【数学】2019届一轮复习北师大版二项式定理及其应用学案 15页

第86题 二项式定理及其应用 I．题源探究·黄金母题 ‎【例1】的展开式中常数项为 （ ）‎ A． B． C． D．105‎ ‎【答案】B ‎【例2】 （ ）‎ A．2 B．4 C．2 017 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】，故选B．‎ ‎【例3】若的展开式中与的系数相等，则 ．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】由已知得，解得．‎ 精彩解读 ‎【试题 】例1：人教A版选修2-3P37A组T5（2）；例2：人教A版选修2-3P35练习T1（3）改编；例3：人教A版选修2-3P37A组T8．‎ ‎【母题评析】这类题主要考查二项式定理的应用（求指定项或特征项的系数）、二项式系数和的性质，考查 生的识记、基本计算以及分析问题解决问题的能力．‎ ‎【思路方法】‎ ‎1．应用二项式定理、二项式系数和的性质解题．‎ ‎2．一般步骤：‎ ‎（1）审清题意；‎ ‎（2）建立关系；‎ ‎（3）通项求解．‎ II．考场精彩·真题回放 ‎【例1】【2017高考全国I理6】展开式中的系数为（ ）‎ A．15 B．20 C．30 D．35‎ ‎【命题意图】例1-例4均为考查二项式定理．‎ ‎【考试方向】‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，则展开式中含的项为，展开式中含的项为，故前系数为，故选C．‎ ‎【例2】【2017高考全国III理4】的展开式中33的系数为 （ ）‎ A． B． C．40 D．80‎ ‎【答案】C 故选C．‎ ‎【例3】【2017高考浙江13】已知多项式 ‎，则________，________．‎ ‎【答案】16，4‎ ‎【解析】由二项式展开式可得通项公式为：，分别取和可得，令可得．‎ ‎【例4】【2017高考山东理11】已知的展开式中含有项的系数是，则 ．‎ 这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等．‎ ‎【难点中心】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中和的隐含条件，即，均为非负整数，且，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．‎ ‎（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由二项式定理的通项公式，令得：，解得．‎ III．理论基础·解题原理 ‎1．二项式定理 ‎（1）定理：．‎ ‎（2）通项：第项为：．‎ ‎（3）二项式系数：二项展开式中各项的二项式系数为：．‎ ‎2．二项式系数的性质 IV．题型攻略·深度挖掘 ‎【考试方向】‎ 二项展开式定理的问题是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和与各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用．‎ ‎【技能方法】‎ ‎1．对三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决)，转化的方法通常为集项、配方、因式分解，集项时要注意项与项结合的合理性和简捷性．‎ ‎2．二项式定理的应用方法 ‎（1）“赋值法”和“构造法”是解决二项展开式中“系数和”问题的基本思路，也是证明有关组合数恒等式的重要方法．‎ ‎（2）“配凑法”和“消去法”是解决“整除性问题”或“余数问题”的重要方法．‎ ‎（3）有些不等式的证明问题，也常借助二项式定理进行“放缩”处理．‎ ‎3．二项展开式系数最大项的求法 如求的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为，且第项系数最大，应用从而解出来，即得．‎ ‎4．二项式展开式有关问题的解题策略：‎ ‎（1）求展开式中的第项．可依据二项式的通项公式直接求出第项．‎ ‎（2）求展开式中的特定项．可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可．‎ ‎（3）已知展开式的某项，求特定项的系数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数．‎ ‎5．二项式定理给出的是一个恒等式，对于的一切值都成立．因此，可将设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令等于多少时，应视具体情况而定，一般取“或0”，有时也取其他值．‎ 一般地，若，则的展开式中各项系数之和为，奇数项系数之和为，偶数项系数之和为．‎ ‎【易错指导】‎ ‎1．二项展开式的通项主要用于求二项式的指数、项和系数，在运用公式时要注意以下几点：‎ ‎（1）是第项，而不是第项．‎ ‎（2）求展开式的一些特殊项，通常都是由题意列出方程求出，再求所需的某项（有时需先求）．计算时要注意的取值范围及它们的大小关系．‎ ‎（3）求展开式的某一项的系数，先要准确地写出通项，特别要注意符号问题，然后将通项中的系数和字母分离．‎ ‎2．要注意二项展开式中二项式系数与某一项系数的区别．在 的展开式中，系数最大的项是中间项；但当的系数不是1时，系数最大的项的位置就不一定在中间，需要利用通项公式，根据系数的增减性具体讨论而定．‎ ‎3．切实理解“常数项”“有理项”(字母指数为整数)“系数最大的项”等概念．‎ V．举一反三·触类旁通 考向1 求展开式中的指定项或特定项 ‎（1）解此类问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中和的隐含条件，即均为非负整数，且，如常数项指数为零、有理项指数为整数等）；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．‎ ‎（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．‎ ‎【例1】【2018山西榆社中 高三诊断性模拟】的展开式中的系数为（ ）‎ A． B．84 C． D．280‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，根据二项式定理展开式的通项公式，得展开式的通项为，则展开式的通项为，由，得，所以所求的系数为．故选C．‎ ‎【名师点睛】此题主要考查二项式定理的通项公式的应用，以及组合数、整数幂的运算等有关方面的知识与技能，属于中低档题，也是常考知识点．在二项式定理的应用中，注意区分二项式系数与系数，先求出通项公式，再根据所求问题，通过确定未知的次数，求出，将的值代入通项公式进行计算，从而问题可得解． 7 ‎ ‎【例2】【2018安徽蚌埠一模】已知 ，则（ ）‎ A．18 B．24 C．36 D．56‎ ‎【答案】B ‎【解析】，故，‎ ‎．‎ ‎【例3】【2018贵州遵义高三上 期第二次联考】下边程序框图的算法思路是 于我国古代数 名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图时，若输入的分别为16、18，输出的结果为，则二项式的展开式中常数项是 （ ）‎ A． B．52 C． D．‎ ‎【答案】D ‎，令可得展开式中的常数项为 ‎，故选D．‎ ‎【跟踪练习】‎ ‎1．【2018山西平遥中 高三3月高考适应性调研】在的展开式中，含项的系数为（ ）‎ A．25 B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】的展开式中含项的系数为 ‎ 选B．‎ ‎2．【2018海南高三阶段性测试（二模）】的展开式中，的系数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【名师点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 ‎（1）求展开式中的特定项．可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可．‎ ‎（2）已知展开式的某项，求特定项的系数．可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数．‎ ‎3．【2018江西临川二中、新余四中高三1月联考】若二项式的展开式中的系数为，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】二项式的展开式的通项公式为．‎ 令，解得，则系数为．解得，故选C．‎ 考向2 二项式系数和或项系数的和问题 ‎（1）“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法；只需令即可；对形如的式子求其展开式各项系数之和，只需令即可．‎ ‎（2）若，则的展开式中各项系数之和为 ‎，奇数项系数之和为，偶数项系数之和为．‎ ‎【例4】【2018河北衡水金卷高三高考模拟一】的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】令，得，而常数项为，所以展开式中剔除常数项的各项系数和为，故选A． + 8 ‎ ‎【例5】【2018河南郑州高三第一次质量检测】在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为3：2，则的系数为（ ）‎ A．50 B．70 C．90 D．120‎ ‎【答案】C ‎【解析】在中，令得，即展开式中各项系数和为；又展开式中的二项系数为，故选C．‎ ‎【例6】【2018安徽宣城高三二模】记，则的值为（ ）‎ A．1 B．2 C．129 D．2188‎ ‎【答案】C ‎【解析】中，令，得．‎ ‎∵展开式中含项的系数为，∴，∴，故选C．‎ ‎【名师点睛】二项式通项与展开式的应用：‎ ‎（1）通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定项或指定项的系数等．‎ ‎（2）展开式的应用：‎ ‎①可求解与二项式系数有关的求值，常采用赋值法．‎ ‎②可证明整除问题(或求余数)．关键是要合理地构造二项式，并将它展开进行分析判断．‎ ‎③有关组合式的求值证明，常采用构造法．‎ ‎【跟踪练习】‎ ‎1．【2018河北邯郸高三一模】若的展开式中的系数为80，其中为正整数，则的展开式中各项系数的绝对值之和为（ ）‎ A．32 B．81 C．243 D．256‎ ‎【答案】C ‎2．已知，则的值等于（ ）‎ A．64 B．32 C．63 D．31‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵，∴，∴‎ ‎，故选B．‎ ‎3．【2018广西壮族自治区贺州市桂梧高中高三上 期第五次联考】展开式中各项的二项式系数之和为__________．‎ ‎【答案】32‎ ‎【解析】展开式中各项的二项式系数之和为．‎ ‎4．【2018安徽合肥一模】已知是常数，，且，则__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】所给的等式中，令可得：，‎ 令可得：，结合题意有：，求解关于实数的方程可得：．‎ 考向3 二项式系数或项的系数的最值问题 求系数最大的项应注意与不等式相联系，同时还应重视整数解的寻找．解题时要审清题意，搞清所求最大项是指数值最大项，还是系数最大项，还是二项式系数最大的项．‎ ‎【例7】【2018安徽马鞍山高三二模】二项式的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中的指数为整数的顶的个数为（ ）‎ A．3 B．5 C．6 D．7‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为展开式中只有第11项的二项式系数最大，所以n=20．二项式展开式的通项为 ‎，由题得为整数，，故选D． 5 ‎ ‎【例8】【2018四川成都龙泉驿区二中高三3月市“二诊”】在展开式中，二项式系数的最大值为 ，含项的系数为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】在展开式中，二项式系数的最大值为 a，∴a==20．展开式中的通项公式：Tr+1=，令6﹣r=5，可得r=1．∴含x5项的系数为b==﹣12，则，故选B．‎ ‎【例9】【2018江西重点中 盟校高三第一次联考】若多项式展开式仅在第项的二项式系数最大，则多项式展开式中的系数为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【跟踪练习】‎ ‎1．【2018河北唐山高三一模】的展开式中，二项式系数最大的项的系数是__________．（用数字作答）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】的展开式中，二项式系数最大的项是第四项，系数为．‎ ‎2．【2018四川德阳高三二诊】的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则该展开式的常数项是__________．‎ ‎【答案】15‎ ‎【解析】∵二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，‎ ‎，则展开式中的通项公式为．令，求得，故展开式中的常数项为．‎ ‎3．【2018河南省八市高二下 期第一次测评】已知 的展开式中，第六项和第七项的二项式系数最大 ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求展开式中系数的最大的项．‎ ‎【答案】（1） （2） 第八项和第九项．‎ ‎【解析】试题分析：（1）由（1+2x）n的展开式中，第六项和第七项的二项式系数最大即Cn5=Cn6且最大，可求n；（2）由（1）可知n=11，设（1+2x）11展开式中系数最大的项第r+1项Tr+1=2r•C11r•xr，令tr+1=2r•C11r，则，代入解不等式可求r．‎ 试题解析：（1）因为第六项，第七项二项式系数最大，所以；‎ ‎（2）设展开式中系数最大的项第 项，，令，则解得或，当时，；当时，，展开式中系数最大的项有两项，即第八项和第九项．‎ 考向4 二项式定理的应用 ‎（1）整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项．而求近似值则应关注展开式的前几项．‎ ‎（2）二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式．‎ ‎【例10】若为正奇数，则被9除所得的余数是(　　)‎ A．0 B．2 C．7 D．8‎ ‎【答案】C ‎【解析】原式 ‎【名师点睛】本题主要考查了二项式应用问题，属于基础题，对于二项展开式应用的问题是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）求某些多项式系数的和；（2）证明一些简单的组合恒等式；（3）证明整除性，①求数的末位；②数的整除性及求系数；③简单多项式的整除问题；（4）近似计算． 5 ‎ ‎【例11】【2018河南南阳市高三上 期期末考试】__________（小数点后保留三位小数）．‎ ‎【答案】1．172‎ ‎【解析】．‎ ‎【例12】【2018江苏南通、徐州、扬州等六市高三第二次调研（二模）】已知…，．记．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）化简的表达式，并证明：对任意的，都能被整除．‎ ‎【答案】（1）30；（2）证明见解析．‎ ‎【解析】试题分析：由二项式定理，得（i=0，1，2，…，2n+1），（1）根据，得，即可得解；（2）先根据组合数的性质可得出，再将化简得，即可证明．‎ ‎．‎ ‎∴．∵，∴能被整除．‎ ‎【名师点睛】利用二项式定理解决整除问题时，基本思路是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可．因此，一般将被除式化为含有相关除式的二项式，然后再展开，此时常用“配凑法”、“消去法”结合有关整除知识来处理．‎ ‎【跟踪练习】‎ ‎1．除以，所得余数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】，展开式的通项为，不能被整除即时，余数为，由于余数要为正数，故加，得．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查利用二项式定理解有关整除问题，关键在于将原式转化为的倍数来展开．‎ ‎2．已知能被25整除，则最小值A=_____________________‎ ‎【答案】4‎ 因此只需能够被整除即可，可知最小正整数的值为，‎ ‎ 综上可得：正整数的值为．‎ ‎3．【2018陕西省黄陵中 高新部高三模拟】（1）设．‎ ‎①求；②求；③求；‎ ‎（2）求除以9的余数．‎ ‎【答案】（1）16，256，15；（2）7‎ ‎【解析】试题分析：（1）①利用赋值法，令，求；②令x=-1，与上式相加求；③令，结合二项式系数和即可求出结果；（2）利用二项式系数和，把 分解为9的倍数形式，再求对应的余数．‎ 试题解析：（1）①令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(3－1)4＝16．‎ ‎②令x＝－1得，a0－a1＋a2－a3＋a4＝(－3－1)4＝256，‎ 而由（1）知a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(3－1)4＝16，两式相加，得a0＋a2＋a4＝136． ‎ ‎③令x＝0得a0＝(0－1)4＝1，得a1＋a2＋a3＋a4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4－a0＝16－1＝15．‎ ‎（2）解　S＝C＋C＋…＋C＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝C×99－C×98＋…＋C×9－C－1‎ ‎＝9(C×98－C×97＋…＋C)－2＝9(C×98－C×97＋…＋C－1)＋7，‎ 显然上式括号内的数是正整数，故S被9除的余数为7． · 1 ‎