x),f(x)随x变化如下表:
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x
(-∞,1)
1
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
极大值
极小值
∴f(x)在x=1处取极大值(舍)
c.当x1<x2,即a>1时
f′(x),f(x)随x变化如下表:
x
1
(1,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
极大值
极小值
∴f(x)在x=1处取极小值
即a>1成立
③当a<0时,令f′(x)=0得x1=,x2=1
f′(x),f(x)随x变化如下表:
x
1
(1,+∞)
f′(x)
-
0
+
0
-
f(x)
极小值
极大值
∴f(x)在x=1处取极大值(舍)
综上所述:a的取值范围为(1,+∞).
10.(2019·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)=2x3-ax2+b.
(1)讨论f(x)的单调性.
(2)是否存在a,b,使得f(x)在区间[0,1]的最小值为-1且最大值为1?若存在,求出a,b的所有值;若不存在,说明理由.
解析:这是一道常规的函数导数不等式和综合题,题目难度比往年降低了不少.考查的函数单调性,最大值最小值这种基本概念的计算.思考量不大,由计算量补充.
(1)对f(x)=2x3-ax2+b求导得f′(x)=6x2-2ax=6x.所以有当a<0时,区间上单调递增,区间上单调递减,(0,+∞)区间上单调递增;
当a=0时,(-∞,+∞)区间上单调递增;
当a>0时,(-∞,0)区间上单调递增,区间上单调递减,区间上单调递增.
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(2)若f(x)在区间[0,1]有最大值1和最小值-1,所以若a<0,区间上单调递增,区间上单调递减,(0,+∞)区间上单调递增;
此时在区间[0,1]上单调递增,所以f(0)=-1,f(1)=1代入解得b=-1,a=0,与a<0矛盾,所以a<0不成立.
若a=0,(-∞,+∞)区间上单调递增;在区间[0.1].所以f(0)=-1,f(1)=1代入解得.
若0<a≤2,(-∞,0)区间上单调递增,区间上单调递减,区间上单调递增.
即f(x)在区间单调递减,在区间单调递增,所以区间[0,1]上最小值为f
而f(0)=b,f(1)=2-a+b≥f(0),故所以区间[0,1]上最大值为f(1).
即相减得2-a+=2,即a(a-3)(a+3)=0,又因为0<a≤2,所以无解.
若2<a≤3,(-∞,0)区间上单调递增,区间上单调递减,区间上单调递增.
即f(x)在区间单调递减,在区间单调递增,所以区间[0,1]上最小值为f
而f(0)=b,f(1)=2-a+b≤f(0),故所以区间[0,1]上最大值为f(0).
即相减得=2,解得x=3,又因为2<a≤3,所以无解.
若a>3,(-∞,0)区间上单调递增,区间上单调递减,区间上单调递增.
所以有f(x)区间[0,1]上单调递减,所以区间[0,1]上最大值为f(0),最小值为f(1)
即解得.
综上得或.
答案:(1)见详解;(2)或.
11.(2018·江苏卷)记f′(x),g′(x)分别为函数f(x),g(x)的导函数.若存在x0∈R,满足f(x0)=g(x0)且f′(x0)=g′(x0),则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“S点”.
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(1)证明:函数f(x)=x与g(x)=x2+2x-2不存在“S点”;
(2)若函数f(x)=ax2-1与g(x)=ln x存在“S点”,求实数a的值;
(3)已知函数f(x)=-x2+a,g(x)=.对任意a>0,判断是否存在b>0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S点”,并说明理由.
解:(1)f′(x)=1,g′(x)=2x+2
若存在,则有
根据②得到x0=-代入①不符合,因此不存在“S点”.
(2)f′(x)=2ax,g′(x)=
根据题意有
且有x0>0
根据②得到x0=代入①得到a=.
(3)f′(x)=-2x,g′(x)=
转化为-x+a+=0
∵0<x0<1
∴-x+x+a(x0-1)+2x=0⇒m(x)=-x+3x+a(x0-1)=0
转化为m(x)存在零点x0,0<x0<1
又m(0)=-a<0,m(1)=2
∴m(x)恒存在零点大于0小于1
∴对任意a>0均存在b>0,使得存在“S点”.
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