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福建省龙岩市 2017 年高中毕业班教学质量检查
数学(理科)试题
第Ⅰ卷(选择题 60 分)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的.
1.若集合 , ,则 ( )
A. B. C. D.
2.已知纯虚数 满足 ,则实数 等于( )
A. B. C.-2 D.2
3.在等差数列 中,已知 是函数 的两个零点,则 的前 9 项和等于( )
A.-18 B.9 C.18 D.36
4.阅读下边的程序框图,运行相应的程序,输出的结果为( )
A.3 B. C. D.
5.下列关于命题的说法错误的是( )
A.命题“若 ,则 ”的逆否命题为“若 ,则 ”;
B.“ ”是“函数 在区间 上为增函数”的充分不必要条件;
C.若命题 , ,则 , ;
1
3{ | }A y y x= = { ln( 1)}B x y x= = − A B =
[1, )+∞ (0,1) (1, )+∞ ( ,1)−∞
z (1 2 ) 1i z ai− = + a
1
2
1
2
−
{ }na 3 7,a a 2( ) 4 3f x x x= − + { }na
2
3
1
2
1
2
−
2 3 2 0x x− + = 2x = 2x ≠ 2 3 2 0x x− + ≠
2a = ( ) logaf x x= (0, )+∞
:p n N∃ ∈ 2 1000n > :p n N¬ ∀ ∈ 2 1000n >
D.命题“ , ”是假命题.
6. 的展开式中 的系数为( )
A.100 B.15 C.-35 D.-220
7.已知向量 与 的夹角为 ,且 , ,若 ,且 ,则
实数 的值为( )
A. B. C.6 D.4
8.中国古代数学著《九章算术》中记载了公元前 344 年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升,其三视图
如图所示(单位:寸),若 取 3,其体积为 13.5(立方寸),则图中的 为( )
A.2.4 B.1.8 C.1.6 D.1.2
9.设不等式组 ,表示的平面区域为 ,若直线 上存在 内的点,则实数 的取值范
围是( )
A. B. C. D.
10.已知三棱锥 的四个顶点均在同一球面上,其中 是正三角形, 平面 ,
,则该球的表面积为( )
A. B. C. D.
11.已知离心率为 的双曲线 的左、右焦点分别为 , 是双曲线 的
一条渐近线上的点,且 , 为坐标原点,若 ,则双曲线 的实轴长是( )
A.32 B.16 C.8 D.4
( ,0)x∃ ∈ −∞ 2 3x x<
6( 1)( 2)x x− + 4x
OA OB 060 | | 3OA = | | 2OB = OC mOA nOB= + OC AB⊥
m
n
1
6
1
4
π x
1
0
4
x
x y
x y
≥
− ≤
+ ≤
M 2y kx= − M k
[1,3] ( ,1] [3, )−∞ +∞ [2,5] ( ,2] [5, )−∞ +∞
P ABC− ABC∆ PA ⊥ ABC
2 2 3PA AB= =
8π 16π 32π 36π
5
2
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > > 1 2,F F M C
2OM MF⊥ O 2
16OMFS∆ = C
12.已知函数 的定义域为 ,其图象关于点 中心对称,其导函数 ,当 时,
,则不等式 的解集为( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.设 为钝角,若 ,则 的值为 .
14.过抛物线 的焦点 作直线 交抛物线 于 ,若 ,则直线 的斜率
是 .
15.已知各项不为零的数列 的前 项的和为 ,且满足 ,若 为递增数列,则 的取值
范围为 .
16.若实数 满足 ,则 的最小值为 .
三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. 已知 .
(1)求 的单调增区间;
(2)已知 中,角 的对边分别为 ,若 为锐角且 , ,求 的取值
范围.
18. 如图,在梯形 中, , , ,平面 平面
,四边形 是菱形, .
(1)求证: 平面 ;
( )f x R ( 1,0)− ' ( )f x 1x < −
'( 1)[ ( ) ( 1) ( )] 0x f x x f x+ + + < ( 1) (0)xf x f− >
(1, )+∞ ( , 1)−∞ − ( 1,1)− ( , 1) (1, )−∞ − +∞
θ 3sin( )3 5
πθ + = − cosθ
2: 4C y x= F l C ,A B 4AF BF= l
{ }na n nS 1n nS aλ= − { }na λ
, , ,a b c d
22 ln 3 2 1a a c
b d
− −= = 2 2( ) ( )a c b d− + −
2 3( ) 3sin sin cos 2f x x x x= + −
( )f x
ABC∆ , ,A B C , ,a b c A 3( ) 2f A = 4b c+ = a
ABCD //AB CD 2AD DC CB= = = 060ABC∠ = ACEF ⊥
ABCD ACEF 060CAF∠ =
BC ⊥ ACEF
(2)求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
19. 某公司有 五辆汽车,其中 两辆汽车的车牌尾号均为 1, 两辆汽车的车牌尾号均
为 2, 车的车牌尾号为 6,已知在非限行日,每辆车可能出车或不出车, 三辆汽车每天出车的概
率均为 , 两辆汽车每天出车的概率均为 ,且五辆汽车是否出车相互独立,该公司所在地区汽车限
行规定如下:
车牌尾号 0 和 5 1 和 6 2 和 7 3 和 8 4 和 9
限行日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
(1)求该公司在星期一至少有 2 辆汽车出车的概率;
(2)设 表示该公司在星期二和星期三两天出车的车辆数之和,求 的分布列及数学期望.
20. 已知圆 和点 ,动圆 经过点 且与圆 相切,圆心 的轨迹为曲线
.
(1)求曲线 的方程;
(2)点 是曲线 与 轴正半轴的交点,点 在曲线 上,若直线 的斜率 ,满足
,求 面积的最大值.
21.已知函数 , ( ), 存在两个极值点
( )
(1)求 的最小值;
(2)若不等式 恒成立,求实数 的取值范围.
请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修 4-4:坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点 为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知点 的直角坐标为 ,若直
线 的极坐标方程为 ,曲线 的参数方程是 ( 为参数).
(1)求直线 和曲线 的普通方程;
(2)设直线 和曲线 交于 两点,求 .
ABF ADF
, , , ,A B C D E ,A B ,C D
E , ,A B E
1
2 ,C D 2
3
X X
2 2: 2 7 0M x y y+ + − = (0,1)N P N M P
E
E
A E x ,B C E ,AB AC 1 2,k k
1 2 4k k = ABC∆
3( ) ( )4
xf x x e= − 2( ) 4 4 ln(2 )g x x x m x= − + m R∈ ( )g x 1 2,x x
1 2x x<
1 2( )f x x−
1 2( )g x ax≥ a
O x M (1,0)
l 2 cos( ) 1 04
πρ θ + − = C
24
4
x t
y t
=
=
t
l C
l C ,A B 1 1
MA MB
+
23.选修 4-5:不等式选讲
已知函数 ( )
(1)当 时,解不等式 ;
(2)令 ,若 在 上恒成立,求实数 的取值范围.
龙岩市 2017 年高中毕业班教学质量检查
数学(理科)参考答案
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
( ) 2 2g x x x a= + + − a R∈
3a = ( ) 4g x ≤
( ) ( 2)f x g x= − ( ) 1f x ≥ R a
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
选项 C A C D C A A D C B B A
二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13. 14. 15. 或 16.
三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分 12 分)
解:(Ⅰ)由题可知
, …………3 分
令 , ,
可得
即函数 的单调递减增区间为 , . …………6 分
(Ⅱ)由 ,所以 ,
为锐角,∴
∴
解得 , ………………………8 分
由余弦定理得 ……9 分
,当且仅当 时取等号,
, ………………11 分
又 ,
的取值范围为 . ………………12 分
18.(本小题满分 12 分)
解:(Ⅰ)证法一:在梯形 中, ,
4 3 3
10
− − 4
3
± 0λ < 1λ > 1
10
3 1 3( ) (1 cos2 ) sin 22 2 2f x x x= − + −
sin(2 )3x
π= −
2 2 22 3 2k x k
π π ππ π− − +≤ ≤ k ∈Z
5 ,12 12k x k k Z
π ππ π− ≤ ≤ + ∈
( )f x 5,12 12k k
π ππ π − + k ∈Z
3( ) 2f A = 3sin(2 )3 2A
π− =
A 223 3 3A
π π π− < − <
2 3 3A
π π− =
3A
π=
2 2 2 22 cos ( ) 3 16 33a b c bc b c bc bc
π= + − = + − = −
2( ) 42
b cbc
+≤ = b c=
2 16 3 16 3 4 4, 2a bc a∴ = − ≥ − × = ≥
4a b c< + =
a∴ 2 4a≤ <
ABCD //AB CD
B
C
A
D
E
F
(第 18 题图)
,
………………2 分
………………3 分
又 平面 平面 ,平面 平面 ,
平面 ……………………………………5 分
证法二:梯形 得高为
(下同)
(Ⅱ)取 为 中点.连
∵四边形 是菱形, ,
即
与(1)同理可知 平面
如图所示,以 为坐标原点建立空间直角坐标系, ……………………6 分
则有 ,
, , ……………7 分
设 是平面 的一个法向量,
则 ,
即 ,
取 . ………………9 分
设 是平面 的一个法向量,
则 ,即 ,
°=∠−∠=∠∴ 90DCADCBACB BCAC ⊥∴
2AD DC CB= = = 60ABC∠ =
120 . 30 ,ADC DCB DCA DAC∴∠ = ∠ = ∠ = ∠ =
ACEF ⊥ ABCD ACEF ABCD AC=
BC∴ ⊥ ACFE
ABCD 2sin 60 3° =
2 2 2cos60 4AB = + ⋅ = 2 3AC =
2 2 2 , 90AC BC AB ACB ∗∴ + = ∴∠ =
G EF CG
ACEF 60CAF∠ =
CG EF∴ ⊥ CG AC⊥
CG ⊥ ABCD
C
(2 3,0,0), (0,2,0), ( 3, 1,0), ( 3,0,3)A B D F−
( 2 3,2,0)AB = − ( 3,0,3)AF = − (0,1,3)DF =
1 1 1( , , )m x y z= ABF
0
0
AB m
AF m
⋅ = ⋅ =
1 1
1 1
3 0
3 3 0
x y
x z
− + =
− + =
( 3,3,1)m =
2 2 2( , , )n x y z= ADF
0
0
AF n
DF n
⋅ = ⋅ =
2 2
2 2
3 3 0
3 0
x z
y z
− + = + =
B
C
A
D
E
F
(第 18 题图)
G
z
yx
取 . ……………………………………………………11 分
设平面 与平面 所成锐二面角为 ,
则 ,
即平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 . …………………12 分
19.(本小题满分 12 分)
解:(Ⅰ)记事件 A“该公司在星期一至少有 2 辆车出车”,
则 ………………2 分
(3 分)
………………4 分
(Ⅱ) 的可能取值为 0,1,2,3,4,5,
……………………10 分
∴ 的分布列为
0 1 2 3 4 5
…………12 分
20.(本小题满分 12 分)
( 3, 3,1)n = −
ABF ADF θ
5 5cos 1313 13
m n
m n
θ
⋅
= = =
⋅⋅
ABF ADF 5
13
3 2 1 3 2 1 3
3 2
1 1 1 1 1 1 2( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 3 2 3 2 3 3p A C C= − − −
1 3 41 72 72 72
= − − −
8
9
=
X
( ) 2 31 1 10 ;3 2 72P X = = ⋅ =
( ) 3
1
2
2 1 11 3 3 2P X C = = ⋅ ⋅ ⋅
2 3
1
3
1 1 7 ;3 2 72C + ⋅ ⋅ =
( ) 2 3 3
1 1
2 3
2 1 2 1 12 3 2 3 3 2P X C C = = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅
2 3
2
3
1 1 19 ;3 2 72C + ⋅ ⋅ =
( ) 2 3
1
3
2 13 3 2P X C = = ⋅ ⋅
3 2 3
1 2
2 3
2 1 1 1 1 25;3 3 2 3 2 72C C + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ =
( ) 2 3 3
2 1
3 2
2 1 2 1 1 164 ;3 2 3 3 2 72P X C C = = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ =
( ) 2 32 1 45 ;3 2 72P X = = ⋅ =
X
X
P 1
72
7
72
19
72
25
72
16
72
4
72
( ) 1 7 19 25 16 4 170 1 2 3 4 572 72 72 72 72 72 6E X = × + × + × + × + × + × =
解:(Ⅰ)圆 的圆心为 ,半径为
点 在圆 内,因为动圆 经过点 且与圆 相切,
所以动圆 与圆 内切。设动圆 半径为 ,则 .
因为动圆 经过点 ,所以 , > ,
所以曲线 E 是 M,N 为焦点,长轴长为 的椭圆。
由 ,得 ,
所以曲线 的方程为 ………………………4 分
(Ⅱ)直线 斜率为 0 时,不合题意
设 ,直线 : ,
联立方程组 得 ,
又 知
= .
代入得
又 ,化简得 ,
解得 ,故直线 BC 过定点(3,0) …………………………8 分
由 ,解得 ,
2 2: 2 7 0M x y y+ + − = 0 1M −( , ) 2 2
(0 ,1)N M P N M
P M P r 2 2 r PM− =
P N Nr P= 2 2PM PN+ = MN
2 2
2, 1a c= = 2 2 1 1b = − =
E
2
2 12
yx + =
BC
1 1 2 2( , ), ( , )B x y C x y BC x ty m= +
2
2
,
1,2
x ty m
yx
= + + =
2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0t y mty m+ + + − =
2
1 2 1 22 2
4 2 2,1 2 1 2
mt my y y yt t
−+ = − =+ +
1 2 4,k k = 1 2 1 2 1 24( 1)( 1) 4( 1)( 1)y y x x ty m ty m= − − = + − + −
2 2
1 2 1 24 4( 1) t( ) 4( 1)t y y m y y m+ − + + −
2 2
2 2
2 2
2 2 4(1 4 ) 4( 1) 4( 1)1 2 1 2
m mtt m mt t
− −− = − + −+ +
1m ≠ 2 2 21 (1 4 ) 2 4 2( 1)(1 2m t mt m t+ − = − + − +( ) ( ) )
3m =
0∆ > 2 4t >
2
2 1 2
1 4 422 1 2ABC
tS y y t∆
−= ⋅ ⋅ − = +
2
2 2 2
2
4 4 4
99 2( 4) 2 4
4
t
t t
t
−= =
+ − + −
−
2
3
≤
(当且仅当 时取等号).
综上, 面积的最大值为 ………………………………………12 分
21.(本小题满分 12 分)
解:(Ⅰ) ,
令 得 ①,
因为 存在两个极值点 ,
所以方程①在 上有两个不等实根 ,
所以 解得
且 , ……………………3 分
所以
当 时, 当 时,
所以 的最小值为 ……………………5 分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知, ,
由 g 得 , ………………6 分
所以
=
=
2 17
2t =
ABC∆ 2
3
28 4( ) 8 4 ( 0)m x x mg x x xx x
− +′ = − + = >
( ) 0g x′ = 28 4 0x x m− + =
( )g x 1 2 1 2, ( )x x x x<
(0, )+∞ 1 2,x x
16 32 0
08
m
m
∆ = − > >
10 ,2m< <
1 2 1
1 1,02 4x x x+ = < <
1 2 1 1 1
1 1 1( ) 2 ,02 2 2x x x x x − = − − = − ∈ −
1'( ) ( ) ,4
xf x x e= +
1 1,2 4x ∈ − − ( ) 0,f x′ < 1 ,04x ∈ − ( ) 0,f x′ >
1 2( )f x x−
1
41( )4f e
−− = −
1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 10 , , (0 , )2 2 8 4 4 2
mm x x x x x x< < + = = < < < <
21 )( axx ≥ 1
2
( )g xa x
≤
2
1 1 1 1
2
1
( ) 4 4 ln(2 )
1
2
g x x x m x
x x
− +=
−
1
1211
2
1
2
1
)2ln(844
x
xxxxx
−
+−
1
1111
2
1
2
1
)2ln()2
1(844
x
xxxxx
−
−+−
=
= ………………9 分
令 ( ),
则
因为
所以 ,
,即 在 递减, ,
综上,实数 的取值范围为 ………………12 分
22.选修 4 4:坐标系与参数方程
解:(Ⅰ)因为 ,
所以
由 ,
得 …………………………3 分
因为 消去 得
所以直线 和曲线 的普通方程分别为 和 . …………4 分
(Ⅱ)点 的直角坐标为 ,点 在直线 上,
设直线 的参数方程: ( 为参数), 对应的参数为 .
)21(2
1
)2ln()21)(2(21)12(
1
111
2
1
x
xxxx
−
−+−−
+−−− )2ln()2(221
1)21(2 11
1
1 xxxx
=)(xϕ
+−−− xxxx ln21
1)1(2 2
10 << x
=′ )(xϕ
+−− xx ln2)1(
112 2
10 ,2x< <
21 11 1 , ( 1) 12 4x x− < − < − < − <
( ) 0xϕ′ < ( )xϕ 10, 2
1( ) ( ) 3 2ln 22xϕ ϕ> = − −
a ( ], 3 2ln 2−∞ − −
−
2 cos( ) 1 04
πρ θ + − =
cos sin 1 0ρ θ ρ θ− − =
cos , sinx yρ θ ρ θ= =
1 0x y− − =
24
4
x t
y t
=
=
,
, t 2 4y x=
l C 1 0x y− − = 2 4y x=
M (1,0) M l
l
21 2
2
2
x t
y t
= +
=
,
,
t ,A B 1 2,t t
…………………………7 分
…………………………10 分
23.选修 4-5:不等式选讲
解:(Ⅰ)依题意得
当 时,原不等式化为: ,解得
当 时,原不等式化为: ,解得
当 时,原不等式化为: ,解得
综上可得,不等式的解集为
…………………4 分
(Ⅱ)
;
;
;
所以 的最小值为 ;
则 ,所以
解得 或 ……………10 分
( ) | | 2 | 1| 4g x x x= + − ≤
1x ≥ 2( 1) 4x x+ − ≤ 1 2x≤ ≤
0 1x≤ < 2(1 ) 4x x+ − ≤ 0 1x≤ <
0x < 2(1 ) 4x x− + − ≤ 2 03 x− ≤ <
2| 23x x − ≤ ≤
( )( ) ( 2) | 2 | 2 | |f x g x x x a a R= − = − + − ∈
时,2>a
≥−−
<<−+−
≤++−
=
axax
axax
xax
xf
,223
2,22
2,223
)(
时,2=a 3 6, 2( ) 3 6, 2
x xf x x x
− + ≤= − >
时,2
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