2021届高考数学一轮复习第九章平面解析几何第3节圆的方程课件新人教A版 33页

第 3 节　圆的方程 考试要求　 掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程 . 知 识 梳 理 1. 圆的定义和圆的方程 定义 平面内到 _______ 的距离等于 _______ 的点的轨迹叫做圆 方程 标准 ( x － a ) 2 ＋ ( y － b ) 2 ＝ r 2 ( r ＞ 0) 圆心 C ( a ， b ) 半径为 r 一般 x 2 ＋ y 2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0 ( D 2 ＋ E 2 － 4 F ＞ 0) 充要条件： _______________ 圆心坐标： ___________ 定点 定长 D 2 ＋ E 2 － 4 F ＞ 0 2. 点与圆的位置关系 平面上的一点 M ( x 0 ， y 0 ) 与圆 C ： ( x － a ) 2 ＋ ( y － b ) 2 ＝ r 2 之间存在着下列关系： (1)| MC | ＞ r ⇔ M 在 _______ ，即 ( x 0 － a ) 2 ＋ ( y 0 － b ) 2 ＞ r 2 ⇔ M 在圆外； (2)| MC | ＝ r ⇔ M 在 _______ ，即 ( x 0 － a ) 2 ＋ ( y 0 － b ) 2 ＝ r 2 ⇔ M 在圆上； (3)| MC | ＜ r ⇔ M 在 _______ ，即 ( x 0 － a ) 2 ＋ ( y 0 － b ) 2 ＜ r 2 ⇔ M 在圆内 . 圆外 圆上 圆内 [ 常用结论与微点提醒 ] 1. 圆心在坐标原点半径为 r 的圆的方程为 x 2 ＋ y 2 ＝ r 2 . 2. 以 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) 为直径端点的圆的方程为 ( x － x 1 )·( x － x 2 ) ＋ ( y － y 1 )( y － y 2 ) ＝ 0. 诊 断 自 测 1. 判断下列结论正误 ( 在括号内打 “√” 或 “×” ) (1) 确定圆的几何要素是圆心与半径 .( 　　 ) (2) 方程 x 2 ＋ y 2 ＝ a 2 表示半径为 a 的圆 .( 　　 ) (3) 方程 x 2 ＋ y 2 ＋ 4 mx － 2 y ＋ 5 m ＝ 0 表示圆 .( 　　 ) (4) 方程 Ax 2 ＋ Bxy ＋ Cy 2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0 表示圆的充要条件是 A ＝ C ≠ 0 ， B ＝ 0 ， D 2 ＋ E 2 － 4 AF >0.( 　　 ) 解析　 (2) 当 a ＝ 0 时， x 2 ＋ y 2 ＝ a 2 表示点 (0 ， 0) ；当 a ＜ 0 时，表示半径为 | a | 的圆 . 答案　 (1) √ 　 (2) × 　 (3) × 　 (4) √ 2. ( 老教材必修 2P124A1 改编 ) 圆 x 2 ＋ y 2 － 4 x ＋ 6 y ＝ 0 的圆心坐标和半径分别是 ( 　　 ) 答案　 D 3. ( 老教材必修 2P120 例 3 改编 ) 过点 A (1 ，－ 1) ， B ( － 1 ， 1) ，且圆心在直线 x ＋ y － 2 ＝ 0 上的圆的方程是 ( 　　 ) A.( x － 3) 2 ＋ ( y ＋ 1) 2 ＝ 4 B.( x ＋ 3) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 4 C.( x － 1) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 4 D.( x ＋ 1) 2 ＋ ( y ＋ 1) 2 ＝ 4 解析　 设圆心 C 的坐标为 ( a ， b ) ，半径为 r . 因为圆心 C 在直线 x ＋ y － 2 ＝ 0 上，所以 b ＝ 2 － a . 又 | CA | 2 ＝ | CB | 2 ，所以 ( a － 1) 2 ＋ (2 － a ＋ 1) 2 ＝ ( a ＋ 1) 2 ＋ (2 － a － 1) 2 ，所以 a ＝ 1 ， b ＝ 1. 所以 r ＝ 2. 所以方程为 ( x － 1) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 4. 答案　 C 4. (2019· 合肥模拟 ) 已知 A (1 ， 0) ， B (0 ， 3) 两点，则以 AB 为直径的圆的方程是 ( 　　 ) A. x 2 ＋ y 2 － x － 3 y ＝ 0 B. x 2 ＋ y 2 ＋ x ＋ 3 y ＝ 0 C. x 2 ＋ y 2 ＋ x － 3 y ＝ 0 D. x 2 ＋ y 2 － x ＋ 3 y ＝ 0 答案　 A A.1 B.2 C.3 D.4 答案　 A A. 一个椭圆 B. 一个圆 C. 两个圆 D. 两个半圆 答案　 D 考点一　圆的方程 【例 1 】 (1) ( 一题多解 ) 已知圆 E 经过三点 A (0 ， 1) ， B (2 ， 0) ， C (0 ，－ 1) ，且圆心在 x 轴的正半轴上，则圆 E 的标准方程为 ( 　　 ) (2) (2020· 豫西五校联考 ) 在平面直角坐标系 xOy 中，以点 (0 ， 1) 为圆心且与直线 x － by ＋ 2 b ＋ 1 ＝ 0 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ( 　　 ) A. x 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 4 B. x 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 2 C. x 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 8 D. x 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 16 解析　 (1) 法一　 ( 待定系数法 ) 法二　 ( 几何法 ) 答案　 (1)C 　 (2)B 规律方法　 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程 . 一般来说，求圆的方程有两种方法： (1) 几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量 . 确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质： ① 圆心在过切点且垂直切线的直线上； ② 圆心在任一弦的中垂线上； ③ 两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线； (2) 代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解 . (2) 已知圆 C 经过 P ( － 2 ， 4) ， Q (3 ，－ 1) 两点，且在 x 轴上截得的弦长等于 6 ，则圆 C 的方程为 ________. (2) 设圆的方程为 x 2 ＋ y 2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0( D 2 ＋ E 2 － 4 F >0) ， 又令 y ＝ 0 ，得 x 2 ＋ Dx ＋ F ＝ 0. ③ 设 x 1 ， x 2 是方程 ③ 的两根， 由 | x 1 － x 2 | ＝ 6 ，得 D 2 － 4 F ＝ 36 ， ④ 联立 ①②④ ，解得 D ＝－ 2 ， E ＝－ 4 ， F ＝－ 8 ，或 D ＝－ 6 ， E ＝－ 8 ， F ＝ 0. 故所求圆的方程为 x 2 ＋ y 2 － 2 x － 4 y － 8 ＝ 0 或 x 2 ＋ y 2 － 6 x － 8 y ＝ 0. 答案　 (1) x 2 ＋ ( y ＋ 1) 2 ＝ 4 (2) x 2 ＋ y 2 － 2 x － 4 y － 8 ＝ 0 或 x 2 ＋ y 2 － 6 x － 8 y ＝ 0 考点二　与圆有关的最值问题　 多维探究 角度 1 　利用几何意义求最值 【例 2 － 1 】 已知点 ( x ， y ) 在圆 ( x － 2) 2 ＋ ( y ＋ 3) 2 ＝ 1 上 . (2) 设 t ＝ x ＋ y ，则 y ＝－ x ＋ t ， t 可视为直线 y ＝－ x ＋ t 在 y 轴上的截距， ∴ x ＋ y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在 y 轴上的截距 . 由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 角度 2 　利用对称性求最值 【例 2 － 2 】 已知圆 C 1 ： ( x － 2) 2 ＋ ( y － 3) 2 ＝ 1 ，圆 C 2 ： ( x － 3) 2 ＋ ( y － 4) 2 ＝ 9 ， M ， N 分别是圆 C 1 ， C 2 上的动点， P 为 x 轴上的动点，则 | PM | ＋ | PN | 的最小值为 ( 　　 ) 答案　 A 规律方法　 求解形如 | PM | ＋ | PN |( 其中 M ， N 均为动点 ) 且与圆 C 有关的折线段的最值问题的基本思路： (1) “ 动化定 ” ，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离； (2) “ 曲化直 ” ，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决 . 答案　 12 规律方法　 根据题中条件列出相关的函数关系式，再根据函数知识或基本不等式求最值 . 【训练 2 】 (1) ( 多填题 ) ( 角度 1) 已知实数 x ， y 满足方程 x 2 ＋ y 2 － 4 x ＋ 1 ＝ 0 ，则 x 2 ＋ y 2 的最大值为 ________ ，最小值为 ________. (2) ( 角度 2) 已知 A (0 ， 2) ，点 P 在直线 x ＋ y ＋ 2 ＝ 0 上，点 Q 在圆 C ： x 2 ＋ y 2 － 4 x － 2 y ＝ 0 上，则 | PA | ＋ | PQ | 的最小值是 ________. (3) ( 角度 3) 已知圆 O ： x 2 ＋ y 2 ＝ 9 ，若过点 C (2 ， 1) 的直线 l 与圆 O 交于 P ， Q 两点，则 △ OPQ 的面积最大值为 ( 　　 ) 解析　 (1) x 2 ＋ y 2 表示圆 ( x － 2) 2 ＋ y 2 ＝ 3 上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值 ( 如图 ). 连接 A ′ C 交圆 C 于 Q ，由对称性可知 考点三　与圆有关的轨迹问题 【例 3 】 已知 Rt △ ABC 的斜边为 AB ，且 A ( － 1 ， 0) ， B (3 ， 0) ，求： (1) ( 一题多解 ) 直角顶点 C 的轨迹方程； (2) 直角边 BC 的中点 M 的轨迹方程 . 解　 (1) 法一　 设 C ( x ， y ) ，因为 A ， B ， C 三点不共线，所以 y ≠ 0. 因为 AC ⊥ BC ，且 BC ， AC 斜率均存在，所以 k AC · k BC ＝－ 1 ， 因此，直角顶点 C 的轨迹方程为 x 2 ＋ y 2 － 2 x － 3 ＝ 0( y ≠ 0). 法二　 设 AB 的中点为 D ，由中点坐标公式得 D (1 ， 0) ，由直角三角形的性质知 | CD | ＝ | AB | ＝ 2. 由圆的定义知，动点 C 的轨迹是以 D (1 ， 0) 为圆心， 2 为半径的圆 ( 由于 A ， B ， C 三点不共线，所以应除去与 x 轴的交点 ). 所以直角顶点 C 的轨迹方程为 ( x － 1) 2 ＋ y 2 ＝ 4( y ≠ 0). 由 (1) 知，点 C 的轨迹方程为 ( x － 1) 2 ＋ y 2 ＝ 4( y ≠ 0) ， 将 x 0 ＝ 2 x － 3 ， y 0 ＝ 2 y 代入得 (2 x － 4) 2 ＋ (2 y ) 2 ＝ 4 ，即 ( x － 2) 2 ＋ y 2 ＝ 1. 因此动点 M 的轨迹方程为 ( x － 2) 2 ＋ y 2 ＝ 1( y ≠ 0). 规律方法　 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： (1) 直接法，直接根据题目提供的条件列出方程； (2) 定义法，根据圆、直线等定义列方程； (3) 几何法，利用圆的几何性质列方程； (4) 代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等 . 【训练 3 】 已知过原点的动直线 l 与圆 C 1 ： x 2 ＋ y 2 － 6 x ＋ 5 ＝ 0 相交于不同的两点 A ， B . (1) 求圆 C 1 的圆心坐标； (2) 求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程 . 解　 (1) 由 x 2 ＋ y 2 － 6 x ＋ 5 ＝ 0 得 ( x － 3) 2 ＋ y 2 ＝ 4 ， 所以圆 C 1 的圆心坐标为 (3 ， 0). (2) 设 M ( x ， y ) ， 因为点 M 为线段 AB 的中点， 所以 C 1 M ⊥ AB ， 又当直线 l 与 x 轴重合时， M 点坐标为 (3 ， 0) ，代入上式成立 . 设直线 l 的方程为 y ＝ kx ，与 x 2 ＋ y 2 － 6 x ＋ 5 ＝ 0 联立， 消去 y 得： (1 ＋ k 2 ) x 2 － 6 x ＋ 5 ＝ 0.