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  • 2021-06-16 发布

【数学】2020届一轮复习北师大版解三角形作业

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‎ 大题考法——解三角形 A组 ‎1.(2018·三湘联考)如图, a,b,c分别为△ABC中角A,B,C的对边,∠ABC=,cos ∠ADC=,c=8,CD=2.‎ ‎(1)求a的值;‎ ‎(2)求△ADC的外接圆的半径R.‎ 解:(1)∵cos ∠ADC=,∴sin ∠ADC=sin ∠ADB=,‎ ‎∴sin ∠BAD=sin(∠ADC-∠ABC)=×-×=,‎ 在△ABD中,由正弦定理得BD==3,‎ ‎∴a=3+2=5.‎ ‎(2)在△ABC中,b==7.‎ 在△ADC中,R=·=.‎ ‎2.(2018·皖南联考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=b(sin C+cos C).‎ ‎(1)求角B的大小;‎ ‎(2)若a=1,b=,求△ABC的面积.‎ 解:(1)在△ABC中,‎ a=b(cos C+sin C)⇒sin A=sin B(cos C+sin C),‎ 则sin(B+C)=sin B(cos C+sin C),‎ 所以cos Bsin C=sin Bsin C,‎ 又sin C>0,所以cos B=sin B,‎ 即tan B=1,B∈(0,π),所以B=.‎ ‎(2)在△ABC中,a=1,b=,B=,‎ 由余弦定理,得2=1+c2-2c·,‎ 所以c2-c-1=0,所以c=,‎ 所以△ABC的面积为S=acsin B=.‎ ‎3.(2018·商丘二模)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin(A+C)=2sin Acos(A+B),且C=.‎ ‎(1)求证:a,b,2a成等比数列;‎ ‎(2)若△ABC的面积是2,求c边的长.‎ ‎(1)证明:∵A+B+C=π,‎ sin(A+C)=2sin Acos(A+B),‎ ‎∴sin B=-2sin Acos C.‎ 在△ABC中,由正弦定理得, b=-2acos C,‎ ‎∵C=,∴b=a,‎ ‎∴b2=2a2=a·2a,∴a,b,2a成等比数列.‎ ‎(2)解:S=absin C=ab=2,则ab=4,‎ 由(1)知,b=a,联立两式解得a=2,b=2,‎ 由余弦定理得, c2=a2+b2-2abcos C=4+8-2×2×2×=20,∴c=2.‎ ‎4.(2018·赣州二模)已知函数f(x)=sin+2sin2x.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间;‎ ‎(2)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若f=,b+c=7,△ABC的面积为2,求a边的长.‎ 解:(1)∵f(x)=sin 2xcos +cos 2xsin +1-cos 2x=‎ sin+1,‎ ‎∴f(x)的最小正周期T==π,‎ 由2kπ+≤2x-≤2kπ+,k∈Z,‎ 得kπ+≤x≤kπ+,(k∈Z),‎ ‎∴函数f(x)的单调递减区间是 (k∈Z).‎ ‎(2)由(1)得f(x)=sin+1,‎ ‎∴f=sin+1=,‎ ‎∴sin=,‎ ‎∵-<A-<,∴A=.‎ 又S△ABC=bcsin =bc=2, ∴bc=8,‎ 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos =(b+c)2-3bc,‎ 又b+c=7,∴a2=72-3×8=25,∴a=5.‎ B组 ‎1.已知函数f(x)=2sinsin,x∈R.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期及其图象的对称中心;‎ ‎(2)在△ABC中,若A=,锐角C满足f=,求的值.‎ 解:(1)因为f(x)=2sinsin ‎=2sinsin ‎=2sincos=sin,‎ 所以函数f(x)的最小正周期为=π.‎ 对称中心为,k∈Z.‎ ‎(2)由(1)得,f=sin=sin C,‎ 由已知,sin C=,又角C为锐角,所以C=,‎ 由正弦定理,得====.‎ ‎2.(2018·郴州二模)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin B=2cos2‎ eq f(B,2),sin(A-C)=2cos Asin C.‎ ‎(1)求角B的大小;‎ ‎(2)若c=2,求△ABC的面积.‎ 解:(1)方法一 由sin B=2cos2,‎ 得2sin cos =2cos2,‎ 因为在△ABC中,cos ≠0,‎ 所以sin =cos ,即tan =.‎ 又因为在△ABC中,B∈(0,π),‎ 所以=,B=.‎ 方法二 由sin B=2cos2,得sin B=1+cos B,‎ 即sin B-cos B=1,‎ ‎2sin=1,sin=.‎ 又因为△ABC中,B∈(0,π),所以B-=,B=.‎ ‎(2)由sin(A-C)=2cos Asin C,得 sin Acos C=3cos Asin C.‎ 根据正弦定理和余弦定理得,‎ a·=3··c,即b2=2a2-2c2.‎ 又由(1)知B=,‎ 所以b2=a2+c2-2accos =a2+c2-ac=2a2-2c2.‎ 又c=2,解得a=-1,所以,面积为.‎ ‎3.(2018·大庆二模)已知f(x)=4sin xcos x+2cos 2x-1,x∈.‎ ‎(1)求f(x)的值域;‎ ‎(2)若CD为△ABC的中线,已知AC=f(x)max,BC=f(x)min,cos ∠BCA=,求CD的长.‎ 解:(1)f(x)=4sin xcos x+2cos 2x-1,‎ 化简得f(x)=2sin 2x+2cos 2x-1‎ ‎=4sin-1.‎ 因为x∈,所以2x+∈,‎ 当2x+=时,sin取得最大值1,‎ 当2x+=或2x+=时,sin取得最小值,‎ 所以sin∈,4sin-1∈[1,3],‎ 所以f(x)的值域为[1,3].‎ ‎(2)因为AC=f(x)max,BC=f(x)min,‎ 由(1)知,AC=3,BC=1,‎ 又因为cos ∠BCA=,‎ 根据余弦定理得 AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos ∠BCA=8,‎ 所以AB=2.‎ 因为AC2=AB2+BC2,所以△ABC为直角三角形, B为直角.‎ 故在Rt△ABC中,BC=1,BD=,‎ 所以CD==.‎ ‎4.(2018·荆州三模)已知向量a=(sin 2x,cos 2x),b=(cos θ,sin θ),若f(x)=a·b,且函数f(x)的图象关于直线x=对称.‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式,并求f(x)的单调递减区间;‎ ‎(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f(A)=,且b=5,c=2,求△ABC外接圆的面积.‎ 解:(1)f(x)=a·b=sin 2xcos θ+cos 2xsin θ ‎=sin(2x+θ),‎ ‎∵函数f(x)的图象关于直线x=对称,‎ ‎∴2×+θ=kπ+,k∈Z,‎ ‎∴θ=kπ+, k∈Z,‎ 又|θ|<,∴θ=.‎ ‎∴f(x)=sin.‎ 由2kπ+≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得 kπ+≤x≤kπ+,k∈Z.‎ ‎∴f(x)的单调递减区间为,k∈Z.‎ ‎(2)∵f(A)=sin=,∴sin=1.‎ ‎∵A∈(0,π),∴2A+∈,‎ ‎∴2A+=,∴A=.‎ 在△ABC中,由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A=25+12-2×5×2cos =7,‎ ‎∴a=.‎ 由正弦定理得=2R==2,∴R=.‎ ‎∴△ABC外接圆的面积S=πR2=7π.‎