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- 2021-06-16 发布
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第四讲 大题考法——三角函数
题型(一)
结合三角函数定义进行化简求值
主要考查以三角函数定义为背景的三角函数的化简和求值问题.
[典例感悟]
[例1] 如图,在平面直角坐标系xOy中,以x轴正半轴为始边作锐角α,其终边与单位圆交于点A.以OA为始边作锐角β,其终边与单位圆交于点B,AB=.
(1)求cos β的值;
(2)若点A的横坐标为,求点B的坐标.
[解] (1)在△AOB中,cos∠AOB===,即cos β=.
(2)因为cos β=,β∈,
所以sin β= =.
因为点A的横坐标为,
由三角函数定义可得cos α=,
因为α为锐角,所以sin α= =.
所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=×-×=-,sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=×+×=.
所以点B.
[方法技巧]
结合三角函数定义化简求值问题的解题策略
(1)利用三角函数的定义求一个角的三角函数值需明确三个量:角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x,纵坐标y,该点到原点的距离r.
(2)当求角α的终边上点的坐标时,要根据角的范围,结合三角公式进行求解.
(3)同角三角函数间的关系应注意正确选择公式,注意公式应用的条件.
[演练冲关]
如图,在平面直角坐标系xOy中,以O为顶点,x轴正半轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B的横坐标分别为,.
(1)求tan的值;
(2)求α+2β的值.
解:(1)由条件得cos α=,cos β=,α、β为锐角,
故sin α>0且sin α=.
同理可得sin β=,
∴tan α=7,tan β=.
∴tan(α+β)===-3.
∴tan=tan
==-.
(2)tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]
==-1,
∵0<α<,0<β<,
∴0<α+2β<,从而α+2β=.
题型(二)
三角函数求值问题
主要考查在给定三角函数值的条件下,求其他角的三角函数值或角.
[典例感悟]
[例2] (2018·江苏高考)已知α,β为锐角,tan α=,cos(α+β)=-.
(1)求cos 2α的值;
(2)求tan(α-β)的值.
[解] (1)因为tan α =,tan α =,
所以sin α =cos α .
因为sin2α+cos2α =1,
所以cos2α=,
所以cos 2α =2cos2α-1=-.
(2)因为α,β 为锐角,所以α+β∈(0,π).
又因为cos(α+β )=-,
所以sin(α+β )==,
所以tan(α+β )=-2.
因为tan α=,
所以 tan 2α==-.
所以tan(α-β )=tan[2α-(α+β)]
==-.
[方法技巧]
三角函数求值问题的类型及解题方法
给式
求值
给出某些式子的值,求其他式子的值.解此类问题,一般应先将所给式子变形,将其转化成所求函数式能使用的条件,或将所求函数式变形为可使用条件的形式
给值
给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于
求值
“变角”,使其角相同或具有某种关系,解题的基本方法是:①将待求式用已知三角函数表示;②将已知条件转化而推出结论,其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧,解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系,并根据这些关系来选择公式
给值
求角
解此类问题的基本方法是:先求出“所求角”的某一三角函数值,再确定“所求角”的范围,最后借助三角函数图象、诱导公式求角
[演练冲关]
1.已知向量a=(sin θ,2),b=(cos θ,1),且a,b共线,其中θ∈.
(1)求tan的值;
(2)若5cos(θ-φ)=3cos φ,0<φ<,求φ的值.
解:(1)由a∥b,得sin θ=2cos θ.
因为θ∈,所以cos θ≠0,
所以tan θ=2.
所以tan==-3.
(2)由(1)知tan θ=2,又因为θ∈,
所以sin θ=,cos θ=.
由5cos(θ-φ)=3cos φ,
得5(cos θcos φ+sin θsin φ)=3cos φ,
即cos φ+2sin φ=3cos φ,从而tan φ=1.
因为0<φ<,所以φ=.
2.(2018·南通二调)已知sin=,α∈.
(1)求cos α的值;
(2)求sin的值.
解:(1)因为α∈,
所以α+∈,
又sin=,
所以cos=-
=-=-.
所以cos α=cos
=coscos+sinsin
=-×+×=-.
(2)因为α∈,cos α=-,
所以sin α== =.
所以sin 2α=2sin αcos α=2××=-,
cos 2α=2cos2α-1=2×2-1=-.
所以sin=sin 2αcos-cos 2αsin=×-×=-.
题型(三)
向量与三角函数的结合
主要考查以向量为载体的三角函数性质的综合应用问题.
[典例感悟]
[例3] (2017·江苏高考)已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-),x∈[0,π].
(1)若a∥b,求x的值;
(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.
[解] (1)因为a=(cos x,sin x),b=(3,-),a∥b,
所以-cos x=3sin x.
则tan x=-.
又x∈[0,π],所以x=.
(2)f(x)=a·b=(cos x,sin x)·(3,-)=3cos x-sin x=2cos.
因为x∈[0,π],所以x+∈,
从而-1≤cos≤.
于是,当x+=,即x=0时,f(x)取到最大值3;
当x+=π,即x=时,f(x)取到最小值-2.
[方法技巧]
平面向量与三角函数综合问题的解题思路
(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立的条件,得到三角函数的关系式,然后求解;
(2)给出用三角函数表示的向量坐标,求解的是向量的模或者其他向量的表达式,经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性求得值域等.
[演练冲关]
1.已知向量a=(sin x,cos x),b=,函数f(x)=a·b.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)若α∈且cos=,求f(α).
解:(1)f(x)=sin xcos+1
=sin xcos x-sin2x+1
=sin 2x+cos 2x+
=sin+,
令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,
故f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(2)f(α)=sin+
=sincos+,
∵cos=且α∈,∴sin=,
∴f(α)=+.
2.已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos x,sin x),c=(sin x+2sin α,cos x+2cos α),其中0<α<x<π.
(1)若α=,求函数f(x)=b·c的最小值及相应x的值;
(2)若a与b的夹角为,且a⊥c,求tan 2α的值.
解:(1)∵b=(cos x,sin x),c=(sin x+2sin α,cos x+2cos α),α=,
∴f(x)=b·c=cos xsin x+2cos xsin α+sin x·cos x+2sin xcos α=2sin xcos x+(sin x+cos x).
令t=sin x+cos x,
则2sin xcos x=t2-1,且-1<t<.
则y=f(x)=t2+t-1=2-,-1<t<.
∴t=-时,ymin=-,此时sin x+cos x=-.
由于<x<π,故x=.
∴函数f(x)的最小值为-,相应x的值为.
(2)∵a与b的夹角为,∴cos==cos αcos x+sin αsin x=cos(x-α).
∵0<α<x<π,∴0<x-α<π,∴x-α=.
∵a⊥c,∴cos α(sin x+2sin α)+sin α(cos x+2cos α)=0,
∴sin(x+α)+2sin 2α=0,
即sin+2sin 2α=0.
∴sin 2α+cos 2α=0,
∴tan 2α=-.
[课时达标训练]
A组——大题保分练
1.(2018·南通模拟)已知cos α=,cos(α+β)=-,且α∈,β∈.
(1)求sin 2α的值;
(2)求cos(α-β)的值.
解:(1)∵α∈,∴2α∈.
∵cos α=,∴cos 2α=2cos2α-1=-,
∴sin 2α==.
(2)∵α∈,β∈,
∴α+β∈(0,π),又cos(α+β)=-,
∴sin(α+β)==,
∴cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]
=cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β)
=×+×=.
2.设函数f(x)=6cos2x-2sin xcos x.
(1)求f(x)的最小正周期和值域;
(2)在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f(B)=0且b=2,cos A=,求a和sin C的值.
解:(1)因为f(x)=6×-sin 2x
=3cos 2x-sin 2x+3
=2cos+3,
所以f(x)的最小正周期为T==π,
f(x)的值域为[3-2,3+2 ].
(2)由f(B)=0,得cos=-.
因为B为锐角,所以<2B+<,所以2B+=,所以B=.
因为cos A=,A∈(0,π),
所以sin A= =.
在△ABC中,由正弦定理得a===.
sin C=sin(π-A-B)=sin
=cos A+sin A=.
3.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,直线x=,x=是其相邻的两条对称轴.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若f=-,且<α<,求cos α的值.
解: (1)由题意知,=-=,所以T=π.
又T=,所以ω=2,
所以f(x)=2sin(2x+φ).
因为点在函数图象上,
所以2sin=2,即sin=1.
因为-<φ<,即-<+φ<,
所以φ=,所以f(x)=2sin.
(2) 由f=-,得sin=-.
因为<α<,所以π<α+<,
所以cos=-=-.
所以cos α=cos=coscos+sinsin=-×+×=-.
4.在平面直角坐标系xOy中,若角α,β的顶点都为坐标原点O,始边为x轴的正半轴,角α的终边经过点P,角β的终边经过点Q(sin2θ,-1),且·=-.
(1)求cos 2θ的值;
(2)求tan(α+β)的值.
解:(1)由·=-,
得sin2θ-cos2θ=-,
∴sin2θ=2cos2θ-1,
即=cos 2θ,
解得cos 2θ=.
(2)由(1),知sin2θ==,则cos2θ=,
得P,Q,
∴tan α=,tan β=-3,
故tan(α+β)===-.
B组——大题增分练
1.已知coscos=-,α∈.
(1)求sin 2α的值;
(2)求tan α-的值.
解:(1)cos·cos
=cos·sin=sin=-,
即sin=-.
∵α∈,∴2α+∈,
∴cos=-,
∴sin 2α=sin
=sincos-cossin=.
(2)∵α∈,∴2α∈,
又由(1)知sin 2α=,∴cos 2α=-.
∴tan α-=-=
==-2×=2.
2.已知向量a=,b=(cos x,-1).
(1)当a∥b时,求cos2x-sin 2x的值;
(2)设函数f(x)=2(a+b)·b.已知在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a= ,b=2,sin B=,求f(x)+4cos的取值范围.
解:(1)∵a∥b,∴cos x+sin x=0,∴tan x=-.
∴cos2x-sin 2x===.
(2)f(x)=2(a+b)·b= sin+.
由正弦定理,得=,可得sin A=,
∴A=.∴f(x)+4cos=sin2x+-.
∵x∈,
∴2x+∈.
∴-1≤f(x)+4cos≤-.
∴f(x)+4cos的取值范围为.
3.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈[0,π))的图象如图所示.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求函数g(x)=f(x)+f(x+2)在x∈[-1,3]上的最大值和最小值.
解:(1)由图可得A=3,f(x)的周期为8,则=8,即ω=.
f(-1)=f(3)=0,则f(1)=3,所以sin=1,
即+φ=+2kπ,k∈Z.又φ∈[0,π),故φ=.
综上所述,f(x)的解析式为f(x)=3sin.
(2)g(x)=f(x)+f(x+2)
=3sin+3sin
=3sin+3cos
=6
=6sin.
当x∈[-1,3]时,x+∈.
故当x+=,即x=-时,sin取得最大值1,则g(x)的最大值为g=6;
当x+=,即x=3时,sin取得最小值-,则g(x)的最小值为g(3)=6×=-3.
4.如图所示,角θ的始边OA落在x轴的非负半轴上,其始边、终边分别与单位圆交于点A,C,θ∈,△AOB为正三角形.
(1)若点C的坐标为,求cos∠BOC;
(2)记f(θ)=BC2,求函数f(θ)的解析式和值域.
解:(1)因为点C的坐标为,
根据三角函数的定义,
得sin∠COA=,cos∠COA=.
因为△AOB为正三角形,所以∠AOB=.
所以cos∠BOC=cos
=cos∠COAcos-sin∠COAsin
=×-×=.
(2)因为∠AOC=θ,
所以∠BOC=+θ.
在△BOC中,OB=OC=1,由余弦定理,可得f(θ)=BC2=OC2+OB2-2OC·OB·cos∠BOC=12+12-2×1×1×cos=2-2cos.
因为0<θ<,
所以<θ+<.
所以-