高考数学一轮复习第三章导数及其应用3-2利用导数研究函数的单调性练习理北师大版 9页

‎3.2 利用导数研究函数的单调性 核心考点·精准研析 考点一　不含参数的函数的单调性 ‎ ‎1.函数y=xln x的单调递减区间是 (　　)‎ A.(-∞,e-1) B.(e-1,+∞)‎ C.(e,+∞) D.(0,e-1)‎ ‎2.函数f(x)=的单调递增区间为　　　　. ‎ ‎3.(2019·浙江高考改编)函数f(x)=-ln x+的单调递减区间为________________. ‎ ‎4.(2019·天津高考改编)函数f(x)=excos x的单调递增区间为___________. ‎ ‎【解析】1.选D.函数y=xln x的定义域为(0,+∞), ‎ 因为y=xln x,所以y′=ln x+1,‎ 令y′<0得00,‎ 解得x<-1-或x>-1+.‎ 所以f(x)的递增区间为(-∞,-1-)和(-1+,+∞).‎ 答案:(-∞,-1-)和(-1+,+∞)‎ ‎3.f(x)=-ln x+的定义域为(0,+∞).‎ f′(x)=-+=,‎ - 9 -‎ 由x>0知>0,2+1>0,‎ 所以由f′(x)<0得-2<0,解得00,则f(x)单调递增.‎ 所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).‎ 答案:(k∈Z)‎ 题2中,若将“f(x)=”改为“f(x)=x2ex”,则函数f(x)的单调递减区间是________________. ‎ ‎【解析】因为f(x)=x2ex,‎ 所以f′(x)=2xex+x2ex=(x2+2x)ex.‎ 由f′(x)<0,解得-20,解集在定义域内的部分为单调递增区间.‎ ‎(4)解不等式f ′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.‎ ‎【秒杀绝招】‎ - 9 -‎ ‎　排除法解T1,根据函数的定义域排除A,已知当x∈(1,+∞)时,y=x和y=ln x都是增函数且为正数,所以y=xln x也是增函数,从而排除B,C.‎ 考点二　含参数的函数的单调性 ‎ ‎【典例】已知函数f(x)=ln x+ax2-(2a+1)x.若a>0,试讨论函数f(x)的单调性.‎ ‎【解题导思】‎ 序号 题目拆解 ‎(1)求f′(x),解方程f′(x)=0‎ 求f(x)的定义域,求f′(x)并进行恰当的因式分解,求出方程f′(x)=0的根 ‎(2)由f′(x)的符号确定f(x)的单调性 用导数为零的实数分割定义域,逐个区间分析导数的符号,确定单调性 ‎【解析】因为f(x)=ln x+ax2-(2a+1)x, ‎ 所以f′(x)==,‎ 由题意知函数f(x)的定义域为(0,+∞), ‎ 令f′(x)=0得x=1或x=,‎ ‎(1)若<1,即a>,由f′(x)>0得x>1或01,即00得x>或0时,函数f(x)在上单调递增, 在上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.‎ ‎　解决含参数的函数的单调性问题应注意两点 ‎ ‎　(1)研究含参数的函数的单调性问题,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.‎ ‎(2)划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数为0的点和函数的间断点.‎ ‎　(2018·全国卷I改编)已知函数f=-x+aln x,讨论f的单调性.‎ ‎【解析】f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=--1+=-.‎ ‎(1)若a≤2,则f′(x)≤0,当且仅当a=2,x=1时f′(x)=0,‎ 所以f(x)在(0,+∞)上单调递减.‎ ‎(2)若a>2,令f′(x)=0得,x=或x=.‎ 当x∈∪时,f′(x)<0;‎ 当x∈时,f′(x)>0.‎ - 9 -‎ 所以f(x)在,上单调递减,在上单调递增.‎ 考点三　利用导数解决函数单调性的应用问题 ‎ 命 题 精 解 读 ‎1.考什么:(1)考查函数图像的识别、比较大小或解不等式、根据函数的单调性求参数等问题.‎ ‎(2)考查直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养及数形结合、转化与化归的思想方法.‎ ‎2.怎么考:与基本初等函数、不等式等综合考查函数的图像及函数的单调性的应用等问题.‎ ‎3.新趋势:以导数法研究函数单调性为基础,综合考查利用单调性比较大小、解不等式及知单调性求参数的范围.‎ 学 霸 好 方 法 由函数的单调性求参数的取值范围的方法 ‎ ‎(1)可导函数在区间D上单调,实际上就是在该区间上f ′ (x)≥0(或f ′ (x)≤0)恒成立,从而构建不等式, 求出参数的取值范围,要注意“=”是否可以取到.‎ ‎(2)可导函数在区间D 上存在单调区间,实际上就是f ′(x)>0(或f ′(x)<0)在该区间上存在解集,即f ′(x)max>0(或f ′(x)min<0)在该区间上有解,从而转化为不等式问题,求出参数的取值范围.‎ ‎(3)若已知f (x)在区间D 上的单调性,区间D上含有参数时,可先求出f(x)的单调区间,令D 是其单调区间的子集,从而求出参数的取值范围.‎ 函数图像的识别 ‎【典例】函数f(x)=x2+xsin x的图像大致为 (　　)‎ - 9 -‎ ‎【解析】选A.因为f(-x)=x2-xsin(-x)=x2+xsin x=f(x),所以f(x)为偶函数,B不符合题意,f(x)=x2+xsin x=x(x+sin x),令g(x)=x+sin x,则g′(x)=1+cos x≥0恒成立,所以g(x)是单调递增函数,则当x>0时,g(x)>g(0)=0,故x>0时,f(x)=xg(x),f′(x)=g(x)+xg′(x)>0,即f(x)在(0,+∞)上单调递增,故只有A符合题意.‎ 辨别函数的图像主要从哪几个角度分析?‎ 提示:从函数奇偶性、单调性、最值及函数图像所过的特殊点等角度分析.‎ 比较大小或解不等式 ‎【典例】(2019·兰州模拟)函数f(x)在定义域R内可导,f(x)=f(4-x),且(x-2)f′(x)>0.若a=f(0),b=f,c=f(3),则a,b,c的大小关系是 (　　)‎ A.c>b>a B.c>a>b C.a>b>c D.b>a>c ‎【解析】选C.由f(x)=f(4-x)可知,f(x)的图像关于直线x=2对称,根据题意知,当x∈(-∞,2)时,f′(x)<0,f(x)为减函数;当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数.所以f(3)=f(1)0,且当x趋向于-∞时,g(x)趋向于0,所以0≥a,即a的取值范围是(-∞,0].‎ 答案:-1　(-∞,0]‎ 函数f(x)在某区间上是增函数,推出f′(x)>0还是f′(x)≥0?‎ 提示:推出f′(x)≥0.‎ ‎1.设函数y=f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图像如图所示,则导函数y=f′(x)可能为 (　　)‎ ‎【解析】选D.由题意得,当x<0时,函数y=f(x)单调递增,故f′(x)>0;当x>0时,函数y=f(x)先增再减然后再增,故导函数的符号为先正再负然后再正.结合所给选项可得D符合题意.‎ ‎2.已知函数f′(x)是函数f(x)的导函数,f(1)=,对任意实数都有f(x)-f′(x)>0,设F(x)=,则不等式F(x)<的解集为 (　　)‎ A.(-∞,1) B.(1,+∞)‎ C.(1,e) D.(e,+∞)‎ ‎【解析】选B.根据题意,F(x)=,‎ 其导数F′(x)=‎ - 9 -‎ ‎=,‎ 又由f(x)-f′(x)>0,则有F′(x) <0,‎ 即函数F(x)在R上为减函数,‎ 又由f(1)=,则F(1)==,‎ 不等式F(x)<等价于F(x)1,则不等式的解集为(1,+∞).‎ ‎3.若f(x)=2x3-3x2-12x+3在区间[m,m+4]上是单调函数,则实数m的取值范围是________________. ‎ ‎【解析】因为f(x)=2x3-3x2-12x+3,‎ 所以f′(x)=6x2-6x-12=6(x+1)(x-2),‎ 令f′(x)>0,得x<-1或x>2;令f′(x)<0,得-10,则g′(x)=,‎ 当x>e时,g′(x)>0,g(x)单调递增,‎ 当0e时,h′(x)<0,函数单调递减,‎ 当00,函数单调递增,‎ h(x)≤h(e)=0,即f′(x)≤0恒成立,‎ 此时不满足题意,所以a的取值范围是.‎ - 9 -‎