【数学】2018届一轮复习北师大版第八章解析几何第一节直线的倾斜角与斜率直线方程教案 10页

第一节　直线的倾斜角与斜率、直线方程 ‎☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆‎ 考纲要求 真题举例 命题角度 ‎1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；‎ ‎2.掌握确定直线位置的几何要素；‎ ‎3.掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系。‎ ‎2016，北京卷，5,5分(直线方程的应用)‎ ‎2014，四川卷，14,5分(最值问题)‎ ‎2014，福建卷，3,5分(求直线的方程)‎ ‎2014，安徽卷，2,5分(直线的倾斜角)‎ ‎　　直线是解析几何中最基本的内容，对直线的考查一是在选择题、填空题中考查直线的倾斜角、斜率、直线的方程等基本知识，二是在解答题中与圆、椭圆、双曲线、抛物线等知识进行综合考查。‎ 微知识　小题练 自|主|排|查 ‎1．直线的倾斜角 ‎(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角。当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°。‎ ‎(2)范围：直线l倾斜角的范围是[0，π)。‎ ‎2．直线的斜率 ‎(1)定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k＝tanθ。‎ ‎(2)计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k＝。‎ ‎3．直线方程的五种形式 名称 条件 方程 适用范围 点斜式 斜率k与点(x0，y0)‎ y－y0＝k(x－x0)‎ 不含直线x＝x0‎ 斜截式 斜率k与截距b y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 两点(x1，y1)，(x2，y2)‎ ＝ 不含直线x＝x1(x1＝x2)和直线y＝y1(y1＝y2)‎ 截距式 截距a与b ＋＝1‎ 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 ‎—‎ Ax＋By＋C＝0‎ ‎(A2＋B2≠0)‎ 平面直角坐标系内的直线都适用 微点提醒 ‎1．斜率的求解可以通过过两点的直线的斜率公式，也可以通过求倾斜角的正切值来实现。‎ ‎2．对于直线的五种形式，一定要理解其结构特点及适用范围。‎ ‎3．直线的点斜式、斜截式是最常用的形式，点斜式重在突出斜率与定点，斜截式主要体现斜率及在y轴上的截距，都具有非常鲜明的几何特点。‎ 小|题|快|练 一 、走进教材 ‎　1．(必修2P100练习T3改编)直线l：xsin30°＋ycos150°＋1＝0的斜率是(　　)‎ A. B. C．－ D．－ ‎【解析】　设直线l的斜率为k，则k＝－＝。故选A。‎ ‎【答案】　A ‎2．(必修2P‎100A组T3改编)已知点A(1,2)，B(3,1)，则线段AB的垂直平分线方程为(　　)‎ A．4x＋2y－5＝0 B．4x－2y－5＝0‎ C．x＋2y－5＝0 D．x－2y－5＝0‎ ‎【解析】　线段AB的中点坐标为，kAB＝＝－，则线段AB的垂直平分线的斜率为2，且过点，故线段AB的垂直平分线方程为y－＝2(x－2)，即4x－2y－5＝0。故选B。‎ ‎【答案】　B 二、双基查验 ‎1．过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　　)‎ A．1 B．4‎ C．1或3 D．1或4‎ ‎【解析】　显然m≠－2，由1＝，得m＋2＝4－m，m＝1。故选A。‎ ‎【答案】　A ‎2．直线x＋y＋m＝0(m∈R)的倾斜角为(　　)‎ A．30°　　　　　　　　 B．60°‎ C．150° D．120°‎ ‎【解析】　由k＝tanα＝－，α∈[0°，180°)得α＝150°。故选C。‎ ‎【答案】　C ‎3．已知直线l过点P(－2,5)，且斜率为－，则直线l的方程为(　　)‎ A．3x＋4y－14＝0 B．3x－4y＋14＝0‎ C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0‎ ‎【解析】　由y－5＝－(x＋2)，得3x＋4y－14＝0。故选A。‎ ‎【答案】　A ‎4．若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为__________。‎ ‎【解析】　kAC＝＝1，kAB＝＝a－3。‎ 由于A，B，C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4。‎ ‎【答案】　4‎ ‎5．过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程是________。‎ ‎【解析】　由题设知截距不为0，设直线方程为＋＝1，又直线过点(－3,4)，‎ 从而＋＝1，解得a＝－4或a＝9。‎ 故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0。‎ ‎【答案】　4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0‎ 微考点　大课堂 考点一 ‎ 直线的倾斜角与斜率……母题发散 ‎【典例1】　(1)直线2xcosα－y－3＝0 的倾斜角的取值范围是(　　)‎ A.　　　　　　 B. C. D. ‎(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________。‎ ‎【解析】　(1)直线2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα，‎ 因为α∈，所以≤cosα≤，‎ 因此k＝2·cosα∈[1，]。‎ 设直线的倾斜角为θ，‎ 则有tanθ∈[1，]。又θ∈[0，π)，所以θ∈，‎ 即倾斜角的取值范围是。‎ ‎(2)如图，∵kAP＝＝1，‎ ‎∴kBP＝＝－，‎ ‎∴k∈(－∞，－]∪[1，＋∞)。‎ ‎【答案】　(1)B　(2)(－∞，－]∪[1，＋∞)‎ ‎【母题变式】　1.若将本典例(2)中“P(1,0)”改为“P(－1,0)”，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围。‎ ‎【解析】　如图，∵P(－1,0)，A(2,1)，B(0，)，‎ ‎∴kAP＝＝，‎ kBP＝＝。‎ 所以，直线l斜率的取值范围为。‎ ‎【答案】　 ‎2．若将本典例(2)中的B点坐标改为B(2，－1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的范围。‎ ‎【解析】　如图：‎ 直线PA的倾斜角为45°，‎ 直线PB的倾斜角为135°，‎ 由图象知l的倾斜角的范围为[0°，45°]∪[135°，180°)。‎ ‎【答案】　[0°，45°]∪[135°，180°)‎ 反思归纳　直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论。由正切函数图象可以看出，当α∈时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝ 时，斜率不存在；当α∈时，斜率k∈(－∞，0)。‎ ‎【拓展变式】　已知实数x，y满足2x＋y＝8，当2≤x≤3时，则的最大值为________；最小值为________。‎ ‎【解析】　如图，设点P(x，y)，因为x，y满足2x＋y＝8，且2≤x≤3，所以点P(x，y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标分别是(2,4)，(3,2)。因为的几何意义是直线OP的斜率，且kOA＝2，kOB＝，所以的最大值为2，最小值为。‎ ‎【答案】　2　 考点二 ‎ 求直线的方程 ‎【典例2】　(1)求过点A(1,3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的的直线方程。‎ ‎(2)求经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程。‎ ‎【解析】　(1)设所求直线的斜率为k，依题意k＝－4×＝－。又直线经过点A(1,3)，因此所求直线方程为y－3＝－(x－1)，即4x＋3y－13＝0。‎ ‎(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为＋＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a＝－，所以直线方程为x＋2y＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，则－5k＝2，解得k＝－，所以直线方程为y＝－x，即2x＋5y＝0。故所求直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0。‎ ‎【答案】　(1)4x＋3y－13＝0　(2)2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0‎ 反思归纳　1.在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件。 ‎ ‎2．对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)。‎ ‎【变式训练】　已知直线l过(2,1)，(m,3)两点，则直线l的方程为________。‎ ‎【解析】　①当m＝2时，直线l的方程为x＝2；‎ ‎②当m≠2时，直线l的方程为＝，‎ 即2x－(m－2)y＋m－6＝0。‎ 因为m＝2时，代入方程2x－(m－2)y＋m－6＝0，‎ 即为x＝2，‎ 所以直线l的方程为2x－(m－2)y＋m－6＝0。‎ ‎【答案】　2x－(m－2)y＋m－6＝0‎ 考点三 ‎ 直线方程的应用……多维探究 角度一：与不等式相结合的最值 ‎【典例3】　(2015·福建高考)若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,1)，则a＋b的最小值等于(　　)‎ A．2 B．3‎ C．4 D．5‎ ‎【解析】　将(1,1)代入直线＋＝1得＋＝1，a>0，b>0，故a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，等号当且仅当a＝b时取到，故a＋b的最小值为4。故选C。‎ ‎【答案】　C 角度二：与函数相结合的最值 ‎【典例4】　(2016·北京高考)已知A(2,5)，B(4,1)。若点P(x，y)在线段AB上，则2x－y的最大值为(　　)‎ A．－1 B．3‎ C．7 D．8‎ ‎【解析】　依题意得kAB＝＝－2，∴线段lAB：y－1＝－2(x－4)，x∈[2,4]，即y＝－2x＋9，x∈[2,4]，故2x－y＝2x－(－2x＋9)＝4x－9，x∈[2,4]。设h(x)＝4x－9，易知h(x)＝4x－9在[2,4]上单调递增，故当x＝4时，h(x)max＝4×4－9＝7。故选C。‎ ‎【答案】　C 角度三：与圆相结合的直线方程问题 ‎【典例5】　(2016·运城二模)已知圆(x－2)2＋(y＋1)2＝16的一条直径通过直线x－2y＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为(　　)‎ A．3x＋y－5＝0 B．x－2y＝0‎ C．x－2y＋4＝0 D．2x＋y－3＝0‎ ‎【解析】　直线x－2y＋3＝0的斜率为，已知圆的圆心坐标为(2，－1)，该直径所在直线的斜率为－2，所以该直径所在的直线方程为y＋1＝－2(x－2)，即2x＋y－3＝0。故选D。‎ ‎【答案】　D 反思归纳　与直线有关的最值问题的解题思路 ‎1．借助直线方程，用y表示x或用x表示y。‎ ‎2．将问题转化成关于x(或y)的函数。‎ ‎3．利用函数的单调性或基本不等式求最值。‎ 微考场　新提升 ‎1．如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　)‎ A．k1α3，所以01或k< C.或k<－1‎ 解析　设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，直线在x轴上的截距为1－，令－3<1－<3，解不等式可得k>或k<－1，也可以利用数形结合。故选D。‎ 答案　D ‎4．(2016·武宜中学质检)直线x＋(a2＋1)y＋1＝0(a∈R)的倾斜角的取值范围是(　　)‎ A. B. C.∪ D.∪ 解析　因为直线方程为x＋(a2＋1)y＋1＝0，所以直线的斜率k＝－，故k∈[－1,0)，由正切函数图象知倾斜角α∈。故选B。‎ 答案　B ‎5．(2016·江苏模拟)在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)＝的图象交于P，Q两点，则线段PQ长的最小值是________。‎ 解析　设过原点的直线方程为y＝kx(k>0)。‎ 联立得P，Q。‎ ‎∴|PQ|＝＝≥＝4。当且仅当＝8k，即k＝1时取等号。‎ 答案　4‎ 微专题　巧突破 妙用斜率公式 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为kP1P2＝。对所给的数学表达式适当变形，化成其直线斜率的形式，利用数形结合来解决问题，是斜率公式的一个应用。‎ ‎1．比较大小 对于函数f(x)图象上的两点(a，f(a))，(b，f(b))，比较与的大小时，可转化为这两点与原点连线的斜率来比较大小。‎ ‎【典例1】　　已知函数f(x)＝log2(x＋1)，且a>b>c>0，则，，的大小关系为________。‎ ‎【解析】　作出函数f(x)＝log2(x＋1)的大致图象，如图所示，可知当x>0时，曲线上各点与原点连线的斜率随x的增大而减小，因为a>b>c>0，所以<<。‎ ‎【答案】　<< ‎【变式训练1】　已知a，b，m∈(0，＋∞)，且a0，所以点M在第三象限，且在直线y＝x上。‎ 连接OP，PM，则kOP＝，kMP＝。‎ 因为直线MP的倾斜角大于直线OP的倾斜角，且两条直线的倾斜角都是锐角，所以kMP>kOP，即>。‎ ‎【答案】　> ‎2．求最值 对于求形如k＝，y＝的最值问题，可利用定点与动点的相对位置，转化为求直线斜率的范围，借助数形结合进行求解。‎ ‎【典例2】　　已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)，试求的最大值和最小值。‎ ‎【解析】　如图，作出y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)的图象——曲线段AB，则表示定点P(－2，－3)和曲线段AB上任一点(x，y)的连线的斜率k，连接PA，PB，则kPA≤k≤kPB。‎ 易得A(1,1)，B(－1,5)，所以kPA＝＝，kPB＝＝8，‎ 所以≤k≤8，‎ 故的最大值是8，最小值是。‎ ‎【变式训练2】　已知M(m，n)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，求的最值。‎ ‎【解析】　圆C的圆心为C(2,7)，半径r＝2，‎ 表示(m，n)与(－2,3)连线的斜率，‎ 设过(－2,3)的直线方程为y－3＝k(x＋2)，‎ 所以≤2。‎ 可得2－≤k≤2＋，‎ 所以的最大值为2＋，最小值为2－。‎ ‎【答案】　最大值为2＋，最小值为2－