【数学】2019届一轮复习北师大版平面向量的数量积学案 9页

‎ 平面向量的数量积 知识精讲·‎ ‎·‎ 平面向量的数量积 一．数量积的定义 ‎1．两个非零向量夹角的概念 ‎（1）当时，与同向；当时，与反向；当时，与垂直，记；‎ ‎（2）夹角范围：. ‎ ‎2．平面向量数量积（内积）： ．‎ ‎3．“投影”：叫做向量在方向上的投影．‎ ‎4．两个向量的数量积的性质：‎ 设与为两个非零向量，是与同向的单位向量．‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）当与同向时，；当与反向时． ‎ 特别的或 ‎（4）‎ ‎（5）‎ 二．平面向量的坐标运算 ‎ 1、在平面直角坐标系内，设坐标， ‎ ‎（1）向量：‎ ‎（2）向量的模长：‎ ‎2、设两个向量和的坐标分别为，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 三．两个平面向量的共线、垂直和夹角 ‎ 设两个向量和的坐标分别为，‎ ‎（1）若，则 ‎（2）若，则 ‎（3）设为向量和的夹角，则 ‎·三点剖析·‎ ‎·‎ 考试内容 要求层次 平面向量的应用 平面向量的几何中的应用 理解 平面向量的物理中的应用 理解 ‎·题模精选·‎ ‎·‎ 题模一：数量积（内积）的定义 例1.1.1 如图，在正方形ABCD中，AD=4，E为DC上一点，且=3，则（ ）‎ A． 20‎ B． 16‎ C． 15‎ D． 12‎ ‎【答案】D ‎【解析】 ∵ABCD为边长是4正方形，∴，‎ ‎∵=3，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 则=．‎ 例1.1.2 已知向量与的夹角为120°，且||=||=4，那么•的值为____．‎ ‎【答案】 -8‎ ‎【解析】 •=||•||•cos120°=4×4×(-)=-8．‎ 故答案为-8．‎ 题模二：平面向量的坐标运算 例1.2.1 设向量，，则，的夹角等于．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】 ，，‎ ‎∴cos＜，＞=．‎ ‎∴，的夹角是．‎ 例1.2.2 已知向量，满足||=1，=（2，1），且λ+=（λ∈R），则|λ|=____．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】 ‎ 设=（x，y）．‎ ‎∵向量，满足||=1，=（2，1），且λ+=（λ∈R），‎ ‎∴λ+=λ（x，y）+（2，1）=（λx+2，λy+1），‎ ‎∴，化为λ2=5．‎ 解得|λ|=．‎ 故答案为：．‎ 题模三：平面向量的位置关系 例1.3.1 已知向量，，且，共线，则向量在方向上的投影为．‎ ‎【答案】 -5‎ ‎【解析】 共线，且；‎ ‎∴方向相反；‎ ‎∴；‎ ‎∴在方向上的投影为： ．‎ 例1.3.2 已知|| =2，|| =，与的夹角为45°，要使λ-与垂直，则λ=____．‎ ‎【答案】 2‎ ‎【解析】 ∵|| =2，|| =，与的夹角为45°，‎ ‎∴•=2••cos45°=2‎ 若λ-与垂直，‎ 则（λ-）•=λ（•）- 2=2λ-4=0‎ 解得λ=2‎ 故答案为：2‎ ‎·随堂练习·‎ ‎·‎ 随练1.1 如图，在边长为2的菱形ABCD中，，E为CD的中点，则的值为（ ）‎ A． 1‎ B． ‎ C． ‎ D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 由题意得，‎ 故选A．‎ 随练1.2 已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若＝－3a，则点N的坐标为(　　)‎ A． (2,0)　　　　　　　　　 ‎ B． (－3,6)‎ C． (6,2) ‎ D． (－2,0)‎ ‎【答案】A ‎【解析】 　＝－3a＝－3(1，－2)＝(－3,6)，‎ 设N(x，y)，则＝(x－5，y＋6)＝(－3,6)，‎ 所以即选A.‎ 随练1.3 已知向量，，则向量在向量上的投影为．‎ ‎【答案】 －1‎ ‎·自我总结·‎ ‎·‎ ‎ ‎ ‎·课后作业·‎ ‎·‎ 作业1 如图，正六边形的边长为，则_______．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】 连接，．‎ 依题意得是边长为的正三角形，‎ 因此．‎ 作业2 在平行四边形ABCD中，若=(1，3)，=(2，5)，则向量的坐标为____．‎ ‎【答案】 （1，2）‎ ‎【解析】 本题在平行四边形中，已知一组邻边对应向量的坐标，求第三个向量坐标，着重考查了平行四边形的性质和平面向量加、减法的坐标运算等知识，属于基础题．‎ 根据向量减法法则，得到=-=（1，2），结合四边形ABCD是平行四边形，向量=，即得向量的坐标．‎ 解：∵=(1，3)，=(2，5)，‎ ‎∴=-=（1，2）‎ 又∵四边形ABCD是平行四边形 ‎∴向量=，故向量的坐标为（1，2）‎ 故答案为：（1，2）‎ 作业3 设向量，满足，在方向上的投影为1，若存在实数，使得与垂直，则（ ）‎ A． ‎ B． 1‎ C． 2‎ D． 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】 ∵，满足，在方向上的投影为1，‎ ‎∴．‎ ‎∵存在实数λ，使得与垂直，‎ ‎∴，‎ ‎∴22－2λ＝0，‎ 解得λ＝2．‎