高三数学总复习学案42 12页

学案42　空间点、线、面之间的位置关系 导学目标： 1.理解空间直线、平面位置关系的含义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．‎ 自主梳理 ‎1．平面的基本性质 公理1：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线在此平面内．‎ 公理2：过______________的三点，有且只有一个平面．‎ 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有________过该点的公共直线．‎ ‎2．直线与直线的位置关系 ‎(1)位置关系的分类 ‎(2)异面直线所成的角 ‎①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的____________叫做异面直线a，b所成的角(或夹角)．‎ ‎②范围：______________.‎ ‎3．直线与平面的位置关系有________、______、________三种情况．‎ ‎4．平面与平面的位置关系有______、______两种情况．‎ ‎5．平行公理 平行于______________的两条直线互相平行．‎ ‎6．定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角____________．‎ 自我检测 ‎1．(2011·泉州月考)若直线a与b是异面直线，直线b与c是异面直线，则直线a与c的位置关系是(　　)‎ A．相交 B．相交或异面 C．平行或异面 D．平行、相交或异面 ‎2．已知a，b是异面直线，直线c∥直线a，则c与b(　　)‎ A．一定是异面直线 B．一定是相交直线 C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线 ‎3．如图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是(　　)‎ ‎4．(2010·全国Ⅰ)直三棱柱ABC—A1B‎1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于(　　)‎ A．30° B．45°‎ C．60° D．90°‎ ‎5．下列命题：‎ ‎①空间不同三点确定一个平面；‎ ‎②有三个公共点的两个平面必重合；‎ ‎③空间两两相交的三条直线确定一个平面；‎ ‎④三角形是平面图形；‎ ‎⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；‎ ‎⑥垂直于同一直线的两直线平行；‎ ‎⑦一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交；‎ ‎⑧两组对边相等的四边形是平行四边形．‎ 其中正确的命题是________．(填序号)‎ 探究点一　平面的基本性质 例1　‎ 如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，过E、F、G的平面交AD于H，连接EH.‎ ‎(1)求AH∶HD；‎ ‎(2)求证：EH、FG、BD三线共点．‎ 变式迁移1　‎ 如图，E、F、G、H分别是空间四边形AB、BC、CD、DA上的点，且EH与FG相交于点O.‎ 求证：B、D、O三点共线．‎ 探究点二　异面直线所成的角 例2　(2009·全国Ⅰ)已知三棱柱ABC—A1B‎1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为(　　)‎ A. B. C. D. 变式迁移2　(2011·淮南月考)在空间四边形ABCD中，已知AD＝1，BC＝，且AD⊥BC，对角线BD＝，AC＝，求AC和BD所成的角．‎ 转化与化归思想的应用 例　‎ ‎(12分)如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°.‎ ‎(1)求四棱锥的体积；‎ ‎(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值．‎ 多角度审题　对(1)只需求出高PO，易得体积；对(2)可利用定义，过E点作PA的平行线，构造三角形再求解．‎ ‎【答题模板】‎ 解　(1)在四棱锥P—ABCD中，∵PO⊥平面ABCD，‎ ‎∴∠PBO是PB与平面ABCD所成的角，即∠PBO＝60°，[2分]‎ 在Rt△AOB中，∵BO＝AB·sin 30°＝1，又PO⊥OB，∴PO＝BO·tan 60°＝，‎ ‎∵底面菱形的面积S＝2××2×2×＝2，‎ ‎∴四棱锥P—ABCD的体积VP—ABCD＝×2×＝2.[6分]‎ ‎(2)‎ 取AB的中点F，连接EF，DF，‎ ‎∵E为PB中点，∴EF∥PA，‎ ‎∴∠DEF为异面直线DE与PA所成角(或其补角)．[8分]‎ 在Rt△AOB中，‎ AO＝AB·cos 30°＝，‎ ‎∴在Rt△POA中，PA＝，∴EF＝.‎ 在正三角形ABD和正三角形PDB中，DF＝DE＝，‎ 由余弦定理得cos∠DEF＝[10分]‎ ‎＝＝＝.‎ 所以异面直线DE与PA所成角的余弦值为.[12分]‎ ‎【突破思维障碍】‎ 求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决．根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往将角的顶点取在其中的一条直线上，特别地，可以取其中一条直线与另一条直线所在平面的交点或异面线段的端点．总之，顶点的选择要与已知量有关，以便于计算，具体步骤如下：‎ ‎(1)利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上；(2)证明作出的角即为所求角；(3)利用三角形来求解，异面直线所成角的范围是(0°，90°]．‎ ‎【易错点剖析】‎ ‎1．求异面直线所成的角时，仅指明哪个角，而不进行证明．‎ ‎2．忘记异面直线所成角的范围，余弦值回答为负值．‎ ‎1．利用平面基本性质证明“线共点”或“点共线”问题：‎ ‎(1)证明共点问题，常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上，有时也可将问题转化为证明三点共线．‎ ‎(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此共线．‎ ‎2．异面直线的判定方法：‎ ‎(1)定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内．‎ ‎(2)反证法：用此方法可以证明两直线是异面直线．‎ ‎3．求异面直线所成的角的步骤：‎ ‎(1)一般是用平移法(可以借助三角形的中位线、平行四边形等)作出异面直线的夹角；‎ ‎(2)证明作出的角就是所求的角；‎ ‎(3)利用条件求出这个角；‎ ‎(4)如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．‎ ‎(满分：75分)‎ 一、选择题(每小题5分，共25分)‎ ‎1．和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是(　　)‎ A．异面 B．相交 C．平行 D．异面或相交 ‎2．给出下列命题：‎ ‎①若平面α上的直线a与平面β上的直线b为异面直线，直线c是α与β的交线，那么c至多与a、b中的一条相交；②若直线a与b异面，直线b与c异面，则直线a与c异面；③一定存在平面α同时和异面直线a、b都平行．其中正确的命题为(　　)‎ A．① B．② C．③ D．①③‎ ‎3．(2011·宁德月考)‎ 如图所示，在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点，将△ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为(　　)‎ A．90° B．60° C．45° D．0°‎ ‎4．(2009·全国Ⅱ)已知正四棱柱ABCD—A1B‎1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎5．(2011·三明模拟)正四棱锥S—ABCD的侧棱长为，底面边长为，E为SA的中点，则异面直线BE和SC所成的角为(　　)‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ 二、填空题(每小题4分，共12分)‎ ‎6．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：‎ ‎①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.则正确结论的序号是______．‎ ‎7．(2009·四川)如图所示，已知正三棱柱ABC—A1B‎1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．‎ ‎8．如图所示，正四面体P—ABC中，M为棱AB的中点，则PA与CM所成角的余弦值为________．‎ 三、解答题(共38分)‎ ‎9．(12分)(2011·温州月考)‎ 如图所示，正方体ABCD—A1B‎1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．‎ 求证：(1)E，C，D1，F四点共面；‎ ‎(2)CE，D‎1F，DA三线共点．‎ ‎10．(12分)‎ 在棱长为a的正方体ABCD—A1B‎1C1D1中，P，Q，R分别是棱CC1，A1D1，A1B1的中点，画出过这三点的截面，并求这个截面的周长．‎ ‎11．(14分)(2011·舟山模拟)‎ 如图，正方体ABCD—A1B‎1C1D1的棱长为2，E为AB的中点．‎ ‎(1)求证：AC⊥平面BDD1；‎ ‎(2)求异面直线BD1与CE所成角的余弦值．‎ ‎(3)求点B到平面A1EC的距离．‎ 学案42　空间点、线、面之间的位置关系 自主梳理 ‎1．两点　不在一条直线上　一条　2.(1)平行　相交 ‎(2)①锐角或直角　②　3.平行　相交　在平面内 ‎4．平行　相交　5.同一条直线　6.相等或互补 自我检测 ‎1．D　[a，c都与直线b异面，并不能确定直线a，c的关系．]‎ ‎2．C　[a，b是异面直线，直线c∥直线a.‎ 因而cD b，‎ 否则，若c∥b，则a∥b与已知矛盾，‎ 因而cDb.]‎ ‎3．C　[A中PQ∥RS；B中RS∥PQ；‎ D中RS和PQ相交．]‎ ‎4．C　[‎ 将直三棱柱ABC—A1B‎1C1补成如图所示的几何体．‎ 由已知易知：该几何体为正方体．‎ 连接C1D，则C1D∥BA1.‎ ‎∴异面直线BA1与AC1所成的角为∠AC1D(或补角)，‎ 在等边△AC1D中，∠AC1D＝60°.]‎ ‎5．④‎ 课堂活动区 例1　解题导引　证明线共点的问题实质上是证明点在线上的问题，其基本理论是把直线看作两平面的交线，点看作是两平面的公共点，由公理3得证．‎ ‎(1)解　∵＝＝2，∴EF∥AC.‎ ‎∴EF∥平面ACD.而EF⊂平面EFGH，‎ 且平面EFGH∩平面ACD＝GH，∴EF∥GH.‎ 而EF∥AC，∴AC∥GH.‎ ‎∴＝＝3，即AH∶HD＝3∶1.‎ ‎(2)证明　∵EF∥GH，且＝，＝，‎ ‎∴EF≠GH，∴四边形EFGH为梯形．‎ 令EH∩FG＝P，则P∈EH，而EH⊂平面ABD，‎ P∈FG，FG⊂平面BCD，‎ 平面ABD∩平面BCD＝BD，‎ ‎∴P∈BD.∴EH、FG、BD三线共点．‎ 变式迁移1　证明　∵E∈AB，H∈AD，‎ ‎∴E∈平面ABD，H∈平面ABD.∴EH⊂平面ABD.‎ ‎∵EH∩FG＝O，∴O∈平面ABD.‎ 同理可证O∈平面BCD，‎ ‎∴O∈平面ABD∩平面BCD，‎ 即O∈BD，∴B、D、O三点共线．‎ 例2　解题导引　高考中对异面直线所成角的考查，一般出现在综合题的某一步，求异面直线所成角的一般步骤为：‎ ‎(1)平移：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置的点，如线段的中点或端点，也可以是异面直线中某一条直线上的特殊点．‎ ‎(2)证明：证明所作的角是异面直线所成的角．‎ ‎(3)寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之．‎ ‎(4)取舍：因为异面直线所成角θ的取值范围是0°<θ≤90°，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角．‎ D　[‎ 如图，A1D⊥平面ABC，且D为BC的中点，设三棱柱的各棱长为1，则AD＝，由A1D⊥平面ABC知A1D＝，Rt△A1BD中，易求A1B＝＝.‎ ‎∵CC1∥AA1，∴AB与AA1所成的角即为AB与CC1所成的角．在△A1BA中，由余弦定理可知cos∠A1AB＝＝.∴AB与CC1所成的角的余弦值为.]‎ 变式迁移2　解　‎ 如图所示，分别取AD、CD、AB、BD的中点E、F、G、H，连接EF、FH、HG、GE、GF.‎ 由三角形的中位线定理知，EF∥AC，且EF＝，GE∥BD，且GE＝.GE和EF所成的锐角(或直角)就是AC和BD所成的角．‎ 同理，GH∥AD，HF∥BC.GH＝，HF＝，‎ 又AD⊥BC，∴∠GHF＝90°，∴GF2＝GH2＋HF2＝1.‎ 在△EFG中，EG2＋EF2＝1＝GF2，‎ ‎∴∠GEF＝90°，即AC和BD所成的角为90°.‎ 课后练习区 ‎1．D ‎2．C　[①错，c可与a、b都相交；‎ ‎②错，因为a、c可能相交也可能平行；‎ ‎③正确，例如过异面直线a、b的公垂线段的中点且与公垂线垂直的平面即可满足条件．]‎ ‎3．B　[‎ 将三角形折成三棱锥，如图所示，HG与IJ为一对异面直线，过D分别作HG与IJ的平行线，‎ 因GH∥DF，‎ IJ∥AD，‎ 所以∠ADF为所求，‎ 因此HG与IJ所成角为60°.]‎ ‎4．C　[‎ 如图所示，连接A1B，则A1B∥C D1故异面直线BE与CD1所成的角即为BE与A1B所成的角．设AB＝a，则A1E＝a，A1B＝a，‎ BE＝a.‎ ‎△A1BE中，由余弦定理得 cos∠A1BE＝ ‎＝＝.]‎ ‎5．C　[设AC中点为O，则OE∥SC，连接BO，则∠BEO(或其补角)即为异面直线BE和SC所成的角，‎ EO＝SC＝，BO＝BD＝，‎ 在△SAB中，cos A＝＝＝ ‎＝，∴BE＝.‎ 在△BEO中，cos∠BEO＝＝，‎ ‎∴∠BEO＝60°.‎ ‎]‎ ‎6．①③‎ 解析　把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，如图所示，易知AB⊥EF，AB∥CM，EF与MN异面，MN⊥CD，故①③正确．‎ ‎7．90°‎ 解析　延长A1B1至D，使A1B1＝B1D，则AB1∥BD，‎ ‎∠MBD就是直线AB1和BM所成的角．设三棱柱的各条棱长为2，‎ 则BM＝，BD＝2，‎ C1D2＝A1D2＋A‎1C－‎2A1D·A‎1C1cos 60°‎ ‎＝16＋4－2×4＝12.‎ DM2＝C1D2＋C‎1M2‎＝13，‎ ‎∴cos∠DBM＝＝0，∴∠DBM＝90°.‎ ‎8. 解析　如图，取PB中点N，连接CN、MN.‎ ‎∠CMN为PA与CM所成的角(或补角)，‎ 设PA＝2，则CM＝，‎ MN＝1，CN＝.‎ ‎∴cos∠CMN＝＝.‎ ‎9．证明　(1)如图所示，连接CD1，EF，A1B，‎ ‎∵E、F分别是AB和AA1的中点，‎ ‎∴EF∥A1B，且EF＝A1B，(2分)‎ 又∵A1D1綊BC，‎ ‎∴四边形A1BCD1是平行四边形，‎ ‎∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1，‎ ‎∴EF与CD1确定一个平面α，‎ ‎∴E，F，C，D1∈α，‎ 即E，C，D1，F四点共面．(6分)‎ ‎(2)由(1)知EF∥CD1，且EF＝CD1，‎ ‎∴四边形CD1FE是梯形，‎ ‎∴CE与D‎1F必相交，设交点为P，(8分)‎ 则P∈CE⊂平面ABCD，且P∈D‎1F⊂平面A1ADD1，‎ ‎∴P∈平面ABCD且P∈平面A1ADD1.(10分)‎ 又平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，‎ ‎∴P∈AD，∴CE，D‎1F，DA三线共点．(12分)‎ ‎10．解　如图所示，连接QR并延长，分别与C1B1，C1D1的延长线交于E，F两点．‎ 连接EP交BB1于M点，‎ 连接FP交DD1于N点．‎ 再连接RM，QN，则五边形PMRQN为过三点P，Q，R的截面．(3分)‎ 由Q，R分别是边A1D1，A1B1的中点，知△QRA1≌△ERB1，(6分)‎ ‎∴B1E＝QA1＝a，‎ 由△EB‎1M∽△EC1P，‎ 知EM∶EP＝EB1∶EC1＝1∶3，(9分)‎ PM＝EP＝＝a，‎ 同理PN＝PM＝a，‎ 易求RM＝QN＝a，QR＝a，‎ ‎∴五边形PMRQN的周长为a.‎ ‎(12分)‎ ‎11．(1)证明　由已知有D1D⊥平面ABCD 得AC⊥D1D，又由ABCD是正方形，‎ 得AC⊥BD，∵D1D与BD相交，∴AC⊥平面BDD1.(4分)‎ ‎(2)解　延长DC至G，使CG＝EB，连接BG、D‎1G，‎ ‎∵CG綊EB，∴四边形EBGC是平行四边形．‎ ‎∴BG∥EC.‎ ‎∴∠D1BG就是异面直线BD1与CE所成的角．(6分)‎ 在△D1BG中，D1B＝2，‎ BG＝，D‎1G＝＝.‎ ‎∴cos∠D1BG＝ ‎＝＝.‎ ‎∴异面直线BD1与CE所成角的余弦值是.(8分)‎ ‎(3)解　连接A1B，‎ ‎∵△A1AE≌△CBE，∴A1E＝CE＝.‎ 又∵A‎1C＝2，‎ ‎∴点E到A‎1C的距离d＝＝.‎ ‎∴S△A1EC＝A‎1C·d＝，‎ S△A1EB＝EB·A‎1A＝1.(11分)‎ 又∵VB—A1EC＝VC—A1EB，‎ 设点B到平面A1EC的距离为h，‎ ‎∴S△A1EC·h＝S△A1EB·CB，∴·h＝2，h＝.‎ ‎∴点B到平面A1EC的距离为.(14分)‎