广东省广州市天河区2020届高三高考一模数学（文）试题 含解析 26页

‎2020年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（文科）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）设集合，0，1，2，，，则　　‎ A． B．， C．， D．，1，‎ ‎2．（5分）高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况，选了座城市作试验基地，这座城市共享单车的使用量（单位；人次天）分别为，，，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是　‎ A．，，的平均数 B．，，的标准差 ‎ C．，，的最大值 D．，，的中位数 ‎3．（5分）若复数为纯虚数，则　　‎ A． B．‎13 ‎C．10 D．‎ ‎4．（5分）设等差数列的前项和为，若，则等于　　‎ A．18 B．‎36 ‎C．45 D．60‎ ‎5．（5分）已知，，则的值等于　　‎ A． B． C． D．‎ ‎6．（5分）若实数，满足，则的最小值为　　‎ A．2 B． C．1 D．‎ ‎7．（5分）三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱色及黄色，其面积称为朱实，黄实，利用勾股（股勾）朱实黄实弦实，化简，得勾股弦，设勾股中勾股比为，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为　　‎ A．866 B．‎500 ‎C．300 D．134‎ ‎8．（5分）已知满足，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎9．（5分）如图所示，在棱长为的正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且面，则在侧面上的轨迹的长度是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎10．（5分）已知函数，，，为图象的对称中心，，是该图象上相邻的最高点和最低点，若，则的单调递增区间是　　‎ A．，， B．，， ‎ C．，， D．，，‎ ‎11．（5分）一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄元一年定期，若年利率为保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为　　‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎12．（5分）已知函数，，，曲线上总存在两点，，，，使曲线在，两点处的切线互相平行，则的取值范围为　　‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．‎ ‎13．（5分）已知向量，．若向量，则　　 ．‎ ‎14．（5分）已知数列满足，，则当时，　　 ．‎ ‎15．（5分）如图所示，位于处的信息中心获悉：在其正东方向相距海里的 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西、相距20海里的处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线前往处救援，则的值为　　 ．‎ ‎16．（5分）已知直三棱柱外接球的表面积为，，若外接圆的圆心在上，半径，则直三棱柱的体积为　 　．‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题学生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间（满分150分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组，，第二组，，第八组，，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．‎ ‎（1）求第七组的频率，并完成频率分布直方图；‎ ‎（2）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；‎ ‎（3）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率．‎ ‎ ‎ ‎18．（12分）在等比数列中，公比，且满足，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，数列的前项和为，当取最大值时，求的值． ‎ ‎19．（12分）在中，角、、所对的边分别为、、，且．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，的面积为，求及的值． ‎ ‎20．（12分）如图，四棱锥的底面是矩形，侧面是正三角形，，，．、分别为、的中点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求点到平面的距离．‎ ‎ ‎ ‎21．（12分）已知函数，，，．‎ ‎（1）讨论函数的单调区间及极值；‎ ‎（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值． ‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线 的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）直线与轴的交点为，经过点的动直线与曲线交于、两点，证明：为定值． ‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ ‎23．已知函数．‎ ‎（1）若时，解不等式；‎ ‎（2）若关于的不等式在，上有解，求实数的取值范围．‎ ‎2020年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）设集合，0，1，2，，，则　　‎ A． B．， C．， D．，1，‎ ‎【解答】解：由中不等式变形得：，‎ 解得：或，即或，‎ ‎，0，1，2，，‎ ‎，，‎ 故选：．‎ ‎2．（5分）高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况，选了座城市作试验基地，这座城市共享单车的使用量（单位；人次天）分别为，，，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是　‎ A．，，的平均数 B．，，的标准差 ‎ C．，，的最大值 D．，，的中位数 ‎【解答】解：表示一组数据，，的稳定程度是方差或标准差．‎ 故选：．‎ ‎3．（5分）若复数为纯虚数，则　　‎ A． B．‎13 ‎C．10 D．‎ ‎【解答】解：由．‎ 因为复数为纯虚数，所以，解得．‎ 所以．‎ 故选：．‎ ‎4．（5分）设等差数列的前项和为，若，则等于　　‎ A．18 B．‎36 ‎C．45 D．60‎ ‎【解答】解：，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故选：．‎ ‎5．（5分）已知，，则的值等于　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故选：．‎ ‎6．（5分）若实数，满足，则的最小值为　　‎ A．2 B． C．1 D．‎ ‎【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图：‎ 由图可知，在与轴的交点处取得最小值，即．‎ 故选：．‎ ‎7．（5分）三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱色及黄色，其面积称为朱实，黄实，利用勾股（股勾）朱实黄实弦实，化简，得勾股弦，设勾股中勾股比为，若向弦图内随机抛掷1000‎ 颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为　　‎ A．866 B．‎500 ‎C．300 D．134‎ ‎【解答】解：如图，‎ 设勾为，则股为，弦为，‎ 则图中大四边形的面积为，小四边形的面积为，‎ 则由测度比为面积比，可得图钉落在黄色图形内的概率为．‎ 落在黄色图形内的图钉数大约为．‎ 故选：．‎ ‎8．（5分）已知满足，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：；‎ ‎；‎ ‎；‎ 又；‎ ‎．‎ 故选：．‎ ‎9．（5分）如图所示，在棱长为的正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且面，则在侧面上的轨迹的长度是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：设，，分别为、、边上的中点 则四点共面，‎ 且平面平面 又面，‎ 落在线段上，‎ 正方体中的棱长为，‎ ‎．‎ 即在侧面上的轨迹的长度是．‎ 故选：．‎ ‎10．（5分）已知函数，，，为图象的对称中心，，是该图象上相邻的最高点和最低点，若，则的单调递增区间是　　‎ A．，， B．，， ‎ C．，， D．，，‎ ‎【解答】解：函数，，‎ ‎，为图象的对称中心，，是该图象上相邻的最高点和最低点，若，‎ ‎，即，求得．‎ 再根据，，可得，．‎ 令，求得，‎ 故的单调递增区间为，，，‎ 故选：．‎ ‎11．（5分）一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄元一年定期，若年利率为保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为　　‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【解答】解：根据题意，‎ 当孩子18岁生日时，孩子在一周岁生日时存入的元产生的本利合计为，‎ 同理：孩子在2周岁生日时存入的元产生的本利合计为，‎ 孩子在3周岁生日时存入的元产生的本利合计为，‎ 孩子在17周岁生日时存入的元产生的本利合计为，‎ 可以看成是以为首项，为公比的等比数列的前17项的和，‎ 此时将存款（含利息）全部取回，‎ 则取回的钱的总数： ；‎ 故选：．‎ ‎12．（5分）已知函数，，，曲线上总存在两点，，，，使曲线在，两点处的切线互相平行，则 的取值范围为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：函数，导数．‎ 由题意可得，，且．‎ 即有，‎ 化为，‎ 而，‎ ‎，‎ 化为对，都成立，‎ 令，，，‎ ‎，对，恒成立，‎ 即在，递增，‎ ‎（4），‎ ‎，‎ ‎，即的取值范围是，．‎ 故选：．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．‎ ‎13．（5分）已知向量，．若向量，则　　．‎ ‎【解答】解：向量，，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎．‎ 故答案为：．‎ ‎14．（5分）已知数列满足，，则当时，　　．‎ ‎【解答】解：数列满足，‎ ‎ ，，‎ 则，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 由此可得当时，．‎ 故答案为：．‎ ‎15．（5分）如图所示，位于处的信息中心获悉：在其正东方向相距海里的 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西、相距20海里的处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线前往处救援，则的值为　　．‎ ‎【解答】解：如图所示，在中，，，，‎ 由余弦定理得，‎ 所以．‎ 由正弦定理得．‎ 由知为锐角，故．‎ 故．‎ 故答案为：．‎ ‎16．（5分）已知直三棱柱外接球的表面积为，，若外接圆的圆心在上，半径，则直三棱柱的体积为　24　．‎ ‎【解答】解：如图，外接圆的圆心在上，‎ ‎ 为的中点，且是以为直角的直角三角形，‎ 由半径，得，又，．‎ 把直三棱柱补形为长方体，设，‎ 则其外接球的半径．‎ 又直三棱柱外接球的表面积为，‎ ‎，即．‎ ‎，解得．‎ 直三棱柱的体积为．‎ 故答案为：24．‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题学生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间（满分150‎ 分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组，，第二组，，第八组，，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．‎ ‎（1）求第七组的频率，并完成频率分布直方图；‎ ‎（2）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；‎ ‎（3）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率．‎ ‎【解答】解：（1）由频率分布直方图得第七组的频率为：‎ ‎．‎ 完成频率分布直方图如下：‎ ‎（2）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分为：‎ ‎（3）样本成绩属于第六组的有人，样本成绩属于第八组的有人，‎ 从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，‎ 基本事件总数，‎ 他们的分差的绝对值小于10分包含的基本事件个数，‎ 他们的分差的绝对值小于10分的概率．‎ ‎18．（12分）在等比数列中，公比，且满足，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，数列的前项和为，当取最大值时，求的值．‎ ‎【解答】解：（1），‎ 可得，‎ 由，即，①，可得，由，可得，‎ 可得，即，②‎ 由①②解得舍去），，‎ 则；‎ ‎（2），‎ 可得，‎ ‎，‎ 则 ‎，‎ 可得或7时，取最大值．‎ 则的值为6或7．‎ ‎19．（12分）在中，角、、所对的边分别为、、，且．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，的面积为，求及的值．‎ ‎【解答】解：（1），可得：，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎．‎ ‎（2），‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎20．（12分）如图，四棱锥的底面是矩形，侧面是正三角形，，，．、分别为、的中点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求点到平面的距离．‎ ‎【解答】解：（1）证明：为正三角形，，‎ ‎，‎ ‎，，‎ 根据勾股定理得，‎ 为矩形，，‎ ‎，面且交于点，面，‎ 面，面面，‎ 为的中点，为正三角形，‎ ‎，平面，‎ 平面，．‎ ‎（Ⅱ） 解：取中点，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，‎ 则，0，，，2，，，0，，，，0，，‎ ‎，2，，，，0，，‎ 设平面的法向量，，，‎ 则，取，得，1，，‎ 点到平面的距离．‎ ‎21．（12分）已知函数，，，．‎ ‎（1）讨论函数的单调区间及极值；‎ ‎（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值．‎ ‎【解答】解：（1）定义域为，，‎ ‎①当时恒成立，在上是增函数，无极值，‎ ‎②当时令，，‎ 令，，‎ 所以函数在上为增函数，在，为减函数，‎ 所以当时，有极大值，极大值为，无极小值，‎ ‎（2）：由恒成立知恒成立，‎ 令，‎ 则，‎ 令，因为，（1），则为增函数．‎ 故存在，，使，即，‎ 当时，，为增函数，当时，，为减函数．‎ 所以，‎ 而，，所以，所以整数的最小值为2．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）直线与轴的交点为，经过点的动直线与曲线交于、两点，证明：为定值．‎ ‎【解答】解：（1）由，‎ 得曲线．‎ 直线的极坐标方程展开为，‎ 故的直角坐标方程为．‎ ‎（2）显然的坐标为，不妨设过点的直线方程为为参数），‎ 代入得，设，对应的参数为，‎ 所以为定值．‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ ‎23．已知函数．‎ ‎（1）若时，解不等式；‎ ‎（2）若关于的不等式在，上有解，求实数的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）若时，，‎ 当时，原不等式可化为解得，所以，‎ 当时，原不等式可化为得，所以，‎ 当时，原不等式可化为解得，所以，‎ 综上述：不等式的解集为；‎ ‎（2）当，时，由得，‎ 即，‎ 故得，‎ 又由题意知：，‎ 即，‎ 故的范围为，．‎