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- 2021-06-16 发布
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第29讲 等比数列及其前n项和
考纲要求
考情分析
命题趋势
1.理解等比数列的概念.
2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.
3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.
4.了解等比数列与指数函数的关系.
2017·江苏卷,9
2017·北京卷,15
2016·全国卷Ⅲ,17
2016·湖南卷,14
1.利用公式求等比数列指定项、前n项和;利用定义、通项公式证明数列为等比数列.
2.利用等比数列性质求等比数列指定项、公比、前n项和.
分值:5~7分
1.等比数列的有关概念
(1)等比数列的定义
一般地,如果一个数列从__第2项__起,每一项与它的前一项的比等于__同一__常数,那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的__公比__,通常用字母__q__表示.
(2)等比中项
如果三个数a,G,b成等比数列,则G叫做a和b的等比中项,那么__=__,即__G2=ab__.
2.等比数列的有关公式
(1)等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,q≠0,则它的通项公式an=__a1·qn-1__.
(2)等比数列的前n项和公式
等比数列{an}的公比为q(q≠0),其前n项和为Sn,当q=1时,Sn=__na1__;当q≠1时,Sn=____=____.
3.等比数列的性质
(1)通项公式的推广:an=am·__qn-m__(n,m∈N*).
(2)若{an}为等比数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak·al=am·an.
(3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则(λ≠0),,{a},{an·bn},仍是等比数列.
(4)若公比不为-1的等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为__qn__.
1.思维辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)常数列一定是等比数列.( × )
(2)等比数列中不存在数值为0的项.( √ )
(3)满足an+1=qan(n∈N*,q为常数)的数列{an}为等比数列.( × )
(4)G为a,b的等比中项⇔G2=ab.( × )
(5)若等比数列{an}的首项为a1,公比是q,则其通项公式为an=a1qn.( × )
(6)数列{an}的通项公式是an=an,则其前n项和为Sn=.( × )
(7)q>1时,等比数列{an}是递增数列.( × )
(8)在等比数列{an}中,若am·an=ap·aq,则m+n=p+q.( × )
解析 (1)错误.常数列0,0,0,…不是等比数列.
(2)正确.由等比数列定义可知等比数列中不能有数值为0的项.
(3)错误.当q=0时,{an}不是等比数列.
(4)错误.当G2=ab=0时,G不是a,b的等比中项.
(5)错误.等比数列的通项公式为an=a1qn-1.
(6)错误.当a=1时,Sn=n.
(7)错误.当q>1,a1<0时,等比数列递减.
(8)错误.若an=1,a1·a3=a4·a5=1,但1+3≠4+5.
2.已知数列a,a(1-a),a(1-a)2,…是等比数列,则实数a满足的条件是( D )
A.{a|a≠1} B.{a|a≠0或a≠1}
C.{a|a≠0} D.{a|a≠0且a≠1}
解析 由等比数列定义可知,a≠0且1-a≠0,即a≠0且a≠1.
3.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S6∶S3=1∶2,则S9∶S3=( C )
A.1∶2 B.2∶3
C.3∶4 D.1∶3
解析 由等比数列的性质知S3,S6-S3,S9-S6仍成等比数列,于是(S6-S3)2=S3·(S9-S6),将S6=S3代入得=.
4.在等比数列{an}中,若a7a12=5,则a8a9a10a11=__25__.
解析 由等比数列的性质知a8·a11=a9·a10=a7·a12=5,
∴a8·a9·a10·a11=25.
5.在等比数列{an}中,已知a1=-1,a4=64,则q=__-4__,S4=__51__.
解析 ∵a4=a1·q3,∴q3=-64,q=-4,
S4===51.
一 等比数列基本量的求解
解决等比数列有关问题的常用思想方法
(1)方程的思想:等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求出关键量a1和q,问题便可迎刃而解.
(2)分类讨论的思想:等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,将q分为q=1和q≠1两种情况进行讨论.
【例1】 (2017·全国卷Ⅱ)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的前n项和为Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2.
(1)若a3+b3=5,求{bn}的通项公式;
(2)若T3=21,求S3.
解析 设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,
则an=-1+(n-1)·d,bn=qn-1.
由a2+b2=2,得d+q=3.①
(1)由a3+b3=5,得2d+q2=6.②
联立①和②解得(舍去),
因此{bn}的通项公式为bn=2n-1.
(2)由b1=1,T3=21,得q2+q-20=0,
解得q=-5或q=4.
当q=-5时,由①得d=8,则S3=21.
当q=4时,由①得d=-1,则S3=-6.
二 等比数列的性质及应用
(1)在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件、利用性质,特别是性质“若m+n=p+q,则am·an=ap·aq”,可以减少运算量,提高解题速度.
(2)在应用相应性质解题时,要注意性质成立的前提条件,有时需要进行适当变形.此外,解题时注意设而不求思想的运用.
【例2】 (1)已知等比数列{an}满足a1=,a3a5=4(a4-1),则a2=( C )
A.2 B.1
C. D.
(2)设等比数列{an}中,前n项和为Sn,已知S3=8,S6=7,则a7+a8+a9=( A )
A. B.-
C. D.
(3)已知等比数列{an}中,a4+a8=-2,则a6(a2+2a6+a10)的值为( A )
A.4 B.6
C.8 D.-9
解析 (1)∵a3a5=a,a3a5=4(a4-1),
∴a=4(a4-1),∴a-4a4+4=0,∴a4=2.
又∵q3===8,∴q=2,∴a2=a1q=×2=.故选C.
(2)因为a7+a8+a9=S9-S6,在等比数列中S3,S6-S3,S9-S6成等比数列,即8,-1,S9-S6成等比数列,所以有8(S9-S6)=1,即S9-S6=.故选A.
(3)a6(a2+2a6+a10)=a6a2+2a+a6a10=a+2a4a8+a=(a4+a8)2,
∵a4+a8=-2,∴a6(a2+2a6+a10)=4.故选A.
三 等比数列的判定与证明
(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法,其他方法只用于选择题、填空题中的判定;若证明某数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.
(2)利用递推关系时要注意对n=1时的情况进行验证.
【例3】 数列{an}的前n项和为Sn,Sn+an=-n2-n+1(n∈N*).
(1)设bn=an+n,证明:数列{bn}是等比数列;
(2)求数列的前n项和Tn.
解析 (1)证明:因为an+Sn=-n2-n+1,
所以当n=1时,2a1=-1,则a1=-;
当n≥2时,an-1+Sn-1=-(n-1)2-(n-1)+1,
所以2an-an-1=-n-1,即2(an+n)=an-1+n-1.
所以bn=bn-1(n≥2).又因为b1=a1+1=,
所以数列{bn}是首项为,公比为的等比数列.
所以bn=n.
(2)由(1)得nbn=,
所以Tn=++++…++,①
2Tn=1++++…++,②
②-①,得Tn=1+++…+-,
即Tn=-=2-.
1.数列{an}满足an+1=λan-1(n∈N*,λ∈R且λ≠0),若数列{an-1}是等比数列,则λ=( D )
A.1 B.-1
C. D.2
解析 由an+1=λan-1,得an+1-1=λan-2=λ.由于数列{an-1}是等比数列,所以=1,得λ=2.
2.设数列{an}(n=1,2,3,…)的前n项和Sn满足Sn+a1=2an,且a1,a2+1,a3成等差数列,则a1+a5=__34__.
解析 由Sn+a1=2an,得an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n≥2),即an=2an-1(n≥2).从而a2=2a1,a3=2a2=4a1.又因为a1,a2+1,a3成等差数列,所以a1+a3=2(a2+1),所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2,所以数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列,故an=2n,所以a1+a5=2+25=34.
3.已知正项数列{an}是首项为2的等比数列,且a2+a3=24.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
解析 (1)设正项数列{an}的公比为q,则2q+2q2=24,
∴q=3(q=-4舍去),∴an=2×3n-1.
(2)∵bn===,
∴Tn=+++…+,①
∴Tn=++…++,②
由①-②,得Tn=+++…+-,
∴Tn==.
4.已知数列{an}的首项a1=1,an+1=(n∈N*).
(1)证明:数列是等比数列;
(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Sn.
解析 (1)证明:∵an+1=,∴==+.
∴-=.又a1=1,∴-=,
∴数列是以为首项,为公比的等比数列.
(2)由(1)知-=·n-1=,
即=+,∴bn==+.
设Tn=+++…+,①
则Tn=++…++,②
①-②,得Tn=++…+-=1--,
∴Tn=2--.又∵(1+2+3+…+n)=,
∴数列{bn}的前n项和Sn=2-+.
易错点 不知等比数列中奇数项同号、偶数项同号
错因分析:①等比数列中所有奇数项的符号都相同,所有偶数项的符号也都相同.②只有同号两数才有等比中项,且有两个,它们互为相反数.
【例1】 等比数列{an}中,a5,a9是方程7x2+18x+7=0的两个根,试求a7.
解析 由韦达定理,得a5+a9=-,a5a9=1,∴a5<0,a9<0.
∵a=a5a9=1,且a7=a5q2<0,∴a7=-1.
【跟踪训练1】 若在1与4之间插入三个数使这五个数成等比数列,则这三个数分别为__,2,2或-,2,-2__.
解析 设这五个数依次为a1,a2,a3,a4,a5.
∵a=a1a5=4,且a3>0,∴a3=2.又a=a1a3=2,
∴a2=±,当a2=时,a4=2;当a2=-时,a4=-2.所以插入的三个数依次为,2,2或-,2,-2.
课时达标 第29讲
[解密考纲]主要考查等比数列的通项公式、等比中项及其性质以及前n项和公式的应用,三种题型均有涉及.
一、选择题
1.等比数列x,3x+3,6x+6,…的第四项等于( A )
A.-24 B.0
C.12 D.24
解析 由题意知(3x+3)2=x(6x+6),即x2+4x+3=0,解得x=-3或x=-1(舍去),所以等比数列的前3项是-3,-6,-12,则第四项为-24.
2.已知等比数列{an}的前n项和为Sn=x·3n-1-,则x的值为( C )
A. B.-
C. D.-
解析 当n=1时,a1=S1=x-,①
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=x·(3n-1-3n-2)=2x·3n-2,
因为{an}是等比数列,
所以a1===,②
由①②得x-=,解得x=.
3.在等比数列{an}中,若a3,a7是方程x2+4x+2=0的两根,则a5的值是( B )
A.-2 B.-
C.± D.
解析 根据根与系数之间的关系得a3+a7=-4,a3a7=2,因为a3+a7=-4<0,a3a7>0,所以a3<0,a7<0,即a5<0.
又a3a7=a,所以a5=-=-.
4.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a3=,a2+a4=,则=( D )
A.4n-1 B.4n-1
C.2n-1 D.2n-1
解析 ∵∴
由①除以②可得=2,解得q=,代入①得a1=2,
∴an=2×n-1=,
∴Sn==4,
∴==2n-1.故选D.
5.等比数列{an}的各项均为正数,且a5a6+a4a7=18,则log3a1+log3a2+…+log3a10=( B )
A.12 B.10
C.8 D.2+log35
解析 由题意可知a5a6=a4a7,又a5a6+a4a7=18,得a5a6=a4a7=9,而log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2…a10)=log3(a5a6)5=log395=log3310=10.
6.已知各项均为正数的等比数列{an}中,a4与a14的等比中项为2,则2a7+a11的最小值为( B )
A.16 B.8
C.2 D.4
解析 由题意知a4>0,a14>0,a4·a14=8,a7>0,a11>0,则2a7+a11≥2=2=2
=8,当且仅当即a7=2,a11=4时取等号,故2a7+a11的最小值为8.故选B.
二、填空题
7.在各项均为正数的等比数列{an}中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是__4__.
解析 设公比为q,则由a8=a6+2a4,得a1q7=a1q5+2a1q3,q4-q2-2=0,解得q2=2(q2=-1舍去),所以a6=a2q4=4.
8.等比数列的各项均为正数,且a1a5=4,则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=__5__.
解析 由等比数列的性质可知a1a5=a2a4=a,于是由a1a5=4得a3=2,故a1a2a3a4a5=32,则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2(a1a2a3a4a5)=log232=5.
9.(2017·江苏卷)等比数列{an}的各项均为实数,其前n项和为Sn.已知S3=,S6=,则a8=__32__.
解析 设等差数列{an}的公比为q,则由S6≠2S3,得q≠1,则S3==,S6==,解得q=2,a1=,则a8=a1q7=×27=32.
三、解答题
10.已知递增的等比数列{an}的前n项和为Sn,a6=64,且a4,a5的等差中项为3a3.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
解析 (1)设等比数列{an}的公比为q(q>0).
由题意,得
解得或(舍去),所以an=2n.
(2)因为bn==,
所以Tn=++++…+,
Tn=+++…++,
所以Tn=++++…+-
=-=-,
故Tn=-=-.
11.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S1 ,2S2,3S3成等差数列,且S4=.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求证:Sn<.
解析 (1)设等比数列{an}的公比为q,因为S1,2S2,3S3成等差数列,所以4S2=S1+3S3,即4(a1+a2)=a1+3(a1+a2+a3),
所以a2=3a3,所以q==.
又S4=,即=,解得a1=1,所以an=n-1.
(2)证明:由(1)得
Sn===.
∵n∈N*,∴0