【数学】2020届一轮复习北师大版解析几何函数与导数A组作业 2页

‎1.在平面直角坐标系xOy中,抛物线C的顶点是原点,以x轴为对称轴,且经过点P(1,2).‎ ‎(1)求抛物线C的方程.‎ ‎(2)设点A,B在抛物线C上,直线PA,PB分别与y轴交于点M,N,|PM|=|PN|.求直线AB的斜率.‎ ‎【解析】(1)依题意,设抛物线C的方程为y2=ax(a≠0).‎ 由抛物线C经过点P(1,2),得a=4,所以抛物线C的方程为y2=4x.‎ ‎(2)由题意作出图象如图所示.因为|PM|=|PN|,所以∠PMN=∠PNM,所以∠1=∠2,所以直线PA与PB的倾斜角互补,所以kPA+kPB=0.‎ 依题意,直线AP的斜率存在且不为零,设直线AP的方程为y-2=k(x-1)(k≠0),‎ 将其代入抛物线C的方程,整理得k2x2-2(k2-2k+2)x+k2-4k+4=0.‎ 设A(x1,y1),则1×x1=,y1=k(x1-1)+2=-2,所以A.‎ 以-k替换点A坐标中的k,得B.‎ 所以kAB==-1.即直线AB的斜率为-1.‎ ‎2.已知函数f(x)=ex-2(a-1)x-b,其中e为自然对数的底数.‎ ‎(1)若函数f(x)在区间[0,1]上是单调函数,试求实数a的取值范围.‎ ‎(2)已知函数g(x)=ex-(a-1)x2-bx-1,且g(1)=0,若函数g(x)在区间[0,1]上恰有3个零点,求实数a的取值范围.‎ ‎【解析】(1)根据题意,函数f(x)=ex-2(a-1)x-b,其导数为f′(x) =ex-2(a-1),当函数f(x)在区间[0,1]上单调递增时,f′(x)=ex-2(a-1)≥0在区间[0,1]上恒成立,‎ 所以2(a-1)≤(ex)min=1(其中x∈[0,1]),解得a≤;‎ 当函数f(x)在区间[0,1]单调递减时,f′(x)=ex-2(a-1)≤0在区间[0,1]上恒成立,‎ 所以2(a-1)≥(ex)max=e(其中x∈[0,1]),解得a≥+1.综上所述,实数a的取值范围是∪.‎ ‎(2)函数g(x)=ex-(a-1)x2-bx-1,则g′(x)=ex-2(a-1)x-b,分析可得f(x)=g′‎ ‎(x).由g(0)=g(1)=0,知g(x)在区间(0,1)内恰有一个零点,‎ 设该零点为x0,则g(x)在区间(0,x0)内不单调,所以f(x)在区间(0,x0)内存在零点x1,同理,f(x)在区间(x0,1)内存在零点x2,‎ 所以f(x)在区间(0,1)内恰有两个零点.‎ 由(1)知,当a≤时,f(x)在区间[0,1]上单调递增,故f(x)在区间(0,1)内至多有一个零点,不合题意.当a≥+1时,f(x)在区间[0,1]上单调递减,故f(x)在(0,1)内至多有一个零点,不合题意;所以0,f(1)=e-2a+2-b>0.由g(1)=0,得a+b=e,所以f= +1-(a+b)=+1-e<0,又f(0)=a-e+1>0,f(1)=2-a>0,所以e-1