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  • 2021-06-16 发布

【数学】2019届一轮复习北师大版等比数列及其前n项和学案

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第29讲 等比数列及其前n项和 考纲要求 考情分析 命题趋势 ‎1.理解等比数列的概念.‎ ‎2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.‎ ‎3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.‎ ‎4.了解等比数列与指数函数的关系.‎ ‎2017·江苏卷,9‎ ‎2017·北京卷,15‎ ‎2016·全国卷Ⅲ,17‎ ‎2016·湖南卷,14‎ ‎1.利用公式求等比数列指定项、前n项和;利用定义、通项公式证明数列为等比数列.‎ ‎2.利用等比数列性质求等比数列指定项、公比、前n项和.‎ 分值:5~7分 ‎1.等比数列的有关概念 ‎(1)等比数列的定义 一般地,如果一个数列从__第2项__起,每一项与它的前一项的比等于__同一__常数,那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的__公比__,通常用字母__q__表示.‎ ‎(2)等比中项 如果三个数a,G,b成等比数列,则G叫做a和b的等比中项,那么__=__,即__G2=ab__.‎ ‎2.等比数列的有关公式 ‎(1)等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,q≠0,则它的通项公式an=__a1·qn-1__.‎ ‎(2)等比数列的前n项和公式 等比数列{an}的公比为q(q≠0),其前n项和为Sn,当q=1时,Sn=__na1__;当q≠1时,Sn=____=____.‎ ‎3.等比数列的性质 ‎(1)通项公式的推广:an=am·__qn-m__(n,m∈N*).‎ ‎(2)若{an}为等比数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak·al=am·an.‎ ‎(3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则(λ≠0),,{a},{an·bn},仍是等比数列.‎ ‎(4)若公比不为-1的等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为__qn__.‎ ‎1.思维辨析(在括号内打“√”或“×”).‎ ‎(1)常数列一定是等比数列.( × )‎ ‎(2)等比数列中不存在数值为0的项.( √ )‎ ‎(3)满足an+1=qan(n∈N*,q为常数)的数列{an}为等比数列.( × )‎ ‎(4)G为a,b的等比中项⇔G2=ab.( × )‎ ‎(5)若等比数列{an}的首项为a1,公比是q,则其通项公式为an=a1qn.( × )‎ ‎(6)数列{an}的通项公式是an=an,则其前n项和为Sn=.( × )‎ ‎(7)q>1时,等比数列{an}是递增数列.( × )‎ ‎(8)在等比数列{an}中,若am·an=ap·aq,则m+n=p+q.( × )‎ 解析 (1)错误.常数列0,0,0,…不是等比数列.‎ ‎(2)正确.由等比数列定义可知等比数列中不能有数值为0的项.‎ ‎(3)错误.当q=0时,{an}不是等比数列.‎ ‎(4)错误.当G2=ab=0时,G不是a,b的等比中项.‎ ‎(5)错误.等比数列的通项公式为an=a1qn-1.‎ ‎(6)错误.当a=1时,Sn=n.‎ ‎(7)错误.当q>1,a1<0时,等比数列递减.‎ ‎(8)错误.若an=1,a1·a3=a4·a5=1,但1+3≠4+5.‎ ‎2.已知数列a,a(1-a),a(1-a)2,…是等比数列,则实数a满足的条件是( D )‎ A.{a|a≠1}   B.{a|a≠0或a≠1}‎ C.{a|a≠0}   D.{a|a≠0且a≠1}‎ 解析 由等比数列定义可知,a≠0且1-a≠0,即a≠0且a≠1.‎ ‎3.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S6∶S3=1∶2,则S9∶S3=( C )‎ A.1∶2     B.2∶‎3 ‎ ‎ C.3∶4      D.1∶3‎ 解析 由等比数列的性质知S3,S6-S3,S9-S6仍成等比数列,于是(S6-S3)2=S3·(S9-S6),将S6=S3代入得=.‎ ‎4.在等比数列{an}中,若a‎7a12=5,则a‎8a‎9a‎10a11=__25__.‎ 解析 由等比数列的性质知a8·a11=a9·a10=a7·a12=5,‎ ‎∴a8·a9·a10·a11=25.‎ ‎5.在等比数列{an}中,已知a1=-1,a4=64,则q=__-4__,S4=__51__.‎ 解析 ∵a4=a1·q3,∴q3=-64,q=-4,‎ S4===51.‎ 一 等比数列基本量的求解 解决等比数列有关问题的常用思想方法 ‎(1)方程的思想:等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求出关键量a1和q,问题便可迎刃而解.‎ ‎(2)分类讨论的思想:等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,将q分为q=1和q≠1两种情况进行讨论.‎ ‎【例1】 (2017·全国卷Ⅱ)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的前n项和为Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2.‎ ‎(1)若a3+b3=5,求{bn}的通项公式;‎ ‎(2)若T3=21,求S3.‎ 解析 设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,‎ 则an=-1+(n-1)·d,bn=qn-1.‎ 由a2+b2=2,得d+q=3.①‎ ‎(1)由a3+b3=5,得2d+q2=6.②‎ 联立①和②解得(舍去), 因此{bn}的通项公式为bn=2n-1.‎ ‎(2)由b1=1,T3=21,得q2+q-20=0,‎ 解得q=-5或q=4.‎ 当q=-5时,由①得d=8,则S3=21.‎ 当q=4时,由①得d=-1,则S3=-6.‎ 二 等比数列的性质及应用 ‎(1)在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件、利用性质,特别是性质“若m+n=p+q,则am·an=ap·aq”,可以减少运算量,提高解题速度.‎ ‎(2)在应用相应性质解题时,要注意性质成立的前提条件,有时需要进行适当变形.此外,解题时注意设而不求思想的运用.‎ ‎【例2】 (1)已知等比数列{an}满足a1=,a‎3a5=4(a4-1),则a2=( C )‎ A.2   B.‎1 ‎ ‎ C.   D. ‎(2)设等比数列{an}中,前n项和为Sn,已知S3=8,S6=7,则a7+a8+a9=( A )‎ A.   B.-  ‎ C.   D. ‎(3)已知等比数列{an}中,a4+a8=-2,则a6(a2+‎2a6+a10)的值为( A )‎ A.4   B.‎6 ‎ ‎ C.8   D.-9‎ 解析 (1)∵a‎3a5=a,a‎3a5=4(a4-1),‎ ‎∴a=4(a4-1),∴a-‎4a4+4=0,∴a4=2.‎ 又∵q3===8,∴q=2,∴a2=a1q=×2=.故选C.‎ ‎(2)因为a7+a8+a9=S9-S6,在等比数列中S3,S6-S3,S9-S6成等比数列,即8,-1,S9-S6成等比数列,所以有8(S9-S6)=1,即S9-S6=.故选A.‎ ‎(3)a6(a2+‎2a6+a10)=a‎6a2+‎2a+a‎6a10=a+‎2a‎4a8+a=(a4+a8)2,‎ ‎∵a4+a8=-2,∴a6(a2+‎2a6+a10)=4.故选A.‎ 三 等比数列的判定与证明 ‎(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法,其他方法只用于选择题、填空题中的判定;若证明某数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.‎ ‎(2)利用递推关系时要注意对n=1时的情况进行验证.‎ ‎【例3】 数列{an}的前n项和为Sn,Sn+an=-n2-n+1(n∈N*).‎ ‎(1)设bn=an+n,证明:数列{bn}是等比数列;‎ ‎(2)求数列的前n项和Tn.‎ 解析 (1)证明:因为an+Sn=-n2-n+1,‎ 所以当n=1时,‎2a1=-1,则a1=-;‎ 当n≥2时,an-1+Sn-1=-(n-1)2-(n-1)+1,‎ 所以2an-an-1=-n-1,即2(an+n)=an-1+n-1.‎ 所以bn=bn-1(n≥2).又因为b1=a1+1=,‎ 所以数列{bn}是首项为,公比为的等比数列.‎ 所以bn=n.‎ ‎(2)由(1)得nbn=,‎ 所以Tn=++++…++,①‎ ‎2Tn=1++++…++,②‎ ‎②-①,得Tn=1+++…+-,‎ 即Tn=-=2-.‎ ‎1.数列{an}满足an+1=λan-1(n∈N*,λ∈R且λ≠0),若数列{an-1}是等比数列,则λ=( D )‎ A.1   B.-‎1 ‎ ‎ C.   D.2‎ 解析 由an+1=λan-1,得an+1-1=λan-2=λ.由于数列{an-1}是等比数列,所以=1,得λ=2.‎ ‎2.设数列{an}(n=1,2,3,…)的前n项和Sn满足Sn+a1=2an,且a1,a2+1,a3成等差数列,则a1+a5=__34__.‎ 解析 由Sn+a1=2an,得an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n≥2),即an=2an-1(n≥2).从而a2=‎2a1,a3=‎2a2=‎4a1.又因为a1,a2+1,a3成等差数列,所以a1+a3=2(a2+1),所以a1+‎4a1=2(‎2a1+1),解得a1=2,所以数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列,故an=2n,所以a1+a5=2+25=34.‎ ‎3.已知正项数列{an}是首项为2的等比数列,且a2+a3=24.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 解析 (1)设正项数列{an}的公比为q,则2q+2q2=24,‎ ‎∴q=3(q=-4舍去),∴an=2×3n-1.‎ ‎(2)∵bn===,‎ ‎∴Tn=+++…+,①‎ ‎∴Tn=++…++,②‎ 由①-②,得Tn=+++…+-,‎ ‎∴Tn==.‎ ‎4.已知数列{an}的首项a1=1,an+1=(n∈N*).‎ ‎(1)证明:数列是等比数列;‎ ‎(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Sn.‎ 解析 (1)证明:∵an+1=,∴==+.‎ ‎∴-=.又a1=1,∴-=,‎ ‎∴数列是以为首项,为公比的等比数列.‎ ‎(2)由(1)知-=·n-1=,‎ 即=+,∴bn==+.‎ 设Tn=+++…+,①‎ 则Tn=++…++,②‎ ‎①-②,得Tn=++…+-=1--,‎ ‎∴Tn=2--.又∵(1+2+3+…+n)=,‎ ‎∴数列{bn}的前n项和Sn=2-+.‎ 易错点 不知等比数列中奇数项同号、偶数项同号 错因分析:①等比数列中所有奇数项的符号都相同,所有偶数项的符号也都相同.②只有同号两数才有等比中项,且有两个,它们互为相反数.‎ ‎【例1】 等比数列{an}中,a5,a9是方程7x2+18x+7=0的两个根,试求a7.‎ 解析  由韦达定理,得a5+a9=-,a‎5a9=1,∴a5<0,a9<0.‎ ‎∵a=a‎5a9=1,且a7=a5q2<0,∴a7=-1.‎ ‎【跟踪训练1】 若在1与4之间插入三个数使这五个数成等比数列,则这三个数分别为__,2,2或-,2,-2__.‎ 解析 设这五个数依次为a1,a2,a3,a4,a5.‎ ‎∵a=a‎1a5=4,且a3>0,∴a3=2.又a=a‎1a3=2,‎ ‎∴a2=±,当a2=时,a4=2;当a2=-时,a4=-2.所以插入的三个数依次为,2,2或-,2,-2.‎ 课时达标 第29讲 ‎[解密考纲]主要考查等比数列的通项公式、等比中项及其性质以及前n项和公式的应用,三种题型均有涉及.‎ 一、选择题 ‎1.等比数列x,3x+3,6x+6,…的第四项等于( A )‎ A.-24   B.‎0 ‎ ‎ C.12   D.24‎ 解析 由题意知(3x+3)2=x(6x+6),即x2+4x+3=0,解得x=-3或x=-1(舍去),所以等比数列的前3项是-3,-6,-12,则第四项为-24.‎ ‎2.已知等比数列{an}的前n项和为Sn=x·3n-1-,则x的值为( C )‎ A.   B.-  ‎ C.   D.- 解析 当n=1时,a1=S1=x-,①‎ 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=x·(3n-1-3n-2)=2x·3n-2,‎ 因为{an}是等比数列,‎ 所以a1===,②‎ 由①②得x-=,解得x=.‎ ‎3.在等比数列{an}中,若a3,a7是方程x2+4x+2=0的两根,则a5的值是( B )‎ A.-2   B.- C.±   D. 解析 根据根与系数之间的关系得a3+a7=-4,a‎3a7=2,因为a3+a7=-4<0,a‎3a7>0,所以a3<0,a7<0,即a5<0.‎ 又a‎3a7=a,所以a5=-=-.‎ ‎4.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a3=,a2+a4=,则=( D )‎ A.4n-1   B.4n-1‎ C.2n-1   D.2n-1‎ 解析 ∵∴ 由①除以②可得=2,解得q=,代入①得a1=2,‎ ‎∴an=2×n-1=,‎ ‎∴Sn==4,‎ ‎∴==2n-1.故选D.‎ ‎5.等比数列{an}的各项均为正数,且a‎5a6+a‎4a7=18,则log‎3a1+log‎3a2+…+log‎3a10=( B )‎ A.12   B.10‎ C.8   D.2+log35‎ 解析 由题意可知a‎5a6=a‎4a7,又a‎5a6+a‎4a7=18,得a‎5a6=a‎4a7=9,而log‎3a1+log‎3a2+…+log‎3a10=log3(a‎1a2…a10)=log3(a‎5a6)5=log395=log3310=10.‎ ‎6.已知各项均为正数的等比数列{an}中,a4与a14的等比中项为2,则‎2a7+a11的最小值为( B )‎ A.16   B.8‎ C.2   D.4‎ 解析 由题意知a4>0,a14>0,a4·a14=8,a7>0,a11>0,则‎2a7+a11≥2=2=2‎ =8,当且仅当即a7=2,a11=4时取等号,故‎2a7+a11的最小值为8.故选B.‎ 二、填空题 ‎7.在各项均为正数的等比数列{an}中,若a2=1,a8=a6+‎2a4,则a6的值是__4__.‎ 解析 设公比为q,则由a8=a6+‎2a4,得a1q7=a1q5+‎2a1q3,q4-q2-2=0,解得q2=2(q2=-1舍去),所以a6=a2q4=4.‎ ‎8.等比数列的各项均为正数,且a‎1a5=4,则log‎2a1+log‎2a2+log‎2a3+log‎2a4+log‎2a5=__5__.‎ 解析 由等比数列的性质可知a‎1a5=a‎2a4=a,于是由a‎1a5=4得a3=2,故a‎1a‎2a‎3a‎4a5=32,则log‎2a1+log‎2a2+log‎2a3+log‎2a4+log‎2a5=log2(a‎1a‎2a‎3a‎4a5)=log232=5.‎ ‎9.(2017·江苏卷)等比数列{an}的各项均为实数,其前n项和为Sn.已知S3=,S6=,则a8=__32__.‎ 解析 设等差数列{an}的公比为q,则由S6≠2S3,得q≠1,则S3==,S6==,解得q=2,a1=,则a8=a1q7=×27=32.‎ 三、解答题 ‎10.已知递增的等比数列{an}的前n项和为Sn,a6=64,且a4,a5的等差中项为‎3a3.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 解析 (1)设等比数列{an}的公比为q(q>0).‎ 由题意,得 解得或(舍去),所以an=2n.‎ ‎(2)因为bn==,‎ 所以Tn=++++…+,‎ Tn=+++…++,‎ 所以Tn=++++…+- ‎=-=-,‎ 故Tn=-=-.‎ ‎11.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S1 ,2S2,3S3成等差数列,且S4=.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)求证:Sn<.‎ 解析 (1)设等比数列{an}的公比为q,因为S1,2S2,3S3成等差数列,所以4S2=S1+3S3,即4(a1+a2)=a1+3(a1+a2+a3),‎ 所以a2=‎3a3,所以q==.‎ 又S4=,即=,解得a1=1,所以an=n-1.‎ ‎(2)证明:由(1)得 Sn===.‎ ‎∵n∈N*,∴0