【数学】2019届一轮复习北师大版三角函数、解三角形学案 171页

第三章 三角函数、解三角形 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 1．角的概念的推广 (1)定义 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图 形． (2)分类 按旋转方向不同分为正角、负角、零角. 按终边位置不同分为象限角和轴线角. (3)终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合 S＝{β|β＝α ＋2 π， ∈ }． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，弧度记作 rad. (2)公式 角α的弧度数公式 |α|＝l r(l 表示弧长) 角度与弧度的换算 ①1°＝ π 180 rad；②1 rad＝ 180 π ° 弧长公式 l＝|α|r 扇形面积公式 S＝1 2lr＝1 2|α|r2 3.任意角的三角函数 (1)定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么 sin α＝y，cos α＝x， tan α＝y x(x≠0)． (2)几何表示 三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在 x 轴上， 余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段 MP，OM，AT 分别叫做 角α的正弦线、余弦线和正切线． 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)小于 90°的角是锐角．( ) (2)三角形的内角必是第一、第二象限角．( ) (3)不相等的角终边一定不相同．( ) (4)若点 P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第二象限．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．已知角α的终边过点 P(－1,2)，则 sin α＝( ) A. 5 5 B.2 5 5 C．－ 5 5 D．－2 5 5 解析 选 B 因为|OP|＝ －12＋22＝ 5(O 为坐标原点)，所以 sin α＝ 2 5 ＝2 5 5 . 3．若角θ同时满足 sin θ<0 且 tan θ<0，则角θ的终边一定位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析 选 D 由 sin θ<0，可知θ的终边可能位于第三象限或第四象限，也可能与 y 轴的非 正半轴重合．由 tan θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于 第四象限． 4．已知角α的终边过点 P(8m,3)，且 cos α＝－4 5 ，则 m 的值为( ) A．－1 2 B.1 2 C．－ 3 2 D. 3 2 解析 选 A 由题意得 8m 8m2＋32 ＝－4 5 ，且 m<0. 解得 m＝－1 2. 5．已知扇形的圆心角为 60°，其弧长为 2π，则此扇形的面积为________． 解析 设此扇形的半径为 r，由题意得 π 3r＝2π，所以 r＝6， 所以此扇形的面积为1 2 ×2π×6＝6π. 答案 6π 6．在 0 到 2π范围内，与角－4π 3 终边相同的角是________． 解析 与角－4π 3 终边相同的角是 2 π＋ －4π 3 ， ∈ ，令 ＝1，可得与角－4π 3 终边相同的 角是2π 3 . 答案 2π 3 考点一 象限角及终边相同的角 基础送分型考点——自主练透 [考什么·怎么考] 高考对象限角及终边相同的角直接考查较少，多渗透到三角函数求值及性质中，属于基 础题. 1．给出下列四个命题 ①－3π 4 是第二象限角； ②4π 3 是第三象限角； ③－400°是第四象限角； ④－315°是第一象限角． 其中正确命题的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析 选 C －3π 4 是第三象限角，故①错误；4π 3 ＝π＋π 3 ，从而4π 3 是第三象限角，故②正 确；－400°＝－360°－40°，从而－400°是第四象限角，故③正确；－315°＝－360° ＋45°，从而－315°是第一象限角，故④正确，故选 C. 2．在－720°～0°范围内所有与 45°终边相同的角为________． 解析 所有与 45°终边相同的角可表示为 β＝45°＋ ×360°( ∈ )， 则令－720°≤45°＋ ×360°<0°( ∈ )， 得－765°≤ ×360°<－45°( ∈ )， 解得－765 360 ≤ <－ 45 360( ∈ )， 从而 ＝－2 或 ＝－1， 代入得β＝－675°或β＝－315°. 答案 －675°或－315° 3．终边在直线 y＝ 3x 上的角的集合为__________________． 解析 在坐标系中画出直线 y＝ 3x，可以发现它与 x 轴正半轴的夹角 是π 3 ，终边在直线 y＝ 3x 上的角的集合为 α|α＝kπ＋π 3 ，k∈Z . 答案 α|α＝kπ＋π 3 ，k∈Z 4．若角α是第二象限角，则α 2 是第________象限角． 解析 ∵α是第二象限角，∴π 2 ＋2 π<α<π＋2 π， ∈ ， ∴π 4 ＋ π<α 2<π 2 ＋ π， ∈ .当 为偶数时，α 2 是第一象限角；当 为奇数时，α 2 是第三象限角． 答案 一或三 [怎样快解·准解] 1．象限角的两种判断方法 (1)图象法 在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第 几象限角． (2)转化法 先将已知角化为 ·360°＋α(0°≤α<360°， ∈ )的形式，即找出与已知角终 边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角． 2．求θ n 或 nθ(n∈N*)所在象限的方法 (1)将θ的范围用不等式(含有 ，且 ∈ )表示． (2)两边同除以 n 或乘以 n. (3)对 进行讨论，得到θ n 或 nθ(n∈N*)所在的象限． [注意] (1)相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无 数个，它们之间相差 360°的整数倍． (2)终边在一条直线上的角之间相差 180°的整数倍；终边在互相垂直的两条直线上的角之 间相差 90°的整数倍． 考点二 扇形的弧长及面积公式的应用 基础送分型考点——自主练透 [考什么·怎么考] 高考对扇形的弧长、面积公式很少直接考查，主要是理解弧度制下的公式的应用，属于 基础题. 1．已知扇形的周长是 6，面积是 2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A．1 B．4 C．1 或 4 D．2 或 4 解析 选 C 设扇形的半径为 r，弧长为 l， 则 2r＋l＝6， 1 2 rl＝2， 解得 r＝1， l＝4 或 r＝2， l＝2. 从而α＝l r ＝4 1 ＝4 或α＝l r ＝2 2 ＝1. 2．已知扇形弧长为 20 cm，圆心角为 100°，则该扇形的面积为________cm2. 解析 由弧长公式 l＝|α|r，得 r＝ 20 100π 180 ＝36 π ，∴S 扇形＝1 2lr＝1 2 ×20×36 π ＝360 π . 答案 360 π 3．如果一个扇形的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的3 2 倍，则该弧所对的圆心角 是原来的________倍． 解析 设圆的半径为 r，弧长为 l，则其弧度数为l r. 将半径变为原来的一半，弧长变为原来的3 2 倍， 则弧度数变为 3 2l 1 2r ＝3·l r ， 即弧度数变为原来的 3 倍． 答案 3 [怎样快解·准解] 弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略 (1)明确弧度制下弧长及扇形面积公式，在使用公式时，要注意角的单位必须是弧度． (2)分析题目已知哪些量、要求哪些量，然后灵活地运用弧长公式、扇形面积公式直接求 解，或合理地利用圆心角所在三角形列方程(组)求解． 考点三 三角函数的定义及应用 题点多变型考点——追根溯源 任意角的三角函数正弦、余弦、正切的定义属于理解内容.在高考中多以选择题、填空 题的形式出现.,常见的命题角度有 1利用三角函数定义求值； 2三角函数值符号的判定； 3三角函数线的应用. [题点全练] 角度(一) 利用三角函数定义求值 1．已知角θ的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边在直线 y＝2x 上，则 cos 2θ＝( ) A．－4 5 B．－3 5 C.3 5 D.4 5 解析 选 B 设 P(t,2t)(t≠0)为角θ终边上任意一点，则 cos θ＝ t 5|t| . 当 t>0 时，cos θ＝ 5 5 ；当 t<0 时，cos θ＝－ 5 5 . 因此 cos 2θ＝2cos2θ－1＝2 5 －1＝－3 5. 2．已知角α的终边经过点 P(－x，－6)，且 cos α＝－ 5 13 ，则 1 sin α ＋ 1 tan α ＝________. 解析 ∵角α的终边经过点 P(－x，－6)，且 cos α＝－ 5 13 ， ∴cos α＝ －x x2＋36 ＝－ 5 13 ，解得 x＝5 2 或 x＝－5 2(舍去)， ∴P －5 2 ，－6 ， ∴sin α＝－12 13 ，∴tan α＝sin α cos α ＝12 5 ， 则 1 sin α ＋ 1 tan α ＝－13 12 ＋ 5 12 ＝－2 3. 答案 －2 3 [题型技法] 利用三角函数定义求三角函数值的方法 (1)已知角α终边上一点 P 的坐标，则可先求出点 P 到原点的距离 r，然后用三角函数的 定义求解． (2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的 距离，然后用三角函数的定义求解． 角度(二) 三角函数值符号的判定 3．(2014·全国卷Ⅰ)若 tan α>0，则( ) A．sin α>0 B．cos α>0 C．sin 2α>0 D．cos 2α>0 解析 选 C 由 tan α>0，可得α的终边在第一象限或第三象限，此时 sin α与 cos α同号， 故 sin 2α＝2sin acos α>0，故选 C. 4．若 sin αtan α<0，且cos α tan α<0，则角α是( ) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析 选 C 由 sin αtan α<0 可知 sin α，tan α异号， 则α为第二象限角或第三象限角． 由cos α tan α<0 可知 cos α，tan α异号， 则α为第三象限角或第四象限角． 综上可知，α为第三象限角． [题型技法] 三角函数值符号及角的位置判断 已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所 在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置，注意终边在坐标轴上的特殊情况． 角度(三) 三角函数线的应用 5．函数 y＝lg(3－4sin2x)的定义域为________． 解析 ∵3－4sin2x>0，∴sin2x<3 4 ， ∴－ 3 2 1. [冲关演练] 1.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，角α的终边与单位圆交于点 A， 点 A 的纵坐标为4 5 ，则 cos α的值为( ) A.4 5 B．－4 5 C.3 5 D．－3 5 解析 选 D 因为点 A 的纵坐标 yA＝4 5 ，且点 A 在第二象限，又因为圆 O 为单位圆，所 以 A 点的横坐标 xA＝－3 5 ，由三角函数的定义可得 cos α＝－3 5. 2．已知点 P(cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析 选 B 由题意得 cos α<0， tan α<0 ⇒ cos α<0， sin α>0， 所以角α的终边在第二象限． 3．函数 y＝ sin x－ 2 2 的定义域为________． 解析 因为 sin ≥ 2 2 ，作直线 y＝ 2 2 交单位圆于 A，B 两点，连接 OA，OB，则 OA 与 OB 围成的区域(图中阴影部分)即为角 x 的终边的 范围，故满足条件的角 x 的集合为 x|2kπ＋π 4 ≤x≤2kπ＋3π 4 ，k∈Z . 答案 2kπ＋π 4 ，2kπ＋3π 4 ， ∈ (一)普通高中适用 A 级——基础小题练熟练快 1．已知扇形的面积为 2，扇形圆心角的弧度数是 4，则扇形的周长为( ) A．2 B．4 C．6 D．8 解析 选 C 设扇形的半径为 r，弧长为 l，则由扇形面积公式可得 2＝1 2lr＝1 2|α|r2＝ 1 2 ×4×r2，解得 r＝1，l＝αr＝4，所以所求扇形的周长为 2r＋l＝6. 2．已知点 P 3 2 ，－1 2 在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( ) A.5π 6 B.2π 3 C.11π 6 D.5π 3 解析 选 C 因为点 P 3 2 ，－1 2 在第四象限， 根据三角函数的定义可知 tan θ＝ －1 2 3 2 ＝－ 3 3 ， 又θ∈[0,2π)，可得θ＝11π 6 . 3．若角α与β的终边关于 x 轴对称，则有( ) A．α＋β＝90° B．α＋β＝90°＋ ·360°， ∈ C．α＋β＝2 ·180°， ∈ D．α＋β＝180°＋ ·360°， ∈ 解析 选 C 因为α与β的终边关于 x 轴对称，所以β＝2 ·180°－α， ∈ .所以α＋β＝ 2 ·180°， ∈ . 4．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且 cos α≤0，sin α＞0，则实数 a 的取值范围 是( ) A．(－2,3] B．(－2,3) C．[－2,3) D．[－2,3] 解析 选 A 由 cos α≤0，sin α＞0 可知，角α的终边落在第二象限或 y 轴的正半轴上， 所以有 3a－9≤0， a＋2＞0， 解得－2＜a≤3. 5．下列选项中正确的是( ) A．sin 300°＞0 B．cos(－305°)＜0 C．tan －22π 3 ＞0 D．sin 10＜0 解析 选 D 300°＝360°－60°，则 300°是第四象限角； －305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角； 因为－22π 3 ＝－8π＋2π 3 ，所以－22π 3 是第二象限角； 因为 3π＜10＜7π 2 ，所以 10 是第三象限角．故 sin 300°＜0，cos(－305°)＞0，tan －22π 3 ＜0，sin 10＜0，故 D 正确． 6．集合 α|kπ＋π 4 ≤α≤kπ＋π 2 ，k∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( ) 解析 选 C 当 ＝2n(n∈ )时，2nπ＋π 4 ≤α≤2nπ＋π 2 ，此时α表示的范围与π 4 ≤α≤π 2 表示 的范围一样；当 ＝2n＋1(n∈ )时，2nπ＋π＋π 4 ≤α≤2nπ＋π＋π 2 ，此时α表示的范围与π＋ π 4 ≤α≤π＋π 2 表示的范围一样，结合图象知选 C. 7．若α＝1 560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________. 解析 因为α＝1 560°＝4×360°＋120°， 所以与α终边相同的角为 360°× ＋120°， ∈ ， 令 ＝－1 或 ＝0 可得θ＝－240°或θ＝120°. 答案 120°或－240° 8．在直角坐标系 xOy 中，O 是原点，A( 3，1)，将点 A 绕 O 逆时针旋转 90°到 B 点， 则 B 点坐标为__________． 解析 依题意知 OA＝OB＝2，∠AOx＝30°，∠BOx＝120°， 设点 B 坐标为(x，y)，所以 x＝2cos 120°＝－1，y＝2sin 120°＝ 3，即 B(－1， 3)． 答案 (－1， 3) 9．若两个圆心角相同的扇形的面积之比为 1∶4，则这两个扇形的周长之比为________． 解析 设两个扇形的圆心角的弧度数为α，半径分别为 r，R(其中 r＜R)，则 1 2αr2 1 2αR2 ＝1 4 ， 所以 r∶R＝1∶2，两个扇形的周长之比为 2r＋αr 2R＋αR ＝1∶2. 答案 1∶2 10．已知角α的终边上一点 P(－ 3，m)(m≠0)，且 sin α＝ 2m 4 ，则 m＝________. 解析 由题设知点 P 的横坐标 x＝－ 3，纵坐标 y＝m， ∴r2＝|OP|2＝(－ 3)2＋m2(O 为原点)， 即 r＝ 3＋m2. ∴sin α＝m r ＝ 2m 4 ＝ m 2 2 ， ∴r＝ 3＋m2＝2 2， 即 3＋m2＝8，解得 m＝± 5. 答案 ± 5 B 级——中档题目练通抓牢 1．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为 ( ) A.π 3 B.π 2 C. 3 D. 2 解析 选 C 设圆的半径为 R，由题意可知，圆内接正三角形的边长为 3R，所以圆弧 长为 3R.所以该圆弧所对圆心角的弧度数为 3R R ＝ 3. 2．已知角α＝2 π－π 5( ∈ )，若角θ与角α的终边相同，则 y＝ sin θ |sin θ| ＋ cos θ |cos θ| ＋ tan θ |tan θ| 的值 为( ) A．1 B．－1 C．3 D．－3 解析 选 B 由α＝2 π－π 5( ∈ )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与 角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以 sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0. 所以 y＝－1＋1－1＝－1. 3．设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且 cos α＝1 5x，则 tan α＝( ) A.4 3 B.3 4 C．－3 4 D．－4 3 解析 选 D ∵α是第二象限角，∴x<0. 又由题意知 x x2＋42 ＝1 5x， 解得 x＝－3. ∴tan α＝4 x ＝－4 3. 4．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的2 3 ，面积等于圆面积的 5 27 ，则 扇形的弧长与圆周长之比为________． 解析 设圆的半径为 r，则扇形的半径为2r 3 ，记扇形的圆心角为α， 则 1 2 α 2r 3 2 πr2 ＝ 5 27 ， ∴α＝5π 6 . ∴扇形的弧长与圆周长之比为l c ＝ 5π 6 ·2r 3 2πr ＝ 5 18. 答案 5 18 5．(2018·石家庄模拟)在(0,2π)内，使 sin >cos 成立的 x 的取值范围为____________． 解析 如图所示，找出在(0,2π)内，使 sin ＝cos 的 x 值，sinπ 4 ＝cosπ 4 ＝ 2 2 ，sin5π 4 ＝cos5π 4 ＝－ 2 2 .根据三角函数线的变化规律标出满足题中条 件的角 x∈ π 4 ，5π 4 . 答案 π 4 ，5π 4 6．已知 1 |sin α| ＝－ 1 sin α ，且 lg(cos α)有意义． (1)试判断角α所在的象限； (2)若角α的终边上一点 M 3 5 ，m ，且|OM|＝1(O 为坐标原点)，求 m 的值及 sin α的值． 解 (1)由 1 |sin α| ＝－ 1 sin α ，得 sin α<0， 由 lg(cos α)有意义，可知 cos α>0， 所以α是第四象限角． (2)因为|OM|＝1，所以 3 5 2＋m2＝1， 解得 m＝±4 5. 又α为第四象限角，故 m<0， 从而 m＝－4 5 ， sin α＝y r ＝ m |OM| ＝ －4 5 1 ＝－4 5. 7．若角θ的终边过点 P(－4a,3a)(a≠0)， (1)求 sin θ＋cos θ的值； (2)试判断 cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号． 解 (1)因为角θ的终边过点 P(－4a,3a)(a≠0)， 所以 x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|， 当 a＞0 时，r＝5a，sin θ＋cos θ＝3 5 －4 5 ＝－1 5. 当 a＜0 时，r＝－5a，sin θ＋cos θ＝－3 5 ＋4 5 ＝1 5. (2)当 a＞0 时，sin θ＝3 5 ∈ 0，π 2 ， cos θ＝－4 5 ∈ －π 2 ，0 ， 则 cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos 3 5·sin －4 5 ＜0； 当 a＜0 时，sin θ＝－3 5 ∈ －π 2 ，0 ， cos θ＝4 5 ∈ 0，π 2 ， 则 cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos －3 5 ·sin 4 5 ＞0. 综上，当 a＞0 时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负； 当 a＜0 时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正． C 级——重难题目自主选做 已知扇形 AOB 的周长为 8. (1)若这个扇形的面积为 3，求圆心角的大小； (2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长 AB. 解 设扇形 AOB 的半径为 r，弧长为 l，圆心角为α， (1)由题意可得 2r＋l＝8， 1 2 lr＝3， 解得 r＝3， l＝2 或 r＝1， l＝6， ∴α＝l r ＝2 3 或α＝l r ＝6. (2)法一 ∵2r＋l＝8， ∴S 扇＝1 2lr＝1 4l·2r≤1 4 l＋2r 2 2＝1 4 × 8 2 2＝4， 当且仅当 2r＝l，即 r＝2，l＝4，α＝l r ＝2 时，扇形面积取得最大值 4. ∴圆心角α＝2，弦长 AB＝2sin 1×2＝4sin 1. 法二 ∵2r＋l＝8， ∴S 扇＝1 2lr＝1 2r(8－2r)＝r(4－r)＝－(r－2)2＋4≤4， 当且仅当 r＝2，l＝4，即α＝l r ＝2 时，扇形面积取得最大值 4. ∴弦长 AB＝2sin 1×2＝4sin 1. (二)重点高中适用 A 级——保分题目巧做快做 1.下列与9π 4 的终边相同的角的表达式中正确的是( ) A．2 π＋45°( ∈ ) B． ·360°＋9 4π( ∈ ) C． ·360°－315°( ∈ ) D． π＋5π 4 ( ∈ ) 解析 选 C 由定义知终边相同的角中不能同时出现角度和弧度，应为π 4 ＋2 π或 ·360° ＋45°( ∈ )，结合选项知 C 正确． 2．已知点 P 3 2 ，－1 2 在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( ) A.5π 6 B.2π 3 C.11π 6 D.5π 3 解析 选 C 因为点 P 3 2 ，－1 2 在第四象限， 所以根据三角函数的定义可知 tan θ＝ －1 2 3 2 ＝－ 3 3 ， 又θ∈[0,2π)，可得θ＝11π 6 . 3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为 ( ) A.π 3 B.π 2 C. 3 D. 2 解析 选 C 设圆的半径为 R，由题意可知，圆内接正三角形的边长为 3R，所以圆弧 长为 3R，所以该圆弧所对圆心角的弧度数为 3R R ＝ 3. 4．下列选项中正确的是( ) A．sin 300°＞0 B．cos(－305°)＜0 C．tan －22π 3 ＞0 D．sin 10＜0 解析 选 D 300°＝360°－60°，则 300°是第四象限角； －305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角； 因为－22π 3 ＝－8π＋2π 3 ，所以－22π 3 是第二象限角； 因为 3π＜10＜7π 2 ，所以 10 是第三象限角．故 sin 300°＜0，cos(－305°)＞0，tan －22π 3 ＜0，sin 10＜0，故 D 正确． 5．已知角α＝2 π－π 5( ∈ )，若角θ与角α的终边相同，则 y＝ sin θ |sin θ| ＋ cos θ |cos θ| ＋ tan θ |tan θ| 的值 为( ) A．1 B．－1 C．3 D．－3 解析 选 B 由α＝2 π－π 5( ∈ )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与 角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以 sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0. 所以 y＝－1＋1－1＝－1. 6．若α＝1 560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________. 解析 因为α＝1 560°＝4×360°＋120°， 所以与α终边相同的角为 360°× ＋120°， ∈ ， 令 ＝－1 或 ＝0 可得θ＝－240°或θ＝120°. 答案 120°或－240° 7．若两个圆心角相同的扇形的面积之比为 1∶4，则这两个扇形的周长之比为________． 解析 设两个扇形的圆心角的弧度数为α，半径分别为 r，R(其中 r＜R)，则 1 2αr2 1 2αR2 ＝1 4 ， 所以 r∶R＝1∶2，两个扇形的周长之比为 2r＋αr 2R＋αR ＝1∶2. 答案 1∶2 8.点 P 从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动 8π 3 弧长到达点 Q，则点 Q 的坐标为 ________． 解析 设点 A(－1,0)，点 P 从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动 8π 3 弧长到达点 Q， 则∠AOQ＝8π 3 －2π＝2π 3 (O 为坐标原点)，所以∠xOQ＝π 3 ，cosπ 3 ＝1 2 ，sinπ 3 ＝ 3 2 ，所以点 Q 的 坐标为 1 2 ， 3 2 . 答案 1 2 ， 3 2 9.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，角α的始边与 x 轴的非负半轴重合且 与单位圆相交于 A 点，它的终边与单位圆相交于 x 轴上方一点 B，始边不动， 终边在运动． (1)若点 B 的横坐标为－4 5 ，求 tan α的值； (2)若△AOB 为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合． 解 (1)设点 B 的纵坐标为 m，则由题意 m2＋ －4 5 2＝1， 且 m>0，所以 m＝3 5 ，故 B －4 5 ，3 5 ， 根据三角函数的定义得 tan α＝ 3 5 －4 5 ＝－3 4. (2) 若 △ AOB 为 等 边 三 角 形 ， 则 ∠ AOB ＝ π 3 ， 故 与 角 α 终 边 相 同 的 角 β 的 集 合 为 β|β＝π 3 ＋2kπ，k∈Z . 10．已知扇形 AOB 的周长为 8. (1)若这个扇形的面积为 3，求圆心角的大小； (2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长 AB. 解 设扇形 AOB 的半径为 r，弧长为 l，圆心角为α， (1)由题意可得 2r＋l＝8， 1 2 lr＝3， 解得 r＝3， l＝2 或 r＝1， l＝6， ∴α＝l r ＝2 3 或α＝l r ＝6. (2)法一 ∵2r＋l＝8， ∴S 扇＝1 2lr＝1 4l·2r≤1 4 l＋2r 2 2＝1 4 × 8 2 2＝4， 当且仅当 2r＝l，即 r＝2，l＝4，α＝l r ＝2 时，扇形面积取得最大值 4. ∴圆心角α＝2，弦长 AB＝2sin 1×2＝4sin 1. 法二 ∵2r＋l＝8， ∴S 扇＝1 2lr＝1 2r(8－2r)＝r(4－r)＝－(r－2)2＋4≤4， 当且仅当 r＝2，l＝4，即α＝l r ＝2 时，扇形面积取得最大值 4. ∴弦长 AB＝2sin 1×2＝4sin 1. B 级——拔高题目稳做准做 1.已知点 P sin 3π 4 ，cos 3π 4 落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( ) A.π 4 B.3π 4 C.5π 4 D.7π 4 解析 选 D 由 sin 3π 4 ＞0，cos 3π 4 ＜0 知角θ是第四象限角， 因为 tan θ＝ cos 3π 4 sin 3π 4 ＝－1，θ∈[0,2π)， 所以θ＝7π 4 .故选 D. 2.已知 sin α＞sin β，那么下列命题成立的是( ) A．若α，β是第一象限的角，则 cos α＞cos β B．若α，β是第二象限的角，则 tan α＞tan β C．若α，β是第三象限的角，则 cos α＞cos β D．若α，β是第四象限的角，则 tan α＞tan β 解析 选 D 由三角函数线可知选 D. 3.若角α是第三象限角，则α 2 是第________象限角． 解析 因为 2 π＋π＜α＜2 π＋3π 2 ( ∈ )， 所以 π＋π 2 ＜α 2 ＜ π＋3π 4 ( ∈ )． 当 ＝2n(n∈ )时，2nπ＋π 2 ＜α 2 ＜2nπ＋3π 4 ，α 2 是第二象限角， 当 ＝2n＋1(n∈ )时，2nπ＋3π 2 ＜α 2 ＜2nπ＋7π 4 ，α 2 是第四象限角， 综上知，当α是第三象限角时，α 2 是第二或四象限角． 答案 二或四 4.(2018·石家庄模拟)在(0,2π)内，使 sin >cos 成立的 x 的取值范围为_____________． 解析 如图所示，找出在(0,2π)内，使 sin ＝cos 的 x 值，sinπ 4 ＝cosπ 4 ＝ 2 2 ，sin5π 4 ＝cos5π 4 ＝－ 2 2 .根据三角函数线的变化规律标出满足题中 条件的角 x∈ π 4 ，5π 4 . 答案 π 4 ，5π 4 5.已知角α的终边在直线 y＝－3x 上，求 10sin α＋ 3 cos α 的值． 解 设α终边上任一点为 P( ，－3 )， 则 r＝ k2＋－3k2＝ 10| |. 当 ＞0 时，r＝ 10 ， ∴sin α＝－3k 10k ＝－ 3 10 ， 1 cos α ＝ 10k k ＝ 10， ∴10sin α＋ 3 cos α ＝－3 10＋3 10＝0； 当 ＜0 时，r＝－ 10 ，∴sin α＝ －3k － 10k ＝ 3 10 ， 1 cos α ＝－ 10k k ＝－ 10， ∴10sin α＋ 3 cos α ＝3 10－3 10＝0. 综上，10sin α＋ 3 cos α ＝0. 6．若角θ的终边过点 P(－4a,3a)(a≠0)， (1)求 sin θ＋cos θ的值； (2)试判断 cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号． 解 (1)因为角θ的终边过点 P(－4a,3a)(a≠0)， 所以 x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|， 当 a＞0 时，r＝5a，sin θ＋cos θ＝3 5 －4 5 ＝－1 5. 当 a＜0 时，r＝－5a，sin θ＋cos θ＝－3 5 ＋4 5 ＝1 5. (2)当 a＞0 时，sin θ＝3 5 ∈ 0，π 2 ， cos θ＝－4 5 ∈ －π 2 ，0 ， 则 cos(sin θ)·sin(cos θ) ＝cos 3 5·sin －4 5 ＜0； 当 a＜0 时，sin θ＝－3 5 ∈ －π 2 ，0 ， cos θ＝4 5 ∈ 0，π 2 ， 则 cos(sin θ)·sin(cos θ) ＝cos －3 5 ·sin 4 5 ＞0. 综上，当 a＞0 时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负； 当 a＜0 时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正． 第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系 sin2α＋cos2α＝1； (2)商数关系 tan α＝sin α cos α. 2．诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2 π＋ α( ∈ ) π＋α －α π－α π 2 －α π 2 ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos_α 余弦 cos α －cos α cos α －cos_α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan_α 口诀 函数名不变符号看象限 函数名改变符号看象限 记忆规律 奇变偶不变，符号看象限 3．特殊角的三角函数值 角α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 150° 180° 角α的弧 度数 0 π 6 π 4 π 3 π 2 2π 3 5π 6 π sin α 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 1 2 0 cos α 1 3 2 2 2 1 2 0 －1 2 － 3 2 －1 tan α 0 3 3 1 3 － 3 － 3 3 0 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则 sin2α＋cos2β＝1.( ) (2)若α∈R，则 tan α＝sin α cos α 恒成立．( ) (3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× 2．已知 sin α＝ 5 5 ，π 2 ≤α≤π，则 tan α＝( ) A．－2 B．2 C.1 2 D．－1 2 解析 选 D 因为π 2 ≤α≤π，所以 cos α＝－ 1－sin2α ＝－ 1－ 5 5 2＝－2 5 5 ， 所以 tan α＝sin α cos α ＝－1 2. 3．(2017·全国卷Ⅲ)已知 sin α－cos α＝4 3 ，则 sin 2α＝( ) A．－7 9 B．－2 9 C.2 9 D.7 9 解析 选 A 将 sin α－cos α＝4 3 的两边进行平方，得 sin2α－2sin αcos α＋cos2α＝16 9 ，即 sin 2α＝－7 9. 4．sin 210°cos 120°的值为( ) A.1 4 B．－ 3 4 C．－3 2 D. 3 4 解析 选 A sin 210°cos 120°＝－sin 30°(－cos 60°)＝－1 2 × －1 2 ＝1 4. 5．若 sin θcos θ＝1 2 ，则 tan θ＋cos θ sin θ ＝________. 解析 tan θ＋cos θ sin θ ＝sin θ cos θ ＋cos θ sin θ ＝ 1 cos θsin θ ＝2. 答案 2 6．sin 2 490°＝________；cos －52π 3 ＝________. 解析 sin 2 490°＝sin(7×360°－30°)＝－sin 30°＝－1 2. cos －52π 3 ＝cos52π 3 ＝cos 16π＋π＋π 3 ＝cos π＋π 3 ＝－cosπ 3 ＝－1 2. 答案 －1 2 －1 2 考点一 三角函数的诱导公式 基础送分型考点——自主练透 [考什么·怎么考] 诱导公式在三角函数的求值和化简中具有非常重要的应用，较少单独考查，多与三角恒 等变换结合在一起考查，常以选择题、填空题的形式出现，难度较小，属于中低档题. 1．(2018·天一大联考)在平面直角坐标系 xOy 中，角α的终边经过点 P(3,4)，则 sin α－2 017π 2 ＝( ) A．－4 5 B．－3 5 C.3 5 D.4 5 解析 选 B ∵角α的终边经过点 P(3,4)，∴sin α＝4 5 ，cos α＝3 5 ，∴sin α－2 017π 2 ＝ sin α－π 2 ＝－cos α＝－3 5. 2．化简 sin(－1 071°)sin 99°＋sin(－171°)sin(－261°)的结果为( ) A．1 B．－1 C．0 D．2 解析 选 C 原式＝(－sin 1 071°)sin 99°＋sin 171°·sin 261° ＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＝sin 9°cos 9°－sin 9°cos 9°＝0. 3．已知 A＝sinkπ＋α sin α ＋coskπ＋α cos α ( ∈ )，则 A 的值构成的集合是( ) A．{1，－1,2，－2} B．{－1,1} C．{2，－2} D．{1，－1,0,2，－2} 解析 选 C 当 为偶数时，A＝sin α sin α ＋cos α cos α ＝2； 当 为奇数时，A＝－sin α sin α －cos α cos α ＝－2. 故 A＝{2，－2}． 4．已知 f(α)＝ cos π 2 ＋α sin 3π 2 －α cos－π－αtanπ－α ，则 f －25π 3 的值为________． 解析 因为 f(α)＝ cos π 2 ＋α sin 3π 2 －α cos－π－αtan π－α ＝ －sin α－cos α －cos α －sin α cos α ＝cos α， 所以 f －25π 3 ＝cos －25π 3 ＝cosπ 3 ＝1 2. 答案 1 2 5．已知 tan π 6 －α ＝ 3 3 ，则 tan 5π 6 ＋α ＝________. 解析 tan 5π 6 ＋α ＝tan π－π 6 ＋α ＝tan π－ π 6 －α ＝－tan π 6 －α ＝－ 3 3 . 答案 － 3 3 [怎样快解·准解] 1．熟记常见的互余和互补的 2 组角 互余的角 π 3 －α与π 6 ＋α；π 3 ＋α与π 6 －α；π 4 ＋α与π 4 －α等 互补的角 π 3 ＋θ与2π 3 －θ；π 4 ＋θ与3π 4 －θ等 2．学会巧妙过渡，熟知将角合理转化的流程 也就是 “负化正，大化小，化到锐角就好了．” 3．明确三角函数式化简的原则和方向 (1)切化弦，统一名． (2)用诱导公式，统一角． (3)用因式分解将式子变形，化为最简． 也就是 “统一角，统一名，同角名少为终了．” 考点二 同角三角函数的基本关系及应用 重点保分型考点——师生共研 同角三角函数的基本关系式是求解三角函数问题的基础，多与其他三角函数知识融合在 一起进行考查，以公式及其变形解决计算问题为主，属于中低档题. [典题领悟] 1．若 tan α＝2，则sin α＋cos α sin α－cos α ＋cos2α＝( ) A.16 5 B．－16 5 C.8 5 D．－8 5 解析 选 A sin α＋cos α sin α－cos α ＋cos2α＝sin α＋cos α sin α－cos α ＋ cos2α sin2α＋cos2α ＝tan α＋1 tan α－1 ＋ 1 tan2α＋1 ＝16 5 . 2．已知 sin αcos α＝3 8 ，且π 4<α<π 2 ，则 cos α－sin α的值为( ) A.1 2 B．±1 2 C．－1 4 D．－1 2 解析 选 D 因为 sin αcos α＝3 8 ，所以(cos α－sin α)2＝cos2α－2sin αcos α＋sin2α＝1－ 2sin αcos α＝1－2×3 8 ＝1 4 ，因为π 4<α<π 2 ，所以 cos α 2 2 ，则 x>π 4.( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)× 2．(2017·全国卷Ⅱ )函数 f(x)＝sin 2x＋π 3 的最小正周期为( ) A．4π B．2π C．π D.π 2 解析 选 C 函数 f(x)＝sin 2x＋π 3 的最小正周期 T＝2π 2 ＝π. 3．函数 y＝tan 2x 的定义域是( ) A. xx≠kπ＋π 4 ，k∈Z B. xx≠kπ 2 ＋π 8 ，k∈Z C. xx≠kπ＋π 8 ，k∈Z D. xx≠kπ 2 ＋π 4 ，k∈Z 解析 选 D 由 2x≠ π＋π 2 ， ∈ ，得 x≠kπ 2 ＋π 4 ， ∈ ， 所以 y＝tan 2x 的定义域为 xx≠kπ 2 ＋π 4 ，k∈Z . 4．函数 f(x)＝ 3 2 cos －1 2sin (x∈[0，π])的单调递增区间为( ) A. 0，5π 6 B. 0，2π 3 C. 5π 6 ，π D. 2π 3 ，π 解析 选 C f(x)＝ 3 2 cos －1 2sin ＝cos x＋π 6 ，由 2 π－π≤x＋π 6 ≤2 π( ∈ )，得 2 π－ 7π 6 ≤x≤2 π－π 6( ∈ )，又 x∈[0，π]，所以当 ＝1 时，f(x)的单调递增区间为 5π 6 ，π . 5．函数 y＝sin π 2 －x 的图象的对称轴是________． 解析 y＝sin π 2 －x ＝cos ，根据余弦函数的性质可知，y＝sin π 2 －x 图象的对称轴是 x ＝ π， ∈ . 答案 x＝ π， ∈ 6．函数 f(x)＝sin 2x－π 4 在区间 0，π 2 上的最小值为________． 解析 由 x∈ 0，π 2 ，得 2x－π 4 ∈ －π 4 ，3π 4 ， 所以 sin 2x－π 4 ∈ － 2 2 ，1 ，故函数 f(x)＝sin 2x－π 4 在区间 0，π 4 上的最小值为－ 2 2 . 答案 － 2 2 考点一 三角函数的定义域和值域 基础送分型考点——自主练透 [考什么·怎么考] 三角函数的定义域和值域问题是高考的重点，常与三角恒等变换结合考查，常见的考查 形式有 1求已知函数的定义域和值域； 2由定义域或值域确定参数的值.考题多以选择题、填空题的形式出现，难度中等. 1．函数 y＝2sin πx 6 －π 3 (0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( ) A．2－ 3 B．0 C．－1 D．－1－ 3 解析 选 A ∵0≤x≤9，∴－π 3 ≤πx 6 －π 3 ≤7π 6 ， ∴sin πx 6 －π 3 ∈ － 3 2 ，1 . ∴y∈[－ 3，2]，∴ymax＋ymin＝2－ 3. 2．(2017·全国卷Ⅱ)函数 f(x)＝sin2x＋ 3cos －3 4 x∈ 0，π 2 的最大值是________． 解析 依题意，f(x)＝sin2x＋ 3cos －3 4 ＝－cos2x＋ 3cos ＋1 4 ＝－ cos x－ 3 2 2＋1， 因为 x∈ 0，π 2 ，所以 cos ∈[0,1]， 因此当 cos ＝ 3 2 时，f(x)max＝1. 答案 1 3．函数 y＝lg(sin 2x)＋ 9－x2的定义域为______________． 解析 由 sin 2x>0， 9－x2≥0， 得 kπ0，ω>0)的最小正周期为π，其图象关 于直线 x＝π 3 对称，则|φ|的最小值为( ) A. π 12 B.π 6 C.5π 6 D.5π 12 解析 选 B 由题意，得ω＝2，所以 f(x)＝Asin(2x＋φ)．因为函数 f(x)的图象关于直线 x ＝π 3 对称，所以 2×π 3 ＋φ＝ π＋π 2( ∈ )，即φ＝ π－π 6( ∈ )，当 ＝0 时，|φ|取得最小值π 6 ，故 选 B. [题型技法] 对称轴与对称中心的求法 (1)函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋b(ω≠0) ①对称轴的求取方法 令ωx＋φ＝π 2 ＋ π( ∈ )，得 x＝ π 2 ＋kπ－φ ω ( ∈ )； ②对称中心的求取方法 令ωx＋φ＝ π( ∈ )， 得 x＝kπ－φ ω ，即对称中心为 kπ－φ ω ，b ( ∈ )． (2)函数 y＝Acos(ωx＋φ)＋b(ω≠0) ①对称轴的求取方法 令ωx＋φ＝ π( ∈ )，得 x＝kπ－φ ω ( ∈ )； ②对称中心的求取方法 令ωx＋φ＝π 2 ＋ π( ∈ )，得 x＝kπ＋π 2 －φ ω ，即对称中心为 kπ＋π 2 －φ ω ，b ( ∈ )． [题“根”探求] 看个性 角度(一)一般先要对三角函数式进行三角恒等变换，把三角函数式化为同名 三角函数，即化为 y＝Asin(ωx＋φ)＋ 或 y＝Acos(ωx＋φ)＋ 或 y＝Atan(ωx ＋φ)＋ 的形式，再根据三角函数的周期公式求解； 角度(二)判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为 y＝ Asin ωx 或 y＝Atan ωx 的形式，而偶函数一般可化为 y＝Acos ωx＋b 的形式； 角度(三)求形如 y＝Asin(ωx＋φ)或 y＝Acos(ωx＋φ)函数的图象对称轴或对称 中心时，都是把“ωx＋φ”看作一个整体，然后根据三角函数图象的对称轴 或对称中心列方程进行求解 找共性 这类问题解题的关键是把原三角函数关系式统一角，统一名，即“一角一函 数”，其解题思维流程是 [冲关演练] 1．最小正周期为π且图象关于直线 x＝π 3 对称的函数是( ) A．y＝2sin 2x＋π 3 B．y＝2sin 2x－π 6 C．y＝2sin x 2 ＋π 3 D．y＝2sin 2x－π 3 解析 选 B 由函数的最小正周期为π，排除 C；由函数图象关于直线 x＝π 3 对称知，该直 线过函数图象的最高点或最低点，对于 B，因为 sin 2×π 3 －π 6 ＝sin π 2 ＝1，所以选 B. 2．(2017·全国卷Ⅲ)设函数 f(x)＝cos x＋π 3 ，则下列结论错误的是( ) A．f(x)的一个周期为－2π B．y＝f(x)的图象关于直线 x＝8π 3 对称 C．f(x＋π)的一个零点为 x＝π 6 D．f(x)在 π 2 ，π 单调递减 解析 选 D 根据函数解析式可知函数 f(x)的最小正周期为 2π，所以函数的一个周期为 －2π，A 正确； 当 x＝8π 3 时，x＋π 3 ＝3π，所以 cos x＋π 3 ＝－1，所以 B 正确； f(x＋π)＝cos x＋π＋π 3 ＝cos x＋4π 3 ，当 x＝π 6 时，x＋4π 3 ＝3π 2 ，所以 f(x＋π)＝0，所以 C 正确； 函数 f(x)＝cos x＋π 3 在 π 2 ，2π 3 上单调递减，在 2π 3 ，π 上单调递增，故 D 不正确． 3．已知函数 f(x)＝sin(x＋θ)＋ 3 cos(x＋θ) θ∈ －π 2 ，π 2 是偶函数，则θ的值为( ) A．0 B.π 6 C.π 4 D.π 3 解析 选 B 据已知可得 f(x)＝2sin x＋θ＋π 3 ， 若函数为偶函数，则必有θ＋π 3 ＝ π＋π 2( ∈ )， 又由于θ∈ －π 2 ，π 2 ，故有θ＋π 3 ＝π 2 ，解得θ＝π 6 ， 经代入检验知符合题意． (一)普通高中适用 A 级——基础小题练熟练快 1．下列函数中，周期为π的奇函数为( ) A．y＝sin cos B．y＝sin2x C．y＝tan 2x D．y＝sin 2x＋cos 2x 解析 选 A y＝sin2x 为偶函数；y＝tan 2x 的周期为π 2 ；y＝sin 2x＋cos 2x 为非奇非偶函 数，故 B、C、D 都不正确，选 A. 2．函数 f(x)＝tan 2x－π 3 的单调递增区间是( ) A. kπ 2 － π 12 ，kπ 2 ＋5π 12 ( ∈ ) B. kπ 2 － π 12 ，kπ 2 ＋5π 12 ( ∈ ) C. kπ－ π 12 ，kπ＋5π 12 ( ∈ ) D. kπ＋π 6 ，kπ＋2π 3 ( ∈ ) 解析 选 B 由 π－π 2 ＜2x－π 3 ＜ π＋π 2( ∈ )，得kπ 2 － π 12 ＜x＜kπ 2 ＋5π 12( ∈ )，所以函数 f(x) ＝tan 2x－π 3 的单调递增区间为 kπ 2 － π 12 ，kπ 2 ＋5π 12 ( ∈ )． 3．已知函数 y＝2cos 的定义域为 π 3 ，π ，值域为[a，b]，则 b－a 的值是( ) A．2 B．3 C. 3＋2 D．2－ 3 解析 选 B 因为 x∈ π 3 ，π ，所以 cos ∈ －1，1 2 ，故 y＝2cos 的值域为[－2,1]，所 以 b－a＝3. 4．y＝|cos |的一个单调增区间是( ) A. －π 2 ，π 2 B．[0，π] C. π，3π 2 D. 3π 2 ，2π 解析 选 D 将 y＝cos 的图象位于 x 轴下方的图象关于 x 轴对称，x 轴上方(或 x 轴上) 的图象不变，即得 y＝|cos |的图象(如图)．故选 D. 5．若函数 y＝sin ωx＋π 6 在 x＝2 处取得最大值，则正数ω的最小值为( ) A.π 2 B.π 3 C.π 4 D.π 6 解析 选 D 由题意得，2ω＋π 6 ＝π 2 ＋2 π( ∈ )，解得ω＝π 6 ＋ π( ∈ )，∵ω>0，∴当 ＝ 0 时，ωmin＝π 6 ，故选 D. 6．已知函数 f(x)＝sin 2x＋3π 2 (x∈R)，下面结论错误的是( ) A．函数 f(x)的最小正周期为π B．函数 f(x)是偶函数 C．函数 f(x)的图象关于直线 x＝π 4 对称 D．函数 f(x)在区间 0，π 2 上是增函数 解析 选 C f(x)＝sin 2x＋3π 2 ＝－cos 2x，故其最小正周期为π，A 正确；易知函数 f(x) 是偶函数，B 正确；由函数 f(x)＝－cos 2x 的图象可知，函数 f(x)的图象关于直线 x＝π 4 不对 称，C 错误；由函数 f(x)的图象易知，函数 f(x)在 0，π 2 上是增函数，D 正确． 7．函数 y＝ 1 tan x－π 4 的定义域为________． 解析 要使函数有意义必须有 tan x－π 4 ≠0， 则 x－π 4 ≠π 2 ＋kπ，k∈Z， x－π 4 ≠kπ，k∈Z. 所以 x－π 4 ≠kπ 2 ， ∈ ， 所以 x≠kπ 2 ＋π 4 ， ∈ ， 所以原函数的定义域为 xx≠kπ 2 ＋π 4 ，k∈Z . 答案 xx≠kπ 2 ＋π 4 ，k∈Z 8．函数 y＝3－2cos x＋π 4 的最大值为________，此时 x＝________. 解析 函数 y＝3－2cos x＋π 4 的最大值为 3＋2＝5，此时 x＋π 4 ＝π＋2 π( ∈ )，即 x＝3π 4 ＋2 π( ∈ )． 答案 5 3π 4 ＋2 π( ∈ ) 9．若函数 f(x)＝|sin ωx＋π 3 |(ω>0)的最小正周期为π，则 f π 3 ＝________. 解析 由题设及周期公式得 T＝π ω ＝π，所以ω＝1，即 f(x)＝|sin x＋π 3 |，所以 f π 3 ＝ |sin 2π 3 |＝ 3 2 . 答案 3 2 10．若函数 f(x)＝sin ωx＋π 6 (ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π 2 ，且该函数 图象关于点(x0,0)成中心对称，x0∈ 0，π 2 ，则 x0＝________. 解析 由题意得T 2 ＝π 2 ，T＝π，ω＝2.又 2x0＋π 6 ＝ π( ∈ )，所以 x0＝kπ 2 － π 12( ∈ )，而 x0 ∈ 0，π 2 ，所以 x0＝5π 12. 答案 5π 12 B 级——中档题目练通抓牢 1．若函数 y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点 4π 3 ，0 对称，则|φ|的最小值为( ) A.π 6 B.π 4 C.π 3 D.π 2 解析 选 A 由题意得 3cos 2×4π 3 ＋φ ＝3cos2π 3 ＋φ＋2π＝3cos 2π 3 ＋φ ＝0， ∴2π 3 ＋φ＝ π＋π 2 ， ∈ ，∴φ＝ π－π 6 ， ∈ . 取 ＝0，得|φ|的最小值为π 6. 2．设函数 f(x)＝|sin x＋π 3 |(x∈R)，则 f(x)( ) A．在区间 2π 3 ，7π 6 上是增函数 B．在区间 －π，－π 2 上是减函数 C．在区间 －π 3 ，π 4 上是增函数 D．在区间 π 3 ，5π 6 上是减函数 解析 选 A 函数 f(x)＝|sin x＋π 3 |(x∈R)的图象如图所示， 由图可知函数 f(x)＝sin x＋π 3 (x∈R)在区间 2π 3 ，7π 6 上是增函数．故选 A. 3．直线 x＝π 3 ，x＝π 2 都是函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，－π＜φ≤π)的对称轴，且函数 f(x) 在区间 π 3 ，π 2 上单调递减，则( ) A．ω＝6，φ＝π 2 B．ω＝6，φ＝－π 2 C．ω＝3，φ＝π 2 D．ω＝3，φ＝－π 2 解析 选 A 因为 x＝π 3 ，x＝π 2 均为函数 f(x)的对称轴， 且函数 f(x)在 π 3 ，π 2 上单调递减． 所以T 2 ＝π 2 －π 3 ＝π 6 ， 所以 T＝π 3 ， 由 T＝π 3 ＝2π ω ，得ω＝6， 因为函数 f(x)在 π 3 ，π 2 上单调递减， 所以 f π 3 ＝1，代入函数可得 sin φ＝1，又φ∈(－π，π]， 所以φ＝π 2 ，故选 A. 4．设函数 f(x)＝3sin π 2 x＋π 4 ，若存在这样的实数 x1 ，x2，对任意的 x∈R，都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为________． 解析 f(x)＝3sin π 2 x＋π 4 的周期 T＝2π×2 π ＝4， f(x1)，f(x2)应分别为函数 f(x)的最小值和最大值， 故|x1－x2|的最小值为T 2 ＝2. 答案 2 5．已知函数 f(x)＝2sin x＋7π 3 ，设 a＝f π 7 ，b＝f π 6 ，c＝f π 3 ，则 a，b，c 的大小关系 是________． 解析 f(x)＝2sin x＋π 3 ＋2π ＝2sin x＋π 3 ， a＝f π 7 ＝2sin 10π 21 ， b＝f π 6 ＝2sin π 2 ， c＝f π 3 ＝2sin 2π 3 ＝2sin π 3 ， 因为 y＝sin 在 0，π 2 上单调递增，且π 3<10π 21 <π 2 ， 所以 sin π 30)的最小正周期为π. (1)求函数 y＝f(x)图象的对称轴方程； (2)讨论函数 f(x)在 0，π 2 上的单调性． 解 (1)∵f(x)＝sin ωx－cos ωx＝ 2 sin ωx－π 4 ，且 T＝π， ∴ω＝2，f(x)＝ 2sin 2x－π 4 . 令 2x－π 4 ＝ π＋π 2( ∈ )，得 x＝kπ 2 ＋3π 8 ( ∈ )， 即函数 f(x)图象的对称轴方程为 x＝kπ 2 ＋3π 8 ( ∈ )． (2) 令 2 π － π 2 ≤2x － π 4 ≤2 π ＋ π 2 ( ∈ ) ， 得 函 数 f(x) 的 单 调 递 增 区 间 为 kπ－π 8 ，kπ＋3π 8 ( ∈ )．注意到 x∈ 0，π 2 ，所以令 ＝0，得函数 f(x)在 0，π 2 上的单调递增 区间为 0，3π 8 ；令π 2 ＋2 π≤2x－π 4 ≤3π 2 ＋2 π( ∈ )，得函 数 f(x)的单调 递减区间为 kπ＋3π 8 ，kπ＋7π 8 ( ∈ )，令 ＝0，得 f(x)在 0，π 2 上的单调递减区间为 3π 8 ，π 2 . C 级——重难题目自主选做 1．已知ω>0，函数 f(x)＝sin ωx＋π 4 在 π 2 ，π 上单调递减，则ω的取值范围是( ) A. 1 2 ，5 4 B. 1 2 ，3 4 C. 0，1 2 D．(0,2] 解析 选 A 由π 20，ω>0，0<φ<π 2 的最大值为 3，f(x)的图象与 y 轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为 2，则 f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)＝ ________. 解析 ∵函数 f(x)＝Acos2(ωx＋φ)＋1 ＝A·1＋cos2ωx＋2φ 2 ＋1 ＝A 2cos(2ωx＋2φ)＋1＋A 2 的最大值为 3， ∴A 2 ＋1＋A 2 ＝3，∴A＝2. 根据函数图象相邻两条对称轴间的距离为 2，可得函数的最小正周期为 4，即2π 2ω ＝4，∴ ω＝π 4. 再根据 f(x)的图象与 y 轴的交点坐标为(0,2)， 可得 cos 2φ＋1＋1＝2，∴cos 2φ＝0， 又 0<φ<π 2 ，∴2φ＝π 2 ，φ＝π 4. 故函数 f(x)的解析式为 f(x)＝cos π 2x＋π 2 ＋2 ＝－sinπ 2x＋2， ∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＋f(2 018)＝ － sinπ 2 ＋sin2π 2 ＋sin3π 2 ＋…＋sin2 017π 2 ＋sin2 018π 2 ＋2×2 018＝504×0－sinπ 2 －sin π＋ 4 036＝－1＋4 036＝4 035. 答案 4 035 (二)重点高中适用 A 级——保分题目巧做快做 1．下列函数中，周期为π的奇函数为( ) A．y＝sin cos B．y＝sin2x C．y＝tan 2x D．y＝sin 2x＋cos 2x 解析 选 A y＝sin2x 为偶函数；y＝tan 2x 的周期为π 2 ；y＝sin 2x＋cos 2x 为非奇非偶函 数，故 B、C、D 都不正确，选 A. 2．已知函数 y＝2cos 的定义域为 π 3 ，π ，值域为[a，b]，则 b－a 的值是( ) A．2 B．3 C. 3＋2 D．2－ 3 解析 选 B 因为 x∈ π 3 ，π ，所以 cos ∈ －1，1 2 ，故 y＝2cos 的值域为[－2,1]，所 以 b－a＝3. 3．若函数 y＝sin ωx＋π 6 在 x＝2 处取得最大值，则正数ω的最小值为( ) A.π 2 B.π 3 C.π 4 D.π 6 解析 选 D 由题意得，2ω＋π 6 ＝π 2 ＋2 π( ∈ )，解得ω＝π 6 ＋ π( ∈ )，∵ω>0，∴当 ＝ 0 时，ωmin＝π 6 ，故选 D. 4.(2018·安徽六安一中月考)y＝2sin π 3 －2x 的单调递增区间为( ) A. kπ－ π 12 ，kπ＋5π 12 ( ∈ ) B. kπ＋5π 12 ，kπ＋11π 12 ( ∈ ) C. kπ－π 3 ，kπ＋π 6 ( ∈ ) D. kπ＋π 6 ，kπ＋2π 3 ( ∈ ) 解析 选 B ∵函数可化为 y＝－2sin 2x－π 3 ， ∴令 2 π＋π 2 ≤2x－π 3 ≤2 π＋3π 2 ( ∈ )， 得 π＋5π 12 ≤x≤ π＋11π 12 ( ∈ )，故选 B. 5.如果函数 y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点 4π 3 ，0 对称，那么|φ|的最小值为( ) A.π 6 B.π 4 C.π 3 D.π 2 解析 选 A 由题意得 3cos 2×4π 3 ＋φ ＝3cos2π 3 ＋φ＋2π＝3cos 2π 3 ＋φ ＝0， ∴2π 3 ＋φ＝ π＋π 2 ， ∈ ， ∴φ＝ π－π 6 ， ∈ ，取 ＝0， 得|φ|的最小值为π 6. 6．函数 y＝3－2cos x＋π 4 的最大值为________，此时 x＝________. 解析 函数 y＝3－2cos x＋π 4 的最大值为 3＋2＝5，此时 x＋π 4 ＝π＋2 π( ∈ )，即 x＝3π 4 ＋2 π( ∈ )． 答案 5 3π 4 ＋2 π( ∈ ) 7．若函数 f(x)＝|sin ωx＋π 3 |(ω>0)的最小正周期为π，则 f π 3 ＝________. 解析 由题设及周期公式得 T＝π ω ＝π，所以ω＝1，即 f(x)＝|sin x＋π 3 |，所以 f π 3 ＝ |sin 2π 3 |＝ 3 2 . 答案 3 2 8.已知函数 f(x)是周期为 2 的奇函数，当 x∈[0,1)时，f(x)＝lg(x＋1)，则 f 2 018 5 ＋lg 14 ＝________. 解析 因为当 x∈[0,1)时，f(x)＝lg(x＋1)， 所以 f 2 5 ＝lg 7 5 ， 又因为函数 f(x)是周期为 2 的奇函数， 所以 f 2 018 5 ＝f －2 5 ＝－f 2 5 ＝－lg7 5 ， 所以 f 2 018 5 ＋lg 14＝lg 14－lg 7 5 ＝lg 10＝1. 答案 1 9.(2018·北京怀柔区模拟)已知函数 f(x)＝(sin ＋cos )2＋cos 2x－1. (1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)求函数 f(x)在区间 －π 4 ，π 4 上的最大值和最小值． 解 (1) ∵ f(x) ＝ (sin ＋ cos )2 ＋ cos 2x － 1 ＝ 2sin cos ＋ cos 2x ＝ sin 2x ＋ cos 2x ＝ 2sin 2x＋π 4 ， ∴函数 f(x)的最小正周期 T＝2π 2 ＝π. (2)由(1)可知，f(x)＝ 2sin 2x＋π 4 . ∵x∈ －π 4 ，π 4 ， ∴2x＋π 4 ∈ －π 4 ，3π 4 ， ∴sin 2x＋π 4 ∈ － 2 2 ，1 .故函数 f(x)在区间 －π 4 ，π 4 上的最大值和最小值分别为 2，－ 1. 10．(2018·合肥质检)已知函数 f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)的最小正周期为π. (1)求函数 y＝f(x)图象的对称轴方程； (2)讨论函数 f(x)在 0，π 2 上的单调性． 解 (1)∵f(x)＝sin ωx－cos ωx＝ 2 sin ωx－π 4 ，且 T＝π， ∴ω＝2，f(x)＝ 2sin 2x－π 4 . 令 2x－π 4 ＝ π＋π 2( ∈ )，得 x＝kπ 2 ＋3π 8 ( ∈ )， 即函数 f(x)图象的对称轴方程为 x＝kπ 2 ＋3π 8 ( ∈ )． (2) 令 2 π － π 2 ≤2x － π 4 ≤2 π ＋ π 2 ( ∈ ) ， 得 函 数 f(x) 的 单 调 递 增 区 间 为 kπ－π 8 ，kπ＋3π 8 ( ∈ )．注意到 x∈ 0，π 2 ，所以令 ＝0，得函数 f(x)在 0，π 2 上的单调递增 区间为 0，3π 8 ；令π 2 ＋2 π≤2x－π 4 ≤3π 2 ＋2 π( ∈ )，得函 数 f(x)的单调 递减区间为 kπ＋3π 8 ，kπ＋7π 8 ( ∈ )，令 ＝0，得 f(x)在 0，π 2 上的单调递减区间为 3π 8 ，π 2 . B 级——拔高题目稳做准做 1.已知函数 f(x)＝a 2cos2x 2 ＋sin x ＋b，若 x∈[0，π]时，函数 f(x)的值域是[5,8]，则 ab 的值为( ) A．15 2－15 或 24－24 2 B．15 2－15 C．24－24 2 D．15 2＋15 或 24＋24 2 解析 选 A f(x)＝a(1＋cos ＋sin )＋b＝ 2asin x＋π 4 ＋a＋b.∵0≤x≤π，∴π 4 ≤x＋ π 4 ≤5π 4 ，∴－ 2 2 ≤sin x＋π 4 ≤1，依题意知 a≠0. ①当 a>0 时，{ 2a＋a＋b＝8， b＝5， ∴a＝3 2－3，b＝5. ②当 a<0 时，{ 2a＋a＋b＝5， b＝8， ∴a＝3－3 2，b＝8. 综上所述，a＝3 2－3，b＝5 或 a＝3－3 2，b＝8. 所以 ab＝15 2－15 或 24－24 2. 2.(2018·湖南衡阳八中月考)定义运算 a*b＝{a，a≤b， b，a>b. 例如 1]( ) A. － 2 2 ， 2 2 B．[－1,1] C. 2 2 ，1 D. －1， 2 2 解析 选 D 根据三角函数的周期性，我们只看两函数在一个最小正周期内的情况即 可．设 x∈[0,2π]，当π 4 ≤x≤5π 4 时，sin ≥cos ，f(x)＝cos ，f(x)∈ －1， 2 2 ，当 0≤x<π 4 或 5π 4 sin ，f(x)＝sin ，f(x)∈ 0， 2 2 ∪[－1,0]．综上知 f(x)的值域为 －1， 2 2 . 3.若函数 f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间 0，π 3 上单调递增，在区间 π 3 ，π 2 上单调递减，则ω＝ ________. 解析 ∵f(x)＝sin ωx(ω>0)过原点， ∴当 0≤ωx≤π 2 ，即 0≤x≤ π 2ω 时，y＝sin ωx 是增函数； 当π 2 ≤ωx≤3π 2 ，即 π 2ω ≤x≤3π 2ω 时，y＝sin ωx 是减函数． 由 f(x)＝sin ωx(ω>0)在 0，π 3 上单调递增， 在 π 3 ，π 2 上单调递减知， π 2ω ＝π 3 ，∴ω＝3 2. 答案 3 2 4．设函数 f(x)＝3sin π 2 x＋π 4 ，若存在这样的实数 x1 ，x2，对任意的 x∈R，都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为________． 解析 f(x)＝3sin π 2 x＋π 4 的周期 T＝2π×2 π ＝4， f(x1)，f(x2)应分别为函数 f(x)的最小值和最大值， 故|x1－x2|的最小值为T 2 ＝2. 答案 2 5．已知函数 f(x)＝2sin 2x＋π 6 ＋a＋1. (1)求函数 f(x)的单调递增区间； (2)当 x∈ 0，π 2 时，f(x)的最大值为 4，求 a 的值； (3)在(2)的条件下，求满足 f(x)＝1 且 x∈[－π，π]的 x 的取值集合． 解 (1)令 2 π－π 2 ≤2x＋π 6 ≤2 π＋π 2 ， ∈ ， 得 π－π 3 ≤x≤ π＋π 6 ， ∈ ， 所以 f(x)的单调递增区间为 kπ－π 3 ，kπ＋π 6 ， ∈ . (2)因为当 x＝π 6 时，f(x)取得最大值 4， 即 f π 6 ＝2sinπ 2 ＋a＋1＝a＋3＝4， 所以 a＝1. (3)由 f(x)＝2sin 2x＋π 6 ＋2＝1， 可得 sin 2x＋π 6 ＝－1 2 ， 则 2x＋π 6 ＝7π 6 ＋2 π， ∈ 或 2x＋π 6 ＝11π 6 ＋2 π， ∈ ， 即 x＝π 2 ＋ π， ∈ 或 x＝5π 6 ＋ π， ∈ ， 又 x∈[－π，π]， 可解得 x＝－π 2 ，－π 6 ，π 2 ，5π 6 ， 所以 x 的取值集合为 －π 2 ，－π 6 ，π 2 ，5π 6 . 6.已知函数 f(x)＝2sin2 π 4 ＋x － 3cos 2x－1，x∈R. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)若 h(x)＝f(x＋t)的图象关于点 －π 6 ，0 对称，且 t∈(0，π)，求 t 的值； (3)当 x∈ π 4 ，π 2 时，不等式|f(x)－m|<3 恒成立，求实数 m 的取值范围． 解 (1)因为 f(x)＝－cos π 2 ＋2x － 3cos 2x＝sin 2x－ 3cos 2x＝2 1 2sin 2x－ 3 2 cos 2x ＝ 2sin 2x－π 3 ， 故 f(x)的最小正周期为π. (2)由(1)知 h(x)＝2sin 2x＋2t－π 3 . 令 2× －π 6 ＋2t－π 3 ＝ π( ∈ )， 得 t＝kπ 2 ＋π 3( ∈ )， 又 t∈(0，π)，故 t＝π 3 或5π 6 . (3)当 x∈ π 4 ，π 2 时，2x－π 3 ∈ π 6 ，2π 3 ， 所以 f(x)∈[1,2]． 又|f(x)－m|<3， 即 f(x)－30，ω>0) 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ 2π ω f＝1 T ＝ ω 2π ωx＋φ φ 2.用五点法画 y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图 用五点法画 y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示 ωx＋φ 0 π 2 π 3π 2 2π x －φ ω π 2ω －φ ω π－φ ω 3π 2ω －φ ω 2π－φ ω y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 3．由函数 y＝sin 的图象通过变换得到 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数 y＝sin x－π 4 的图象是由 y＝sin x＋π 4 的图象向右平移π 2 个单位得到的．( ) (2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一 致．( ) (3)函数 y＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期为 T＝2π ω .( ) (4)把函数 y＝sin 的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的1 2 ，所得图象对应的函 数解析式为 y＝sin1 2x.( ) 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× 2．函数 y＝2sin 2x＋π 4 的振幅、频率和初相分别为( ) A．2，1 π ，π 4 B．2，1 2π ，π 4 C．2，1 π ，π 8 D．2，1 2π ，－π 8 解析 选 A 由振幅、频率和初相的定义可知，函数 y＝2sin 2x＋π 4 的振幅为 2，频率为 1 π ，初相为π 4. 3．函数 y＝cos |tan | 0≤x≤π且 x≠π 2 的图象为( ) 解析 选 C 由题意知 y＝ sin x，x∈ 0，π 2 ， －sin x，x∈ π 2 ，π ， 结合图象知选 C. 4．为了得到函数 y＝2sin 2x－π 3 的图象，可以将函数 y＝2sin 2x 的图象( ) A．向右平移π 6 个单位长度 B．向右平移π 3 个单位长度 C．向左平移π 6 个单位长度 D．向左平移π 3 个单位长度 解析 选 A 函数 y＝2sin 2x－π 3 ＝2sin 2 x－π 6 ，可由函数 y＝2sin 2x 的图象向右平移 π 6 个单位长度得到．故选 A. 5．用五点法作函数 y＝sin x－π 6 在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是______、 ______、______、______、______. 答案 π 6 ，0 2π 3 ，1 7π 6 ，0 5π 3 ，－1 13π 6 ，0 6.函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示， 则 f π 4 的值为________． 解析 由图象可知 A＝2，3 4T＝11π 12 －π 6 ＝3π 4 ，∴T＝π，∴ω＝2， ∵当 x＝π 6 时，函数 f(x)取得最大值， ∴2×π 6 ＋φ＝π 2 ＋2 π( ∈ )，∴φ＝π 6 ＋2 π( ∈ )， ∵0<φ<π，∴φ＝π 6 ，∴f(x)＝2sin 2x＋π 6 ， 则 f π 4 ＝2sin π 2 ＋π 6 ＝2cosπ 6 ＝ 3. 答案 3 考点一 函数 y＝Asinωx＋φ的图象与变换 重点保分型考点——师生共研 三角函数图象的变换多出现在选择题中，以 y＝sin ，y＝cos ，y＝tan 的图象为基础， 进行横向伸缩变换及纵向伸缩变换，或者由正弦型、余弦型、正切型函数图象为基础进行逆 向变换.属于必得分题. [典题领悟] (2017·全国卷Ⅰ)已知曲线 C1 y＝cos ，C2 y＝sin 2x＋2π 3 ，则下面结论正确的是( ) A．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π 6 个 单位长度，得到曲线 C2 B．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 π 12 个单位长度，得到曲线 C2 C．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的1 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π 6 个 单位长度，得到曲线 C2 D．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的1 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 π 12 个 单位长度，得到曲线 C2 解析 选 D 易知 C1 y＝cos ＝sin x＋π 2 ，把曲线 C1 上的各点的横坐标缩短到原来的1 2 倍， 纵坐标不变，得到函数 y＝sin 2x＋π 2 的图象，再把所得函数的图象向左平移 π 12 个单位长度， 可得函数 y＝sin 2 x＋ π 12 ＋π 2 ＝sin 2x＋2π 3 的图象，即曲线 C2. [解题师说] 1．掌握三角函数的图象变换的 2 方法 (1)平移变换 沿 x 轴平移 由 y＝f(x)变为 y＝f(x＋φ)时，“左加右减”，即φ>0，左移；φ<0，右移 沿 y 轴平移 由 y＝f(x)变为 y＝f(x)＋ 时，“上加下减”，即 >0，上移； <0，下移 (2)伸缩变换 沿 x 轴伸缩 由 y＝f(x)变为 y＝f(ωx)时，点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 1 |ω| 倍 沿 y 轴伸缩 由 y＝f(x)变为 y＝Af(x)时，点的横坐标不变，纵坐标变为原来的|A|倍 2．注意三角函数图象变换中的 3 问题 (1)变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数； (2)要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数的图象，得到的是哪个函数的图象，切不可 弄错方向； (3)要弄准变换量的大小，特别是平移变换中，函数 y＝Asin 到 y＝Asin(x＋φ)的变换量 是|φ|个单位，而函数 y＝Asin ωx 到 y＝Asin(ωx＋φ)时，变换量是|φ ω|个单位． [冲关演练] 1．(2016·全国卷Ⅰ)将函数 y＝2sin 2x＋π 6 的图象向右平移1 4 个周期后，所得图象对应的 函数为( ) A．y＝2sin 2x＋π 4 B．y＝2sin 2x＋π 3 C．y＝2sin 2x－π 4 D．y＝2sin 2x－π 3 解析 选 D 函数 y＝2sin 2x＋π 6 的周期为π，将函数 y＝2sin 2x＋π 6 的图象向右平移1 4 个 周期即π 4 个单位长度，所得图象对应的函数为 y＝2sin 2 x－π 4 ＋π 6 ＝2sin 2x－π 3 ，故选 D. 2．(2018·昆明质检)已知函数 f(x)＝sin ωx＋π 6 (0<ω<2)满足条件 f －1 2 ＝0，为了得到函 数 y＝f(x)的图象，可将函数 g(x)＝cos ωx 的图象向右平移 m(m>0)个单位长度，则 m 的最小 值为( ) A．1 B.1 2 C.π 6 D.π 2 解析 选 A 由题意，得 sin －1 2ω＋π 6 ＝0，即－1 2ω＋π 6 ＝ π( ∈ )，则ω＝π 3 －2 π( ∈ )， 结合 0<ω<2，得ω＝π 3 ，所以 f(x)＝sin π 3x＋π 6 ＝cos π 2 －π 3x－π 6 ＝cos π 3 x－1 ，所以只需将函 数 g(x)＝cosπ 3x 的图象向右至少平移 1 个单位长度，即可得到函数 y＝f(x)的图象，故选 A. 考点二 求函数 y＝Asinωx＋φ的解析式 重点保分型考点——师生共研 根据三角函数的图象或性质求解析式是高考对三角函数知识考查的一个重要方面，主 要考查由图象或性质求解析式；由图象或性质求解析式中参数的值；由图象或性质解决 相关的求值问题等.多以选择题、填空题的形式出现，有时也可能在解答题中出现，难度为中 低档题. [典题领悟] 1.函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<π 2 的部分图象如图所示， 则 f 11π 24 的值为( ) A．－ 6 2 B．－ 3 2 C．－ 2 2 D．－1 解析 选 D 由图象可得 A＝ 2，最小正周期 T＝4× 7π 12 －π 3 ＝π，则ω＝2π T ＝2.又 f 7π 12 ＝ 2sin 7π 6 ＋φ ＝－ 2，|φ|<π 2 ，得φ＝π 3 ，则 f(x)＝ 2sin 2x＋π 3 ，f 11π 24 ＝ 2sin 11π 12 ＋π 3 ＝ 2sin5π 4 ＝－1，故选 D. 2．(2017·天津高考)设函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<π.若 f 5π 8 ＝2，f 11π 8 ＝0，且 f(x)的最小正周期大于 2π，则( ) A．ω＝2 3 ，φ＝ π 12 B．ω＝2 3 ，φ＝－11π 12 C．ω＝1 3 ，φ＝－11π 24 D．ω＝1 3 ，φ＝7π 24 解析 选 A ∵f 5π 8 ＝2，f 11π 8 ＝0， ∴11π 8 －5π 8 ＝T 4(2m＋1)，m∈N， ∴T＝ 3π 2m＋1 ，m∈N， ∵f(x)的最小正周期大于 2π，∴T＝3π， ∴ω＝2π 3π ＝2 3 ，∴f(x)＝2sin 2x 3 ＋φ . 由 2sin 2 3 ×5π 8 ＋φ ＝2，得φ＝2 π＋ π 12 ， ∈ . 又|φ|＜π，∴取 ＝0，得φ＝ π 12. [解题师说] 1．确定 y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)中参数的方法 (1)求 A，b 确定函数的最大值 M 和最小值 m，则 A＝M－m 2 ，b＝M＋m 2 ； (2)求ω 确定函数的周期 T，则可得ω＝2π T ； (3)求φ 常用的方法有 ①代入法 把图象上的一个已知点代入(此时 A，ω，b 已知)或代入图象与直线 y＝b 的交 点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)． ②五点法 确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下 第一点 图象上升时与 x 轴的交点 ωx＋φ＝0 第二点 图象的“峰点” ωx＋φ＝π 2 第三点 图象下降时与 x 轴的交点 ωx＋φ＝π 第四点 图象的“谷点” ωx＋φ＝3π 2 第五点 ωx＋φ＝2π 2．谨防 1 种失误 一般情况下，ω的值是唯一确定的，但φ的值是不确定的，它有无数个，如果求出的φ值 不在指定范围内，可以通过加减2π ω 的整数倍达到目的． [冲关演练] 1．(2015·全国卷Ⅰ)函数 f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则 f(x)的单调递减区间 为( ) A. kπ－1 4 ，kπ＋3 4 ， ∈ B. 2kπ－1 4 ，2kπ＋3 4 ， ∈ C. k－1 4 ，k＋3 4 ， ∈ D. 2k－1 4 ，2k＋3 4 ， ∈ 解析 选 D 由图象知，周期 T＝2 5 4 －1 4 ＝2， ∴2π ω ＝2，∴ω＝π. 由π×1 4 ＋φ＝π 2 ＋2 π，得φ＝π 4 ＋2 π， ∈ ， 不妨取φ＝π 4 ，∴f(x)＝cos πx＋π 4 . 由 2 π＜πx＋π 4 ＜2 π＋π， 得 2 －1 4 ＜x＜2 ＋3 4 ， ∈ ， ∴f(x)的单调递减区间为 2k－1 4 ，2k＋3 4 ， ∈ . 2．(2018·西安八校联考)已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ) ω>0，－π 2 ≤φ≤π 2 的图象上的一个最 高点和它相邻的一个最低点的距离为 2 2，且过点 2，－1 2 ，则函数 f(x)＝________. 解析 依题意得 22＋ π ω 2＝2 2，则π ω ＝2，即ω＝π 2 ，所以 f(x)＝sin π 2 x＋φ ，由于该 函数图象过点 2，－1 2 ，因此 sin(π＋φ)＝－1 2 ，即 sin φ＝1 2 ，而－π 2 ≤φ≤π 2 ，故φ＝π 6 ，所以 f(x) ＝sin π 2x＋π 6 . 答案 sin π 2x＋π 6 考点三 三角函数的综合应用 题点多变型考点——追根溯源 三角函数的图象与性质是高考的热点，常常利用其性质解决实际问题或与导数、不等式 等综合构成较复杂的问题，此时题目难度大，综合性较强.,常见的命题角度有 1三角函数模型的应用； 2函数零点方程根问题； 3三角函数图象与性质的综合应用. [题点全练] 角度(一) 三角函数模型的应用 1．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在 7 千元的基础上，按月呈 f(x)＝Asin(ωx ＋φ)＋BA>0，ω>0，|φ|<π 2 的模型波动(x 为月份)，已知 3 月份达到最高价 9 千元，9 月份价 格最低为 5 千元．则 7 月份的出厂价格为________元． 解析 作出函数简图如图 三角函数模型为 y＝Asin(ωx＋φ)＋B， 由题意知 A＝2 000，B＝7 000，T＝2×(9－3)＝12， ∴ω＝2π T ＝π 6. 将(3，9 000)看成函数图象的第二个特殊点， 则有π 6 ×3＋φ＝π 2 ，∴φ＝0， 故 f(x)＝2 000sinπ 6x＋7 000(1≤x≤12，x∈N*)． ∴f(7)＝2 000×sin7π 6 ＋7 000＝6 000. 故 7 月份的出厂价格为 6 000 元． 答案 6 000 [题型技法] 三角函数模型在实际应用中体现的 2 个方面 (1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义 及自变量与函数之间的对应法则； (2)把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解 决问题，其关键是建模． 角度(二) 函数零点(方程根)问题 2．函数 y＝sin(ωx＋φ) ω＞0，|φ|＜π 2 在同一个周期内，当 x＝π 4 时，y 取得最大值 1，当 x＝7π 12 时，y 取得最小值－1. ❶ 若函数 f(x)满足方程 f(x)＝a(0＜a＜1)，则在[0,2π]内的 ❷ 所有实数根之和为( ) ❸ A.11π 2 B.9π 2 C.7π 2 D.5π 2 [学审题] ①由在同一周期内给出 y 取得最大值、最小值时对应的 x 值，可推导出最小正周期 T； ②在一个周期内有两个根满足 f(x)＝a，可结合图象推出两根关系； ③应想到在[0,2π]内有几个周期． 解析 选 A 由题意可得2π ω ＝2× 7π 12 －π 4 ，所以ω＝3. 又 sin 3π 4 ＋φ ＝1，所以3π 4 ＋φ＝2 π＋π 2( ∈ )， 所以φ＝2 π－π 4( ∈ )． 又|φ|<π 2 ，所以φ＝－π 4 ， 所以函数 f(x)＝sin 3x－π 4 . 由于 f(x)＝sin 3x－π 4 的最小正周期为2π 3 ， 所以 f(x)＝sin 3x－π 4 在[0,2π]内恰有 3 个周期， 所以 sin 3x－π 4 ＝a(00，ω>0)； (2)画出长度为一个周期的区间上的函数图象； (3)利用图象解决有关三角函数的方程、不等式问题． 角度(三) 三角函数图象与性质的综合应用 3．(2018·湘中名校联考)已知函数 f(x)＝sin ωx－sin ωx＋π 3 (ω>0)． (1)若 f(x)在[0，π]上的值域为 － 3 2 ，1 ，求ω的取值范围； (2)若 f(x)在 0，π 3 上单调，且 f(0)＋f π 3 ＝0，求ω的值． 解 f(x)＝sin ωx－sin ωx＋π 3 ＝sin ωx－1 2sin ωx－ 3 2 cos ωx＝1 2sin ωx－ 3 2 cos ωx＝ sin ωx－π 3 . (1)由 x∈[0，π]⇒ωx－π 3 ∈ －π 3 ，ωπ－π 3 ，又 f(x)在[0，π]上的值域为 － 3 2 ，1 ，即 最小值为－ 3 2 ，最大值为 1，则由正弦函数的图象可知π 2 ≤ωπ－π 3 ≤4π 3 ，解得5 6 ≤ω≤5 3. ∴ω的取值范围是 5 6 ，5 3 . (2)因为 f(x)在 0，π 3 上单调， 所以T 2 ≥π 3 －0，则π ω ≥π 3 ， 即ω≤3，又ω>0，所以 0<ω≤3， 由 f(0)＋f π 3 ＝0 且 f(x)在 0，π 3 上单调，得 π 6 ，0 是 f(x)图象的对称中心， ∴ωπ 6 －π 3 ＝ π， ∈ ⇒ω＝6 ＋2， ∈ ， 又 0<ω≤3，所以ω＝2. [题型技法] 解决三角函数图象与性质综合问题的步骤 (1)将 f(x)化为 asin ＋bcos 的形式； (2)构造 f(x)＝ a2＋b2 a a2＋b2·sin ＋ b a2＋b2·cos ； (3)和角公式逆用，得 f(x)＝ a2＋b2sin(x＋φ)(其中φ为辅助角)； (4)利用 f(x)＝ a2＋b2sin(x＋φ)研究三角函数的性质； (5)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范． [冲关演练] 1．(2018·东北四市模拟)若关于 x 的方程 2sin 2x＋π 6 ＝m 在 0，π 2 上有两个不等实根， 则 m 的取值范围是( ) A．(1， 3) B．[0,2] C．[1,2) D．[1， 3] 解析 选 C 2sin 2x＋π 6 ＝m 在 0，π 2 上有两个不等实根等价于函 数 f(x)＝2sin 2x＋π 6 的图象与直线 y＝m 有两个交点．在同一坐标系中 作出 y＝f(x)与 y＝m 的图象如图所示，由图可知 m 的取值范围是[1,2)． 2．(2017·河北石家庄一模)若函数 f(x)＝ 3sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)(0<θ<π)的图象关于点 π 2 ，0 对称，则函数 f(x)在 －π 4 ，π 6 上的最小值是( ) A．－1 B．－ 3 C．－1 2 D．－ 3 2 解析 选 B f(x)＝ 3sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2sin 2x＋θ＋π 6 ，则由题意，知 f π 2 ＝ 2sin π＋θ＋π 6 ＝0，又因为 0<θ<π，所以7π 6 <π＋θ＋π 6<13π 6 ，所以π＋θ＋π 6 ＝2π，所以θ＝5π 6 ， 所以 f(x)＝－2sin 2x，又因为函数 f(x)在 －π 4 ，π 6 上是减函数，所以函数 f(x)在 －π 4 ，π 6 上的 最小值为 f π 6 ＝－2sinπ 3 ＝－ 3，故选 B. 3．(2018·石家庄检测)已知函数 f(x)＝sin 2x＋ π 12 ，f′(x)是 f(x)的导函数，则函数 y＝2f(x) ＋f′(x)的一个单调递减区间是( ) A. π 12 ，7π 12 B. －5π 12 ， π 12 C. －π 3 ，2π 3 D. －π 6 ，5π 6 解析 选 A 由题意，得 f′(x)＝2cos 2x＋ π 12 ，所以 y＝2f(x)＋f′(x)＝2sin 2x＋ π 12 ＋ 2cos 2x＋ π 12 ＝2 2sin 2x＋ π 12 ＋π 4 ＝2 2sin 2x＋π 3 .由 2 π＋π 2 ≤2x＋π 3 ≤2 π＋3π 2 ( ∈ )，得 π ＋ π 12 ≤x≤ π＋7π 12( ∈ )，所以 y＝2f(x)＋f′(x)的一个单调递减区间为 π 12 ，7π 12 . 4．某实验室一天的温度(单位 ℃)随时间 t(单位 h)的变化近似满足函数关系 f(t)＝10－ 3cos π 12t－sin π 12t，t∈[0,24)，则实验室这一天的最大温差为________℃. 解析 因为 f(t)＝10－2 3 2 cos π 12 t＋1 2sin π 12t ＝10－2sin π 12t＋π 3 ，又 0≤t＜24，所以π 3 ≤ π 12t ＋π 3 ＜7π 3 ， 所以－1≤sin π 12 t＋π 3 ≤1. 当 t＝2 时，sin π 12t＋π 3 ＝1； 当 t＝14 时，sin π 12t＋π 3 ＝－1. 于是 f(t)在[0,24)上的最大值为 12，最小值为 8. 故实验室这一天最高温度为 12 ℃，最低温度为 8 ℃，最大温差为 4 ℃. 答案 4 (一)普通高中适用 A 级——基础小题练熟练快 1．函数 y＝sin 2x－π 3 在区间 －π 2 ，π 上的简图是( ) 解析 选 A 令 x＝0，得 y＝sin －π 3 ＝－ 3 2 ，排除 B、D.由 f －π 3 ＝0，f π 6 ＝0，排除 C，故选 A. 2．为了得到函数 y＝3sin 2x＋1 的图象，只需将 y＝3sin 的图象上的所有点( ) A．横坐标伸长 2 倍，再向上平移 1 个单位长度 B．横坐标缩短1 2 倍，再向上平移 1 个单位长度 C．横坐标伸长 2 倍，再向下平移 1 个单位长度 D．横坐标缩短1 2 倍，再向下平移 1 个单位长度 解析 选 B 将 y＝3sin 的图象上的所有点的横坐标缩短1 2 倍得到 y＝3sin 2x 的图象，再 将 y＝3sin 2x 的图象再向上平移 1 个单位长度即得 y＝3sin 2x＋1 的图象，故选 B. 3．函数 f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线 y＝2 所得线段长为π 2 ，则 f π 6 的值 是( ) A．－ 3 B. 3 3 C．1 D. 3 解析 选 D 由题意可知该函数的周期为π 2 ， ∴π ω ＝π 2 ，ω＝2，f(x)＝tan 2x. ∴f π 6 ＝tan π 3 ＝ 3. 4.若函数 y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的部分图象如图，则ω等于( ) A．5 B．4 C．3 D．2 解析 选 B 由图象可知T 2 ＝x0＋π 4 －x0＝π 4 ，即 T＝π 2 ＝2π ω ，故ω＝4. 5．若函数 f(x)＝2sin ωx(ω＞0)在(0,2π)上恰有两个极大值和一个极小值，则ω的取值范 围是( ) A. 5 4 ，7 4 B. 3 4 ，4 5 C. 1，5 4 D. 3 4 ，5 4 解析 选 A 因为函数 f(x)在(0,2π)上恰有两个极大值和一个极小值，所以由正弦函数的 图象可得 5 4T＜2π≤7 4T，即5 4·2π ω ＜2π≤7 4·2π ω ，解得5 4 ＜ω≤7 4. 6．将函数 f(x)＝cos 2x 的图象向右平移π 4 个单位长度后得到函数 g(x)，则 g(x)具有的性 质是( ) A．最大值为 1，图象关于直线 x＝π 2 对称 B．在 0，π 4 上单调递增，为奇函数 C．在 －3π 8 ，π 8 上单调递增，为偶函数 D．周期为π，图象关于点 3π 8 ，0 对称 解析 选 B 将函数 f(x)＝cos 2x 的图象向右平移π 4 个单位长度后得到函数 g(x)＝ cos 2 x－π 4 ＝sin 2x 的图象，当 x＝π 2 时，g(x)＝0，故 A 错，当 x∈ 0，π 4 时，2x∈ 0，π 2 ， 故函数 g(x)在 0，π 4 上单调递增，为奇函数，故 B 正确，C 错，当 x＝3π 8 时，g(x)＝ 2 2 ，故 D 错，选 B. 7．若函数 f(x)＝ 3sin ωx－π 3 (ω＞0)的最小正周期为π 2 ，则 f π 3 ＝________. 解 析 由 f(x) ＝ 3 sin ωx－π 3 (ω ＞ 0) 的 最 小 正 周 期 为 π 2 ， 得 ω ＝ 4. 所 以 f π 3 ＝ 3sin 4×π 3 －π 3 ＝0. 答案 0 8．已知 函数 f(x)＝2sin π 3 x＋φ |φ|＜π 2 的图象 经过点(0,1)，则该 函数的振幅 为 ____________，周期 T 为____________，频率为____________，初相φ为____________． 解析 振幅 A＝2，T＝2π π 3 ＝6，f＝1 6. 因为图象过点(0,1)， 所以 2sin φ＝1，所以 sin φ＝1 2 ， 又|φ|＜π 2 ，所以φ＝π 6. 答案 2 6 1 6 π 6 9．(2017·河南洛阳统考)函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ) ω＞0，0＜φ＜π 2 的 部分图象如图所示，已知图象经过点 A(0,1)，B π 3 ，－1 ，则 f(x)＝ ____________. 解析 由已知得T 2 ＝π 3 ，∴T＝2π 3 ， 又 T＝2π ω ，∴ω＝3. ∵f(0)＝1，∴sin φ＝1 2 ，又∵0＜φ＜π 2 ，∴φ＝π 6 ， ∴f(x)＝2sin 3x＋π 6 (经检验满足题意)． 答案 2sin 3x＋π 6 10．某城市一年中 12 个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数 y＝a＋ Acos π 6 x－6 (x＝1,2,3，…，12)来表示，已知 6 月份的平均气温最高，为 28 ℃，12 月份的 平均气温最低，为 18 ℃，则 10 月份的平均气温值为________℃. 解析 依题意知，a＝28＋18 2 ＝23，A＝28－18 2 ＝5， 所以 y＝23＋5cos π 6 x－6 ， 当 x＝10 时，y＝23＋5cos π 6 ×4 ＝20.5. 答案 20.5 B 级——中档题目练通抓牢 1．(2018·云南 11 校跨区调研)函数 f(x)＝sin ωx(ω＞0)的图象向左平移π 3 个单位长度，所 得图象经过点 2π 3 ，0 ，则ω的最小值是( ) A.3 2 B．2 C．1 D.1 2 解析 选 C 依题意得，函数 f x＋π 3 ＝sin ω x＋π 3 (ω＞0)的图象过点 2π 3 ，0 ， 于是有 f 2π 3 ＋π 3 ＝sinω 2π 3 ＋π 3 ＝sin ωπ＝0(ω＞0)，ωπ＝ π， ∈ ，即ω＝ ∈ ， 因此正数ω的最小值是 1，选 C. 2．(2018·安徽两校阶段性测试)将函数 y＝cos x－π 3 的图象上各点的横坐标伸长到原来 的 2 倍(纵坐标不变)，再向左平移π 6 个单位长度，所得函数图象的一条对称轴为( ) A．x＝π 2 B．x＝π 8 C．x＝π 9 D．x＝π 解析 选 A 将函数 y＝cos x－π 3 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不 变)，得到函数 y＝cos x 2 －π 3 的图象；再将此函数的图象向左平移π 6 个单位长度后，得到函数 y＝cos 1 2 x＋π 6 －π 3 ＝cos x 2 －π 4 的图象．该函数图象的对称轴为x 2 －π 4 ＝ π( ∈ )，即 x＝2 π ＋π 2( ∈ )．结合选项，只有 A 符合，故选 A. 3.已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ) ω＞0，|φ|＜π 2 的部分图象如图所 示，又 x1，x2∈ －π 6 ，π 3 ，且 f(x1)＝f(x2)，则 f(x1＋x2)＝( ) A.1 2 B. 3 2 C. 2 2 D．1 解析 选 B 由题图可知，T 2 ＝π 3 － －π 6 ＝π 2 ，则 T＝π，ω＝2，又 －π 6 ＋π 3 2 ＝ π 12 ，所以 f(x) 的图象过点 π 12 ，1 ，即 sin 2× π 12 ＋φ ＝1，得π 6 ＋φ＝π 2 ＋2 π， ∈ ，即φ＝π 3 ＋2 π， ∈ ， 又|φ|＜π 2 ，可得φ＝π 3 ，所以 f(x)＝sin 2x＋π 3 .由 f(x1)＝f(x2)，x1，x2∈ －π 6 ，π 3 ，可得 x1＋x2 ＝－π 6 ＋π 3 ＝π 6 ，所以 f(x1＋x2)＝f π 6 ＝sin 2×π 6 ＋π 3 ＝sin2π 3 ＝ 3 2 . 4.若函数 f(x)＝sin(ωx＋φ) ω>0，0<φ<π 2 的部分图象如图所示，直线 x ＝π 6 是它的一条对称轴，则函数 f(x)的解析式为________． 解析 由题意可知，T 4 ＝5π 12 －π 6 ＝π 4 ， 所以 T＝2π ω ＝π， 所以ω＝2. 又因为 f π 6 ＝1， 所以 sin 2×π 6 ＋φ ＝1， 所以π 3 ＋φ＝π 2 ＋2 π( ∈ )． 又φ∈ 0，π 2 ，所以φ＝π 6 ， 所以 f(x)＝sin 2x＋π 6 . 答案 f(x)＝sin 2x＋π 6 5．已知函数 f(x)＝3sin ωx－π 6 (ω＞0)和 g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象完全相同，若 x∈ 0，π 2 ，则 f(x)的值域是________． 解析 f(x)＝3sin ωx－π 6 ＝3cos π 2 － ωx－π 6 ＝3cos ωx－2π 3 ，易知ω＝2，则 f(x)＝ 3sin 2x－π 6 ， ∵x∈ 0，π 2 ，∴－π 6 ≤2x－π 6 ≤5π 6 ， ∴－3 2 ≤f(x)≤3. 答案 －3 2 ，3 6.已知函数 f(x)＝2sin 2ωx＋π 6 (其中 0＜ω＜1)，若点 －π 6 ，0 是函 数 f(x)图象的一个对称中心． (1)求ω的值，并求出函数 f(x)的增区间； (2)先列表，再作出函数 f(x)在区间[－π，π]上的图象． 解 (1)因为点 －π 6 ，0 是函数 f(x)图象的一个对称中心， 所以－ωπ 3 ＋π 6 ＝ π( ∈ )， 所以ω＝－3 ＋1 2( ∈ )，因为 0＜ω＜1， 所以当 ＝0 时，可得ω＝1 2. 所以 f(x)＝2sin x＋π 6 . 令 2 π－π 2 ≤x＋π 6 ≤2 π＋π 2( ∈ )， 解得 2 π－2π 3 ≤x≤2 π＋π 3( ∈ )， 所以函数 f(x)的增区间为 2kπ－2π 3 ，2kπ＋π 3 ( ∈ )． (2)由(1)知，f(x)＝2sin x＋π 6 ，x∈[－π，π]． 列表如下 x＋π 6 －5π 6 －π 2 0 π 2 π 7π 6 x －π －2π 3 －π 6 π 3 5π 6 π y －1 －2 0 2 0 －1 作出函数部分图象如图所示 7．(2017·山东高考)设函数 f(x)＝sin ωx－π 6 ＋sin ωx－π 2 ，其中 0<ω<3.已知 f π 6 ＝0. (1)求ω； (2)将函数 y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)，再将得到的图 象向左平移π 4 个单位，得到函数 y＝g(x)的图象，求 g(x)在 －π 4 ，3π 4 上的最小值． 解 (1)因为 f(x)＝sin ωx－π 6 ＋sin ωx－π 2 ， 所以 f(x)＝ 3 2 sin ωx－1 2cos ωx－cos ωx ＝ 3 2 sin ωx－3 2cos ωx ＝ 3 1 2sin ωx－ 3 2 cos ωx ＝ 3sin ωx－π 3 . 因为 f π 6 ＝0， 所以ωπ 6 －π 3 ＝ π， ∈ . 故ω＝6 ＋2， ∈ . 又 0<ω<3，所以ω＝2. (2)由(1)得 f(x)＝ 3sin 2x－π 3 ， 所以 g(x)＝ 3sin x＋π 4 －π 3 ＝ 3sin x－ π 12 . 因为 x∈ －π 4 ，3π 4 ， 所以 x－ π 12 ∈ －π 3 ，2π 3 ， 当 x－ π 12 ＝－π 3 ，即 x＝－π 4 时，g(x)取得最小值－3 2. C 级——重难题目自主选做 1．(2018·湘中名校联考)已知函数 f(x)＝sin ωx－π 6 ＋1 2 ，ω＞0，x∈R，且 f(α)＝－1 2 ，f(β) ＝1 2.若|α－β|的最小值为3π 4 ，则函数的单调递增区间为( ) A. －π 2 ＋2kπ，π＋2kπ ， ∈ B. －π 2 ＋3kπ，π＋3kπ ， ∈ C. π＋2kπ，5π 2 ＋2kπ ， ∈ D. π＋3kπ，5π 2 ＋3kπ ， ∈ 解析 选 B 由 f(α)＝－1 2 ，f(β)＝1 2 ，|α－β|的最小值为3π 4 ，知T 4 ＝3π 4 ，即 T＝3π＝2π ω ，所 以ω＝2 3 ，所以 f(x)＝sin 2 3x－π 6 ＋1 2 ，令－π 2 ＋2 π≤2 3x－π 6 ≤π 2 ＋2 π( ∈ )，得－π 2 ＋3 π≤x≤π ＋3 π( ∈ )，故选 B. 2.已知函数 f(x)＝Mcos(ωx＋φ)(M ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)为奇函数， 该函数的部分图象如图所示，AC＝BC＝ 2 2 ，C＝90°，则 f 1 2 的值为 ________． 解析 依题意知，△ABC 是直角边长为 2 2 的等腰直角三角形，因此其边 AB 上的高是1 2 ， 函数 f(x)的最小正周期是 2，故 M＝1 2 ，2π ω ＝2，ω＝π，f(x)＝1 2cos(πx＋φ)．又函数 f(x)是奇函 数，于是有φ＝ π＋π 2( ∈ )．由 0＜φ＜π，得φ＝π 2 ，故 f(x)＝－1 2sin πx，f 1 2 ＝－1 2sinπ 2 ＝－1 2. 答案 －1 2 (二)重点高中适用 A 级——保分题目巧做快做 1．函数 y＝sin 2x－π 3 在区间 －π 2 ，π 上的简图是( ) 解析 选 A 令 x＝0，得 y＝sin －π 3 ＝－ 3 2 ，排除 B、D.由 f －π 3 ＝0，f π 6 ＝0，排除 C，故选 A. 2．函数 f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线 y＝2 所得线段长为π 2 ，则 f π 6 的值 是( ) A．－ 3 B. 3 3 C．1 D. 3 解析 选 D 由题意可知该函数的周期为π 2 ， ∴π ω ＝π 2 ，ω＝2，f(x)＝tan 2x. ∴f π 6 ＝tan π 3 ＝ 3. 3.(2018·洛阳调研)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ) A>0，ω>0，|φ|<π 2 的 部分图象如图所示，则 f(x)的解析式是( ) A．f(x)＝sin 3x＋π 3 B．f(x)＝sin 2x＋π 3 C．f(x)＝sin x＋π 3 D．f(x)＝sin 2x＋π 6 解析 选 D 由图象可知T 4 ＝5π 12 －π 6 ＝π 4 ， ∴T＝π，∴ω＝2π T ＝2，故排除 A、C； 把 x＝π 6 代入检验知，选项 D 符合题意． 4.(2016·全国卷Ⅱ)若将函数 y＝2sin 2x 的图象向左平移 π 12 个单位长度，则平移后图象的 对称轴为( ) A．x＝kπ 2 －π 6( ∈ ) B．x＝kπ 2 ＋π 6( ∈ ) C．x＝kπ 2 － π 12( ∈ ) D．x＝kπ 2 ＋ π 12( ∈ ) 解析 选 B 将函数 y＝2sin 2x 的图象向左平移 π 12 个单位长度，得到函数 y＝2sin 2 x＋ π 12 ＝2sin 2x＋π 6 的图象．由 2x＋π 6 ＝ π＋π 2( ∈ )，得 x＝kπ 2 ＋π 6( ∈ )，即平移后图 象的对称轴为 x＝kπ 2 ＋π 6( ∈ )． 5．将函数 f(x)＝2cos 2x 的图象向右平移π 6 个单位得到函数 g(x)的图象，若函数 g(x)在区 间 0，a 3 和 2a，7π 6 上均单调递增，则实数 a 的取值范围是( ) A. π 3 ，π 2 B. π 6 ，π 2 C. π 6 ，π 3 D. π 4 ，3π 8 解析 选 A 易得 g(x)＝2cos 2x－π 3 ，由 2 π－π≤2x－π 3 ≤2 π，得 π－π 3 ≤x≤ π＋π 6( ∈ )， 即函数 g(x)的单调增区间为 kπ－π 3 ，kπ＋π 6 ( ∈ )． 当 ＝0 时，函数的增区间为 －π 3 ，π 6 ， 当 ＝1 时，函数的增区间为 2π 3 ，7π 6 . 又函数 g(x)在区间 0，a 3 和 2a，7π 6 上均单调递增，所以 0＜a 3 ≤π 6 ， 2π 3 ≤2a＜7π 6 ， 解得 π 3 ≤a≤π 2. 6．(2018·河南洛阳统考)函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ) ω＞0，0＜φ＜π 2 的部 分 图 象 如 图 所 示 ， 已 知 图 象 经 过 点 A(0,1) ， B π 3 ，－1 ， 则 f(x) ＝ ____________. 解析 由已知得T 2 ＝π 3 ，∴T＝2π 3 ， 又 T＝2π ω ，∴ω＝3. ∵f(0)＝1，∴sin φ＝1 2 ， 又∵0＜φ＜π 2 ，∴φ＝π 6 ， ∴f(x)＝2sin 3x＋π 6 (经检验满足题意)． 答案 2sin 3x＋π 6 7．已知函数 f(x)＝3sin ωx－π 6 (ω＞0)和 g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象完全相同，若 x∈ 0，π 2 ，则 f(x)的值域是________． 解析 f(x)＝3sin ωx－π 6 ＝3cos π 2 － ωx－π 6 ＝3cos ωx－2π 3 ，易知ω＝2，则 f(x)＝ 3sin 2x－π 6 ， ∵x∈ 0，π 2 ，∴－π 6 ≤2x－π 6 ≤5π 6 ， ∴－3 2 ≤f(x)≤3. 答案 －3 2 ，3 8.(2018·山东师大附中模拟)设 P为函数 f(x)＝sinπ 2x 的图象上的一个最高点，Q 为函数 g(x) ＝cosπ 2x 的图象上的一个最低点，则|PQ|的最小值是________． 解析 由题意知两个函数的周期都为 T＝2π π 2 ＝4，由正、余弦函数的图象知，f(x)与 g(x) 的图象相差1 4 个周期，设 P，Q 分别为函数 f(x)，g(x)图象上的相邻的最高点和最低点，设 P(x0,1)， 则 Q(x0＋1，－1)，则|PQ|min＝ x0＋1－x02＋－1－12＝ 5. 答案 5 9.已知函数 f(x)＝2sin 2ωx＋π 6 (其中 0＜ω＜1)，若点 －π 6 ，0 是函数 f(x)图象的一个对称中心． (1)求ω的值，并求出函数 f(x)的增区间； (2)先列表，再作出函数 f(x)在区间[－π，π]上的图象． 解 (1)因为点 －π 6 ，0 是函数 f(x)图象的一个对称中心， 所以－ωπ 3 ＋π 6 ＝ π( ∈ )， 所以ω＝－3 ＋1 2( ∈ )，因为 0＜ω＜1， 所以当 ＝0 时，可得ω＝1 2. 所以 f(x)＝2sin x＋π 6 . 令 2 π－π 2 ≤x＋π 6 ≤2 π＋π 2( ∈ )， 解得 2 π－2π 3 ≤x≤2 π＋π 3( ∈ )， 所以函数的增区间为 2kπ－2π 3 ，2kπ＋π 3 ( ∈ )． (2)由(1)知，f(x)＝2sin x＋π 6 ，x∈[－π，π]， 列表如下 x＋π 6 －5π 6 －π 2 0 π 2 π 7π 6 x －π －2π 3 －π 6 π 3 5π 6 π y －1 －2 0 2 0 －1 作出函数部分图象如图所示 10．(2018·黑龙江哈尔滨六中月考)已知函数 f(x)＝cos 2x－π 3 ＋2sin x－π 4 sin x＋π 4 . (1)求函数 f(x)的单调递增区间； (2)将 y＝f(x)的图象向左平移π 3 个单位长度，再将得到的图象横坐标变为原来的 2 倍(纵坐 标不变)，得到 y＝g(x)的图象．若函数 y＝g(x)在区间 π 2 ，13π 4 上的图象与直线 y＝a 有三个 交点，求实数 a 的取值范围． 解 (1)f(x)＝cos 2x－π 3 ＋2sin x－π 4 sin x＋π 4 ＝1 2cos 2x＋ 3 2 sin 2x＋(sin －cos )(sin ＋cos ) ＝1 2cos 2x＋ 3 2 sin 2x＋sin2x－cos2x ＝1 2cos 2x＋ 3 2 sin 2x－cos 2x ＝sin 2x－π 6 . 令 2 π－π 2 ≤2x－π 6 ≤2 π＋π 2 ， ∈ ， 得 π－π 6 ≤x≤ π＋π 3 ， ∈ . 所以函数 f(x)的单调递增区间是 kπ－π 6 ，kπ＋π 3 ， ∈ . (2)将 f(x)的图象向左平移π 3 个单位长度，得 y＝sin2错误!)＝sin 2x＋π 2 ＝cos 2x 的图象， 再将得到的图象的横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不变)，得 g(x)＝cos 的图象． 作函数 g(x)＝cos 在区间π 2 ，13π 4 上的图象，及直线 y＝a.根据图象知，实数 a 的取值范围 是 － 2 2 ，0 . B 级——拔高题目稳做准做 1.已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ) ω＞0，|φ|＜π 2 的部分图象如图所 示，又 x1，x2∈ －π 6 ，π 3 ，且 f(x1)＝f(x2)，则 f(x1＋x2)＝( ) A.1 2 B. 3 2 C. 2 2 D．1 解析 选 B 由题图可知，T 2 ＝π 3 － －π 6 ＝π 2 ，则 T＝π，ω＝2，又 －π 6 ＋π 3 2 ＝ π 12 ，所以 f(x) 的图象过点 π 12 ，1 ，即 sin 2× π 12 ＋φ ＝1，又|φ|＜π 2 ，可得φ＝π 3 ，所以 f(x)＝sin 2x＋π 3 .由 f(x1)＝f(x2)，x1，x2∈ －π 6 ，π 3 ，可得 x1＋x2＝－π 6 ＋π 3 ＝π 6 ，所以 f(x1＋x2)＝f π 6 ＝sin 2×π 6 ＋π 3 ＝sin2π 3 ＝ 3 2 . 2．(2018·湘中名校联考)已知函数 f(x)＝sin ωx－π 6 ＋1 2 ，ω＞0，x∈R，且 f(α)＝－1 2 ，f(β) ＝1 2.若|α－β|的最小值为3π 4 ，则函数的单调递增区间为( ) A. －π 2 ＋2kπ，π＋2kπ ， ∈ B. －π 2 ＋3kπ，π＋3kπ ， ∈ C. π＋2kπ，5π 2 ＋2kπ ， ∈ D. π＋3kπ，5π 2 ＋3kπ ， ∈ 解析 选 B 由 f(α)＝－1 2 ，f(β)＝1 2 ，|α－β|的最小值为3π 4 ，知T 4 ＝3π 4 ，即 T＝3π＝2π ω ，所 以ω＝2 3 ，所以 f(x)＝sin 2 3x－π 6 ＋1 2 ，令－π 2 ＋2 π≤2 3x－π 6 ≤π 2 ＋2 π( ∈ )，得－π 2 ＋3 π≤x≤π ＋3 π( ∈ )，故选 B. 3.已知函数 f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若 f(x)≤|f π 6 |对 x∈R 恒成立，且 f π 2 ＞f(π)， 则 f(x)的单调递增区间是________． 解析 因为 f(x)≤|f π 6 |对 x∈R 恒成立，即|f π 6 |＝|sin π 3 ＋φ |＝1，所以φ＝ π＋ π 6( ∈ )．因为 f π 2 ＞f(π)，所以 sin(π＋φ)＞sin(2π＋φ)，即 sin φ＜0，所以φ＝－5π 6 ＋2 π( ∈ )， 所以 f(x)＝sin 2x－5π 6 ，所以由三角函数的单调性知 2x－5π 6 ∈ 2kπ－π 2 ，2kπ＋π 2 ( ∈ )， 解得 x∈ kπ＋π 6 ，kπ＋2π 3 ( ∈ )． 答案 kπ＋π 6 ，kπ＋2π 3 ( ∈ ) 4.已知函数 f(x)＝2sin 2x＋π 3 ，g(x)＝mcos 2x－π 6 －2m＋3(m>0)，若对∀x1∈ 0，π 4 ， ∃x2∈ 0，π 4 ，使得 g(x1)＝f(x2)成立，则实数 m 的取值范围是________． 解析 当 x∈ 0，π 4 时，2x＋π 3 ∈ π 3 ，5π 6 ，sin 2x＋π 3 ∈ 1 2 ，1 ，∴当 x∈ 0，π 4 时，函数 f(x)＝2sin 2x＋π 3 的值域为[1,2]．当 x∈ 0，π 4 时，2x－π 6 ∈ －π 6 ，π 3 ，cos 2x－π 6 ∈ 1 2 ，1 ， ∴当 x∈ 0，π 4 时，函数 g(x)＝mcos 2x－π 6 －2m＋3(m>0)的值域为 －3m 2 ＋3， －m＋3]. ∵对∀x1∈ 0，π 4 ，∃x2∈ 0，π 4 ，使得 g(x1)＝f(x2)成立，∴ －3m 2 ＋3≥1， －m＋3≤2， 解得 1≤m≤4 3 ， 即 m∈ 1，4 3 . 答案 1，4 3 5.已知函数 f(x)＝cos(πx＋φ) 0＜φ＜π 2 的部分图象如图所示． (1)求φ及图中 x0 的值； (2)设 g(x)＝f(x)＋f x＋1 3 ，求函数 g(x)在区间 －1 2 ，1 3 上的最大 值和最小值． 解 (1)由题图得 f(0)＝ 3 2 ，所以 cos φ＝ 3 2 ， 因为 0＜φ＜π 2 ，故φ＝π 6. 由于 f(x)的最小正周期等于 2， 所以由题图可知 1＜x0＜2， 故7π 6 ＜πx0＋π 6 ＜13π 6 . 由 f(x0)＝ 3 2 ，得 cos πx0＋π 6 ＝ 3 2 ， 所以πx0＋π 6 ＝11π 6 ，x0＝5 3. (2)因为 f x＋1 3 ＝cos π x＋1 3 ＋π 6 ＝cos πx＋π 2 ＝－sin πx， 所以 g(x)＝f(x)＋f x＋1 3 ＝cos πx＋π 6 －sin πx ＝cos πxcosπ 6 －sin πxsinπ 6 －sin πx ＝ 3 2 cos πx－3 2sin πx ＝ 3sin π 6 －πx . 当 x∈ －1 2 ，1 3 时，－π 6 ≤π 6 －πx≤2π 3 . 所以－1 2 ≤sin π 6 －πx ≤1， 故π 6 －πx＝π 2 ，即 x＝－1 3 时，g(x)取得最大值 3； 当π 6 －πx＝－π 6 ，即 x＝1 3 时，g(x)取得最小值－ 3 2 . 6.如图所示，某小区为美化环境，准备在小区内草坪的一侧修建 一条直路 OC，另一侧修建一条休闲大道，它的前一段 OD 是函数 y ＝ x( ＞0)图象的一部分，后一段 DBC 是函数 y＝Asin(ωx＋φ)A＞0， ω＞0，|φ|＜π 2 ，x∈[4,8]的图象，图象的最高点为 B 5，8 3 3 ，DF⊥OC，垂足为 F. (1)求函数 y＝Asin(ωx＋φ)的解析式； (2)若在草坪内修建如图所示的儿童游乐园，即矩形 PMFE，问点 P 落在曲线 OD 上何处 时，儿童游乐园的面积最大？ 解 (1)对于函数 y＝Asin(ωx＋φ)，由图象可知， A＝8 3 3 ，ω＝2π T ＝ 2π 48－5 ＝π 6 ， 将 B 5，8 3 3 代入 y＝8 3 3 sin π 6x＋φ 中， 可得 sin 5π 6 ＋φ ＝1， 故5π 6 ＋φ＝2 π＋π 2( ∈ )，φ＝2 π－π 3( ∈ )． 因为|φ|＜π 2 ，所以φ＝－π 3. 故 y＝8 3 3 sin π 6x－π 3 ，x∈[4,8]． (2)在 y＝8 3 3 sin π 6 x－π 3 中，令 x＝4，得 y＝4，故 D(4,4)，从而得 OD 对应的函数为 y ＝2 x(0≤x≤4)． 设点 P t2 4 ，t (0≤t≤4)， 则矩形 PMFE 的面积 S＝ 4－t2 4 t(0≤t≤4)． 因为 S′＝4－3t2 4 ，由 S′＝0，得 t＝4 3 3 ， 当 t∈ 0，4 3 3 时，S′＞0，S 单调递增； 当 t∈ 4 3 3 ，4 时，S′＜0，S 单调递减． 所以当 t＝4 3 3 时，S 最大，此时点 P 的坐标为 4 3 ，4 3 3 . 第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β； cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β； tan(α±β)＝ tan α±tan β 1∓tan αtan β. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_α； cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； tan 2α＝ 2tan α 1－tan2α. 3．公式的常用变形 (1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； (2)cos2α＝1＋cos 2α 2 ，sin2α＝1－cos 2α 2 ； (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝ 2sin α±π 4 . 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( ) (2)存在实数α，β，使等式 sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( ) (3)公式 tan(α＋β)＝ tan α＋tan β 1－tan αtan β 可以变形为 tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)， 且对任意角α，β都成立．( ) (4)存在实数α，使 tan 2α＝2tan α.( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A．－ 3 2 B. 3 2 C．－1 2 D.1 2 解析 选 D 原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝1 2 ， 故选 D. 3．设角θ的终边过点(2,3)，则 tan θ－π 4 ＝( ) A.1 5 B．－1 5 C．5 D．－5 解析 选 A 由于角θ的终边过点(2,3)，因此 tan θ＝3 2 ，故 tan θ－π 4 ＝tan θ－1 1＋tan θ ＝ 3 2 －1 1＋3 2 ＝ 1 5 ，选 A. 4．(2017·山东高考)已知 cos ＝3 4 ，则 cos 2x＝( ) A．－1 4 B.1 4 C．－1 8 D.1 8 解析 选 D ∵cos ＝3 4 ，∴cos 2x＝2cos2x－1＝1 8. 5．化简 2sinπ－α＋sin 2α cos2α 2 ＝________. 解析 2sinπ－α＋sin 2α cos2α 2 ＝2sin α＋2sin αcos α 1 2 1＋cos α ＝4sin α1＋cos α 1＋cos α ＝4sin α. 答案 4sin α 6．(2017·江苏高考)若 tan α－π 4 ＝1 6 ，则 tan α＝________. 解析 tan α＝tan α－π 4 ＋π 4 ＝ tan α－π 4 ＋tanπ 4 1－tan α－π 4 tanπ 4 ＝ 1 6 ＋1 1－1 6 ＝7 5. 答案 7 5 考点一 三角函数公式的直接应用 基础送分型考点——自主练透 [考什么·怎么考] 三角函数公式的直接应用是基础，直接命题较少，主要考查三角函数公式的识记，多体 现在简单三角函数求值中. 1．已知 cos α＝－3 5 ，α是第三象限角，则 cos π 4 ＋α 的值为( ) A. 2 10 B．－ 2 10 C.7 2 10 D．－7 2 10 解析 选 A ∵cos α＝－3 5 ，α是第三象限的角， ∴sin α＝－ 1－cos2α＝－ 1－ －3 5 2＝－4 5 ， ∴cos π 4 ＋α ＝cos π 4cos α－sin π 4sin α ＝ 2 2 × －3 5 － 2 2 × －4 5 ＝ 2 10. 2．已知 sin α＝3 5 ，α∈ π 2 ，π ，tan(π－β)＝1 2 ，则 tan(α－β)的值为( ) A．－ 2 11 B. 2 11 C.11 2 D．－11 2 解析 选 A 因为 sin α＝3 5 ，α∈ π 2 ，π ， 所以 cos α＝－ 1－sin2α＝－4 5 ， 所以 tan α＝sin α cos α ＝－3 4. 因为 tan(π－β)＝1 2 ＝－tan β，所以 tan β＝－1 2 ， 则 tan(α－β)＝ tan α－tan β 1＋tan αtan β ＝－ 2 11. 3．已知α∈ π 2 ，π ，sin α＝ 5 5 ，则 cos 5π 6 －2α 的值为______． 解析 因为α∈ π 2 ，π ，sin α＝ 5 5 ， 所以 cos α＝－ 1－sin2α＝－2 5 5 . sin 2α＝2sin αcos α＝2× 5 5 × －2 5 5 ＝－4 5 ， cos 2α＝1－2sin2α＝1－2× 5 5 2＝3 5 ， 所以 cos 5π 6 －2α ＝cos5π 6 cos 2α＋sin 5π 6 sin 2α ＝ － 3 2 ×3 5 ＋1 2 × －4 5 ＝－4＋3 3 10 . 答案 －4＋3 3 10 [怎样快解·准解] 三角函数公式的应用策略 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征． (2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值． 考点二 三角函数公式的逆用与变形用 基础送分型考点——自主练透 [考什么·怎么考] 主要考查对三角函数公式的熟练掌握程度，对公式结构的准确理解和记忆. 考法(一) 三角函数公式的逆用 1. sin 10° 1－ 3tan 10° ＝________. 解析 sin 10° 1－ 3tan 10° ＝ sin 10°cos 10° cos 10°－ 3sin 10° ＝ 2sin 10°cos 10° 4 1 2cos 10°－ 3 2 sin 10° ＝ sin 20° 4sin30°－10° ＝1 4. 答案 1 4 2．在△ABC 中，若 tan Atan B＝ tan A＋tan B＋1, 则 cos C＝________. 解析 由 tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，可得 tan A＋tan B 1－tan Atan B ＝－1，即 tan(A＋B)＝－1， 又 A＋B∈(0，π)，所以 A＋B＝3π 4 ，则 C＝π 4 ，cos C＝ 2 2 . 答案 2 2 3．已知 cos α－π 6 ＋sin α＝4 3 5 ，则 sin α＋7π 6 ＝________. 解析 由 cos α－π 6 ＋sin α＝4 3 5 ， 可得 3 2 cos α＋1 2sin α＋sin α＝4 3 5 ， 即 3 2sin α＋ 3 2 cos α＝4 3 5 ， ∴ 3sin α＋π 6 ＝4 3 5 ，即 sin α＋π 6 ＝4 5 ， ∴sin α＋7π 6 ＝－sin α＋π 6 ＝－4 5. 答案 －4 5 考法(二) 三角函数公式的变形用 4．化简 sin235°－1 2 cos 10°cos 80° ＝________. 解析 sin235°－1 2 cos 10°cos 80° ＝ 1－cos 70° 2 －1 2 cos 10°sin 10° ＝ －1 2cos 70° 1 2sin 20° ＝－1. 答案 －1 5．化简 sin2 α－π 6 ＋sin2 α＋π 6 －sin2α的结果是________． 解析 原式＝1－cos 2α－π 3 2 ＋1－cos 2α＋π 3 2 －sin2α ＝1－1 2 cos 2α－π 3 ＋cos 2α＋π 3 －sin2α ＝1－cos 2α·cos π 3 －sin2α ＝1－cos 2α 2 －1－cos 2α 2 ＝1 2. 答案 1 2 [怎样快解·准解] 1．注意三角函数公式逆用和变形用的 2 个问题 (1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系． (2)注意特殊角的应用，当式子中出现1 2 ，1，3 2 ， 3等这些数值时，一定要考虑引入特殊 角，把“值变角”构造适合公式的形式． 2．熟记三角函数公式的 2 类变式 (1)和差角公式变形 sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β， cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β， tan α±tan β＝tan(α±β)·(1∓tan α·tan β)． (2)倍角公式变形 降幂公式 cos2α＝1＋cos 2α 2 ，sin2α＝1－cos 2α 2 ， 配方变形 1±sin α＝ sinα 2±cosα 2 2,1＋cos α＝2cos2α 2 ，1－cos α＝2sin2α 2. 考点三 角的变换与名的变换 重点保分型考点——师生共研 三角函数公式中角的变换与名的变换在三角函数求值中经常考查，题目难度不大，属于 中低档题. [典题领悟] 1．(2018·南充模拟)已知α∈ 0，π 2 ，β∈ 0，π 2 ，且 cos α＝1 7 ，cos(α＋β)＝－11 14 ，则 sin β ＝________. 解析 因为α∈ 0，π 2 ，β∈ 0，π 2 ，且 cos α＝1 7 ，cos(α＋β)＝－11 14 ，所以α＋β∈(0，π)， 所以 sin α＝ 1－cos2α＝4 3 7 ， sin(α＋β)＝ 1－cos2α＋β＝5 3 14 ， 则 sin β＝sin[(α＋β)－α] ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝5 3 14 ×1 7 － －11 14 ×4 3 7 ＝ 3 2 . 答案 3 2 2．已知 tan(α＋β)＝2 5 ，tan β＝1 3 ，则 tan(α－β)的值为________． 解析 ∵tan(α＋β)＝2 5 ，tan β＝1 3 ， ∴tan α＝tan[(α＋β)－β]＝ tanα＋β－tan β 1＋tanα＋β·tan β ＝ 2 5 －1 3 1＋2 5 ×1 3 ＝ 1 17 ， tan(α－β)＝ tan α－tan β 1＋tan αtan β ＝ 1 17 －1 3 1＋ 1 17 ×1 3 ＝－ 7 26. 答案 － 7 26 [解题师说] 1．迁移要准 (1)看到角的范围及余弦值 想到正弦值；看到β，α＋β，α 想到凑角β＝(α＋β)－α，代 入公式求值． (2)看到两个角的正切值 想到两角和与差的正切公式；看到α＋β，β，α－β 想到凑角． 2．思路要明 (1)角的变换 明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角 的拆分与组合的技巧，半角与倍角的相互转化，如 2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α －β)＋β，40°＝60°－20°， π 4 ＋α ＋ π 4 －α ＝π 2 ，α 2 ＝2×α 4 等． (2)名的变换 明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正 弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦． 3．思想要有 转化思想是实施三角变换的主导思想，恒等变形前需清楚已知式中角的差异、函数名称 的差异、运算结构的差异，寻求联系，实现转化． [冲关演练] 1．(2017·全国卷Ⅰ)已知α∈ 0，π 2 ，tan α＝2，则 cos α－π 4 ＝________. 解析 ∵α∈ 0，π 2 ，tan α＝2， ∴sin α＝2 5 5 ，cos α＝ 5 5 ， ∴cos α－π 4 ＝cos αcosπ 4 ＋sin αsinπ 4 ＝ 2 2 × 2 5 5 ＋ 5 5 ＝3 10 10 . 答案 3 10 10 2．已知α，β均为锐角，且 sin α＝3 5 ，tan(α－β)＝－1 3. (1)求 sin(α－β)的值； (2)求 cos β的值． 解 (1)∵α，β∈ 0，π 2 ，从而－π 2<α－β<π 2. 又∵tan(α－β)＝－1 3<0， ∴－π 2<α－β<0. ∴sin(α－β)＝－ 10 10 . (2)由(1)可得，cos(α－β)＝3 10 10 . ∵α为锐角，且 sin α＝3 5 ，∴cos α＝4 5. ∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝4 5 ×3 10 10 ＋3 5 × － 10 10 ＝9 10 50 . (一)普通高中适用 A 级——基础小题练熟练快 1．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝( ) A．1 B.1 2 C. 3 2 D．－1 2 解析 选 B sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°·cos 15°＋(－cos 45°)sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝1 2. 2．若 2sin θ＋π 3 ＝3sin(π－θ)，则 tan θ等于( ) A．－ 3 3 B. 3 2 C.2 3 3 D．2 3 解析 选 B 由已知得 sin θ＋ 3cos θ＝3sin θ， 即 2sin θ＝ 3cos θ，所以 tan θ＝ 3 2 . 3．(2018·石家庄质检)若 sin(π－α)＝1 3 ，且π 2 ≤α≤π，则 sin 2α的值为( ) A．－4 2 9 B．－2 2 9 C.2 2 9 D.4 2 9 解析 选 A 因为 sin(π－α)＝sin α＝1 3 ，π 2 ≤α≤π，所以 cos α＝－2 2 3 ，所以 sin 2α＝2sin αcos α＝2×1 3 × －2 2 3 ＝－4 2 9 . 4．(2018·衡水调研)若α∈ π 2 ，π ，且 3cos 2α＝sin π 4 －α ，则 sin 2α的值为( ) A．－ 1 18 B. 1 18 C．－17 18 D.17 18 解析 选 C 由 3cos 2α＝sin π 4 －α ，可得 3(cos2α－sin2α)＝ 2 2 (cos α－sin α)，又由α∈ π 2 ，π ，可知 cos α－sin α≠0，于是 3(cos α＋sin α)＝ 2 2 ，所以 1＋2sin αcos α＝ 1 18 ，故 sin 2α ＝－17 18. 5．计算 sin 110°sin 20° cos2155°－sin2155° 的值为( ) A．－1 2 B.1 2 C. 3 2 D．－ 3 2 解析 选 B sin 110°sin 20° cos2155°－sin2155° ＝sin 70°sin 20° cos 310° ＝cos 20°sin 20° cos 50° ＝ 1 2sin 40° sin 40° ＝1 2. 6．(2017·全国卷Ⅲ)函数 f(x)＝1 5sin x＋π 3 ＋cos x－π 6 的最大值为( ) A.6 5 B．1 C.3 5 D.1 5 解析 选 A 因为 cos x－π 6 ＝cos x＋π 3 －π 2 ＝sin x＋π 3 ，所以 f(x)＝6 5sin x＋π 3 ，于是 f(x)的最大值为6 5. 7．已知 sin π 2 ＋α ＝1 2 ，α∈ －π 2 ，0 ，则 cos α－π 3 的值为________． 解析 由已知得 cos α＝1 2 ，sin α＝－ 3 2 ， 所以 cos α－π 3 ＝1 2cos α＋ 3 2 sin α＝－1 2. 答案 －1 2 8．(2018·贵州适应性考试)已知α是第三象限角，且 cos(α＋π)＝4 5 ，则 tan 2α＝________. 解析 由 cos(α＋π)＝－cos α＝4 5 ，得 cos α＝－4 5 ，又α是第三象限角，所以 sin α＝－3 5 ， tan α＝3 4 ，故 tan 2α＝ 2tan α 1－tan2α ＝24 7 . 答案 24 7 9．已知 cos x－π 6 ＝－ 3 3 ，则 cos ＋cos x－π 3 ＝________. 解析 cos ＋cos x－π 3 ＝cos ＋1 2cos ＋ 3 2 sin ＝3 2cos ＋ 3 2 sin ＝ 3cos x－π 6 ＝ 3× － 3 3 ＝－1. 答案 －1 10．(2018·石家庄质检)已知α∈ 0，π 2 ，cos α＋π 3 ＝－2 3 ，则 cos α＝________. 解析 因为α∈ 0，π 2 ，所以α＋π 3 ∈ π 3 ，5π 6 ， 所以 sin α＋π 3 ＝ 5 3 ， 所以 cos α＝cos α＋π 3 －π 3 ＝cos α＋π 3 cosπ 3 ＋sin α＋π 3 sinπ 3 ＝－2 3 ×1 2 ＋ 5 3 × 3 2 ＝ 15－2 6 . 答案 15－2 6 B 级——中档题目练通抓牢 1．(2018·陕西高三教学质量检测)已知角α的终边过点 P(4，－3)，则 cos α＋π 4 的值为 ( ) A．－7 2 10 B.7 2 10 C．－ 2 10 D. 2 10 解析 选 B 由于角α的终边过点 P(4，－3)，则 cos α＝ 4 42＋－32 ＝4 5 ，sin α＝ －3 42＋－32 ＝－3 5 ，故 cos α＋π 4 ＝cos αcosπ 4 －sin αsinπ 4 ＝4 5 × 2 2 － －3 5 × 2 2 ＝7 2 10 . 2．设α为锐角，若 cos α＋π 6 ＝4 5 ，则 sin 2α＋π 3 的值为( ) A.12 25 B.24 25 C．－24 25 D．－12 25 解析 选 B 因为α为锐角，且 cos α＋π 6 ＝4 5 ， 所以 sin α＋π 6 ＝ 1－cos2 α＋π 6 ＝3 5 ， 所以 sin 2α＋π 3 ＝sin2 α＋π 6 ＝2sin α＋π 6 cos α＋π 6 ＝2×3 5 ×4 5 ＝24 25. 3．(2018·广东肇庆模拟)已知 sin α＝3 5 且α为第二象限角，则 tan 2α＋π 4 ＝( ) A．－19 5 B．－ 5 19 C．－31 17 D．－17 31 解析 选 D 由题意得 cos α＝－4 5 ， 则 sin 2α＝－24 25 ，cos 2α＝2cos2α－1＝ 7 25. ∴tan 2α＝－24 7 ， ∴tan 2α＋π 4 ＝ tan 2α＋tan π 4 1－tan 2αtanπ 4 ＝ －24 7 ＋1 1－ －24 7 ×1 ＝－17 31. 4．若锐角α，β满足 tan α＋tan β＝ 3－ 3tan αtan β，则α＋β＝________. 解析 由已知可得 tan α＋tan β 1－tan αtan β ＝ 3，即 tan(α＋β)＝ 3. 又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π 3. 答案 π 3 5．(2018·安徽两校阶段性测试)若α∈ 0，π 2 ，cos π 4 －α ＝2 2cos 2α，则 sin 2α＝________. 解析 由已知得 2 2 (cos α＋sin α)＝2 2(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)，所以 cos α＋sin α＝0 或 cos α－sin α＝1 4 ，由 cos α＋sin α＝0 得 tan α＝－1，因为α∈ 0，π 2 ，所以 cos α＋sin α＝0 不满足条件；由 cos α－sin α＝1 4 ，两边平方得 1－sin 2α＝ 1 16 ，所以 sin 2α＝15 16. 答案 15 16 6．(2018·广东六校联考)已知函数 f(x)＝sin x＋ π 12 ，x∈R. (1)求 f －π 4 的值； (2)若 cos θ ＝4 5 ，θ∈ 0，π 2 ，求 f 2θ－π 3 的值． 解 (1)f －π 4 ＝sin －π 4 ＋ π 12 ＝sin －π 6 ＝－1 2. (2)f 2θ－π 3 ＝sin 2θ－π 3 ＋ π 12 ＝sin 2θ－π 4 ＝ 2 2 (sin 2θ－cos 2θ)． 因为 cos θ＝4 5 ，θ∈ 0，π 2 ， 所以 sin θ＝3 5 ， 所以 sin 2θ＝2sin θcos θ＝24 25 ， cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝ 7 25 ， 所以 f 2θ－π 3 ＝ 2 2 (sin 2θ－cos 2θ) ＝ 2 2 × 24 25 － 7 25 ＝17 2 50 . 7．已知α∈ π 2 ，π ，且 sinα 2 ＋cosα 2 ＝ 6 2 . (1)求 cos α的值； (2)若 sin(α－β)＝－3 5 ，β∈ π 2 ，π ，求 cos β的值． 解 (1)因为 sinα 2 ＋cosα 2 ＝ 6 2 ， 两边同时平方，得 sin α＝1 2. 又π 2<α<π，所以 cos α＝－ 1－sin2α＝－ 3 2 . (2)因为π 2<α<π，π 2<β<π， 所以－π 2<α－β<π 2. 又由 sin(α－β)＝－3 5 ，得 cos(α－β)＝4 5. 所以 cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－ 3 2 ×4 5 ＋1 2 × －3 5 ＝－4 3＋3 10 . C 级——重难题目自主选做 已知 cos π 6 ＋α cos π 3 －α ＝－1 4 ，α∈ π 3 ，π 2 . (1)求 sin 2α的值； (2)求 tan α－ 1 tan α 的值． 解 (1)cos π 6 ＋α cos π 3 －α ＝cos π 6 ＋α sin π 6 ＋α ＝1 2sin 2α＋π 3 ＝－1 4 ， 即 sin 2α＋π 3 ＝－1 2. ∵α∈ π 3 ，π 2 ，∴2α＋π 3 ∈ π，4π 3 ， ∴cos 2α＋π 3 ＝－ 3 2 ， ∴ sin 2α＝sin 2α＋π 3 －π 3 ＝sin 2α＋π 3 cosπ 3 －cos 2α＋π 3 sinπ 3 ＝－1 2 ×1 2 － － 3 2 × 3 2 ＝1 2. (2)∵α∈ π 3 ，π 2 ，∴2α∈ 2π 3 ，π ， 又由(1)知 sin 2α＝1 2 ，∴cos 2α＝－ 3 2 . ∴tan α－ 1 tan α ＝sin α cos α －cos α sin α ＝sin2α－cos2α sin αcos α ＝－2cos 2α sin 2α ＝－2× － 3 2 1 2 ＝2 3. (二)重点高中适用 A 级——保分题目巧做快做 1.计算－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°的结果为( ) A.1 2 B. 3 3 C. 2 2 D. 3 2 解析 选 A －sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73° ＝－sin 47°(－cos 17°)－cos 47°sin 17° ＝sin(47°－17°)＝sin 30°＝1 2. 2．(2018·陕西高三教学质量检测试)已知角α的终边过点 P(4，－3)，则 cos α＋π 4 的值为 ( ) A．－7 2 10 B.7 2 10 C．－ 2 10 D. 2 10 解析 选 B 由于角α的终边过点 P(4，－3)，则 cos α＝4 5 ，sin α＝－3 5 ，故 cos α＋π 4 ＝cos αcosπ 4 －sin αsinπ 4 ＝4 5 × 2 2 － －3 5 × 2 2 ＝7 2 10 . 3.已知 sin α＋cos α＝1 3 ，则 sin2 π 4 －α ＝( ) A. 1 18 B.17 18 C.8 9 D. 2 9 解析 选 B 由 sin α＋cos α＝1 3 两边平方，得 1＋sin 2α＝1 9 ，解得 sin 2α＝－8 9 ，所以 sin2 π 4 －α ＝1－cos π 2 －2α 2 ＝1－sin 2α 2 ＝1＋8 9 2 ＝17 18. 4．计算 sin 110°sin 20° cos2155°－sin2155° 的值为( ) A．－1 2 B.1 2 C. 3 2 D．－ 3 2 解析 选 B sin 110°sin 20° cos2155°－sin2155° ＝sin 70°sin 20° cos 310° ＝cos 20°sin 20° cos 50° ＝ 1 2sin 40° sin 40° ＝1 2. 5.已知α∈ π 4 ，π 2 ，tan 2α＋π 4 ＝1 7 ，那么 sin 2α＋cos 2α 的值为( ) A．－1 5 B.7 5 C．－7 5 D.3 4 解析 选 A 由 tan 2α＋π 4 ＝1 7 ，知tan 2α＋1 1－tan 2α ＝1 7 ， ∴tan 2α＝－3 4.∵2α∈ π 2 ，π ，∴sin 2α＝3 5 ，cos 2α＝－4 5 ，∴sin 2α＋cos 2α＝－1 5. 6．(2018·贵州适应性考试)已知α是第三象限角，且 cos(α＋π)＝4 5 ，则 tan 2α＝________. 解析 由 cos(α＋π)＝－cos α＝4 5 ，得 cos α＝－4 5 ，又α是第三象限角，所以 sin α＝－3 5 ， tan α＝3 4 ，故 tan 2α＝ 2tan α 1－tan2α ＝24 7 . 答案 24 7 7．已知 cos x－π 6 ＝－ 3 3 ，则 cos ＋cos x－π 3 ＝________. 解析 cos ＋cos x－π 3 ＝cos ＋1 2cos ＋ 3 2 sin ＝3 2cos ＋ 3 2 sin ＝ 3cos x－π 6 ＝ 3× － 3 3 ＝－1. 答案 －1 8.(2018·洛阳第一次统一考试)若 sin π 3 －α ＝1 4 ，则 cos π 3 ＋2α ＝________. 解析 依题意得 cos π 3 ＋2α ＝－cos π－ π 3 ＋2α ＝－cos 2 π 3 －α ＝2sin2 π 3 －α －1＝ 2× 1 4 2－1＝－7 8. 答案 －7 8 9．已知α∈ 0，π 2 ，tan α＝1 2 ，求 tan 2α和 sin 2α＋π 3 的值． 解 ∵tan α＝1 2 ， ∴tan 2α＝ 2tan α 1－tan2α ＝ 2×1 2 1－1 4 ＝4 3 ， 且sin α cos α ＝1 2 ，即 cos α＝2sin α， 又 sin2α＋cos2α＝1， ∴5sin2α＝1，而α∈ 0，π 2 ， ∴sin α＝ 5 5 ，cos α＝2 5 5 . ∴sin 2α＝2sin αcos α＝2× 5 5 ×2 5 5 ＝4 5 ， cos 2α＝1－2sin2α＝1－2× 5 5 2＝3 5 ， ∴sin 2α＋π 3 ＝sin 2αcosπ 3 ＋cos 2αsinπ 3 ＝4 5 ×1 2 ＋3 5 × 3 2 ＝4＋3 3 10 . 10．(2018·广东六校联考)已知函数 f(x)＝sin x＋ π 12 ，x∈R. (1)求 f －π 4 的值； (2)若 cos θ＝4 5 ，θ∈ 0，π 2 ，求 f 2θ－π 3 的值． 解 (1)f －π 4 ＝sin －π 4 ＋ π 12 ＝sin －π 6 ＝－1 2. (2)f 2θ－π 3 ＝sin 2θ－π 3 ＋ π 12 ＝sin 2θ－π 4 ＝ 2 2 (sin 2θ－cos 2θ)． 因为 cos θ＝4 5 ，θ∈ 0，π 2 ， 所以 sin θ＝3 5 ， 所以 sin 2θ＝2sin θcos θ＝24 25 ， cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝ 7 25 ， 所以 f 2θ－π 3 ＝ 2 2 (sin 2θ－cos 2θ) ＝ 2 2 × 24 25 － 7 25 ＝17 2 50 . B 级——拔高题目稳做准做 1.已知 sin α－π 4 ＝7 2 10 ，cos 2α＝ 7 25 ，则 sin α＝( ) A.4 5 B．－4 5 C.3 5 D．－3 5 解析 选 C 由 sin α－π 4 ＝7 2 10 得 sin α－cos α＝7 5.① 由 cos 2α＝ 7 25 得 cos2α－sin2α＝ 7 25 ， 所以(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝ 7 25.② 由①②可得 cos α＋sin α＝－1 5.③ 由①③可得 sin α＝3 5. 2.(2018·福州质检)已知 m＝tanα＋β＋γ tanα－β＋γ ，若 sin[2α＋γ]＝3sin 2β，则 m＝( ) A.1 2 B.3 4 C.3 2 D．2 解析 选 D 设 A＝α＋β＋γ，B＝α－β＋γ， 则 2(α＋γ)＝A＋B，2β＝A－B， 因为 sin[2(α＋γ)]＝3sin 2β， 所以 sin(A＋B)＝3sin(A－B)， 即 sin AcosB＋cos AsinB＝3(sin Acos B－cos AsinB)，即 2cos Asin B＝sin AcosB，所 以 tan A＝2tanB，所以 m＝tan A tan B ＝2，故选 D. 3.(2017·北京高考)在平面直角坐标系 xOy 中，角α与角β均以 Ox 为始边，它们的终边关 于 y 轴对称．若 sin α＝1 3 ，则 cos(α－β)＝________. 解析 因为角α与角β的终边关于 y 轴对称， 所以α＋β＝2 π＋π， ∈ ， 所以 cos(α－β)＝cos(2α－2 π－π)＝－cos 2α ＝－(1－2sin2α)＝－ 1－2× 1 3 2 ＝－7 9. 答案 －7 9 4.(2018·安徽重点中学联考)若α∈ 0，π 2 ，cos π 4 －α ＝2 2cos 2α，则 sin 2α＝________. 解析 由已知得 2 2 (cos α＋sin α)＝2 2(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)， 所以 cos α＋sin α＝0 或 cos α－sin α＝1 4. 由 cos α＋sin α＝0 得 tan α＝－1， 因为α∈ 0，π 2 ，所以 tan α＞0， 所以 cos α＋sin α＝0 不满足条件； 由 cos α－sin α＝1 4 两边平方得 1－sin 2α＝ 1 16 ， 所以 sin 2α＝15 16. 答案 15 16 5．已知α∈ π 2 ，π ，且 sinα 2 ＋cosα 2 ＝ 6 2 . (1)求 cos α的值； (2)若 sin(α－β)＝－3 5 ，β∈ π 2 ，π ，求 cos β的值． 解 (1)已知 sinα 2 ＋cosα 2 ＝ 6 2 ，两边同时平方，得 1＋2sinα 2cosα 2 ＝3 2 ，则 sin α＝1 2. 又π 2<α<π，所以 cos α＝－ 1－sin2α＝－ 3 2 . (2)因为π 2<α<π，π 2<β<π， 所以－π 2<α－β<π 2. 又 sin(α－β)＝－3 5 ， 所以 cos(α－β)＝4 5. 则 cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－ 3 2 ×4 5 ＋1 2 × －3 5 ＝－4 3＋3 10 . 6．已知 cos π 6 ＋α cos π 3 －α ＝－1 4 ，α∈ π 3 ，π 2 . (1)求 sin 2α的值； (2)求 tan α－ 1 tan α 的值． 解 (1)cos π 6 ＋α cos π 3 －α ＝cos π 6 ＋α sin π 6 ＋α ＝1 2sin 2α＋π 3 ＝－1 4 ， 即 sin 2α＋π 3 ＝－1 2. ∵α∈ π 3 ，π 2 ，∴2α＋π 3 ∈ π，4π 3 ， ∴cos 2α＋π 3 ＝－ 3 2 ， ∴ sin 2α＝sin 2α＋π 3 －π 3 ＝sin 2α＋π 3 cosπ 3 －cos 2α＋π 3 sinπ 3 ＝－1 2 ×1 2 － － 3 2 × 3 2 ＝1 2. (2)∵α∈ π 3 ，π 2 ，∴2α∈ 2π 3 ，π ， 又由(1)知 sin 2α＝1 2 ，∴cos 2α＝－ 3 2 . ∴tan α－ 1 tan α ＝sin α cos α －cos α sin α ＝sin2α－cos2α sin αcos α ＝－2cos 2α sin 2α ＝－2× － 3 2 1 2 ＝2 3. 第六节 简单的三角恒等变换 考点一 三角函数式的化简 基础送分型考点——自主练透 [考什么·怎么考] 三角函数式的化简是三角函数的基本考点之一，一般涉及诱导公式、两角和与差的公式、 二倍角公式及三角函数的恒等变形，主要依据三角函数的有关公式进行适当的化简，属于基 础题. 1．化简 sin 2α－2cos2α sin α－π 4 ＝________. 解析 原式＝2sin αcos α－2cos2α 2 2 sin α－cos α ＝2 2cos α. 答案 2 2cos α 2．化简 sin2α＋β sin α －2cos(α＋β)． 解 原式＝sin2α＋β－2sin αcosα＋β sin α ＝sin[α＋α＋β]－2sin αcosα＋β sin α ＝sin αcosα＋β＋cos αsinα＋β－2sin αcosα＋β sin α ＝cos αsinα＋β－sin αcosα＋β sin α ＝sin[α＋β－α] sin α ＝sin β sin α. [怎样快解·准解] 1．三角函数式的化简要遵循“三看”原则 2．三角函数式化简的方法 弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂． 在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函 数式时，一般需要升次． 考点二 三角函数式的求值 题点多变型考点——追根溯源 三角函数式的求值是三角函数的基本考点，主要依据三角函数的有关公式进行适当的化 简与求值，属于基础题.,常见的命题角度有 ,1给角求值；,2给值求值；,3给值求角. [题点全练] 角度(一) 给角求值 1．(2018·新疆第二次适应性检测)cos 10°1＋ 3tan 10° cos 50° 的值是________． 解析 依题意得cos 10°1＋ 3tan 10° cos 50° ＝cos 10°＋ 3sin 10° cos 50° ＝2sin10°＋30° cos 50° ＝2sin 40° sin 40° ＝ 2. 答案 2 [题型技法] 三角函数给角求值问题的解题策略 一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换转化为 求特殊角的三角函数值问题，另外此类问题也常通过代数变形(比如 正负项相消、分子分母 相约等)的方式来求值． 角度(二) 给值求值 2．已知 tan α＝2. (1)求 tan α＋π 4 的值； (2)求 sin 2α sin2α＋sin αcos α－cos 2α－1 的值． 解 (1)tan α＋π 4 ＝ tan α＋tan π 4 1－tan αtan π 4 ＝ 2＋1 1－2×1 ＝－3. (2) sin 2α sin2α＋sin αcos α－cos 2α－1 ＝ 2sin αcos α sin2α＋sin αcos α－2cos2α ＝ 2tan α tan2α＋tan α－2 ＝ 2×2 4＋2－2 ＝1. [题型技法] 解三角函数的给值求值问题的基本步骤 (1)先化简所求式子或所给条件； (2)观察已知条件与所求式子之间的联系； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值． 角度(三) 给值求角 3．若 sin 2α＝ 5 5 ，sin(β－α)＝ 10 10 ，且α∈ π 4 ，π ，β∈ π，3π 2 ，则α＋β的值是( ) A.7π 4 B.9π 4 C.5π 4 或7π 4 D.5π 4 或9π 4 解析 选 A ∵α∈ π 4 ，π ，∴2α∈ π 2 ，2π ， ∵sin 2α＝ 5 5 ，∴2α∈ π 2 ，π . ∴α∈ π 4 ，π 2 且 cos 2α＝－2 5 5 ， 又∵sin(β－α)＝ 10 10 ，β∈ π，3π 2 ， ∴β－α∈ π 2 ，5π 4 ，cos(β－α)＝－3 10 10 ， ∴cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α] ＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α ＝ －3 10 10 × －2 5 5 － 10 10 × 5 5 ＝ 2 2 ， 又α＋β∈ 5π 4 ，2π ，所以α＋β＝7π 4 . [题型技法] 三角函数给值求角问题的解题策略 对于给值求角问题，通过先求角的某个三角函数值来求角，在选取函数时，遵循以下原 则 (1)已知正切函数值，选正切函数． (2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数． 若角的范围是 0，π 2 ，选正弦或余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数较好； 若角的范围为 －π 2 ，π 2 ，选正弦函数较好． [题“根”探求] 看个 性 角度(一)“给角求值”的解题关键是两种变换 角的变换、结构变换； 角度(二)“给值求值”的解题关键在于“变角”，使相关角相同或具有某种关系； 角度(三)“给值求角”实质上也转化为角度(一)“给值求值”，关键也是变角，把所 求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调性求角 找共 性 研究三角函数式的求值问题，解题的关键都是找出条件中的角与结论中的角的联 系，依据函数名称的变换特点，选择合适的公式求解 [冲关演练] 1. 2sin235°－1 cos 10°－ 3sin 10° 的值为( ) A．1 B．－1 C.1 2 D．－1 2 解析 选 D 原式＝ 2sin235°－1 2 1 2cos 10°－ 3 2 sin 10° ＝－cos 70° 2sin 20° ＝－1 2. 2．已知 2tan αsin α＝3，α∈ －π 2 ，0 ，则 cos α－π 6 的值是( ) A．0 B. 2 2 C．1 D.1 2 解析 选 A 由 2tan αsin α＝3，得2sin2α cos α ＝3， 即 2cos2α＋3cos α－2＝0， ∴cos α＝1 2 或 cos α＝－2(舍去)． ∵－π 2 ＜α＜0，∴sin α＝－ 3 2 ， ∴cos α－π 6 ＝cos αcosπ 6 ＋sin αsinπ 6 ＝0. 3．已知锐角α，β满足 sin α＝ 5 5 ，cos β＝3 10 10 ，则α＋β等于( ) A.3π 4 B.π 4 或3π 4 C.π 4 D．2 π＋π 4( ∈ ) 解析 选 C 由 sin α＝ 5 5 ，cos β＝3 10 10 ，且α，β为锐角，可知 cos α＝2 5 5 ，sin β＝ 10 10 ， 故 cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝2 5 5 ×3 10 10 － 5 5 × 10 10 ＝ 2 2 ，又 0<α＋β<π，故α ＋β＝π 4. 考点三 三角恒等变换的综合应用 重点保分型考点——师生共研 三角恒等变换的综合应用是高考的重点，考查时多与三角函数的图象与性质、平面向量、 解三角形等知识综合命题，难度中等. [典题领悟] (2018·长春模拟)设函数 f(x)＝ 3sin cos ＋cos2 ＋a. (1)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间； (2)当 x∈ －π 6 ，π 3 时，函数 f(x)的最大值与最小值的和为3 2 ，求实数 a 的值． [思维路径] 由题给条件想到利用恒等变换把函数化为 f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b 的形式； 由第(1)问想到在ω＞0 的前提下，利用周期公式 T＝2π ω 即可计算出函数 f(x)的最小正周 期，再利用－π 2 ＋2 π≤ωx＋φ≤π 2 ＋2 π( ∈ )解出这个不等式即为函数 f(x)的单调递增区间； 由第(2)问想到由 x∈ －π 6 ，π 3 计算出 u＝ωx＋φ的取值范围，然后结合函数 y＝sin u 的 图象确定函数 f(x)的最小值和最大值，列式求出 a 的值． 解 (1)因为 f(x)＝ 3sin cos ＋cos2x＋a ＝ 3 2 sin 2x＋1 2(1＋cos 2x)＋a ＝ 3 2 sin 2x＋1 2cos 2x＋a＋1 2 ＝sin 2x＋π 6 ＋a＋1 2. 所以函数 f(x)的最小正周期 T＝2π 2 ＝π. 令－π 2 ＋2 π≤2x＋π 6 ≤π 2 ＋2 π( ∈ )， 解得－π 3 ＋ π≤x≤π 6 ＋ π( ∈ )， 故函数 f(x)的单调递增区间为 －π 3 ＋kπ，π 6 ＋kπ ( ∈ )． (2)因为－π 6 ≤x≤π 3 ，所以－π 6 ≤2x＋π 6 ≤5π 6 ， 当 2x＋π 6 ＝－π 6 时，函数 f(x)取得最小值， 即 f(x)min＝－1 2 ＋a＋1 2 ＝a； 当 2x＋π 6 ＝π 2 时，函数 f(x)取得最大值， 即 f(x)max＝1＋a＋1 2 ＝a＋3 2. 所以 a＋a＋3 2 ＝3 2 ，所以 a＝0. [解题师说] 三角恒等变换在研究三角函数性质中的 2 个注意点 (1)三角函数的性质问题，往往都要先化成 f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b 的形式再求解．要注意 在进行此步骤之前，如果函数解析式中出现α及其二倍角、半角或函数值的平方，应根据变 换的难易程度去化简，往往要利用到二倍角公式、升幂或降幂公式，把解析式统一化成关于 同一个角的三角函数式． (2)要正确理解三角函数的性质，关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入 的基本思想即可求三角函数的单调性、最值与周期． [冲关演练] 已知函数 f(x)＝5sin cos －5 3cos2x＋5 3 2 (其中 x∈R)，求 (1)函数 f(x)的单调区间； (2)函数 f(x)图象的对称轴和对称中心． 解 (1)因为 f(x)＝5 2sin 2x－5 3 2 (1＋cos 2x)＋5 3 2 ＝5 1 2sin 2x－ 3 2 cos 2x ＝5sin 2x－π 3 ， 由 2 π－π 2 ≤2x－π 3 ≤2 π＋π 2( ∈ )， 得 π－ π 12 ≤x≤ π＋5π 12( ∈ )， 所以函数 f(x)的单调增区间为 kπ－ π 12 ，kπ＋5π 12 ( ∈ )． 由 2 π＋π 2 ≤2x－π 3 ≤2 π＋3π 2 ( ∈ )， 得 π＋5π 12 ≤x≤ π＋11π 12 ( ∈ )， 所以函数 f(x)的单调减区间为 kπ＋5π 12 ，kπ＋11π 12 ( ∈ )． (2)由 2x－π 3 ＝ π＋π 2( ∈ )，得 x＝kπ 2 ＋5π 12( ∈ )， 所以函数 f(x)的对称轴方程为 x＝kπ 2 ＋5π 12( ∈ )． 由 2x－π 3 ＝ π( ∈ )，得 x＝kπ 2 ＋π 6( ∈ )， 所以函数 f(x)的对称中心为 kπ 2 ＋π 6 ，0 ( ∈ )． (一)普通高中适用 A 级——基础小题练熟练快 1．(2016·全国卷Ⅲ)若 tan θ＝－1 3 ，则 cos 2θ＝( ) A．－4 5 B．－1 5 C.1 5 D.4 5 解析 选 D ∵cos 2θ＝cos2θ－sin2θ cos2θ＋sin2θ ＝1－tan2θ 1＋tan2θ ， 又∵tan θ＝－1 3 ，∴cos 2θ＝ 1－1 9 1＋1 9 ＝4 5. 2．化简 cos 40° cos 25° 1－sin 40° ＝( ) A．1 B. 3 C. 2 D．2 解析 选 C 原式＝ cos220°－sin220° cos 25°cos 20°－sin 20° ＝cos 20°＋sin 20° cos 25° ＝ 2cos 25° cos 25° ＝ 2，故选 C. 3．函数 f(x)＝2sin2 π 4 ＋x － 3cos 2x 的最大值为( ) A．2 B．3 C．2＋ 3 D．2－ 3 解析 选 B f(x)＝1－cos 2 π 4 ＋x － 3cos 2x＝sin 2x－ 3cos 2x＋1＝2sin 2x－π 3 ＋1，可 得 f(x)的最大值是 3. 4．已知 sin π 6 －α ＝cos π 6 ＋α ，则 cos 2α＝( ) A．1 B．－1 C.1 2 D．0 解析 选 D ∵sin π 6 －α ＝cos π 6 ＋α ， ∴1 2cos α－ 3 2 sin α＝ 3 2 cos α－1 2sin α， 即 1 2 － 3 2 sin α＝－ 1 2 － 3 2 cos α， ∴tan α＝sin α cos α ＝－1， ∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝cos2α－sin2α sin2α＋cos2α ＝1－tan2α tan2α＋1 ＝0. 5．已知 sin 2α＝24 25 ，0<α<π 2 ，则 2cos π 4 －α 的值为( ) A.1 5 B．－1 5 C．±1 5 D.7 5 解析 选 D 因为 sin 2α＝24 25 ，所以(sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α＝49 25.因为 0<α<π 2 ，所以 sin α＋cos α＝7 5. 所以 2cos π 4 －α ＝ 2× 2 2 (cos α＋sin α)＝7 5. 6．若 sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝4 5 ，且α为第二象限角，则 tan α＋π 4 ＝( ) A．7 B.1 7 C．－7 D．－1 7 解析 选 B sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝4 5 ，即－cos(α－β＋β)＝－cos α＝4 5 ，即 cos α ＝－4 5.又α为第二象限角，∴tan α＝－3 4 ，∴tan α＋π 4 ＝1＋tan α 1－tan α ＝1 7. 7．函数 y＝sin π 6 －2x ＋cos 2x 的最大值为________． 解析 因为 y＝sin π 6 －2x ＋cos 2x ＝1 2cos 2x－ 3 2 sin 2x＋cos 2x ＝3 2cos 2x－ 3 2 sin 2x＝ 3cos 2x＋π 6 ， 故最大值为 3. 答案 3 8．在△ABC 中，sin(C－A)＝1，sin B＝1 3 ，则 sin A＝________. 解析 ∵sin(C－A)＝1，∴C－A＝90°，即 C＝90°＋A， ∵sinB＝1 3 ，∴sinB＝sin(A＋C)＝sin(90°＋2A)＝cos 2A＝1 3 ，即 1－2sin2A＝1 3 ，∴sin A ＝ 3 3 . 答案 3 3 9．化简 1 tan α 2 －tanα 2 · 1＋tan α·tan α 2 ＝________. 解析 原式＝ cos2 α 2 －sin2 α 2 sinα 2cosα 2 · 1＋sin α cos α· sinα 2 cosα 2 ＝ cos2α 2 －sin2α 2 sinα 2cosα 2 · cos αcosα 2 ＋sin αsin α 2 cos αcos α 2 ＝2cos α sin α · cosα 2 cos αcosα 2 ＝ 2 sin α. 答案 2 sin α 10．已知方程 x2＋3ax＋3a＋1＝0(a＞1)的两根分别为 tan α，tan β，且α，β∈ －π 2 ，π 2 ， 则α＋β＝________. 解析 由已知得 tan α＋tan β＝－3a，tan αtan β＝3a＋1， ∴tan(α＋β)＝ tan α＋tan β 1－tan αtan β ＝1. 又∵α，β∈ －π 2 ，π 2 ，tan α＋tan β＝－3a＜0，tan αtan β＝3a＋1＞0，∴tan α＜0，tan β＜0，∴α，β∈ －π 2 ，0 ， ∴α＋β∈(－π，0)，∴α＋β＝－3π 4 . 答案 －3π 4 B 级——中档题目练通抓牢 1．在斜三角形 ABC 中，sin A＝－ 2cos Bcos C，且 tan B·tan C＝1－ 2，则角 A 的 大小为( ) A.π 4 B.π 3 C.π 2 D.3π 4 解析 选 A 由题意知，sin A＝－ 2cos B cos C＝sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C， 在等式－ 2cos B cos C＝sin B cos C＋cos B sin C 两边同除 以 cos B cos C 得 tan B＋tan C＝－ 2， 所以 tan(B＋C)＝ tan B＋tan C 1－tan Btan C ＝－1＝－tan A， 即 tan A＝1，所以 A＝π 4. 2．已知α∈R，sin α＋2cos α＝ 10 2 ，则 tan 2α＝( ) A.4 3 B.3 4 C．－3 4 D．－4 3 解析 选 C 因为 sin α＋2cos α＝ 10 2 ，所以 sin2α＋4cos2α＋4sin αcos α＝10 4 (sin2α＋ cos2α)，整理得 3sin2α－3cos2α－8sin αcos α＝0，则－3cos 2α＝4sin 2α，所以 tan 2α＝－3 4. 3．(2018·合肥质检)已知函数 f(x)＝sin4x＋cos4x，x∈ －π 4 ，π 4 .若 f(x1)x2 C．x21x22 解析 选 D f(x)＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2xcos2x＝1 4cos 4x＋3 4 ，4x∈[－π， π]，所以函数 f(x)是偶函数，且在 0，π 4 上单调递减，根据 f(x1)|x2|，即 x21>x22. 4．计算 cos 10°－ 3cos－100° 1－sin 10° ＝________(用数字作答)． 解析 cos 10°－ 3cos－100° 1－sin 10° ＝cos 10°＋ 3cos 80° 1－cos 80° ＝cos 10°＋ 3sin 10° 2sin 40° ＝2sin10°＋30° 2sin 40° ＝ 2. 答案 2 5．已知 cos α＝1 7 ，cos(α－β)＝13 14 ，且 0<β<α<π 2 ，则β＝________. 解析 由 cos α＝1 7 ，0<α<π 2 ， 得 sin α＝ 1－cos2α＝ 1－ 1 7 2＝4 3 7 ， 由 0<β<α<π 2 ，得 0<α－β<π 2 ，又∵cos(α－β)＝13 14 ， ∴sin(α－β)＝ 1－cos2α－β＝ 1－ 13 14 2＝3 3 14 . 由β＝α－(α－β)，得 cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝1 7 ×13 14 ＋4 3 7 ×3 3 14 ＝1 2. ∴β＝π 3. 答案 π 3 6．已知角α的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的正半轴重合，终边经过点 P(－3， 3)． (1)求 sin 2α－tan α的值； (2)若函数 f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α，求函数 g(x)＝ 3f π 2 －2x －2f 2(x)在区间 0，2π 3 上的值域． 解 (1)∵角α的终边经过点 P(－3， 3)， ∴sin α＝1 2 ，cos α＝－ 3 2 ，tan α＝－ 3 3 . ∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－ 3 2 ＋ 3 3 ＝－ 3 6 . (2)∵f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α＝cos ， ∴g(x)＝ 3cos π 2 －2x －2cos2x＝ 3sin 2x－1－cos 2x＝2sin 2x－π 6 －1. ∵0≤x≤2π 3 ，∴－π 6 ≤2x－π 6 ≤7π 6 . ∴－1 2 ≤sin 2x－π 6 ≤1，∴－2≤2sin 2x－π 6 －1≤1， 故函数 g(x)＝ 3f π 2 －2x －2f2(x)在区间 0，2π 3 上的值域是[－2,1]． 7．已知函数 f(x)＝2cos2ωx－1＋2 3sin ωxcos ωx(0<ω<1)，直线 x＝π 3 是函数 f(x)的图象 的一条对称轴． (1)求函数 f(x)的单调递增区间； (2)已知函数 y＝g(x)的图象是由 y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，然后 再向左平移2π 3 个单位长度得到的，若 g 2α＋π 3 ＝6 5 ，α∈ 0，π 2 ，求 sin α的值． 解 (1)f(x)＝cos 2ωx＋ 3sin 2ωx＝2sin 2ωx＋π 6 ， 由于直线 x＝π 3 是函数 f(x)＝2sin 2ωx＋π 6 的图象的一条对称轴， 所以2π 3 ω＋π 6 ＝ π＋π 2( ∈ )， 解得ω＝3 2 ＋1 2( ∈ )， 又 0<ω<1，所以ω＝1 2 ， 所以 f(x)＝2sin x＋π 6 . 由 2 π－π 2 ≤x＋π 6 ≤2 π＋π 2( ∈ )， 得 2 π－2π 3 ≤x≤2 π＋π 3( ∈ )， 所以函数 f(x)的单调递增区间为 2 π－2π 3 ，2 π＋π 3( ∈ )． (2)由题意可得 g(x)＝2sin 1 2 x＋2π 3 ＋π 6 ， 即 g(x)＝2cosx 2 ， 由 g 2α＋π 3 ＝2cos 1 2 2α＋π 3 ＝2cos α＋π 6 ＝6 5 ，得 cos α＋π 6 ＝3 5 ， 又α∈ 0，π 2 ，故π 6<α＋π 6<2π 3 ，所以 sin α＋π 6 ＝4 5 ， 所以 sin α＝sin α＋π 6 －π 6 ＝sin α＋π 6 ·cosπ 6 －cos α＋π 6 ·sinπ 6 ＝4 5 × 3 2 －3 5 ×1 2 ＝4 3－3 10 . C 级——重难题目自主选做 如图，现要在一块半径为 1，圆心角为π 3 的扇形铁片 AOB 上剪出一个平 行四边形 MNPQ，使点 P 在弧 AB 上，点 Q 在 OA 上，点 M，N 在 OB 上， 设∠BOP＝θ，平行四边形 MNPQ 的面积为 S. (1)求 S 关于θ的函数关系式； (2)求 S 的最大值及相应的θ的大小． 解 (1)分别过 P，Q 作 PD⊥OB 于点 D，QE⊥OB 于点 E， 则四边形 QEDP 为矩形． 由扇形半径为 1，得|PD|＝sin θ， |OD|＝cos θ. 又|OE|＝ 3 3 |QE|＝ 3 3 |PD|， ∴|MN|＝|QP|＝|DE|＝|OD|－|OE|＝cos θ－ 3 3 sin θ， ∴S＝|MN|·|PD|＝ cos θ－ 3 3 sin θ ·sin θ ＝sin θcos θ－ 3 3 sin2θ，θ∈ 0，π 3 . (2)由(1)知 S＝1 2sin 2θ－ 3 6 (1－cos 2θ) ＝1 2sin 2θ＋ 3 6 cos 2θ－ 3 6 ＝ 3 3 sin 2θ＋π 6 － 3 6 ， 因为θ∈ 0，π 3 ， 所以 2θ＋π 6 ∈ π 6 ，5π 6 ，所以 sin 2θ＋π 6 ∈ 1 2 ，1 . 当θ＝π 6 时，S 取最大值，且 Smax＝ 3 6 . (二)重点高中适用 A 级——保分题目巧做快做 1.若 tan θ＝ 3，则 sin 2θ 1＋cos 2θ ＝( ) A. 3 B．－ 3 C. 3 3 D．－ 3 3 解析 选 A sin 2θ 1＋cos 2θ ＝2sin θcos θ 2cos2θ ＝tan θ＝ 3. 2．化简 cos 40° cos 25° 1－sin 40° ＝( ) A．1 B. 3 C. 2 D．2 解析 选 C 原式＝ cos220°－sin220° cos 25°cos 20°－sin 20° ＝cos 20°＋sin 20° cos 25° ＝ 2cos 25° cos 25° ＝ 2，故选 C. 3．函数 f(x)＝2sin2 π 4 ＋x － 3cos 2x 的最大值为( ) A．2 B．3 C．2＋ 3 D．2－ 3 解析 选 B f(x)＝1－cos 2 π 4 ＋x － 3cos 2x＝sin 2x－ 3cos 2x＋1＝2sin 2x－π 3 ＋1， 可得 f(x)的最大值是 3. 4．已知 sin 2α＝24 25 ，0<α<π 2 ，则 2cos π 4 －α 的值为( ) A.1 5 B．－1 5 C．±1 5 D.7 5 解析 选 D 因为 sin 2α＝24 25 ，所以(sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α＝49 25.因为 0<α<π 2 ，所以 sin α＋cos α＝7 5. 所以 2cos π 4 －α ＝ 2× 2 2 (cos α＋sin α)＝7 5. 5．在△ABC 中，若 3(tanB＋tan C)＝tanB·tan C－1，则 sin 2A＝( ) A．－1 2 B.1 2 C．－ 3 2 D. 3 2 解析 选 D 由两角和的正切公式知 tan(B＋C)＝ tan B＋tan C 1－tan B·tan C ＝ tan B＋tan C － 3tan B＋tan C ＝ － 3 3 ，所以 tan A＝ 3 3 ，又 A∈(0，π)，所以 A＝π 6 ，所以 sin 2A＝ 3 2 . 6．在△ABC 中，sin(C－A)＝1，sin B＝1 3 ，则 sin A＝________. 解析 ∵sin(C－A)＝1，∴C－A＝90°，即 C＝90°＋A， ∵sinB＝1 3 ，∴sinB＝sin(A＋C)＝sin(90°＋2A)＝cos 2A＝1 3 ，即 1－2sin2A＝1 3 ，∴sin A ＝ 3 3 . 答案 3 3 7.函数 y＝sin π 6 －2x ＋cos 2x 的单调递增区间为________，最大值为________． 解析 因为 y＝sin π 6 －2x ＋cos 2x ＝1 2cos 2x－ 3 2 sin 2x＋cos 2x ＝3 2cos 2x－ 3 2 sin 2x＝ 3cos 2x＋π 6 ， 由 2 π－π≤2x＋π 6 ≤2 π， ∈ ， 得 π－7π 12 ≤x≤ π－ π 12 ， ∈ ， 故单调递增区间为 kπ－7π 12 ，kπ－ π 12 ( ∈ )，最大值为 3. 答案 kπ－7π 12 ，kπ－ π 12 ( ∈ ) 3 8.定义运算 |a b c d|＝ad－bc.若 cos α＝1 7 ，|sin α sin β cos α cos β|＝3 3 14 ， 0<β<α<π 2 ，则β＝________. 解析 依题意有 sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3 3 14 . 又 0<β<α<π 2 ，∴0<α－β<π 2 ， 故 cos(α－β)＝ 1－sin2α－β＝13 14 ， ∵cos α＝1 7 ， ∴sin α＝4 3 7 ， 于是 sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝4 3 7 ×13 14 －1 7 ×3 3 14 ＝ 3 2 ，故β＝π 3. 答案 π 3 9.化简 (1) 3tan 12°－3 sin 12°4cos212°－2 ；(2) cos2α 1 tan α 2 －tan α 2 . 解 (1)原式＝ 3sin 12° cos 12° －3 22cos212°－1sin 12° ＝ 3sin 12°－3cos 12° 2sin 12°cos 12°cos 24° ＝2 3sin 12°cos 60°－cos 12°sin 60° sin 24°cos 24° ＝4 3sin12°－60° sin 48° ＝－4 3. (2)法一 原式＝ cos2α cosα 2 sinα 2 － sinα 2 cosα 2 ＝ cos2 α cos2 α 2 －sin2 α 2 sinα 2cosα 2 ＝ cos2αsinα 2cosα 2 cos2 α 2 －sin2 α 2 ＝cos2αsinα 2cosα 2 cos α ＝sinα 2cosα 2cos α＝1 2sin αcos α＝1 4sin 2α. 法二 原式＝ cos2αtanα 2 1－tan2 α 2 ＝1 2cos2α· 2tanα 2 1－tan2 α 2 ＝1 2cos2α·tan α＝1 2cos αsin α＝1 4sin 2α. 10.已知函数 f(x)＝sin － 3cos ＋2，记函数 f(x)的最小正周期为β，向量 a＝(2，cos α)， b＝ 1，tan α＋β 2 ，0＜α＜π 4 ，且 a·b＝7 3. (1)求 f(x)在区间 2π 3 ，4π 3 上的最值； (2)求2cos2α－sin [2α＋β] cos α－sin α 的值． 解 (1)f(x)＝sin － 3cos ＋2＝2sin x－π 3 ＋2， ∵x∈ 2π 3 ，4π 3 ，∴x－π 3 ∈ π 3 ，π ， ∴f(x)的最大值是 4，最小值是 2. (2)由题意知β＝2π， ∴a·b＝2＋cos αtan(α＋π)＝2＋sin α＝7 3 ， ∴sin α＝1 3 ， ∴2cos2α－sin[2α＋β] cos α－sin α ＝2cos2α－sin 2α cos α－sin α ＝2cos α＝2 1－sin2α＝4 2 3 . B 级——拔高题目稳做准做 1.(2018·安徽六安一中综合训练)已知函数 f(x)＝sin2ωx＋ 3sin ωxsin ωx＋π 2 (ω>0)的最 小正周期为π，则 f(x)在区间 0，2π 3 上的值域为( ) A. 0，3 2 B. －1 2 ，3 2 C. －1 2 ，1 D. －3 2 ，1 2 解析 选 A f(x)＝sin2ωx＋ 3sin ωxsin ωx＋π 2 ＝sin2ωx＋ 3sin ωxcos ωx＝ 3 2 sin 2ωx －1 2cos 2ωx＋1 2 ＝sin 2ωx－π 6 ＋1 2 ， 因为 T＝2π 2ω ＝π ω ＝π，所以ω＝1，即 f(x)＝sin 2x－π 6 ＋1 2 ，当 x∈ 0，2π 3 时，2x－π 6 ∈ －π 6 ，7π 6 ，所以 sin 2x－π 6 ∈ －1 2 ，1 ，故所求值域为 0，3 2 ，故选 A. 2.(2018·江西赣中南五校模拟)已知 f(x)＝sin2 019x＋π 6 ＋cos 2 019x－π 3 的最大值为 A， 若存在实数 x1，x2 使得对任意实数 x 总有 f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则 A|x1－x2|的最小值为( ) A. π 2 019 B. 2π 2 019 C. 4π 2 019 D. π 4 038 解析 选 B ∵f(x)＝sin 2 019x＋π 6 ＋cos 2 019x－π 3 ＝sin 2 019xcos π 6 ＋cos 2 019xsin π 6 ＋cos 2 019xcos π 3 ＋sin 2 019xsin π 3 ＝ 3 2 sin 2 019x＋1 2cos 2 019x＋1 2cos 2 019x＋ 3 2 sin 2 019x ＝ 3sin 2 019x＋cos 2 019x＝2sin 2 019x＋π 6 ，∴f(x)的最大值为 A＝2； 由题意，得|x1－x2|的最小值为T 2 ＝ π 2 019 ， ∴A|x1－x2|的最小值为 2π 2 019.故选 B. 3．计算 cos 10°－ 3cos－100° 1－sin 10° ＝________(用数字作答)． 解析 cos 10°－ 3cos－100° 1－sin 10° ＝cos 10°＋ 3cos 80° 1－cos 80° ＝cos 10°＋ 3sin 10° 2sin 40° ＝2sin10°＋30° 2sin 40° ＝ 2. 答案 2 4．已知α，β∈ 0，π 2 ，tan(α＋β)＝9tan β，则 tan α的最大值为________． 解析 ∵α，β∈ 0，π 2 ，∴tan α>0，tan β>0， ∴tan α＝tan(α＋β－β)＝ tanα＋β－tan β 1＋tanα＋β·tan β ＝ 8tan β 1＋9tan2β ＝ 8 1 tan β ＋9tan β ≤ 8 2×3 ＝4 3 当且 仅当 1 tan β ＝9tan β时等号成立，∴tan α的最大值为4 3. 答案 4 3 5．已知角α的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的正半轴重合，终边经过点 P(－3， 3)． (1)求 sin 2α－tan α的值； (2)若函数 f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α，求函数 g(x)＝ 3f π 2 －2x －2f 2(x)在区间 0，2π 3 上的值域． 解 (1)∵角α的终边经过点 P(－3， 3)， ∴sin α＝1 2 ，cos α＝－ 3 2 ，tan α＝－ 3 3 . ∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－ 3 2 ＋ 3 3 ＝－ 3 6 . (2)∵f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α＝cos ， ∴g(x)＝ 3cos π 2 －2x －2cos2x＝ 3sin 2x－1－cos 2x＝2sin 2x－π 6 －1. ∵0≤x≤2π 3 ，∴－π 6 ≤2x－π 6 ≤7π 6 . ∴－1 2 ≤sin 2x－π 6 ≤1，∴－2≤2sin 2x－π 6 －1≤1， 故函数 g(x)＝ 3f π 2 －2x －2f2(x)在区间 0，2π 3 上的值域是[－2,1]． 6.(2018·湛江一模) 已知函数 f(x)＝Acos ωx－π 3 (A>0，ω>0)图象相邻两条对称轴的距离 为π 2 ，且 f(0)＝1. (1)求函数 f(x)的解析式； (2)设α，β∈ 0，π 4 ，f α－π 3 ＝－10 13 ，f β＋π 6 ＝6 5 ，求 tan(2α－2β)的值． 解 (1)∵函数 f(x)＝Acos ωx－π 3 (A>0，ω>0)图象相邻两条对称轴的距离为π 2 ， ∴T 2 ＝π ω ＝π 2 ，∴ω＝2， 又 f(0)＝1，∴1 2A＝1，∴A＝2， ∴f(x)＝2cos 2x－π 3 . (2)∵α∈ 0，π 4 ， f α－π 3 ＝2cos 2 α－π 3 －π 3 ＝2cos(2α－π) ＝－2cos 2α＝－10 13 ， ∴cos 2α＝ 5 13 ，sin 2α＝ 1－cos22α＝12 13 ， 则 tan 2α＝sin 2α cos 2α ＝12 5 . ∵β∈ 0，π 4 ， f β＋π 6 ＝2cos 2 β＋π 6 －π 3 ＝2cos 2β＝6 5 ， ∴cos 2β＝3 5 ，sin 2β＝ 1－cos22β＝4 5 ， 则 tan 2β＝sin 2β cos 2β ＝4 3. ∴tan(2α－2β)＝ tan 2α－tan 2β 1＋tan 2α·tan 2β ＝ 12 5 －4 3 1＋12 5 ×4 3 ＝16 63. 第七节 正弦定理和余弦定理 1．正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 a sin A ＝ b sin B ＝ c sin C ＝2R，(R 为△ABC 外 a2＝b2＋c2－2bccos A； 接圆半径) b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos_C 变形形式(边 角转化) a＝2Rsin A，b＝2RsinB，c＝2Rsin C； sin A＝ a 2R ，sinB＝ b 2R ，sin C＝ c 2R ； a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C cos A＝b2＋c2－a2 2bc ；cosB＝ c2＋a2－b2 2ca ；cos C＝a2＋b2－c2 2ab 2．三角形中常用的面积公式 (1)S＝1 2ah(h 表示边 a 上的高)； (2)S＝1 2bcsin A＝1 2acsinB＝1 2absin C； (3)S＝1 2r(a＋b＋c)(r 为三角形的内切圆半径)． 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( ) (2)在△ABC 中，若 sin A>sinB，则 A>B.( ) (3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( ) (4)当 b2＋c2－a2>0 时，三角形 ABC 为锐角三角形．( ) (5)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√ 2．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 c＝2a，bsin B－asin A＝1 2 asin C，则 cosB 为( ) A. 7 4 B.3 4 C. 7 3 D.1 3 解析 选 B ∵bsin B－asin A＝1 2asin C，且 c＝2a，∴b＝ 2a，∴cos B ＝ a2＋c2－b2 2ac ＝a2＋4a2－2a2 4a2 ＝3 4. 3．在△ABC 中，若 a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有( ) A．无解 B．两解 C．一解 D．解的个数不确定 解析 选 B ∵ a sin A ＝ b sin B ， ∴sinB＝b asin A＝24 18sin 45°＝2 2 3 . 又∵a0，于是有 cos B<0，B 为钝角，△ABC 是钝角三角形． 5．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 C＝60°，b＝ 6， c＝3，则 A＝________. 解析 由正弦定理，得 sin B＝bsin C c ＝ 6sin 60° 3 ＝ 2 2 ， 因为 0°＜B＜180°， 所以 B＝45°或 135°. 因为 b＜c，所以 B＜C，故 B＝45°， 所以 A＝180°－60°－45°＝75°. 答案 75° 6．在△ABC 中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC 的面积为________． 解析 由余弦定理知 72＝52＋BC2－2×5×BC×cos 120°， 即 49＝25＋BC2＋5BC，解得 BC＝3. 故 S△ABC＝1 2AB·Bcsin B＝1 2 ×5×3× 3 2 ＝15 3 4 . 答案 15 3 4 考点一 利用正、余弦定理解三角形 基础送分型考点——自主练透 [考什么·怎么考] 利用正、余弦定理解三角形是高考的重点和热点内容，主要考查利用两个定理求三角形 的边的长度、角的大小等，既有灵活多变的小题，也有考查能力的大题，试题多为中低档题. 考法(一) 正弦定理解三角形 1．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a＝ 6 2 b，A＝2B，则 cos B 等 于( ) A. 6 6 B. 6 5 C. 6 4 D. 6 3 解析 选 C 因为 a＝ 6 2 b，A＝2B，所以由正弦定理可得 6 2 b sin 2B ＝ b sin B ，所以 6 2 2sin Bcos B ＝ 1 sin B ，所以 cos B＝ 6 4 . 2．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 asin Bcos C＋csin Bcos A＝ 1 2b，且 a>b，则 B＝( ) A.π 6 B.π 3 C.2π 3 D.5π 6 解析 选 A 由正弦定理得， sin Asin Bcos C＋sin Csin Bcos A＝1 2sinB， 所以 sin Acos C＋sin Ccos A＝1 2 ， 即 sin(A＋C)＝1 2 ，所以 sin B＝1 2. 已知 a>b，所以 B 不是最大角，所以 B＝π 6. 3．设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 a＝ 3，sin B＝1 2 ，C＝π 6 ，则 b ＝________. 解析 因为 sin B＝1 2 且 B∈(0，π)， 所以 B＝π 6 或 B＝5π 6 ， 又 C＝π 6 ，所以 B＝π 6 ，A＝π－B－C＝2π 3 ， 又 a＝ 3，由正弦定理得 a sin A ＝ b sin B ， 即 3 sin 2π 3 ＝ b sin π 6 ，解得 b＝1. 答案 1 [题型技法] 利用正弦定理可解决两类问题 基本类型 一般解法 已知两角及其中一角 的对边，如 A，B，a ①由 A＋B＋C＝180°，求出 C； ②根据正弦定理，得 a sin A ＝ b sin B 及 a sin A ＝ c sin C ，求出边 b，c 已知两边及其中一边 所对的角，如 a，b，A ①根据正弦定理，经讨论求 B； ②求出 B 后，由 A＋B＋C＝180°，求出 C； ③再根据正弦定理 a sin A ＝ c sin C ，求出边 c. [提醒] 也可以根据余弦定理，列出以边 c 为元的一元二次方程 c2 －(2bcos A)c＋(b2－a2)＝0，根据一元二次方程的解法，求边 c，然 后应用正弦定理或余弦定理，求出 B，C 考法(二) 余弦定理解三角形 4．△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 b2＝ac，c＝2a，则 cos C＝( ) A. 2 4 B．－ 2 4 C.3 4 D．－3 4 解析 选 B 由题意得，b2＝ac＝2a2， 即 b＝ 2a，∴cos C＝a2＋b2－c2 2ab ＝a2＋2a2－4a2 2a× 2a ＝－ 2 4 . 5．在△ABC 中，AB＝3，BC＝ 13，AC＝4，则边 AC 上的高为( ) A.3 2 2 B.3 3 2 C.3 2 D．3 3 解析 选 B 由题意得 cos A＝AB2＋AC2－BC2 2AB·AC ＝32＋42－ 132 2×3×4 ＝1 2 ， ∴sin A＝ 1－ 1 2 2＝ 3 2 ， ∴边 AC 上的高 h＝ABsin A＝3 3 2 . 6．(2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 2bcos B ＝ acos C＋ccos A，则 B＝________. 解析 由 2bcosB＝acos C＋ccos A 及余弦定理，得 2b·a2＋c2－b2 2ac ＝a·a2＋b2－c2 2ab ＋c·b2＋c2－a2 2bc ， 整理得，a2＋c2－b2＝ac， 所以 2accosB＝ac＞0，cosB＝1 2. 又 0＜B＜π，所以 B＝π 3. 答案 π 3 [题型技法] 利用余弦定理可解决两类问题 已知两边和它 们的夹角，如 a，b，C ①根据余弦定理 c2＝a2＋b2－2abcos C，求出边 c； ②根据 cos A＝b2＋c2－a2 2bc ，求出 A； ③根据 B＝180°－(A＋C)，求出 B. 求出第三边后，也可用正弦定理求角，这样往往可以使计算简便，应用正弦 定理求角时，为了避开讨论(因为正弦函数在区间(0，π)上是不单调的)，应 先求较小边所对的角，它必是锐角 已知三边 可以连续用余弦定理求出两角，常常是分别求较小两边所对的角，再由 A ＋B＋C＝180°，求出第三个角； 由余弦定理求出一个角后，也可以根据正弦定理求出第二个角，但仍然是先 求较小边所对的角 [怎样快解·准解] 1．避免失误准解题 (1)应用正弦定理求角时容易出现增解或漏解的错误，要根据条件和三角形的限制条件合 理取舍． (2)求角时易忽略角的范围而导致错误，需要根据大边对大角，大角对大边的规则，画图 帮助判断． 2．运用知识结论巧解题 (1)三角形的内角和定理 A＋B＋C＝π，由此可得到 sin A＝sin(B＋C)，cos A＝－cos(B＋ C)，tan A＝－tan(B＋C)；sinA 2 ＝cosB＋C 2 ，cosA 2 ＝sinB＋C 2 . (2)内角 A，B，C 成等差数列⇔B＝60°，A＋C＝120°. (3)在△ABC 中，tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C. (4)△ABC 为正三角形的充要条件是 A，B，C 成等差数列，且 a，b，c 成等比数列． (5)在△ABC 中，A>B⇔sin A>sin B⇔cos Acos B，sin B>cos C，sin C>cos A 等． 考点二 利用正弦、余弦定理判定三角形的形状 重点保分型考点——师生共研 利用正、余弦定理判断三角形的形状主要是考查三角形是哪类特殊的三角形，在高考中 考查频率不高，一般以选择题、填空题的形式出现，难度中等. [典题领悟] 1．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若sin A sin B ＝a c ，(b＋c＋a)(b＋c－a) ＝3bc，则△ABC 的形状为( ) A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 解析 选 C ∵sin A sin B ＝a c ，∴a b ＝a c ，∴b＝c. 又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，∴b2＋c2－a2＝bc， ∴cos A＝b2＋c2－a2 2bc ＝ bc 2bc ＝1 2. ∵A∈(0，π)，∴A＝π 3 ，∴△ABC 是等边三角形． 2．在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 c－acos B ＝ (2a － b)cos A，则△ABC 的形状为( ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 解析 选 D 因为 c－acos B＝(2a－b)cos A， C＝π－(A＋B)， 所以由正弦定理得 sin C－sin Acos B＝2sin Acos A－sinB·cos A， 所以 sin Acos B＋cos Asin B－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A， 所以 cos A(sin B－sin A)＝0， 所以 cos A＝0 或 sin B＝sin A， 所以 A＝π 2 或 B＝A 或 B＝π－A(舍去)， 所以△ABC 为等腰或直角三角形． [解题师说] 1．判定三角形形状的 2 种常用途径 2．判定三角形形状的 3 个注意点 (1)“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系； (2)“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关 系； (3)还要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别． [冲关演练] 1．已知△ABC 的三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若cos A cos B ＝b a ＝ 2，则该三 角形的形状是( ) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 解析 选 A 因为cos A cos B ＝b a ，由正弦定理得cos A cos B ＝sin B sin A ，所以 sin 2A＝sin 2B.由b a ＝ 2， 可知 a≠b，所以 A≠B.又 A，B∈(0，π)，所以 2A＝180°－2B，即 A＋B＝90°，所以 C＝ 90°，于是△ABC 是直角三角形． 2．在△ABC 中，内角 A，B，C 所对边分别是 a，b，c，若 sin2 B 2 ＝c－a 2c ，则△ABC 的 形状一定是________． 解析 由题意，得1－cos B 2 ＝c－a 2c ，即 cos B＝a c ，又由余弦定理，得a c ＝a2＋c2－b2 2ac ，整理 得 a2＋b2＝c2，所以△ABC 为直角三角形． 答案 直角三角形 考点三 与三角形面积有关的问题 重点保分型考点——师生共研 正弦定理和余弦定理的应用比较广泛，也比较灵活，在高考中常与求三角形面积或取值 范围结合进行考查.有时是求三角形面积，有时是以三角形面积作为已知条件出现，求与三角 形有关的量的取值范围，此时难度较大.有关面积问题的考查，在高考中客观题和解答题均有 可能考查，属于中档题. [典题领悟] (2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知△ABC 的面积为 a2 3sin A. ❶ (1)求 sinBsin C； (2)若 6cos Bcos C＝1，a＝3，求△ABC 的周长． ❸ ❷ [学审题] ①看到△ABC 的面积为 a2 3sin A 想到三角形的面积公式，即可求出 sin Bsin C 的值； ②看到要求△ABC 的周长 想到求 a＋b＋c 的值； ③看到 cos Bcos C 的值 想到第(1)问已求出 sin Bsin C 的值，可求得 A 的值，借助余 弦定理可求得 b＋c. 解 (1)由题设得 1 2acsin B＝ a2 3sin A ， 即 1 2csin B＝ a 3sin A. 由正弦定理得 1 2sin Csin B＝ sin A 3sin A. 故 sin Bsin C＝2 3. (2)由题设及(1)得 cos Bcos C－sin Bsin C＝－1 2 ， 即 cos(B＋C)＝－1 2. 所以 B＋C＝2π 3 ，故 A＝π 3. 由题设得 1 2bcsin A＝ a2 3sin A ，即 bc＝8. 由余弦定理得 b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9， 得 b＋c＝ 33. 故△ABC 的周长为 3＋ 33. [解题师说] 与三角形面积有关问题的解题模型 [冲关演练] 1．(2018·云南第一次统一检测)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若 B ＝π 2 ，a＝ 6，sin2B＝2sin Asin C，则△ABC 的面积 S＝( ) A.3 2 B．3 C. 6 D．6 解析 选 B 由 sin2B＝2sin Asin C 及正弦定理，得 b2＝2ac，① 又 B＝π 2 ，所以 a2＋c2＝b2.② 联立①②解得 a＝c＝ 6，所以 S＝1 2 × 6× 6＝3. 2．(2018·安徽两校阶段性测试)如图，在△ABC 中，AB＝2，cosB＝1 3 ， 点 D 在线段 BC 上． (1)若∠ADC＝3π 4 ，求 AD 的长； (2)若 BD＝2DC，△ACD 的面积为4 2 3 ，求sin∠BAD sin∠CAD 的值． 解 (1)在△ABC 中，∵cos B＝1 3 ，∴sin B＝2 2 3 . 在△ABD 中， AB sin∠ADB ＝ AD sin B ， 又 AB＝2，∠ADB＝π 4 ，sin B＝2 2 3 ，∴AD＝8 3. (2)∵BD＝2DC， ∴S△ABD＝2S△ADC，S△ABC＝3S△ADC， 又 S△ADC＝4 2 3 ，∴S△ABC＝4 2， ∵S△ABC＝1 2AB·Bcsin B， 即 4 2＝1 2 ×2×BC×2 2 3 ，∴BC＝6. ∵S△ABD＝1 2AB·ADsin∠BAD， S△ADC＝1 2AC·ADsin∠CAD， S△ABD＝2S△ADC， ∴sin∠BAD sin∠CAD ＝2·AC AB ， 在△ABC 中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B， ∴AC＝4 2， ∴sin∠BAD sin∠CAD ＝2·AC AB ＝4 2. (一)普通高中适用 A 级——基础小题练熟练快 1．在△ABC 中，若sin A a ＝cos B b ，则 B 的大小为( ) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析 选 B 由正弦定理知，sin A sin A ＝cos B sin B ，∴sin B＝cos B，∴B＝45°. 2．在△ABC 中，已知 b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 解析 选 C 由正弦定理得 b sin B ＝ c sin C ， ∴sin B＝bsin C c ＝40× 3 2 20 ＝ 3>1. ∴角 B 不存在，即满足条件的三角形不存在． 3．(2018·南昌模拟)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，cos 2A＝sin A， bc＝2，则△ABC 的面积为( ) A.1 2 B.1 4 C．1 D．2 解析 选 A 由 cos 2A＝sin A，得 1－2sin2A＝sin A，解得 sin A＝1 2(负值舍去)，由 bc＝ 2，可得△ABC 的面积 S＝1 2bcsin A＝1 2 ×2×1 2 ＝1 2. 4．在锐角△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 sin A＝2 2 3 ，a＝3，S△ ABC＝2 2，则 b 的值为( ) A．6 B．3 C．2 D．2 或 3 解析 选 D 因为 S△ABC＝1 2bcsin A＝2 2， 所以 bc＝6， 又因为 sin A＝2 2 3 ， 所以 cos A＝1 3 ，又 a＝3， 由余弦定理得 9＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－4，b2＋c2＝13，可得 b＝2 或 b＝3. 5．在△ABC 中，2acos A＋bcos C＋ccos B＝0，则角 A 的大小为( ) A.π 6 B.π 3 C.2π 3 D.5π 6 解析 选 C 由余弦定理得 2acos A＋b·a2＋b2－c2 2ab ＋c·a2＋c2－b2 2ac ＝0，即 2acos A＋a＝0， ∴cos A＝－1 2 ，A＝2π 3 . 6．(2017·山东高考)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若△ABC 为锐角 三角形，且满足 sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos Asin C，则下列 等式成立的是( ) A．a＝2b B．b＝2a C．A＝2B D．B＝2A 解析 选 A 由题意可知 sin B＋2sin Bcos C＝sin Acos C＋sin(A＋C)，即 2sin Bcos C＝sin Acos C，又 cos C≠0，故 2sin B ＝ sin A，由正弦定理可知 a＝2b. 7．在△ABC 中，AB＝ 6，A＝75°，B＝45°，则 AC＝________. 解析 C＝180°－75°－45°＝60°， 由正弦定理得 AB sin C ＝ AC sin B ， 即 6 sin 60° ＝ AC sin 45° ，解得 AC＝2. 答案 2 8．在△ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对的边，A＝π 4 ，b2sin C＝4 2sin B ， 则△ABC 的面积为________． 解析 因为 b2sin C＝4 2sin B， 所以 b2c＝4 2b，所以 bc＝4 2， S△ABC＝1 2bcsin A＝1 2 ×4 2× 2 2 ＝2. 答案 2 9．设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a＝2，cos C＝－1 4 ，3sin A＝ 2sin B，则 c＝________. 解析 ∵3sin A＝2sin B，∴3a＝2b. 又 a＝2，∴b＝3. 由余弦定理可知 c2＝a2＋b2－2abcos C， ∴c2＝22＋32－2×2×3× －1 4 ＝16， ∴c＝4. 答案 4 10．已知△ABC 的角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 cos A＝7 8 ，c－a＝2，b＝3， 则 a＝________. 解析 由余弦定理可知，a2＝b2＋c2－2bccos A⇒a2＝9＋(a＋2)2－2·3·(a＋2)·7 8 ⇒a＝2. 答案 2 B 级——中档题目练通抓牢 1．在△ABC 中，若sin C sin A ＝3，b2－a2＝5 2ac，则 cos B 的值为( ) A.1 3 B.1 2 C.1 5 D.1 4 解析 选 D 由题意知，c＝3a，b2－a2＝5 2ac＝c2－2accos B，所以 cos B＝ c2－5 2ac 2ac ＝ 9a2－15 2 a2 6a2 ＝1 4. 2．在△ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对的边，若 a＝2bcos C，则此三角形一 定是( ) A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 解析 选 C 法一 由余弦定理可得 a＝2b·a2＋b2－c2 2ab ， 因此 a2＝a2＋b2－c2，得 b2＝c2，于是 b＝c， 从而△ABC 为等腰三角形． 法二 由正弦定理可得 sin A＝2sin Bcos C， 因此 sin(B＋C)＝2sin Bcos C， 即 sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C， 于是 sin(B－C)＝0，因此 B－C＝0，即 B＝C， 故△ABC 为等腰三角形． 3．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 sin B ＋ sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝ 2，则 C＝( ) A. π 12 B.π 6 C.π 4 D.π 3 解析 选 B 因为 sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0， 所以 sin(A＋C)＋sin Asin C－sin Acos C＝0， 所以 sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C＝0，整理得 sin C(sin A＋cos A)＝0. 因为 sin C≠0， 所以 sin A＋cos A＝0，所以 tan A＝－1， 因为 A∈(0，π)，所以 A＝3π 4 ， 由正弦定理得 sin C＝c·sin A a ＝ 2× 2 2 2 ＝1 2 ， 又 0＜C＜π 4 ，所以 C＝π 6. 4．在△ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对的边，sin A，sin B，sin C 成等差数 列，且 a＝2c，则 cos A＝________. 解析 因为 sin A，sin B，sin C 成等差数列，所以 2sin B＝sin A＋sin C．由正弦定理得 a＋c＝2b，又 a＝2c，可得 b＝3 2c，所以 cos A＝b2＋c2－a2 2bc ＝ 9 4c2＋c2－4c2 2×3 2c2 ＝－1 4. 答案 －1 4 5．已知△ABC 中，AC＝4，BC＝2 7，∠BAC＝60°，AD⊥BC 于点 D，则BD CD 的值为 ________． 解析 在△ABC 中，由余弦定理可得 BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC，即 28＝16 ＋AB2－4AB，解得 AB＝6(AB＝－2 舍去)，则 cos∠ABC＝28＋36－16 2×2 7×6 ＝2 7 7 ，BD＝AB·cos ∠ABC＝6×2 7 7 ＝12 7 7 ，CD＝BC－BD＝2 7－12 7 7 ＝2 7 7 ，所以BD CD ＝6. 答案 6 6．(2018·贵州适应性考试)设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 acos B＝4，bsin A＝3. (1)求 tan B 及边长 a 的值； (2)若△ABC 的面积 S＝9，求△ABC 的周长． 解 (1)在△ABC 中，acos B＝4，bsin A＝3， 两式相除，有bsin A acos B ＝sin Bsin A sin Acos B ＝tan B＝3 4 ， 由 sin2B＋cos2B＝1，sin B cos B ＝3 4 ， 得 cos B＝4 5 ，又因为 acos B＝4，所以 a＝5. (2)由(1)知，sin B＝3 5 ， 由 S＝1 2acsin B＝1 2 ×5×3 5c＝9，得 c＝6. 由 b2＝a2＋c2－2accos B＝25＋36－2×5×6×4 5 ＝13， 得 b＝ 13. 故△ABC 的周长为 11＋ 13. 7．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 sin A＋ 3cos A ＝0，a＝2 7，b＝2. (1)求 c； (2)设 D 为 BC 边上一点，且 AD⊥AC，求△ABD 的面积． 解 (1)由已知可得 tan A＝－ 3，所以 A＝2π 3 . 在△ABC 中，由余弦定理得 28＝4＋c2－4ccos 2π 3 ， 即 c2＋2c－24＝0. 解得 c＝4(负值舍去)． (2)由题设可得∠CAD＝π 2 ， 所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝2π 3 －π 2 ＝π 6. 故△ABD 的面积与△ACD 的面积的比值为 1 2AB·AD·sin π 6 1 2AC·AD ＝1. 又△ABC 的面积为1 2 ×4×2×sin2π 3 ＝2 3， 所以△ABD 的面积为 3. C 级——重难题目自主选做 (2018·昆明质检)如图，在平面四边形 ABCD 中，AB⊥BC，AB＝2， BD＝ 5，∠BCD＝2∠ABD，△ABD 的面积为 2. (1)求 AD 的长； (2)求△CBD 的面积． 解 (1)由已知 S△ABD＝1 2AB·BD·sin∠ABD＝1 2 ×2× 5×sin∠ABD＝2，可得 sin∠ABD＝ 2 5 5 ，又∠BCD＝2∠ABD，所以∠ABD∈ 0，π 2 ，所以 cos∠ABD＝ 5 5 . 在△ABD 中，由余弦定理 AD2＝AB2＋BD2－2·AB·BD·cos∠ABD，可得 AD2＝5，所以 AD＝ 5. (2)由 AB⊥BC，得∠ABD＋∠CBD＝π 2 ， 所以 sin∠CBD＝cos∠ABD＝ 5 5 . 又∠BCD＝2∠ABD， 所以 sin∠BCD＝2sin∠ABD·cos∠ABD＝4 5 ， ∠BDC＝π－∠CBD－∠BCD＝π－ π 2 －∠ABD －2∠ABD＝π 2 －∠ABD＝∠CBD， 所以△CBD 为等腰三角形，即 CB＝CD. 在△CBD 中，由正弦定理 BD sin∠BCD ＝ CD sin∠CBD ， 得 CD＝BD·sin∠CBD sin∠BCD ＝ 5× 5 5 4 5 ＝5 4 ， 所以 S△CBD＝1 2CB·CD·sin∠BCD＝1 2 ×5 4 ×5 4 ×4 5 ＝5 8. (二)重点高中适用 A 级——保分题目巧做快做 1.在△ABC 中，A＝45°，C＝105°，BC＝ 2，则 AC 为( ) A. 3－1 B．1 C．2 D. 3＋1 解析 选 B 因为 A＝45°，C＝105°， 所以 B＝180°－C－A＝30°， 由正弦定理得 AC＝BCsin B sin A ＝ 2×1 2 2 2 ＝1. 2．在锐角△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 sin A＝2 2 3 ，a＝3，S△ ABC＝2 2，则 b 的值为( ) A．6 B．3 C．2 D．2 或 3 解析 选 D 因为 S△ABC＝1 2bcsin A＝2 2， 所以 bc＝6，又因为 sin A＝2 2 3 ，所以 cos A＝1 3 ，又 a＝3，由余弦定理得 9＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－4，b2＋c2＝13，可得 b＝2 或 b＝3. 3．在△ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对的边，若 a＝2bcos C，则此三角形一 定是( ) A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 解析 选 C 法一 由余弦定理可得 a＝2b·a2＋b2－c2 2ab ， 因此 a2＝a2＋b2－c2，得 b2＝c2，于是 b＝c， 从而△ABC 为等腰三角形． 法二 由正弦定理可得 sin A＝2sin Bcos C， 因此 sin(B＋C)＝2sin Bcos C， 即 sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C， 于是 sin(B－C)＝0，因此 B－C＝0，即 B＝C， 故△ABC 为等腰三角形． 4．(2018·合肥质检)已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 cos C＝2 2 3 ， bcos A＋acos B＝2，则△ABC 的外接圆面积为( ) A．4π B．8π C．9π D．36π 解析 选 C 由余弦定理得 b·b2＋c2－a2 2bc ＋a·a2＋c2－b2 2ac ＝2.即b2＋c2－a2＋a2＋c2－b2 2c ＝2， 整理得 c＝2，由 cos C＝2 2 3 得 sin C＝1 3 ，再由正弦定理可得 2R＝ c sin C ＝6，所以△ABC 的 外接圆面积为πR2＝9π. 5.在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 c2＝(a－b)2＋6，C＝π 3 ，则 △ABC 的面积是( ) A．3 B.9 3 2 C.3 3 2 D．3 3 解析 选 C ∵c2＝(a－b)2＋6，∴a2＋b2－c2＝2ab－6， 又 cos C＝a2＋b2－c2 2ab ＝2ab－6 2ab ＝1 2 ，∴ab＝6， ∴S△ABC＝1 2absin C＝1 2 ×6× 3 2 ＝3 3 2 . 6．设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a＝2，cos C＝－1 4 ，3sin A＝ 2sin B，则 c＝________. 解析 ∵3sin A＝2sin B，∴3a＝2b. 又 a＝2，∴b＝3. 由余弦定理可知 c2＝a2＋b2－2abcos C， ∴c2＝22＋32－2×2×3× －1 4 ＝16， ∴c＝4. 答案 4 7．在△ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对的边，A＝π 4 ，b2sin C＝4 2sin B ， 则△ABC 的面积为________． 解析 因为 b2sin C＝4 2sin B， 所以 b2c＝4 2b，所以 bc＝4 2， S△ABC＝1 2bcsin A＝1 2 ×4 2× 2 2 ＝2. 答案 2 8．已知△ABC 中，AC＝4，BC＝2 7，∠BAC＝60°，AD⊥BC 于点 D，则BD CD 的值为 ________． 解析 在△ABC 中，由余弦定理可得 BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC，即 28＝16 ＋AB2－4AB，解得 AB＝6(AB＝－2，舍去)，则 cos∠ABC＝28＋36－16 2×2 7×6 ＝2 7 7 ，BD＝AB·cos ∠ABC＝6×2 7 7 ＝12 7 7 ，CD＝BC－BD＝2 7－12 7 7 ＝2 7 7 ，所以BD CD ＝6. 答案 6 9.(2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sin(A＋C)＝8sin2B 2. (1)求 cos B； (2)若 a＋c＝6，△ABC 的面积为 2，求 b. 解 (1)由题设及 A＋B＋C＝π得 sin B＝8sin2 B 2 ， 即 sin B＝4(1－cos B)， 故 17cos2B－32cos B＋15＝0， 解得 cos B＝15 17 或 cos B＝1(舍去)． (2)由 cos B＝15 17 ，得 sin B＝ 8 17 ， 故 S△ABC＝1 2acsin B＝ 4 17ac. 又 S△ABC＝2，则 ac＝17 2 . 由余弦定理及 a＋c＝6 得 b2＝a2＋c2－2accos B ＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B) ＝36－2×17 2 × 1＋15 17 ＝4. 所以 b＝2. 10．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 sin A＋ 3cos A ＝0，a＝2 7，b＝2. (1)求 c； (2)设 D 为 BC 边上一点，且 AD⊥AC，求△ABD 的面积． 解 (1)由已知可得 tan A＝－ 3，所以 A＝2π 3 . 在△ABC 中，由余弦定理得 28＝4＋c2－4ccos 2π 3 ， 即 c2＋2c－24＝0. 解得 c＝4(负值舍去)． (2)由题设可得∠CAD＝π 2 ， 所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝2π 3 －π 2 ＝π 6. 故△ABD 的面积与△ACD 的面积的比值为 1 2AB·AD·sin π 6 1 2AC·AD ＝1. 又△ABC 的面积为1 2 ×4×2×sin2π 3 ＝2 3， 所以△ABD 的面积为 3. B 级——拔高题目稳做准做 1.在△ABC 中，三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 S△ABC＝2 3，a＋b＝6， acos B＋bcos A c ＝2cos C，则 c 等于( ) A．2 7 B．2 3 C．4 D．3 3 解析 选 B 因为acos B＋bcos A c ＝sin Acos B＋sin Bcos A sin C ＝sinA＋B sinA＋B ＝1，所以 2cos C ＝1，所以 C＝60°. 因为 S△ABC＝2 3，所以 1 2absin C＝2 3，所以 ab＝8. 因为 a＋b＝6， 所以 c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab＝62－3×8＝12，所以 c＝2 3. 2.在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 sin A－sin B＝1 3sin C,3b ＝2a,2≤a2＋ac≤18，设△ABC 的面积为 S，p＝ 2a－S，则 p 的最大值是( ) A.5 2 9 B.7 2 9 C. 2 D.9 2 8 解析 选 D 在△ABC 中，由 sin A－sin B＝1 3sin C 结合正弦定理可得，c＝3a－3b，再 根据 3b＝2a,2≤a2＋ac≤18，可得 a＝c,1≤a≤3，由余弦定理可得 b2＝4a2 9 ＝a2＋a2－2a·acos B⇒cos B＝7 9 ，可得 sin B＝4 2 9 ，所以 S＝1 2acsin B＝2 2 9 a2，故 p＝ 2a－S＝ 2a－2 2 9 a2， 根据二次函数的图象可得，当 a＝9 4 时，p 取得最大值9 2 8 . 3.在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，如果△ABC 的面积等于 8，a ＝5，tan B＝－4 3 ，那么 a＋b＋c sin A＋sin B＋sin C ＝________. 解析 ∵tan B＝－4 3 ， ∴sin B＝4 5 ，cos B＝－3 5 ， 又 S△ABC＝1 2acsin B＝2c＝8， ∴c＝4，∴b＝ a2＋c2－2accos B＝ 65， ∴ a＋b＋c sin A＋sin B＋sin C ＝ b sin B ＝5 65 4 . 答案 5 65 4 4.(2018·洛阳统考)在△ABC 中，B＝30°，AC＝2 5，D 是 AB 边上的一点，CD＝2， 若∠ACD 为锐角，△ACD 的面积为 4，则 BC＝________. 解析 依题意得 S△ACD＝1 2CD·AC·sin∠ACD＝2 5·sin∠ACD＝4，解得 sin∠ACD＝2 5 5 . 又∠ACD 是锐角，因此 cos ∠ACD＝ 5 5 . 在△ACD 中，AD＝ CD2＋AC2－2CD·AC·cos∠ACD＝4.由正弦定理得， AD sin∠ACD ＝ CD sin A ， 即 sin A＝CD·sin∠ACD AD ＝ 5 5 . 在△ABC 中， AC sin B ＝ BC sin A ，即 BC＝AC·sin A sin B ＝4. 答案 4 5.(2018·湖北七市联考)如图，已知在△ABC 中，角 A，B，C 的对 边分别为 a，b，c，C＝120°. (1)若 c＝1，求△ABC 面积的最大值； (2)若 a＝2b，求 tan A. 解 (1)由余弦定理得 c2＝a2＋b2－2abcos 120°＝1， ∴a2＋b2＋ab＝1≥2ab＋ab＝3ab， 当且仅当 a＝b 时取等号，∴ab≤1 3 ， 故 S△ABC＝1 2absin C＝ 3 4 ab≤ 3 12 ， 即△ABC 面积的最大值为 3 12. (2)∵a＝2b，∴由正弦定理得 sin A＝2sin B， 又 C＝120°，故 A＋B＝60°， ∴sin A＝2sin(60°－A)＝ 3cos A－sin A， ∴ 3cos A＝2sin A，∴tan A＝ 3 2 . 6.(2018·昆明质检)如图，在平面四边形 ABCD 中，AB⊥BC，AB＝ 2，BD＝ 5，∠BCD＝2∠ABD，△ABD 的面积为 2. (1)求 AD 的长； (2)求△CBD 的面积． 解 (1)由已知 S△ABD＝1 2AB·BD·sin∠ABD＝1 2 ×2× 5×sin∠ABD＝2，可得 sin∠ABD＝ 2 5 5 ， 又∠BCD＝2∠ABD，所以∠ABD∈ 0，π 2 ， 所以 cos∠ABD＝ 5 5 . 在△ABD 中，由余弦定理 AD2＝AB2＋BD2－2·AB·BD·cos∠ABD，可得 AD2＝5， 所以 AD＝ 5. (2)由 AB⊥BC，得∠ABD＋∠CBD＝π 2 ， 所以 sin∠CBD＝cos∠ABD＝ 5 5 . 又∠BCD＝2∠ABD，所以 sin∠BCD＝2sin∠ABD·cos∠ABD＝4 5 ， ∠BDC＝π－∠CBD－∠BCD＝π－ π 2 －∠ABD －2∠ABD＝π 2 －∠ABD＝∠CBD， 所以△CBD 为等腰三角形，即 CB＝CD. 在△CBD 中，由正弦定理 BD sin∠BCD ＝ CD sin∠CBD ， 得 CD＝BD·sin∠CBD sin∠BCD ＝ 5× 5 5 4 5 ＝5 4 ， 所以 S△CBD＝1 2CB·CD·sin∠BCD＝1 2 ×5 4 ×5 4 ×4 5 ＝5 8. [正、余弦定理强化练] A 组 1．已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若满足sin B－sin A sin B－sin C ＝ c a＋b ，则 A＝( ) A.π 6 B.π 3 C.2π 3 D.π 3 或2π 3 解析 选 B 由sin B－sin A sin B－sin C ＝ c a＋b ，结合正弦定理，得b－a b－c ＝ c a＋b ，整理得 b2＋c2－a2 ＝bc，所以 cos A＝b2＋c2－a2 2bc ＝1 2 ，由 A 为三角形的内角，知 A＝π 3. 2．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 b＝1，B＝π 4 ，tan A＝2 2， 则 a＝( ) A. 2 3 B.3 4 C.4 3 D. 2 解析 选 C 由题意知，sin A＝2 2 3 ，由 a sin A ＝ b sin B ，得 a 2 2 3 ＝ 1 2 2 ，解得 a＝4 3. 3．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，sin A＝2sinBsin C，且 BC 边 上的高为a 2 ，则c b ＋b c 的最大值为( ) A．2 B. 2 C．2 2 D．4 解析 选 C 由 sin A＝2sin Bsin C，根据正弦定理，得 a2＝2bcsin A，代入 cos A＝b2＋c2－a2 2bc 中，得 b2＋c2＝2bc(cos A＋sin A)，所以c b ＋b c ＝2(cos A＋sin A)＝2 2sinA＋ π 4 ，当 A＝π 4 时，c b ＋b c 取得最大值 2 2. 4．(2018·江西丰城中学测试)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若 a＋ b＝ 2，△ABC 的面积为 1 6sin C，sin A＋sin B＝ 2sin C，则 C 的值为________． 解析 由△ABC 的面积为 1 2absin C＝1 6sin C，得 ab＝1 3. 又 a＋b＝ 2且 sin A＋sin B＝ 2sin C， 所以 a＋b＝ 2c，c＝1， 所以 a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝2－2×1 3 ＝4 3 ， 则 cos C＝a2＋b2－c2 2ab ＝ 4 3 －1 2 3 ＝1 2 ，故 C＝π 3. 答案 π 3 5．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若△ABC 为锐角三角形，且满 足 b2－a2＝ac，则 1 tan A － 1 tan B 的取值范围是________． 解析 由余弦定理得 b2－a2＝(a2＋c2－2accos B)－(b2＋c2－2bccos A)＝a2－b2＋2c(bcos A－acos B)，即 b2－a2＝c(bcos A－acos B)＝ac⇒bcos A－acos B＝a⇒sin(B－A)＝sin A⇒B＝ 2A.又△ABC 为锐角三角形，所以π 3