【数学】2019届一轮复习北师大版计数原理（理）学案 12页

第十一章 计数原理（理）‎ 排列与组合的综合问题 ‎【背一背重点知识】‎ ‎1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理 如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘．‎ ‎2．排列与组合的定义 ‎(1)排列 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．从n个不同元素中取出m个元素的排列数公式是A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)或写成A＝．‎ ‎(2)组合 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．从n个不同元素中取出m个元素的组合数公式是C＝或写成C＝．‎ ‎3．组合数的性质 ‎①C＝C；‎ ‎②C＝C＋C．‎ ‎【讲一讲提高技能】‎ ‎1．必备技能 ‎ ‎（1）在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．‎ ‎（2）对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．‎ ‎（3）求解排列、组合问题的思路 排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．‎ 具体地说，解排列、组合的应用题，通常有以下途径 - ‎ ‎①以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．‎ ‎②以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．‎ ‎③先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．‎ ‎2．典型例题 ‎ 例1．【2018广东六校（广州二中，深圳实验，珠海一中，中山纪念，东莞中 ，惠州一中）高三下 期第三次联考】从2个不同的红球、2个不同的黄球、2个不同的蓝球共六个球中任取2个，放入红、黄、蓝色的三个袋子中，每个袋子至多放入一个球，且球色与袋色不同，那么不同的放法有( )‎ A．42种 B．36种 C．72种 D．46种 ‎【答案】A ‎【名师点睛】本题主要考查分步计数原理的应用，属于难题．有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件．解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率．‎ 例2．【2018四川省2017-2018年度高三“联测促改”活动理 数 试题】中国古代十进制的算筹计数法，在世界数 史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同样长短的小木棍，如图，算筹表示数1～9的方法的一种．‎ 例如 163可表示为“”27可表示为“”问现有8根算筹可以表示三位数的个数（算筹不能剩余）为 （ ）‎ A．48 B．60 C．96 D．120‎ ‎【答案】C ‎【解析】设8根算筹的组合为，‎ 不考虑先后顺序，则可能的组合为 ，对于，组合出的可能的算筹为 共4种，可以组成的三位数的个数为 种，同理可以组成的三位数的个数为 种，对于，组合出的可能的算筹为 共6种，‎ 可以组成的三位数的个数为 种，同理可以组成的三位数的个数为 种，利用加法原理可得 8根算筹可以表示三位数的个数（算筹不能剩余）为．‎ 故选C．‎ ‎【名师点睛】(1)解排列组合问题要遵循两个原则 一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．‎ ‎(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型 ①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．‎ ‎【练一练提升能力】‎ ‎1．【2018广东珠海高三3月质量检测】将个不同的球放入个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则不同放法共有（ ）种 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】第一步 先从4个盒子中选一个盒子准备装两个球，有4种选法；第二步 从5个球里选出两个球放在刚才的盒子里，有种选法；第三步 把剩下的3个球全排列，有种排法，由乘法分步原理得不同方法共有种，故选C． - ‎ ‎2．【2018湖北孝感一中、应城一中等五校高三上 期期末联考】若一位三位数的自然数各位数字中，有且仅有两个数字一样，我们就把这样的三位数定义为“单重数”．例如 232，114等，则不超过200的“单重数”中，从小到大排列第24个“单重数”是（ ）‎ A．166 B．171 C．181 D．188‎ ‎【答案】C ‎【解析】 由题意，不超过，两个数字一样为，有个，两个数字一样为 ，，有个，两个数字一样为，有一个，同理两个数字一样为，各一个，综上所述，不超过的“单重数”个数是，其中最大的数是，较小的依次为，所以从小到大排列第 个“单重数”是，故选C．‎ 利用二项式定理求指定项 ‎【背一背重点知识】‎ ‎1．二项式定理 (a＋b)n＝Canb0＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－rbr＋…＋Ca0bn(r＝0，1，2，…，n)．‎ ‎2．二项展开式的通项 Tr＋1＝Can－rbr，r＝0，1，2，…，n，其中C叫做二项式系数．‎ ‎【讲一讲提高技能】‎ ‎1．必备技能 应用二项式定理关键是掌握通项公式，在应用通项公式时，要注意 ‎ ‎①它表示二项展开式的任意项，只要与确定，该项就随之确定；‎ ‎②是展开式中的第项，而不是第项；‎ ‎③公式中，的指数和为且不能随便颠倒位置；‎ ‎④对二项式展开式的通项公式要特别注意符号问题．‎ ‎2．典型例题 ‎ 例1．【2018东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中 ）2018届高三第一次模】展开式中的常数项是( ) - ‎ A． B． C．8 D．‎ ‎【答案】B 例2．【2018辽宁沈阳市郊联合体高三模拟】展开式中的系数为（ ）‎ A．92 B．576 C．192 D．384‎ ‎【答案】B ‎【解析】展开式中含的项为，即的系数为576；故选B．‎ ‎【名师点睛】本题考查二项式定理的应用；求三项展开式的某项系数时，往往有两种思路 ‎ ‎（1）利用组合数公式和多项式乘法法则，如本题中解法；‎ ‎（2）将三项式转化成二项式，如本题中，可将化成，再利用两次二项式定理进行求解．‎ ‎【练一练提升能力】‎ ‎1．【2018四川泸县二中高三上 期期末考试】的展开式中，的系数为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎2．【2018湖北松滋一中高三模拟】在的展开式中，若存在常数项，则n的最小值是(　　)‎ A．3 B．5‎ C．8 D．10‎ ‎【答案】B ‎【解析】由展开式的通项公式有 ．令3n－5r＝0，∵0≤r≤n，r、n∈ ．∴n的最小值为5，此时r=3，故选B．‎ 二项式系数与项的系数 ‎【背一背重点知识】‎ ‎1．二项式系数的性质 ‎①对称性 与首末两端“等距离”两项的二项式系数相等，‎ 即C＝C，C＝C，…，C＝C，…．‎ ‎②最大值 当n为偶数时，中间的一项的二项式系数Cn取得最大值；当n为奇数时，中间的两项的二项式系数Cn，Cn相等，且同时取得最大值．‎ ‎2．各二项式系数的和 a．C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n；‎ b．C＋C＋…＋C＋…＝C＋C＋…＋C＋…‎ ‎＝·2n＝2n－1．‎ ‎【讲一讲提高技能】‎ ‎1必备技能 在处理二项式系数或者各项的系数时，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法．‎ ‎2典型例题 ‎ 例1．【2018湖北孝感市八校高三模拟】已知 ，则的值等于（ ）‎ A．64 B．32 C．63 D．31‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为 ，‎ 所以 ‎ 因此 ，选C．‎ ‎【名师点睛】二项式通项与展开式的应用 ‎(1)通项的应用 利用二项展开式的通项可求指定项或指定项的系数等．‎ ‎(2)展开式的应用 ‎ ‎①可求解与二项式系数有关的求值，常采用赋值法．‎ ‎②可证明整除问题(或求余数)．关键是要合理地构造二项式，并将它展开进行分析判断．‎ ‎③有关组合式的求值证明，常采用构造法．‎ 例2．【2018安徽合肥高三一模】已知是常数，，且，则__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【练一练提升能力】‎ ‎1．设，，则 (　　)‎ A．128 B．129 C．47 D．0‎ ‎【答案】A ‎【解析】 由题意，可知，故选A．‎ ‎2．【2018安徽蚌埠一模】已知 ，则（ ）‎ A．18 B．24 C．36 D．56‎ ‎【答案】B ‎【解析】，故，．‎ ‎（一）选择题（12 5=60分）‎ ‎1．【2018河北唐山高三一模】用两个，一个，一个，可组成不同四位数的个数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意得到有两个1是相同的，故可以组成不同的四个数字为，故选D．‎ ‎2．【2018安徽芜湖高三一模】某校高一开设4门选修课，有4名同 选修，每人只选1门，恰有2门课程没有同 选修，则不同的选课方案有（ ）‎ A．96种 B．84种 C．78种 D．16种 ‎【答案】B ‎【解析】先确定选的两门 ，再确定 生选 ，所以不同的选课方案有选B．‎ ‎3．【2018湖北孝感一中、应城一中等五校上 期期末联考】2017年，北京召开“一带一路”国际高峰论坛，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行互动提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为（ ）‎ A．198 B．268 C．306 D．378‎ ‎【答案】A ‎4．【2018云南保山市普通高中毕业生市级统测】的展开式中各项系数的和为32，则该展开式的常数项为( )‎ A．10 B．6 C．5 D．4‎ ‎【答案】A ‎【解析】令，得，故常数项为．‎ ‎5．【2018云南昆明一中高三第五次月考】‎ 从一颗骰子的六个面中任意选取三个面，其中只有两个面相邻的不同的选法共有（ ）‎ A．20种 B．16种 C．12种 D．8种 ‎【答案】C ‎【解析】从一颗骰子的六个面中任意选取三个面有种，其中有三个面彼此相邻的有8种，所以只有两个面相邻的不同的选法共有种，故选C．‎ ‎6．【2018河北唐山高三上 期期末考试】的展开式中的常数项为( )‎ A．12 B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得二项式的展开式的通项为，‎ 所以的展开式中的常数项为．选C．‎ ‎7．【2018安徽安庆一中、山西太原五中等五省六校（ 12联盟）高三上 期期末联考】本周日有5所不同的高校 我校作招生宣传， 校要求每位同 可以从中任选1所或2所去咨询了解，甲、乙、丙三位同 的选择没有一所是相同的，则不同的选法共有（ ）‎ A．330种 B．420种 C．510种 D．600种 ‎【答案】A ‎8．【2018河北衡水金卷高三模拟一】的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】令，得，而常数项为，所以展开式中剔除常数项的各项系数和为，故选A．‎ ‎9．【2018北京东城区高三上 期期中考试】一排个座位坐了个口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】现将每一个家庭的内部成员进行去排列，共有种排法，将每个三口之家看成一个元素，三个整体元素进行排列，共有种排法，所以不同的坐法种数为，故选．‎ ‎10．【2018河南郑州高三一模】在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为3 2，则的系数为（ ）‎ A．50 B．70 C．90 D．120‎ ‎【答案】C ‎11．【2018内蒙古赤峰高三上 期期末考试】把2支相同的晨光签字笔，3支相同英雄钢笔全部分给4名优秀 生，每名 生至少1支，则不同的分法有（ ） ！ ‎ A．24种 B．28种 C．32种 D．36种 ‎【答案】B ‎【解析】第一类，有一个人分到一支钢笔和一支签字笔，这中情况下的分法有 先将一支钢笔和一支签字笔分到一个人手上，有种分法，将剩余的支钢笔，支签字笔分给剩余个同 ，有种分法，那共有种；第二类，有一个人分到两支签字笔，‎ 这种情况下的分法有 先将两支签字笔分到一个人手上，有种情况，将剩余的支钢笔分给剩余个人，只有1种分法，那共有 种；第三类，有一个人分到两支钢笔，这种情况的分法有 先将两支钢笔分到一个人手上，有种情况，再将剩余的两支签字笔和一支钢笔分给剩余的个人，有种分法，那共有 种；综上所述 总共有种分法，故选B．‎ ‎12．【2018四川广元高三第一次高考适应性统考】已知函数在处的切线与直线平行，则二项式展开式中的系数为（ ）‎ A．120 B．135 C．140 D．100‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题，则函数在处切线的斜率为，又切线与直线平行，故，则二项式展开式中的系数可由如下得到 展开式中含 的系数为 的含x4的系数加上其含的系数 展开式的通项为 令分别得展开式含 项的系数为C94，C91，故展开式中的系数为，故选B．‎ ‎（二）填空题（4 5=20分）‎ ‎13．【2018福建龙岩高中毕业班教 质量检查】对双胞胎站成一排，要求每对双胞胎都相邻，则不同的站法种数是__________．（用数字作答）‎ ‎【答案】48‎ ‎【解析】根据题意，每对双胞胎都相邻，故不同的站法为 ‎14．【2018新疆乌鲁木齐地区高三第一次质量监测】二项式的展开式中常数项是__________．（用数字作答）‎ ‎【答案】210‎ ‎【解析】在的展开式中，通项公式为．令 ‎，故展开项中的常数项为．‎ ‎15．【2018上海崇明区高三一模】从5男3女共8名 生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成 4人志愿者服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有_____种不同的选法．（用数字作答）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】第一类，先选女男，有种，这人选人作为队长和副队有种，故有 种；第二类，先选女男，有种，这人选人作为队长和副队有种，故有种；第三类，先选女男，有种，这人选人作为队长和副队有种，故有种，根据分类计数原理共有种．‎ ‎16．【2018河南商丘高三第一 期期末考试】已知的展开式中第五项与第七项的系数之和为0，其中为虚数单位，则展开式中常数项为__________． ‎ ‎【答案】‎