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  • 2021-06-16 发布

【数学】2020届一轮复习苏教版专题一第四讲大题考法——三角函数学案

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第四讲 大题考法——三角函数 题型(一)‎ 结合三角函数定义进行化简求值 主要考查以三角函数定义为背景的三角函数的化简和求值问题.‎ ‎ [典例感悟]‎ ‎[例1] 如图,在平面直角坐标系xOy中,以x轴正半轴为始边作锐角α,其终边与单位圆交于点A.以OA为始边作锐角β,其终边与单位圆交于点B,AB=.‎ ‎(1)求cos β的值;‎ ‎(2)若点A的横坐标为,求点B的坐标.‎ ‎[解] (1)在△AOB中,cos∠AOB===,即cos β=.‎ ‎(2)因为cos β=,β∈,‎ 所以sin β= =.‎ 因为点A的横坐标为,‎ 由三角函数定义可得cos α=,‎ 因为α为锐角,所以sin α= =.‎ 所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=×-×=-,sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=×+×=.‎ 所以点B.‎ ‎[方法技巧]‎ 结合三角函数定义化简求值问题的解题策略 ‎(1)利用三角函数的定义求一个角的三角函数值需明确三个量:角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x,纵坐标y,该点到原点的距离r.‎ ‎(2)当求角α的终边上点的坐标时,要根据角的范围,结合三角公式进行求解.‎ ‎(3)同角三角函数间的关系应注意正确选择公式,注意公式应用的条件.‎ ‎[演练冲关]‎ 如图,在平面直角坐标系xOy中,以O为顶点,x轴正半轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B的横坐标分别为,.‎ ‎(1)求tan的值;‎ ‎(2)求α+2β的值.‎ 解:(1)由条件得cos α=,cos β=,α、β为锐角,‎ 故sin α>0且sin α=.‎ 同理可得sin β=,‎ ‎∴tan α=7,tan β=.‎ ‎∴tan(α+β)===-3.‎ ‎∴tan=tan ‎==-.‎ ‎(2)tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]‎ ‎==-1,‎ ‎∵0<α<,0<β<,‎ ‎∴0<α+2β<,从而α+2β=.‎ 题型(二)‎ 三角函数求值问题 主要考查在给定三角函数值的条件下,求其他角的三角函数值或角.‎ ‎[典例感悟]‎ ‎[例2] (2018·江苏高考)已知α,β为锐角,tan α=,cos(α+β)=-.‎ ‎(1)求cos 2α的值;‎ ‎(2)求tan(α-β)的值.‎ ‎[解] (1)因为tan α =,tan α =,‎ 所以sin α =cos α .‎ 因为sin2α+cos2α =1,‎ 所以cos2α=,‎ 所以cos 2α =2cos2α-1=-.‎ ‎(2)因为α,β 为锐角,所以α+β∈(0,π).‎ 又因为cos(α+β )=-,‎ 所以sin(α+β )==,‎ 所以tan(α+β )=-2.‎ 因为tan α=,‎ 所以 tan 2α==-.‎ 所以tan(α-β )=tan[2α-(α+β)]‎ ‎==-.‎ ‎[方法技巧]‎ 三角函数求值问题的类型及解题方法 给式 求值 给出某些式子的值,求其他式子的值.解此类问题,一般应先将所给式子变形,将其转化成所求函数式能使用的条件,或将所求函数式变形为可使用条件的形式 给值 给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于 求值 ‎“变角”,使其角相同或具有某种关系,解题的基本方法是:①将待求式用已知三角函数表示;②将已知条件转化而推出结论,其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧,解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系,并根据这些关系来选择公式 给值 求角 解此类问题的基本方法是:先求出“所求角”的某一三角函数值,再确定“所求角”的范围,最后借助三角函数图象、诱导公式求角 ‎[演练冲关]‎ ‎1.已知向量a=(sin θ,2),b=(cos θ,1),且a,b共线,其中θ∈.‎ ‎(1)求tan的值;‎ ‎(2)若5cos(θ-φ)=3cos φ,0<φ<,求φ的值.‎ 解:(1)由a∥b,得sin θ=2cos θ.‎ 因为θ∈,所以cos θ≠0,‎ 所以tan θ=2.‎ 所以tan==-3.‎ ‎(2)由(1)知tan θ=2,又因为θ∈,‎ 所以sin θ=,cos θ=.‎ 由5cos(θ-φ)=3cos φ,‎ 得5(cos θcos φ+sin θsin φ)=3cos φ,‎ 即cos φ+2sin φ=3cos φ,从而tan φ=1.‎ 因为0<φ<,所以φ=.‎ ‎2.(2018·南通二调)已知sin=,α∈.‎ ‎(1)求cos α的值;‎ ‎(2)求sin的值.‎ 解:(1)因为α∈,‎ 所以α+∈,‎ 又sin=, ‎ 所以cos=- ‎=-=-.‎ 所以cos α=cos ‎=coscos+sinsin ‎=-×+×=-.‎ ‎(2)因为α∈,cos α=-,‎ 所以sin α== =.‎ 所以sin 2α=2sin αcos α=2××=-,‎ cos 2α=2cos2α-1=2×2-1=-.‎ 所以sin=sin 2αcos-cos 2αsin=×-×=-.‎ 题型(三)‎ 向量与三角函数的结合 主要考查以向量为载体的三角函数性质的综合应用问题.‎ ‎[典例感悟]‎ ‎[例3] (2017·江苏高考)已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-),x∈[0,π].‎ ‎(1)若a∥b,求x的值;‎ ‎(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.‎ ‎[解] (1)因为a=(cos x,sin x),b=(3,-),a∥b,‎ 所以-cos x=3sin x.‎ 则tan x=-.‎ 又x∈[0,π],所以x=.‎ ‎(2)f(x)=a·b=(cos x,sin x)·(3,-)=3cos x-sin x=2cos.‎ 因为x∈[0,π],所以x+∈,‎ 从而-1≤cos≤.‎ 于是,当x+=,即x=0时,f(x)取到最大值3;‎ 当x+=π,即x=时,f(x)取到最小值-2.‎ ‎[方法技巧]‎ 平面向量与三角函数综合问题的解题思路 ‎(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立的条件,得到三角函数的关系式,然后求解;‎ ‎(2)给出用三角函数表示的向量坐标,求解的是向量的模或者其他向量的表达式,经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性求得值域等.‎ ‎[演练冲关]‎ ‎1.已知向量a=(sin x,cos x),b=,函数f(x)=a·b.‎ ‎(1)求f(x)的单调递增区间;‎ ‎(2)若α∈且cos=,求f(α).‎ 解:(1)f(x)=sin xcos+1‎ ‎=sin xcos x-sin2x+1‎ ‎=sin 2x+cos 2x+ ‎=sin+,‎ 令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,‎ 得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,‎ 故f(x)的单调递增区间为,k∈Z.‎ ‎(2)f(α)=sin+ ‎=sincos+,‎ ‎∵cos=且α∈,∴sin=,‎ ‎∴f(α)=+.‎ ‎2.已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos x,sin x),c=(sin x+2sin α,cos x+2cos α),其中0<α<x<π.‎ ‎(1)若α=,求函数f(x)=b·c的最小值及相应x的值;‎ ‎(2)若a与b的夹角为,且a⊥c,求tan 2α的值.‎ 解:(1)∵b=(cos x,sin x),c=(sin x+2sin α,cos x+2cos α),α=,‎ ‎∴f(x)=b·c=cos xsin x+2cos xsin α+sin x·cos x+2sin xcos α=2sin xcos x+(sin x+cos x).‎ 令t=sin x+cos x,‎ 则2sin xcos x=t2-1,且-1<t<.‎ 则y=f(x)=t2+t-1=2-,-1<t<.‎ ‎∴t=-时,ymin=-,此时sin x+cos x=-.‎ 由于<x<π,故x=.‎ ‎∴函数f(x)的最小值为-,相应x的值为.‎ ‎(2)∵a与b的夹角为,∴cos==cos αcos x+sin αsin x=cos(x-α).‎ ‎∵0<α<x<π,∴0<x-α<π,∴x-α=.‎ ‎∵a⊥c,∴cos α(sin x+2sin α)+sin α(cos x+2cos α)=0,‎ ‎∴sin(x+α)+2sin 2α=0,‎ 即sin+2sin 2α=0.‎ ‎∴sin 2α+cos 2α=0,‎ ‎∴tan 2α=-.‎ ‎[课时达标训练]‎ A组——大题保分练 ‎1.(2018·南通模拟)已知cos α=,cos(α+β)=-,且α∈,β∈.‎ ‎(1)求sin 2α的值;‎ ‎(2)求cos(α-β)的值.‎ 解:(1)∵α∈,∴2α∈.‎ ‎∵cos α=,∴cos 2α=2cos2α-1=-,‎ ‎∴sin 2α==.‎ ‎(2)∵α∈,β∈,‎ ‎∴α+β∈(0,π),又cos(α+β)=-,‎ ‎∴sin(α+β)==,‎ ‎∴cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]‎ ‎=cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β)‎ ‎=×+×=.‎ ‎2.设函数f(x)=6cos2x-2sin xcos x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期和值域;‎ ‎(2)在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f(B)=0且b=2,cos A=,求a和sin C的值.‎ 解:(1)因为f(x)=6×-sin 2x ‎=3cos 2x-sin 2x+3‎ ‎=2cos+3,‎ 所以f(x)的最小正周期为T==π,‎ f(x)的值域为[3-2,3+2 ].‎ ‎(2)由f(B)=0,得cos=-.‎ 因为B为锐角,所以<2B+<,所以2B+=,所以B=.‎ 因为cos A=,A∈(0,π),‎ 所以sin A= =.‎ 在△ABC中,由正弦定理得a===.‎ sin C=sin(π-A-B)=sin ‎=cos A+sin A=.‎ ‎3.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,直线x=,x=是其相邻的两条对称轴.‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式;‎ ‎(2)若f=-,且<α<,求cos α的值.‎ 解: (1)由题意知,=-=,所以T=π.‎ 又T=,所以ω=2,‎ 所以f(x)=2sin(2x+φ).‎ 因为点在函数图象上,‎ 所以2sin=2,即sin=1.‎ 因为-<φ<,即-<+φ<,‎ 所以φ=,所以f(x)=2sin.‎ ‎(2) 由f=-,得sin=-.‎ 因为<α<,所以π<α+<,‎ 所以cos=-=-.‎ 所以cos α=cos=coscos+sinsin=-×+×=-.‎ ‎4.在平面直角坐标系xOy中,若角α,β的顶点都为坐标原点O,始边为x轴的正半轴,角α的终边经过点P,角β的终边经过点Q(sin2θ,-1),且·=-.‎ ‎(1)求cos 2θ的值;‎ ‎(2)求tan(α+β)的值.‎ 解:(1)由·=-,‎ 得sin2θ-cos2θ=-,‎ ‎∴sin2θ=2cos2θ-1,‎ 即=cos 2θ,‎ 解得cos 2θ=.‎ ‎(2)由(1),知sin2θ==,则cos2θ=,‎ 得P,Q,‎ ‎∴tan α=,tan β=-3,‎ 故tan(α+β)===-.‎ B组——大题增分练 ‎1.已知coscos=-,α∈.‎ ‎(1)求sin 2α的值;‎ ‎(2)求tan α-的值.‎ 解:(1)cos·cos ‎=cos·sin=sin=-,‎ 即sin=-.‎ ‎∵α∈,∴2α+∈,‎ ‎∴cos=-,‎ ‎∴sin 2α=sin ‎=sincos-cossin=.‎ ‎(2)∵α∈,∴2α∈,‎ 又由(1)知sin 2α=,∴cos 2α=-.‎ ‎∴tan α-=-= ‎==-2×=2.‎ ‎2.已知向量a=,b=(cos x,-1).‎ ‎(1)当a∥b时,求cos2x-sin 2x的值;‎ ‎(2)设函数f(x)=2(a+b)·b.已知在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a= ,b=2,sin B=,求f(x)+4cos的取值范围.‎ 解:(1)∵a∥b,∴cos x+sin x=0,∴tan x=-.‎ ‎∴cos2x-sin 2x===.‎ ‎(2)f(x)=2(a+b)·b= sin+.‎ 由正弦定理,得=,可得sin A=,‎ ‎∴A=.∴f(x)+4cos=sin2x+-.‎ ‎∵x∈,‎ ‎∴2x+∈.‎ ‎∴-1≤f(x)+4cos≤-.‎ ‎∴f(x)+4cos的取值范围为.‎ ‎3.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈[0,π))的图象如图所示.‎ ‎(1)求f(x)的解析式;‎ ‎(2)求函数g(x)=f(x)+f(x+2)在x∈[-1,3]上的最大值和最小值.‎ 解:(1)由图可得A=3,f(x)的周期为8,则=8,即ω=.‎ f(-1)=f(3)=0,则f(1)=3,所以sin=1,‎ 即+φ=+2kπ,k∈Z.又φ∈[0,π),故φ=.‎ 综上所述,f(x)的解析式为f(x)=3sin.‎ ‎(2)g(x)=f(x)+f(x+2)‎ ‎=3sin+3sin ‎=3sin+3cos ‎=6 ‎=6sin.‎ 当x∈[-1,3]时,x+∈.‎ 故当x+=,即x=-时,sin取得最大值1,则g(x)的最大值为g=6;‎ 当x+=,即x=3时,sin取得最小值-,则g(x)的最小值为g(3)=6×=-3.‎ ‎4.如图所示,角θ的始边OA落在x轴的非负半轴上,其始边、终边分别与单位圆交于点A,C,θ∈,△AOB为正三角形.‎ ‎(1)若点C的坐标为,求cos∠BOC;‎ ‎(2)记f(θ)=BC2,求函数f(θ)的解析式和值域.‎ 解:(1)因为点C的坐标为,‎ 根据三角函数的定义,‎ 得sin∠COA=,cos∠COA=.‎ 因为△AOB为正三角形,所以∠AOB=.‎ 所以cos∠BOC=cos ‎=cos∠COAcos-sin∠COAsin ‎=×-×=.‎ ‎(2)因为∠AOC=θ,‎ 所以∠BOC=+θ.‎ 在△BOC中,OB=OC=1,由余弦定理,可得f(θ)=BC2=OC2+OB2-2OC·OB·cos∠BOC=12+12-2×1×1×cos=2-2cos.‎ 因为0<θ<,‎ 所以<θ+<.‎ 所以-