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  • 2021-06-16 发布

【数学】2018届一轮复习苏教版(理)第七章不等式7-1两个实数比较大小的方法学案

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‎1.两个实数比较大小的方法 ‎(1)作差法(a,b∈R);‎ ‎(2)作商法(a∈R,b>0).‎ ‎2.不等式的基本性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 a>b⇔bb,b>c⇒a>c ‎⇒‎ 可加性 a>b⇔a+c>b+c ‎⇔‎ 可乘性 ⇒ac>bc 注意c的符号 ⇒acb+d ‎⇒‎ 同向同正可乘性 ⇒ac>bd ‎⇒‎ 可乘方性 a>b>0⇒an>bn ‎(n∈N,n≥1)‎ a,b同为正数 可开方性 a>b>0⇒> ‎(n∈N,n≥2)‎ ‎3.不等式的一些常用性质 ‎(1)倒数的性质 ‎①a>b,ab>0⇒<.‎ ‎②a<0b>0,0.‎ ‎④0b>0,m>0,则 ‎①<;>(b-m>0).‎ ‎②>;<(b-m>0).‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)两个实数a,b之间,有且只有a>b,a=b,a1,则a>b.( × )‎ ‎(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数,不等号方向不变.( × )‎ ‎(4)一个非零实数越大,则其倒数就越小.( × )‎ ‎(5)a>b>0,c>d>0⇒>.( √ )‎ ‎(6)若ab>0,则a>b⇔<.( √ )‎ ‎1.(教材改编)已知a+b>0,b<0,那么a,b,-a,-b的大小关系是______________.‎ 答案 a>-b>b>-a 解析 ∵a+b>0,b<0,∴a>-b>0,-a-b>0>b>-a,即a>-b>b>-a.‎ ‎2.(教材改编)若a,b都是实数,则“->0”是“a2-b2>0”的____________条件.‎ 答案 充分不必要 解析 ->0⇒> ‎⇒a>b⇒a2>b2,‎ 但由a2-b2>0⇏->0.‎ ‎3.(2016·南京模拟)若a,b∈R,且a+|b|<0,则下列不等式中正确的是________.‎ ‎①a-b>0; ②a3+b3>0;‎ ‎③a2-b2<0; ④a+b<0.‎ 答案 ④‎ 解析 由a+|b|<0知,a<0,且|a|>|b|,‎ 当b≥0时,a+b<0成立,‎ 当b<0时,a+b<0成立,∴a+b<0.‎ ‎4.如果a∈R,且a2+a<0,则a,a2,-a,-a2的大小关系是________________.‎ 答案 a<-a2-1,∴a<-a21且2a<1,‎ ‎∴a<2b·a=2a(1-a)=-2a2+2a ‎=-22+<.‎ 即a<2ab<,‎ 又a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab>1-=,‎ 即a2+b2>,‎ a2+b2-b=(1-b)2+b2-b=(2b-1)(b-1),‎ 又2b-1>0,b-1<0,∴a2+b2-b<0,‎ ‎∴a2+b2b;‎ ==log6251 024>1,‎ 所以b>c.即ce时,函数f(x)单调递减.‎ 因为e<3<4<5,所以f(3)>f(4)>f(5),‎ 即c0,试比较a与的大小.‎ 解 因为a-==,‎ 因为a>0,所以当a>1时,>0,有a>;‎ 当a=1时,=0,有a=;‎ 当01时,a>;‎ 当a=1时,a=;‎ 当00,1618>0,‎ ‎∴1816<1618,即aac; ②c(b-a)<0;‎ ‎③cb20.‎ ‎(2)若<<0,则下列不等式:‎ ‎①a+b|b|;③a0.‎ 由b>c得ab>ac一定成立.‎ ‎(2)因为<<0,所以b0,‎ 所以a+b0>b>-a,cbc;②+<0;③a-c>b-d;④a(d-c)>b(d-c)中成立的个数是________.‎ 答案 3‎ 解析 方法一 ∵a>0>b,c0,‎ ‎∴ad0>b>-a,∴a>-b>0,‎ ‎∵c-d>0,‎ ‎∴a(-c)>(-b)(-d),‎ ‎∴ac+bd<0,∴+=<0,故②正确.‎ ‎∵c-d,‎ ‎∵a>b,∴a+(-c)>b+(-d),‎ ‎∴a-c>b-d,故③正确.‎ ‎∵a>b,d-c>0,∴a(d-c)>b(d-c),‎ 故④正确.‎ 方法二 取特殊值.‎ 题型三 不等式性质的应用 命题点1 应用性质判断不等式是否成立 例3 已知a>b>0,给出下列四个不等式:‎ ‎①a2>b2;②2a>2b-1;③>-;④a3+b3>2a2b.‎ 其中一定成立的不等式为________.‎ 答案 ①②③‎ 解析 方法一 由a>b>0可得a2>b2,①成立;‎ 由a>b>0可得a>b-1,而函数f(x)=2x在R上是增函数,‎ ‎∴f(a)>f(b-1),即2a>2b-1,②成立;‎ ‎∵a>b>0,∴>,‎ ‎∴()2-(-)2‎ ‎=2-2b=2(-)>0,‎ ‎∴>-,③成立;‎ 若a=3,b=2,则a3+b3=35,2a2b=36,‎ a3+b3<2a2b,④不成立.‎ 方法二 令a=3,b=2,‎ 可以得到①a2>b2,②2a>2b-1,③>-均成立,而④a3+b3>2a2b不成立.‎ 命题点2 求代数式的取值范围 例4 已知-1; ②a2bn.‎ ‎(2)设a>b>1,c<0,给出下列三个结论:‎ ‎①>; ②acloga(b-c).‎ 其中所有正确结论的序号是________.‎ 答案 (1)③ (2)①②③‎ 解析 (1)(特值法)取a=-2,b=-1,逐个检验,可知①,②,④均不正确;‎ ‎③中,<⇔|b|(|a|+1)<|a|(|b|+1)‎ ‎⇔|a||b|+|b|<|a||b|+|a|⇔|b|<|a|,‎ ‎∵ab>1知<,‎ 又c<0,∴>,①正确;‎ 构造函数y=xc,‎ ‎∵c<0,∴y=xc在(0,+∞)上是减函数,‎ 又a>b>1,∴acb>1,c<0,∴a-c>b-c>1,‎ ‎∴logb(a-c)>loga(a-c)>loga(b-c),③正确.‎ ‎6.利用不等式变形求范围 典例 设f(x)=ax2+bx,若1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,则f(-2)的取值范围是________.‎ 错解展示 解析 由已知得 ‎①+②得3≤2a≤6,∴6≤4a≤12,‎ 又由①可得-2≤-a+b≤-1, ③‎ ‎②+③得0≤2b≤3,∴-3≤-2b≤0,‎ 又f(-2)=4a-2b,∴3≤4a-2b≤12,‎ ‎∴f(-2)的取值范围是[3,12].‎ 答案 [3,12]‎ 现场纠错 解析 方法一 由 得 ‎∴f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1).‎ 又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,‎ ‎∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,故5≤f(-2)≤10.‎ 方法二 由 确定的平面区域如图阴影部分所示,‎ 当f(-2)=4a-2b过点A(,)时,‎ 取得最小值4×-2×=5,‎ 当f(-2)=4a-2b过点B(3,1)时,‎ 取得最大值4×3-2×1=10,‎ ‎∴5≤f(-2)≤10.‎ 答案 [5,10] ‎ 纠错心得 在求式子的范围时,如果多次使用不等式的可加性,式子中的等号不能同时取到,会导致范围扩大.‎ ‎1.(教材改编)当x>1时,x3与x2-x+1的大小关系为______________.‎ 答案 x3>x2-x+1‎ 解析 ∵x3-(x2-x+1)‎ ‎=x3-x2+x-1=x2(x-1)+(x-1)‎ ‎=(x-1)(x2+1).‎ 又∵x>1,‎ 故(x-1)(x2+1)>0,‎ ‎∴x3-(x2-x+1)>0,‎ 即x3>x2-x+1.‎ ‎2.(2016·镇江模拟)若6y>z,x+y+z=0,则下列不等式成立的是________.‎ ‎①xy>yz; ②xz>yz;‎ ‎③xy>xz; ④x|y|>z|y|.‎ 答案 ③‎ 解析 ∵x>y>z且x+y+z=0,∴x>0,z<0,‎ 又y>z,∴xy>xz.‎ ‎4.设a,b∈R,则“(a-b)·a2<0”是“ab,则ac2>bc2;‎ ‎②若>,则a>b;‎ ‎③若a3>b3且ab<0,则>;‎ ‎④若a2>b2且ab>0,则<.‎ 答案 ③‎ 解析 当c=0时,可知①不正确;‎ 当c<0时,可知②不正确;‎ 对于③,由a3>b3且ab<0,知a>0且b<0,‎ 所以>成立,③正确;‎ 当a<0且b<0时,可知④不正确.‎ ‎7.若a>b>0,则下列不等式中一定成立的是________.‎ ‎①a+>b+; ②>;‎ ‎③a->b-; ④>.‎ 答案 ①‎ 解析 取a=2,b=1,排除②与④;另外,函数f(x)=x-是(0,+∞)上的增函数,但函数g(x)=‎ x+在(0,1]上递减,在[1,+∞)上递增,所以,当a>b>0时,f(a)>f(b)必定成立,即a->b-⇔a+>b+,但g(a)>g(b)未必成立.‎ ‎8.若a>b>0,则下列不等式一定不成立的是________.‎ ‎①<; ②log2a>log2b;‎ ‎③a2+b2≤2a+2b-2; ④b<<0(由a>b>0,a,b不能同时为1),‎ ‎∴a2+b2-2a-2b+2>0,∴a2+b2>2a+2b-2,‎ ‎∴③一定不成立.‎ ‎9.若不等式(-2)na-3n-1-(-2)n<0对任意正整数n恒成立,则实数a的取值范围是____________.‎ 答案  解析 当n为奇数时,2n(1-a)<3n-1,1-a<×n恒成立,只需1-a<×1,∴a>.当n为偶数时,2n(a-1)<3n-1,a-1<×n恒成立,只需a-1<×2,∴a<.‎ 综上,0,bc-ad>0,则->0;‎ ‎②若ab>0,->0,则bc-ad>0;‎ ‎③若bc-ad>0,->0,则ab>0.‎ 其中正确的命题是________.‎ 答案 ①②③‎ 解析 ∵ab>0,bc-ad>0,‎ ‎∴-=>0,∴①正确;‎ ‎∵ab>0,又->0,即>0,‎ ‎∴bc-ad>0,∴②正确;‎ ‎∵bc-ad>0,又->0,即>0,‎ ‎∴ab>0,∴③正确.故①②③都正确.‎ ‎11.(教材改编)一辆汽车原来每天行驶x km,如果该汽车每天行驶的路程比原来多19 km,那么在8天内它的行程将超过2 200 km,用不等式表示为____________.‎ 答案 8(x+19)>2 200‎ 解析 因为该汽车每天行驶的路程比原来多19 km,所以汽车每天行驶的路程为(x+19) km,则在8天内它的行程为8(x+19) km,因此,不等关系“在8天内它的行程将超过2 200 km”可以用不等式8(x+19)>2 200来表示.‎ ‎12.已知-1<2x-1<1,则-1的取值范围是________.‎ 答案 (1,+∞)‎ 解析 -1<2x-1<1⇒01⇒>2‎ ‎⇒-1>1.‎ ‎13.已知-1≤x+y≤4,且2≤x-y≤3,则z=2x-3y的取值范围是__________(用区间表示).‎ 答案 [3,8]‎ 解析 ∵z=-(x+y)+(x-y),‎ ‎∴3≤-(x+y)+(x-y)≤8,‎ ‎∴z的取值范围是[3,8].‎ ‎14.已知m∈R,a>b>1,f(x)=,试比较f(a)与f(b)的大小.‎ 解 f(x)=m(1+),f(a)=m(1+),‎ f(b)=m(1+).‎ 由a>b>1,知a-1>b-1>0.‎ ‎∴<,∴1+<1+.‎ ‎①当m>0时,m(1+)m(1+),f(a)>f(b).‎ 综上所述,当m>0时,f(a)f(b).‎