【数学】2019届一轮复习北师大版理科第四章第7节解三角形应用举例学案 13页

第7节　解三角形应用举例 最新考纲　能够运用正弦定理、余弦定理等知识方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题.‎ 知 识 梳 理 ‎1.仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).‎ ‎2.方位角：从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫作方位角.如B点的方位角为α(如图2).‎ ‎3.方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等.‎ ‎4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.‎ ‎[常用结论与微点提醒]‎ ‎1.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混.‎ ‎2.在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易出现错误.诊 断 自 测 ‎1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)东北方向就是北偏东45°的方向.(　　)‎ ‎(2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(　　)‎ ‎(3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.(　　)‎ ‎(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.(　　)‎ 解析　(2)α＝β；(3)俯角是视线与水平线所构成的角.‎ 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2.若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的(　　)‎ A.北偏东15° B.北偏西15°‎ C.北偏东10° D.北偏西10°‎ 解析　如图所示，∠ACB＝90°，‎ 又AC＝BC，‎ ‎∴∠CBA＝45°，而β＝30°，‎ ‎∴α＝90°－45°－30°＝15°.‎ ‎∴点A在点B的北偏西15°.‎ 答案　B ‎3.(教材习题改编)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为(　　)‎ A.50 m B.50 m C.25 m D. m 解析　由正弦定理得＝，‎ 又∵B＝30°，∴AB＝＝＝50(m).‎ 答案　A ‎4.轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港C，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h，15 n mile/h，则下午2时两船之间的距离是______n mile.‎ 解析　设两船之间的距离为d，‎ 则d2＝502＋302－2×50×30×cos 120°＝4 900，‎ ‎∴d＝70，即两船相距70 n mile.‎ 答案　70‎ ‎5.(2014·全国Ⅰ卷)如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________m.‎ 解析　在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，BC＝100 m，‎ 所以AC＝100 m.‎ 在△AMC中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，‎ 从而∠AMC＝45°，‎ 由正弦定理得，＝，因此AM＝100 m.‎ 在Rt△MNA中，AM＝100 m，∠MAN＝60°，‎ 由＝sin 60°得MN＝100×＝150 m.‎ 答案　150‎ 考点一　测量高度问题 ‎【例1】 如图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.‎ 解析　在△ABC中，AB＝600，∠BAC＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°，由正弦定理得＝，即＝，所以BC＝300(m).在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，‎ CD＝BCtan∠CBD＝300·tan 30°＝100(m).‎ 答案　100 规律方法　1.在处理有关高度问题时，‎ 要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键.‎ ‎2.在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错.‎ ‎3.注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题.‎ ‎【训练1】 如图所示，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A，B两点处进行测量，在点A处测得塔顶C在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B处测得塔顶C在东偏北40°的方向上，仰角为30°.若A，B两点相距130 m，求塔的高度CD.‎ 解　设CD＝h，则AD＝，BD＝h，‎ 在△ADB中，∠ADB＝180°－20°－40°＝120°，‎ ‎∴由余弦定理AB2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos 120°，‎ 可得1302＝3h2＋－2·h··，‎ 解得h＝10，故塔的高度为10(m).‎ 考点二　测量距离问题 ‎【例2】 如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出AB的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，‎ ‎∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB.‎ 若测得CD＝ km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离.‎ 解　∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，‎ ‎∴∠DAC＝60°，∴AC＝DC＝(km).‎ 在△BCD中，∠DBC＝45°，由正弦定理，‎ 得BC＝·sin∠BDC＝·sin 30°＝(km).‎ 在△ABC中，由余弦定理，得 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 45°‎ ‎＝＋－2×××＝.‎ ‎∴AB＝(km).∴A，B两点间的距离为 km.‎ 规律方法　1.选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.‎ ‎2.确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.‎ ‎【训练2】 海轮“和谐号”从A处以每小时21海里的速度出发，海轮“奋斗号”在A处北偏东45°的方向，且与A相距10海里的C处，沿北偏东105°的方向以每小时9海里的速度行驶，则海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为________小时.‎ 解析　设海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为x小时，如图，则由已知得△ABC中，AC＝10，AB＝21x，BC＝9x，∠ACB＝120°.‎ 由余弦定理得：(21x)2＝100＋(9x)2－2×10×9x×cos 120°，‎ 整理，得36x2－9x－10＝0，‎ 解得x＝或x＝－(舍).‎ 所以海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为小时.‎ 答案　 考点三　测量角度问题 ‎【例3】 如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cos θ的值为________.‎ 解析　在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，‎ 由余弦定理得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800⇒BC＝20.‎ 由正弦定理，得＝ ‎⇒sin∠ACB＝·sin∠BAC＝.‎ 由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝.‎ 由θ＝∠ACB＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB＋30°)‎ ‎＝cos∠ACBcos 30°－sin∠ACBsin 30°＝.‎ 答案　 规律方法　解决测量角度问题的注意事项 ‎(1)首先应明确方位角或方向角的含义.‎ ‎(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步.‎ ‎(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的结合使用.‎ ‎【训练3】 如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于(　　)‎ A.30° B.45° C.60° D.75°‎ 解析　依题意可得AD＝20m，AC＝30m，‎ 又CD＝50 m，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝＝ ‎＝＝，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，‎ 所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.‎ 答案　B 基础巩固题组 ‎(建议用时：40分钟)‎ 一、选择题 ‎1.在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为(　　)‎ A. km B. km C. km D.2 km 解析　如图，在△ABC中，由已知可得∠ACB＝45°，∴＝，‎ ‎∴AC＝2×＝(km).‎ 答案　A ‎2.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　)‎ A.10海里 B.10海里 C.20海里 D.20海里 解析　如图所示，易知，‎ 在 △ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，‎ 根据正弦定理得＝，‎ 解得BC＝10(海里).‎ 答案　A ‎3.(2018·许昌调研)如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与B的距离为(　　)‎ A.a km B.a km C.a km D.2a km 解析　由题图可知，∠ACB＝120°，由余弦定理，‎ 得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝a2＋a2－2·a·a·＝3a2，解得 AB＝a(km).‎ 答案　B ‎4.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于(　　)‎ A.240(－1)m B.180(－1)m C.120(－1)m D.30(＋1)m 解析　如图，∠ACD＝30°，∠ABD＝75°，AD＝60 m，‎ 在Rt△ACD中，CD＝＝＝60(m)，‎ 在Rt△ABD中，BD＝＝＝＝60(2－)(m)，‎ ‎∴BC＝CD－BD＝60－60(2－)＝120(－1)(m).‎ 答案　C ‎5.如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于(　　)‎ A.5 B.15 C.5 D.15 解析　在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.‎ 由正弦定理得＝，‎ 所以BC＝15.‎ 在Rt△ABC中，‎ AB＝BCtan ∠ACB＝15×＝15.‎ 答案　D 二、填空题 ‎6.江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.‎ 解析　如图，OM＝AOtan 45°＝30(m)，‎ ON＝AOtan 30°＝×30＝10(m)，‎ 在△MON中，由余弦定理得，‎ MN＝ ‎＝＝10(m).‎ 答案　10 ‎7.在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为________m.‎ 解析　如图，由已知可得∠BAC＝30°，∠CAD＝30°，‎ ‎∴∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠ADC＝120°.‎ 又AB＝200 m，∴AC＝(m).‎ 在△ACD中，由余弦定理得，‎ AC2＝2CD2－2CD2·cos 120°＝3CD2，‎ ‎∴CD＝AC＝(m).‎ 答案　 ‎8.(2018·潍坊模拟)校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10 m(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上.若国歌时长为50 s，升旗手应以________m/s的速度匀速升旗.‎ 解析　依题意可知∠AEC＝45°，∠ACE＝180°－60°－15°＝105°，∴∠EAC＝180°－45°－105°＝30°.‎ 由正弦定理可知＝，‎ ‎∴AC＝·sin∠CEA＝20 m.‎ ‎∴在Rt△ABC中，AB＝AC·sin∠ACB＝20×＝30 m.‎ ‎∵国歌时长为50 s，∴升旗速度为＝0.6 m/s.‎ 答案　0.6‎ 三、解答题 ‎9.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上.‎ ‎(1)求渔船甲的速度；‎ ‎(2)求sin α的值.‎ 解　(1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC ‎＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.‎ 解得BC＝28.‎ 所以渔船甲的速度为＝14海里/时.‎ ‎(2)在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得＝，‎ 即sin α＝＝＝.‎ ‎10.(2018·武汉质检)如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h，求山高CD.‎ 解　由已知得，∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠BAC ‎＝α－β，∠CAD＝β.‎ 在△ABC中，由正弦定理得＝，‎ 即＝，‎ ‎∴AC＝＝.‎ 在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝ACsin β＝.‎ 故山高CD为.‎ 能力提升题组 ‎(建议用时：20分钟)‎ ‎11.(2018·山西康杰中学、临汾一中等五校联考)飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔15 000 m，速度为1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为15°，经过108 s后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为________m(取＝1.732).‎ 解析　∵108 s＝0.03 h，‎ ‎∴AB＝1 000×0.03＝30 km.‎ ‎∵∠C＝75°－15°＝60°，∴＝，∴BC＝.‎ ‎∴C到AB边的距离为h＝BCsin 75°＝20sin 15°sin 75°＝10sin 30°＝5＝5×1.732＝8.66 km.‎ ‎∴山顶的海拔高度为(15－8.66)km＝6 340 m.‎ 答案　6 340‎ ‎12.(2017·呼和浩特调研)某人为测出所住小区的面积，进行了一些测量工作，最后将所住小区近似地画成如图所示的四边形，测得的数据如图所示，则该图所示的小区的面积是________km2.‎ 解析　如图，连接AC，由余弦定理可知 AC＝＝，故∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∠DAC＝∠DCA＝15°，∠ADC＝150°，＝，即AD＝＝＝‎ eq f(3 (2)－ (6),2)，‎ 故S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝×1×＋××＝(km2).‎ 答案　 ‎13.如图，在海岸A处，发现北偏东45°方向距A为(－1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A为2海里的C处的缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船.此时走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(注：≈2.449).‎ 解　设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则有CD＝10t(海里)，BD＝10t(海里).‎ 在△ABC中，∵AB＝(－1)海里，AC＝2海里，‎ ‎∠BAC＝45°＋75°＝120°，根据余弦定理，可得 BC＝＝(海里).‎ 根据正弦定理，可得 sin∠ABC＝＝＝.‎ ‎∴∠ABC＝45°，易知CB方向与正北方向垂直，‎ 从而∠CBD＝90°＋30°＝120°.‎ 在△BCD中，根据正弦定理，可得 sin∠BCD＝＝＝，‎ ‎∴∠BCD＝30°，∠BDC＝30°，∴BD＝BC＝(海里)，‎ 则有10t＝，t＝≈0.245小时＝14.7分钟.‎ 故缉私船沿北偏东60°方向，需14.7分钟才能追上走私船.‎