2014龙岩1月份质检文数试卷 10页

龙岩市 2013 一 2014 学年第一学期高三教学质量检查 数学试题（文科） 考生注意： 1.本试卷分第 I 卷（选择题）和第 B 卷（非选择题）两部分，共 150 分．考试时间 120 分钟． 2.请将各题答案填在试卷后面的答题卡上． 3.本试卷主要考试内容：除“统计与统计案例，计数原理、概率，算法初步，数系的扩充与复 数的引入”外的高考内容． 第工卷（选择题共 50 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． 1、复数 2 1 i i   的虚部为 A、i B、－i C、1 D、－1 2、已知集合 A={x｜x2＋x－2<0｝，集合 B= {x｜(x＋2) (3－x)＞0｝，则 等于 A. {x｜1≤x<3｝ B. {x｜2≤x<3｝ C. {x｜－20 第 II 卷（非选择题共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分．把答案填在答题卡中的横线上． 13.在△ABC 中，sin A＝ 3 4 ，C= 300，BC= 3，则 AB 等于＿＿＿＿ 14.如图是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图，则该几何体的体积是＿＿＿＿ 15.已知直线 2x＋y－4＝0 过椭圆 E： 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的右焦点 F2 ，且与椭圆 E 在第一象限 的交点为 M，与 y 轴交于点 N，F1 是椭圆 E 的左焦点，且｜MN｜＝｜MF1｜，则椭圆 E 的方程为 ＿＿＿＿＿ 16.设集合 M＝｛f（x）｜存在实数 t 使得函数 f (x)满足 f(t+1) = f (t)＋f(1)｝，则下列函数(a,b,k 都是 常数）： 其中属于集合 M 的函数是＿＿＿＿＿（填序号）． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17.（本小题满分 12 分） 已知等差数列｛ na ｝的前 n 项和为 Sn，公差 d≠0，且 S3 =9 ，a1，a3，a7 成等比数列． （1)求数列｛ na ｝的通项公式； （2)设 nb ＝ 2 na ，求数列｛ nb ｝的前 n 项和 Tn， 18.（本小题满分 12 分） 某食品厂对生产的某种食品按行业标准分成五个不同等级，等级系数 X 依次为 A，B，C，D, E.现从该种食品中随机抽取 20 件样品进行检验，对其等级系数进行统计分析，得到频率分 布表如下： (1)在所抽取的 20 件样品中，等级系数为 D 的恰有 3 件，等级系数为 E 的恰有 2 件，求 a ,b, c 的值； (2)在（1)的条件下，将等级系数为 D 的 3 件样品记为 x1 ，x2 ，x3，等级系数为 E 的 2 件样品 记为 y1 ，y2，现从 x1，x2 ，x3，y1，y2 这 5 件样品中一次性任取两件（假定每件样品被取出 的可能性相同），试写出所有可能的结果，并求取出的两件样品是同一等级的概率． 19.（本小题满分 12 分） 如图，在三棱柱 ABC—A1B1 C1 中，AA1⊥面 ABC, AC⊥BC, E 分别在线段 B1C1 上，B1E= 3EC1，AC＝BC＝CC1＝4. （1）求证：BC⊥AC1； (2)试探究：在 AC 上是否存在点 F，满足 EF／／平面 A1ABB1，若存在，请指出点 F 的位置， 并给出证明；若不存在，说明理由． 20.（本小题满分 12 分） 如图所示，在直径为 BC 的半圆中,A 是弧 BC 上一点，正方形 PQRS 内接于△ABC，若 BC = a , ∠ABC= θ，设△ABC 的面积为 Sl，正方形 PQRS 的面积为 S2. （1）用 a，θ表示 S1 和 S2； （2)当 a 固定，θ变化时，求 1 2 S S 取得最小值时θ的值． 21、（本小题满分 12 分） 如图，斜率为 l 的直线过抛物线 y2＝2 px(p>0)的焦点，与抛物线交于两点 A, .B，M 为抛物 线弧 AB 上的动点． （1）若｜AB｜＝8，求抛物线的方程； （2）求 ABMS 的最大值 22．（本小题满分 14 分） 已知函数 f（x）＝lnx－a2x2＋ax（aR）. （l）当 a＝1 时，证明：函数 f（x）只有一个零点； （2）若函数 f(x)在区间（1，十  ）上是减函数，求实数 a 的取值范围． 龙岩市 2013~2014 学年第一学期高三教学质量检查 数学试题参考答案(文科) 1．D ∵原式＝ －2i（1＋i） 2 ＝1－i，∴其虚部为－1. 2．A ∵A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|－2＜x＜3}，∴( RA)∩B＝{x|1≤x＜3}． 3．B ∵3x>0，∴3x＋1>1，则 log2(3x＋1)>0，∴p 是假命题；綈 p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0. 4．B f(6)＝f[f(6＋5)]＝f[f(11)]＝f(11－3)＝f(8)＝f[f(8＋5)]＝f[f(13)] ＝f[f(13－3)]＝f(10)＝10－3 ＝7. 5．C 由题意得双曲线的一个焦点为(－3，0)，则 m＝32－8＝1，则 C 的离心率等于 3. 6．C 满足约束条件的可行域如图所示． 因为函数 z＝2y－3x，所以 zA＝－3，zB＝2，zC＝4， 即目标函数 z＝2y－3x 的最大值为 4，故选 C. 7．A 依题意知， x －＝ 17 10＝1.7， y －＝ 4 10＝0.4，而直线 y ^＝－3＋ b ^x 一定经过 点( x －， y －)，所以－3＋ b ^×1.7＝0.4，解得 b ^＝2. 8．C 运行一下程序框图，第一步：s＝2，i＝4，k＝2；第二步：s＝ 1 2×2×4＝4，i＝6，k＝3；第 三步：s＝ 1 3×4×6＝8，i＝8，k＝4，此时输出 s，即输出 8. 9．B 将 f(x)＝2sin(2x－ π 6 )的图象向左平移 m 个单位，得函数 g(x)＝2sin(2x＋2m－ π 6 )的图象， 则由题意得 2× π 6 ＋2m－ π 6 ＝kπ＋ π 2 (k∈Z)，即有 m＝ kπ 2 ＋ π 6 (k∈Z)，∵m＞0，∴当 k＝0 时，mmin ＝ π 6 . 10.D 若 f(x)＝x2－2ax＋a＋2＝(x－a)2－a2＋a＋2 没有零点，则－a2＋a＋2＞0，解得－1＜a＜2， 则函数 y＝f(x)有零点的概率 P＝1－ 2－（－1） 3－（－2）＝ 2 5. 11．B 依题意，| OA →|＝| OC →|＝| AB →|＝， OA →· OC →＝×cos∠AOC＝1，cos∠AOC＝ 1 2，∠AOC＝ π 3 ，则| AC →| ＝| OA →|＝| OC →|＝，∠BAC＝ π 3 ， AB →· AC →＝×cos∠BAC＝1. 12．B f′(x)＝sin x－ 1 2x2，当 x∈( π 3 ， 5π 6 )时，sin x∈( 1 2，1]， 1 2x2∈( 18 25π2， 9 2π2)，则当 x∈( π 3 ， 5π 6 ) 时，f′(x)＝sin x－ 1 2x2＞0，即函数 y＝f(x)在( π 3 ， 5π 6 )单调递增，即 f(a)＜f(b)． 13．2 AB sin C＝ BC sin A⇒AB＝2. 14．12 由三视图可知，该几何体是有两个相同的直三棱柱构成，三棱柱的高为 4，三棱柱的底 面三角形为直角三角形，两直角边分别为 2， 3 2，所以三角形的底面积为 1 2×2× 3 2＝ 3 2，所以三棱柱的体 积为 3 2×4＝6，所以该几何体的体积为 2×6＝12. 15. x2 5 ＋y2＝1 直线 2x＋y－4＝0 与 x 轴、y 轴的交点分别为(2，0)、(0，4)，则 c＝2，|F2N|＝2， ∵|MN|＝|MF1|，∴|MF2|＋|MF1|＝|F2N|＝2a，即 a＝，∴椭圆 E 的方程为 x2 5 ＋y2＝1. 16．②④ 对于①，由 k(t＋1)＋b＝kt＋b＋k＋b 得 b＝0，矛盾； 对于②，由 at＋1＝at＋a 知，可取 t＝loga a a－1符合题意； 对于③，由 k t＋1＝ k t＋k 知，无实根； 对于④，由 sin(t＋1)＝sin t＋sin 1 知，取 t＝2kπ，k∈Z 符合题意； 综上所述，属于集合 M 的函数是②④. 17．解：(1)a 2 3＝a1a7，即(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，化简得 d＝ 1 2a1，d＝0(舍去)． ∴S3＝3a1＋ 2×3 2 × 1 2a1＝ 9 2a1＝9，得 a1＝2，d＝1. ∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)＝n＋1，即 an＝n＋1.（6 分） (2)∵bn＝2an＝2n＋1，∴b1＝4， bn＋1 bn ＝2. ∴{bn}是以 4 为首项，2 为公比的等比数列， ∴Tn＝ b1（1－qn） 1－q ＝ 4（1－2n） 1－2 ＝2n＋2－4.（12 分） 18．解：(1)由频率分布表得 a＋0.2＋0.45＋b＋c＝1，即 a＋b＋c＝0.35. 因为抽取的 20 件样品中，等级系数为 D 的恰有 3 件，所以 b＝ 3 20＝0.15. 等级系数为 E 的恰有 2 件，所以 c＝ 2 20＝0.1. 从而 a＝0.35－b－c＝0.1. 所以 a＝0.1，b＝0.15，c＝0.1.（6 分） (2)从样品 x1，x2，x3，y1，y2 中任取两件，所有可能的结果为： (x1，x2)，(x1，x3)，(x1，y1)，(x1，y2)，(x2，x3)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x3，y1)，(x3，y2)，(y1，y2)， 共计 10 个． 设事件 A 表示“从样品 x1，x2，x3，y1，y2 中任取两件，其等级系数相等”， 则 A 包含的基本事件为：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x3)，(y1，y2)，共 4 个． 故所求的概率 P(A)＝ 4 10＝0.4.（12 分） 19．解：(1) ∵AA1⊥面 ABC，BC⊂面 ABC， ∴BC⊥AA1.（1 分） 又∵BC⊥AC，AA1，AC⊂面 AA1C1C，AA1∩AC＝A，∴BC⊥面 AA1C1C，（3 分） 又 AC1⊂面 AA1C1C，∴BC⊥AC1.（4 分） (2)(法一)当 AF＝3FC 时，FE∥平面 A1ABB1.（7 分） 理由如下：在平面 A1B1C1 内过 E 作 EG∥A1C1 交 A1B1 于 G，连结 AG. ∵B1E＝3EC1，∴EG＝ 3 4A1C1， 又 AF∥A1C1 且 AF＝ 3 4A1C1， ∴AF∥EG 且 AF＝EG， ∴四边形 AFEG 为平行四边形，∴EF∥AG，（10 分） 又 EF⊄ 面 A1ABB1，AG⊂面 A1ABB1，∴EF∥平面 A1ABB1.（12 分） (法二)当 AF＝3FC 时，FE∥平面 A1ABB1.（9 分） 理由如下： 在平面 BCC1B1 内过 E 作 EG∥BB1 交 BC 于 G，连结 FG. ∵EG∥BB1，EG⊄ 面 A1ABB1，BB1⊂面 A1ABB1， ∴EG∥平面 A1ABB1.∵B1E＝3EC1，∴BG＝3GC， ∴FG∥AB，又 AB⊂面 A1ABB1，FG⊄ 面 A1ABB1， ∴FG∥平面 A1ABB1. 又 EG⊂面 EFG，FG⊂面 EFG，EG∩FG＝G， ∴平面 EFG∥平面 A1ABB1.（11 分） ∵EF⊂面 EFG，∴EF∥平面 A1ABB1.（12 分） 20．解：(1)因为 AB＝acosθ， ∴S1＝ 1 2a·acosθ·sinθ＝ 1 4a2sin 2θ， 设正方形边长为 x，BQ＝ x tan θ，RC＝xtanθ， 则 x＋xtanθ＋ x tan θ＝a，解之得 x＝ asin θcos θ 1＋sin θcos θ 所以 S2 ＝ a2sin22θ 4＋4sin 2θ＋sin22θ（6 分） (2)当 a 固定，θ变化时 S1 S2＝ 1 4( 4 sin 2θ＋sin 2θ＋4)， 设 sin 2θ＝t，则 y＝ S1 S2＝ 1 4(t＋ 4 t＋4)． ∵0＜θ＜ π 2 ，∴0＜t≤1，f(t)＝t＋ 4 t(0＜t≤1)， 易证 f(t)在(0，1]上是减函数． 故当 t＝1 时， S1 S2取最小值， 此时θ＝ π 4 .（12 分） 21．解：(1) 由条件知 lAB：y＝x－ p 2，则 ， y2＝2px，消去 y 得 x2－3px＋ 1 4p2＝0，则 x1＋x2＝3p，由 抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝4p. 又因为|AB|＝8，即 p＝2，则抛物线的方程为 y2＝4x.(5 分) (2)由(1)知|AB|＝4p，且 lAB：y＝x－ p 2，设 M( 2 00，y0)，则 M 到 AB 的距离为 d＝ 2 0 | 2，因点 M 在直 线 AB 的上方，所以－ 1 2py 2 0＋y0＋ p 2＞0， 则 d＝ 2 2(－ 1 2py 2 0＋y0＋ p 2)＝ 2 2[－ 1 2p(y0－p)2＋p]． 由 x2－3px＋ 1 4p2＝0 知 A( 2 2p，(1－)p)，B( 2 2p，(1＋)p)， 所以(1－)p＜y0＜(1＋)p，则当 y0＝p 时，dmax＝ 2 2p. 则(S△ABM)max＝ 1 2·4p· 2 2p＝p2.(12 分) 22．解：(1)当 a＝1 时，f(x)＝ln x－x2＋x，其定义域是(0，＋∞)， 又 f′(x)＝ 1 x－2x＋1＝－ 2x2－x－1 x ， 令 f′(x)＝0，即－ 2x2－x－1 x ＝0，解得 x＝－ 1 2或 x＝1.又 x>0，∴x＝1. 当 0＜x＜1 时，f′(x)＞0；当 x＞1 时，f′(x)＜0. ∴函数 f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减． ∴当 x＝1 时，函数 f(x)取得最大值，其值为 f(1)＝ln 1－12＋1＝0. 当 x≠1 时，f(x)＜f(1)，即 f(x)＜0. ∴函数 f(x)只有一个零点.（7 分） (2)显然函数 f(x)＝ln x－a2x2＋ax 的定义域为(0，＋∞)， ∴f′(x)＝ 1 x－2a2x＋a＝ －2a2x2＋ax＋1 x ＝ －（2ax＋1）（ax－1） x . ①当 a＝0 时，f′(x)＝ 1 x＞0，∴f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，不合题意； ②当 a>0 时，f′(x)＜0，得 x＞ 1 a，∴ 1 a≤1，即 a≥1； ③当 a<0 时，f′(x)＜0，得 x＞－ 1 2a，∴－ 1 2a≤1，a≤－ 1 2. 综上，实数 a 的取值范围是(－∞，－ 1 2]∪[1，＋∞).（14 分）