【数学】2018届一轮复习北师大版第3讲　合情推理与演绎推理学案 12页

第 3 讲　合情推理与演绎推理 [学生用书 P234]) 1．推理 (1)定义：是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程． (2)分类：推理{合情推理 演绎推理 2．合情推理 归纳推理 类比推理 定义 由某类事物的部分对象具有某些特征，推出 该类事物的全部对象都具有这些特征的推 理，或者由个别事实概括出一般结论的推理 由两类对象具有某些类似特征和 其中一类对象的某些已知特征， 推出另一类对象也具有这些特征 的推理 特点 由部分到整体、由个别到一般的推理 由特殊到特殊的推理 3.演绎推理 (1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演 绎推理． (2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理． (3)模式： 三段论{①大前提：已知的一般原理； ②小前提：所研究的特殊情况； ③结论：根据一般原理，对特殊情况做出的判断. 1．辨明两个易误点 (1)演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的 严密性，书写格式的规范性． (2)合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据． 2．把握合情推理与演绎推理的三个特点 (1)合情推理包括归纳推理和类比推理，所得到的结论都不一定正确，其结论的正确性 是需要证明的． (2)在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住 一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误． (3)应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提与 推理形式是正确的，结论必定是正确的．如果大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结 论也是错误的． 1．数列 2，5，11，20，x，47，…中的 x 等于(　　) A．28　　　　　　　　　　　　 B．32 C．33 D．27 　B　[解析] 由 5－2＝3，11－5＝6，20－11＝9，则 x－20＝12，因此 x＝32. 2．推理“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③三角形不是矩形”中的 小前提是(　　) A．①　　 B．② C．③ D．①和② 　B　[解析] 由演绎推理三段论可知，①是大前提，②是小前提，③是结论． 3.教材习题改编 已知数列{an}中，a1＝1，n≥2 时，a n＝an－1＋2n－1，依次计算 a2， a3，a4 后，猜想 an 的表达式是(　　) A．an＝3n－1　　 B．an＝4n－3 C．an＝n2 D．an＝3n－1 　C　[解析] 由 a1＝1，an＝an－1＋2n－1，则 a2＝a1＋2×2－1＝4； a3＝a2＋2×3－1＝9； a4＝a3＋2×4－1＝16； 所以 an＝n2. 4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为 1∶2，则它们的面积比为 1∶4.类似地， 在空间中，若两个正四面体的棱长的比为 1∶2，则它们的体积比为________． [解析] V1 V2＝ 1 3S1h1 1 3S2h2 ＝(S1 S2 )· h1 h2＝1 4× 1 2＝ 1 8. [答案] 1∶8 　归纳推理(高频考点)[学生用书 P234] 归纳推理是每年高考的常考内容，题型多为选择题或填空题，难度稍大，属中高档 题． 高考对归纳推理的考查常有以下三个命题角度： (1)与数字(数列)有关的等式的推理； (2)与不等式(式子)有关的推理； (3)与图形变化有关的推理． [典例引领] 　(1)(2016·高考山东卷)观察下列等式： (sin π 3 )－2 ＋(sin 2π 3 )－2 ＝4 3×1×2； (sin π 5 )－2 ＋(sin 2π 5 )－2 ＋(sin 3π 5 )－2 ＋(sin 4π 5 )－2 ＝ 4 3×2×3； (sin π 7 )－2 ＋(sin 2π 7 )－2 ＋(sin 3π 7 )－2 ＋…＋(sin 6π 7 )－2 ＝ 4 3×3×4； (sin π 9 )－2 ＋(sin 2π 9 )－2 ＋(sin 3π 9 )－2 ＋…＋(sin 8π 9 )－2 ＝ 4 3×4×5； … 照此规律， (sin π 2n＋1)－2 ＋(sin 2π 2n＋1)－2 ＋(sin 3π 2n＋1)－2 ＋…＋(sin 2nπ 2n＋1)－2 ＝__________． (2)(2017·青岛模拟)某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段， 长度相等，两两夹角为 120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段末端出发再生成两条 长度为原来 1 3的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为 120°，…，依此规律得到 n 级分 形图． n 级分形图中共有________条线段． 【解析】　(1)根据已知，归纳可得结果为 4 3n(n＋1)． (2)分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图知，一级分形图有 3＝3×2－ 3 条线段，二级分形图有 9＝3×22－3 条线段，三级分形图中有 21＝3×23－3 条线段，按此 规律 n 级分形图中的线段条数 an＝3×2n－3(n∈N*)． 【答案】　(1) 4 3n(n＋1)　(2)3×2n－3(n∈N*) 归纳推理问题的常见类型及解题策略 (1)与“数字”相关问题：主要是观察数字特点，找出等式左右两侧的规律． (2)与不等式有关的推理：观察所给几个不等式两边式子的特点，注意纵向看、找出隐 含规律． (3)与图形有关推理：合理利用特殊图形归纳推理得出结论．　 [题点通关] 角度一　与数字(数列)有关的等式的推理 1．有一个奇数组成的数阵排列如下： 1　 3　 7　 13　21　… 5　 9　 15　23　…　… 11　17　25　…　…　… 19　27　…　…　…　… 29　…　…　…　…　… …　…　…　…　…　… 则第 30 行从左到右第 3 个数是________． [解析] 观察每一行的第一个数，由归纳推理可得第 30 行的第 1 个数是 1＋4＋6＋8＋10 ＋…＋60＝ 30 × （2＋60） 2 －1＝929.又第 n 行从左到右的第 2 个数比第 1 个数大 2n，第 3 个数比第 2 个数大 2n＋2，所以第 30 行从左到右的第 2 个数比第 1 个数大 60，第 3 个数比 第 2 个数大 62，故第 30 行从左到右第 3 个数是 929＋60＋62＝1 051. [答案] 1 051 角度二　与不等式(式子)有关的推理 2．(2017·山东省滕州第二中学模拟)在△ABC 中，不等式 1 A＋ 1 B＋ 1 C≥ 9 π成立；在凸四边 形 ABCD 中，不等式 1 A＋1 B＋ 1 C＋ 1 D≥ 16 2π成立；在凸五边形 ABCDE 中，不等式 1 A＋ 1 B＋ 1 C＋ 1 D＋ 1 E ≥ 25 3π成立，…，依此类推，在凸 n 边形 A1A2…An 中，不等式 1 A1＋ 1 A2＋…＋ 1 An≥________成 立． [解析] 因为 1 A＋ 1 B＋ 1 C≥ 9 π＝ 32 π， 1 A＋ 1 B＋ 1 C＋ 1 D≥ 16 2π＝ 42 2π， 1 A＋ 1 B＋ 1 C＋ 1 D＋ 1 E≥ 25 3π＝ 52 3π，…， 所以 1 A1＋ 1 A2＋…＋ 1 An≥ n2 （n－2）π(n∈N*，n≥3)． [答案] n2 （n－2）π(n∈N*，n≥3) 角度三　与图形变化有关的推理 3．我国的刺绣有着悠久的历史，如图所示中的(1)(2)(3)(4)为刺绣最简单的四个图案， 这些图案都是由小正方形构成，小正方形个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正 方形的摆放规律相同)，设第 n 个图形包含 f(n)个小正方形．则 f(n)的表达式为(　　) A．f(n)＝2n－1　　　　　　 B．f(n)＝2n2 C．f(n)＝2n2－2n D．f(n)＝2n2－2n＋1 　D　[解析] 我们考虑 f(2)－f(1)＝4，f(3)－f(2)＝8，f(4)－f(3)＝12，…，结合图形不难 得到 f(n)－f(n－1)＝4(n－1)，累加得 f(n)－f(1)＝2n(n－1)＝2n2－2n，故 f(n)＝2n2－2n＋1. 　类比推理[学生用书 P235] [典例引领] 　如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，设 a，b，c 分别表示三条边的 长度，由勾股定理，得 c2＝a2＋b2. 类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想． 【解】　如题图所示，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°. 设 a，b，c 分别表示 3 条边的长度，由勾股定理，得 c2＝a2＋b2. 类似地，在四面体 P­DEF 中，∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°. 设 S1，S2，S3 和 S 分别表示△PDF，△PDE，△EDF 和△PEF 的面积， 相应于直角三角形的 2 条直角边 a，b 和 1 条斜边 c，图中的四面体有 3 个“直角面”S1， S2，S3 和 1 个“斜面”S.于是，类比勾股定理的结构，我们猜想 S2＝S21＋S22＋S 23成立． 若本例条件“由勾股定理，得 c2＝a2＋b2”换成“cos2 A＋cos2 B＝1”，则在空间中， 给出四面体性质的猜想． [解] 如图，在 Rt△ABC 中， cos2A＋cos2B＝(b c ) 2 ＋(a c )2 ＝ a2＋b2 c2 ＝1. 于是把结论类比到四面体 P­A′B′C′中，我们猜想，四面体 P­A′B′C′中，若三个侧面 PA′B′，PB′C′，PC′A′两两互相垂直，且分别与底面所成的角为 α，β，γ，则 cos2α＋ cos2β＋cos2γ＝1. 　 　(2017·杭州模拟)已知命题：“若数列{a n}是等比数列，且 an＞0，bn＝ n a1a2…an(n∈N*)，则数列{bn}也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一 个什么性质？并证明你的结论． [解] 类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列{an}是等差数列， bn＝ a1＋a2＋…＋an n (n∈N*)， 则数列{bn}也是等差数列． 证明如下：设等差数列{an}的公差为 d， 则 bn＝ a1＋a2＋…＋an n ＝ na1＋n（n－1）d 2 n ＝a1＋ d 2(n－1)， 所以数列{bn}是以 a1 为首项， d 2为公差的等差数列． 　演绎推理[学生用书 P236] [典例引领] 　数列{an}的前 n 项和记为 Sn，已知 a1＝1，an＋1＝ n＋2 n Sn(n∈N*)．证明： (1)数列{Sn n }是等比数列； (2)Sn＋1＝4an. 【证明】　(1)因为 an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝ n＋2 n Sn， 所以(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即 nSn＋1＝2(n＋1)Sn. 故 Sn＋1 n＋1＝2· Sn n ，(小前提) 故{Sn n }是以 1 为首项，2 为公比的等比数列．(结论) (大前提是等比数列的定义) (2)由(1)可知 Sn＋1 n＋1＝4· Sn－1 n－1(n≥2)， 所以 Sn＋1＝4(n＋1)· Sn－1 n－1＝4· n－1＋2 n－1 ·Sn－1 ＝4an(n≥2)．(大前提) 又因为 a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提) 所以对于任意正整数 n，都有 Sn＋1＝4an.(结论) 演绎推理的推证规则 (1)演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时， 应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略； (2)在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成．　 　已知函数 y＝f(x)满足：对任意 a，b∈R，a≠b，都有 af(a)＋bf(b)>af(b)＋ bf(a)，试证明：f(x)为 R 上的单调增函数． [证明] 设 x1，x2∈R，取 x1x1f(x2)＋x2f(x1)， 所以 x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]>0， [f(x2)－f(x1)](x2－x1)>0， 因为 x10，f(x2)>f(x1)． 所以 y＝f(x)为 R 上的单调增函数． [学生用书 P236]) ——例析归纳推理中的创新问题 　设△AnBnCn 的三边长分别为 an，bn，cn，△AnBnCn 的面积为 Sn，n＝1，2， 3，….若 b1>c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝ cn＋an 2 ，cn＋1＝ bn＋an 2 ，则(　　) A．{Sn}为递减数列 B．{Sn}为递增数列 C．{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列 D．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列 【解析】　在△A1B1C1 中，b1>c1，b1＋c1＝2a1， 所以 b1>a1>c1. 在△A2B2C2 中，a2＝a1，b2＝ c1＋a1 2 ，c2＝ b1＋a1 2 ，b2＋c2＝2a1， 所以 c12，f(8)> 5 2，f(16)>3，f(32)> 7 2，则 有________． [解析] 因为 f(22)> 4 2，f(23)> 5 2，f(24)> 6 2，f(25)> 7 2，所以当 n≥2 时，有 f(2n)> n＋2 2 . [答案] f(2n)> n＋2 2 (n≥2，n∈N*) 9．若 P0(x0，y0)在椭圆 x2 a2＋ y2 b2＝1(a＞b＞0)外，过 P 0 作椭圆的两条切线的切点为 P1， P2，则切点弦 P1P2 所在的直线方程是 x0x a2 ＋ y0y b2 ＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若 P0(x0，y0)在双曲线 x2 a2－ y2 b2＝1(a＞0，b＞0)外，过 P0 作双曲线的两条切线，切点为 P1，P2， 则切点弦 P1P2 所在直线的方程是________． [解析] 类比椭圆的切点弦方程可得双曲线 x2 a2－ y2 b2＝1 的切点弦方程为 x0x a2 － y0y b2 ＝1. [答案] x0x a2 － y0y b2 ＝1 10．某市为了缓解交通压力实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行 一天，周末(周六和周日)不限行．某公司有 A，B，C，D，E 五辆车，保证每天至少有四辆 车可以上路行驶．已知 E 车周四限行，B 车昨天限行，从今天算起，A，C 两车连续四天都 能上路行驶，E 车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是________． ①今天是周六　　　　　　②今天是周四 ③A 车周三限行 ④C 车周五限行 [解析] 因为每天至少有四辆车可以上路行驶，E 车明天可以上路，E 车周四限行，所以 今天不是周三；因为 B 车昨天限行，所以今天不是周一，也不是周日；因为 A，C 两车连续 四天都能上路行驶，所以今天不是周五，周二和周六，所以今天是周四． [答案] ② 11．我们将具有下列性质的所有函数组成集合 M：函数 y＝f(x)(x∈D)，对任意 x，y， x＋y 2 ∈D 均满足 f(x＋y 2 )≥ 1 2[f(x)＋f(y)]，当且仅当 x＝y 时等号成立． (1)若定义在(0，＋∞)上的函数 f(x)∈M，试比较 f(3)＋f(5)与 2f(4)的大小； (2)设函数 g(x)＝－x2，求证：g(x)∈M. [解] (1)对于 f(x＋y 2 )≥ 1 2[f(x)＋f(y)]，令 x＝3，y＝5 得 f(3)＋f(5)≤2f(4)． (2)证明：g(x1＋x2 2 )－ 1 2[g(x1)＋g(x2)] ＝－ （x1＋x2）2 4 ＋ x＋x 2 ＝ （x1－x2）2 4 ≥0， 所以 g(x1＋x2 2 )≥ 1 2[g(x1)＋g(x2)]， 所以 g(x)∈M.