2021届高考数学一轮总复习课时作业40基本不等式含解析苏教版 5页

课时作业40　基本不等式 一、选择题 ‎1．(2020·河南豫北联考)设a>0，则a＋的最小值为(　D　)‎ A．2 B．2‎ C．4 D．5‎ 解析：a＋＝a＋1＋≥1＋2＝5，当且仅当a＝2时取等号，故选D.‎ ‎2．(2019·浙江卷)设a>0，b>0，则“a＋b≤‎4”‎是“ab≤‎4”‎的(　A　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：因为a>0，b>0，所以a＋b≥2，由a＋b≤4可得2≤4，解得ab≤4，所以充分性成立；当ab≤4时，取a＝8，b＝，满足ab≤4，但a＋b>4，所以必要性不成立．所以“a＋b≤‎4”‎是“ab≤4”的充分不必要条件．故选A.‎ ‎3．已知a>0，b>0，则，，，中最小的是(　D　)‎ A. B. C. D. 解析：∵a>0，b>0，∴≥，≤＝.又∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2，‎ ‎∴≥.∴≥≥≥，故选D.‎ ‎4．若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取得最小值，则a等于(　C　)‎ A．1＋ B．1或3‎ C．3 D．4‎ 解析：∵x>2，∴x－2>0，∴f(x)＝x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝且x>2，即x＝3时等号成立，∴a＝3，故选C.‎ ‎5．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是(　D　)‎ A．[0,2] B．[－2,0]‎ 5‎ C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]‎ 解析：∵1＝2x＋2y≥2＝2 ，‎ ‎∴≤，∴2x＋y≤，得x＋y≤－2.‎ ‎6．已知a＋b＝t(a>0，b>0)，t为常数，且ab的最大值为2，则t＝(　C　)‎ A．2　　 　　B．‎4　‎　 　　C．2　 　 　D．2 解析：∵a>0，b>0，∴ab≤＝，当且仅当a＝b＝时取等号．∵ab的最大值为2，∴＝2，t2＝8.又t＝a＋b>0，∴t＝＝2.‎ ‎7．已知f(x)＝，则f(x)在上的最小值为(　D　)‎ A. B. C．－1 D．0‎ 解析：f(x)＝＝x＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＝，即x＝1时取等号．又1∈，所以f(x)在上的最小值是0.‎ ‎8．(2020·永州模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若＋＝‎2a，则△ABC是(　C　)‎ A．等边三角形 B．锐角三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 解析：∵＋＝‎2a，∴＋＝2sinA，又＋≥2＝2，当且仅当＝时，等号成立，∴sinA≥1，又sinA≤1，∴A＝，b＝c，∴△ABC是等腰直角三角形，故选C.‎ ‎9．(2020·福建龙岩模拟)已知x>0，y>0，且＋＝，则x＋y的最小值为(　C　)‎ A．3 B．5 ‎ C．7 D．9‎ 解析：∵x>0，y>0，且＋＝，∴x＋1＋y＝2(x＋1＋y)＝2≥2＝8，当且仅当＝，即x＝3，y＝4时取等号，∴x＋y≥7，故x＋y的最小值为7，故选C.‎ 二、填空题 ‎10．已知函数y＝x＋，x∈，则y的最小值是2.‎ 5‎ 解析：∵x∈，∴y＝x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝时，等号成立，∴y的最小值为2.‎ ‎11．已知a>0，则的最小值为－1.‎ 解析：＝＝‎4a－5＋.‎ ‎∵a>0，∴‎4a－5＋≥2－5＝－1，当且仅当‎4a＝，即a＝时取等号，∴的最小值为－1.‎ ‎12．若x>0，y>0，x＋4y＋2xy＝7，则x＋2y的最小值是3.‎ 解析：因为x>0，y>0，x＋4y＋2xy＝7，则2y＝.‎ 则x＋2y＝x＋＝x＋2＋－3≥2－3＝3，当且仅当x＝1时取等号．因此其最小值是3.‎ ‎13．(2020·河南洛阳模拟)已知x>0，y>0，且＋＝1，则xy＋x＋y的最小值为7＋4.‎ 解析：∵＋＝1，∴xy＝2x＋y，∴xy＋x＋y＝2x＋y＋x＋y＝3x＋2y＝(3x＋2y)＝3＋4＋＋≥7＋2＝7＋4，当且仅当＝，即y＝x时取等号，故xy＋x＋y的最小值为7＋4.‎ 三、解答题 ‎14．已知x，y∈(0，＋∞)，x2＋y2＝x＋y.‎ ‎(1)求＋的最小值．‎ ‎(2)是否存在x，y满足(x＋1)(y＋1)＝5？并说明理由．‎ 解：(1)因为＋＝＝≥＝2，当且仅当x＝y＝1时，等号成立，所以＋的最小值为2.‎ ‎(2)不存在．理由如下：‎ 因为x2＋y2≥2xy，所以(x＋y)2≤2(x2＋y2)＝2(x＋y)．‎ 又x，y∈(0，＋∞)，所以x＋y≤2.‎ 从而有(x＋1)(y＋1)≤2≤4，‎ 因此不存在x，y满足(x＋1)(y＋1)＝5.‎ ‎15．某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为‎900 m2‎的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔‎1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留‎1 m 5‎ 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留‎3 m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x(单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(单位：m2)．‎ ‎(1)求S关于x的函数关系式；‎ ‎(2)求S的最大值．‎ 解：(1)由题设，‎ 得S＝(x－8)＝－2x－＋916，x∈(8,450)．‎ ‎(2)因为80，所以a5＝16，又因为a3＋a5＝20，所以a3＝4，所以a1＝1，公比q＝2，因为＝32，所以＝32＝25，所以m＋n＝12，则＋＝(m＋n)＝≥，则＋的最小值为，故选A.‎ ‎17．(2020·广东惠州调研)在△ABC中，点D是AC上一点，且＝4，P为BD上一点，向量＝λ＋μ(λ>0，μ>0)，则＋的最小值为(　A　)‎ A．16 B．8 ‎ C．4 D．2‎ 5‎ 解析：由题意可知，＝λ＋4μ，又B，P，D三点共线，由三点共线的充分必要条件可得λ＋4μ＝1，又因为λ>0，μ>0，所以＋＝×(λ＋4μ)＝8＋＋≥8＋2＝16，当且仅当λ＝，μ＝时等号成立，故＋的最小值为16.故选A.‎ 5‎