2020届江苏省高考数学二轮复习专项强化练（十）空间几何体 9页

专项强化练(十) 空间几何体 A 组 题型一 平面及其基本性质 1．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点” 的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)． 解析：若两直线为异面直线，则两直线无公共点，反之不一定成立． 答案：充分不必要 2．设 a，b，c 是空间中的三条直线，下面给出四个命题： ①若 a∥b，b∥c，则 a∥c； ②若 a⊥b，b⊥c，则 a∥c； ③若 a 与 b 相交，b 与 c 相交，则 a 与 c 相交； ④若 a⊂平面α，b⊂平面β，则 a，b 一定是异面直线． 上述命题中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号)． 解析：由公理 4 知①正确；当 a⊥b，b⊥c 时，a 与 c 可以相交、平行或异面，故②错； 当 a 与 b 相交，b 与 c 相交时，a 与 c 可以相交、平行，也可以异面，故③错；a⊂α，b⊂ β，并不能说明 a 与 b“不同在任何一个平面内”，故④错． 答案：① [临门一脚] 1．四个公理，三个推论要记清楚；公理 3 以及三个推论都是用来判定是否共面的依据． 2．因为两直线没有公共点包含两种情况：平行和异面. 所以不能把异面直线误解为： 分别在不同平面内的两条直线为异面直线． 题型二 空间中的平行与垂直 1．给出下列条件：①l∥α；②l 与α至少有一个公共点；③l 与α至多有一个公共点．能 确定直线 l 在平面α外的条件的序号为________． 解析：直线 l 在平面α外指：l∥α或直线 l 与平面α仅有一个交点． 答案：①③ 2.如图，在空间四边形 ABCD 中，M∈AB，N∈AD，若AM MB ＝AN ND ，则直线 MN 与平面 BDC 的位 置关系是________． 解析：因为AM MB ＝AN ND ，所以 MN∥BD， 又 MN⊄ 平面 BCD，BD⊂平面 BCD， 所以 MN∥平面 BDC. 答案：平行 3．已知 m，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的 序号是________． ①若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β；②若 m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β；③若 m∥n，m ⊥α，n⊥β，则α∥β；④若 m∥n，m∥α，则 n∥α. 解析：垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，所以①错误；两个平面内的两条直线 平行，这两个平面不一定平行，所以②错误；两个平面同时垂直于两条平行直线，这两个平 面平行，所以③正确；两条平行直线中的一条平行于一个平面，另一条不一定平行于该平面， 所以④错误． 答案：③ 4．(2018·南京高三模拟)已知α，β是两个不同的平面，l，m 是两条不同的直线，有 如下四个命题： ①若 l⊥α，l⊥β，则α∥β；②若 l⊥α，α⊥β，则 l∥β； ③若 l∥α，l⊥β，则α⊥β；④若 l∥α，α⊥β，则 l⊥β. 其中的真命题为________(填所有真命题的序号)． 解析：若 l⊥α，l⊥β，则α∥β，①正确；若 l⊥α，α⊥β，则 l∥β或 l⊂β， ②错误；若 l∥α，l⊥β，则α⊥β，③正确；若 l∥α，α⊥β，则 l 与β的位置关系不 确定，可能平行、相交或 l⊂β，④错误．故真命题为①③. 答案：①③ 5.如图，PA⊥⊙O 所在平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点， AE⊥PC，AF⊥PB，给出下列结论：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC； ④AE⊥平面 PBC. 其中正确结论的序号是________． 解析：①AE⊂平面 PAC，BC⊥AC，BC⊥PA，AC∩PA＝A，AC⊂平面 PAC，PA⊂平面 PAC⇒ BC⊥平面 PAC⇒AE⊥BC，故①正确；②AE⊥PB，AF⊥PB，AE∩AF＝A，AE⊂平面 AEF，AF⊂平 面 AEF⇒PB⊥平面 AEF⇒EF⊥PB，故②正确；③若 AF⊥BC⇒AF⊥平面 PBC，则 AF∥AE 与已知 矛盾，故③错误，由①可知④正确． 答案：①②④ [临门一脚] 1．线线、线面、面面的平行与垂直的关系可以通过下列形式转化： 2．与平行、垂直有关的命题真假判定要注意所给命题与定理之间的关系，经常会出现 条件缺失， 这类题其实质为多项选择，主要考查空间中线面之间的位置关系，要求熟悉有 关公理、定理及推论，并具备较好的空间想象能力，做到不漏选、多选、错选．如线面平行 中“线在平面外”不能遗漏，线面垂直中两条直线必须相交不能遗忘． 题型三 空间几何体的表面积和体积 1．正六棱柱的高为 6，底面边长为 4，则它的表面积为________． 解析：S 底＝6× 3 4 ×42＝24 3，S 侧＝6×4×6＝144，所以 S 表＝S 侧＋2S 底＝144＋48 3＝ 48(3＋ 3)． 答案：48(3＋ 3) 2．已知正四棱锥的底面边长是 2，侧棱长是 3，则该正四棱锥的体积为________． 解析：如图，在正四棱锥 PABCD 中，AB＝2，PA＝ 3， 设正四棱锥的高为 PO，连结 AO，则 AO＝1 2 AC＝ 2. 在直角三角形 POA 中，PO＝ PA2－AO2＝1. 所以 VPABCD＝1 3 ·S 四边形 ABCD·PO＝1 3 ×4×1＝4 3 . 答案：4 3 3．(2018·盐城高三模拟)若一圆锥的底面半径为 1，其侧面积是底面积的 3 倍，则该 圆锥的体积为________． 解析：设圆锥的母线长为 l，高为 h，则π×1×l＝3π×12，l＝3，则 h＝ 32－12＝ 2 2，故该圆锥的体积 V＝1 3 π×12×2 2＝2 2π 3 . 答案：2 2π 3 4．(2018·南京四校联考)已知在三棱锥 S ABC 中，△SAB，△SBC，△SAC 都是以 S 为 直角顶点的等腰三角形，且 AB＝BC＝CA＝ 2，则三棱锥 S ABC 的内切球的半径为________． 解析：由题意知，SA＝SB＝SC.设 SA＝SB＝SC＝a，则 2a＝ 2，a＝1.设三棱锥 S ABC 的内切球的半径为 r，则由等体积法可得，VS ABC＝1 3 ×1 2 ×1×1×r×3＋1 2 × 6 2 × 2×r＝VA SBC ＝1 3 × 1 2 ×1×1 ×1，解得 r＝3－ 3 6 ，即三棱锥 S ABC 的内切球的半径为3－ 3 6 . 答案：3－ 3 6 5.如图，已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，点 P 在线段 BD1 上， 当∠APC 最大时，三棱锥 PABC 的体积为________． 解析：连结 BD 交 AC 于点 O，连结 PO，则∠APC＝2∠APO， ∵tan ∠APO＝AO PO ， ∴当 PO 最小时，∠APO 最大， 即 PO⊥BD1 时，∠APO 最大． 如图，作 PE⊥BD 于点 E，此时 PB＝1 3 BD1，∴三棱锥 PABC 的高为点 P 到平面 ABCD 的距 离 PE＝1 3 ，∴三棱锥 PABC 的体积 V＝1 3 S△ABC·PE＝1 3 ×1 2 ×1 3 ＝ 1 18 . 答案： 1 18 [临门一脚] 1．涉及柱、锥、台、球及其简单组合体的侧面积和体积的计算问题，要在正确理解概 念的基础上，画出符合题意的图形或辅助线(面)，分析几何体的结构特征，选择合适的公式， 进行计算． 2．另外要重视空间问题平面化的思想和割补法、等积转换法的运用． 3．图形的展开、折叠、切割在考查空间想象能力方面有着不可比拟的优势，解决此类 问题的关键是弄清图形变化前后的点、线、面的对应关系，并分析清楚变化前后点、线、面 的位置变化． 4．锥体和柱体公式要记清楚，不能混淆． B 组 1．(2019·泰兴中学模拟)用半径为 3 cm，圆心角为2π 3 的扇形纸片卷成一个圆锥筒， 则这个圆锥筒的体积为________cm3. 解析：设圆锥筒的底面半径为 r cm，母线长为 l cm，则 l＝3，2π 3 ×3＝2πr，所以 r ＝1，所以这个圆锥筒的高 h＝ l2－r2＝ 32－12＝2 2(cm)，所以这个圆锥筒的体积为1 3 πr2h ＝1 3 ×π×12×2 2＝2 2 3 π(cm3)． 答案：2 2π 3 2．设 b，c 表示两条直线，α，β表示两个平面，现给出下列命题： ①若 b⊂α，c∥α，则 b∥c； ②若 b⊂α，b∥c，则 c∥α； ③若 c∥α，α⊥β，则 c⊥β； ④若 c∥α，c⊥β，则α⊥β. 其中正确的命题是________．(写出所有正确命题的序号) 解析：①b 和 c 可能平行或异面，故①错；②可能平行或 c⊂α，故②错；③可能 c⊥ β，c∥β，c⊂β，故③错；④根据面面垂直判定α⊥β，故④正确． 答案：④ 3．已知高与底面半径相等的圆锥的体积为8π 3 ，其侧面积与高为 2 2的圆柱 OO1 的侧面 积相等，则圆柱 OO1 的体积为________． 解析：设圆锥的底面半径为 r，圆柱 OO1 的底面半径为 R，因为高与底面半径相等的圆 锥的体积为8π 3 ，所以1 3 πr2·r＝8π 3 ，所以 r＝2.又圆锥的侧面积与高为 2 2的圆柱 OO1 的 侧面积相等，所以π·r· 2r＝2πR·2 2，所以 R＝1，所以圆柱 OO1 的体积为πR2·2 2＝ 2 2π. 答案：2 2π 4．已知正三棱柱的各条棱长均为 a，圆柱的底面直径和高均为 b.若它们的体积相等， 则 a3∶b3 的值为________． 解析：由题意可得1 2 ·a2· 3 2 ·a＝π b 2 2·b， 即 3 4 a3＝1 4 πb3，则a3 b3＝π 3 ＝ 3π 3 . 答案： 3π 3 5．已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题， 如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命 题有______个． 解析：若α，β换为直线 a，b，则命题化为“a∥b，且 a⊥γ⇒b⊥γ”，此命题为真 命题；若α，γ换为直线 a，b，则命题化为“a∥β，且 a⊥b⇒b⊥β”，此命题为假命题； 若β，γ换为直线 a，b，则命题化为“a∥α，且 b⊥α⇒a⊥b”，此命题为真命题． 答案：2 6.如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB＝2，点 E 为 AD 的中点，点 F 在 CD 上，若 EF∥ 平面 AB1C，则线段 EF 的长度等于________． 解析：因为 EF∥平面 AB1C，EF⊂平面 ACD，平面 ACD∩平面 AB1C＝AC， 所以 EF∥AC，又 E 为 AD 的中点，AB＝2， 所以 EF＝1 2 AC＝1 2 × 22＋22＝ 2. 答案： 2 7.如图，在圆锥 VO 中，O 为底面圆心，半径 OA⊥OB，且 OA＝VO＝1， 则 O 到平面 VAB 的距离为________． 解析：设 O 到平面 VAB 的距离为 h，由圆锥的几何性质可得 VO⊥平面 OAB，VO⊥OA，VO⊥OB.在 Rt△VOA 中，VA＝ VO2＋AO2＝ 2，在 Rt△VOB 中， VB＝ VO2＋BO2＝ 2，在 Rt△OAB 中，AB＝ OA2＋OB2＝ 2，在△VAB 中，S△VAB＝1 2 × 2× 6 2 ＝ 3 2 .因为 VVAOB＝1 3 S△AOB×VO＝1 6 ，VVAOB＝1 3 S△VAB×h＝1 6 ，所以 h＝ 3 3 . 答案： 3 3 8．设 A，B 是球 O 的球面上两点，∠AOB＝π 3 ，C 是球面上的动点，若四面体 OABC 的体 积 V 的最大值为9 3 4 ，则此时球的表面积为________． 解析：在四面体 OABC 中，显然△OAB 的面积一定，设球 O 的半径为 R，则 S△OAB＝1 2 ×R× 3 2 R ＝ 3 4 R2，要使四面体的体积最大，则只需球上的点到平面 OAB 的距离最大，显然，到平面 OAB 距离的最大值为球的半径，所以(VCOAB)max＝1 3 × 3 4 R2×R＝ 3 12 R3＝9 3 4 ，解得 R＝3，由球 的表面积公式得 S 球＝4πR2＝36π. 答案：36π 9．已知α，β是两个不同的平面，l，m 是两条不同的直线，l⊥α，m⊂β.给出下列 命题： ①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m； ③m∥α⇒l⊥β；④l⊥β⇒m∥α. 其中正确的命题是________(填写所有正确命题的序号)． 解析：①由 l⊥α，α∥β，得 l⊥β. 又因为 m⊂β，所以 l⊥m，①正确； ②由 l⊥α，α⊥β，得 l∥β或 l⊂β， 又因为 m⊂β，所以 l 与 m 或异面或平行或相交，②错误； ③由 l⊥α，m∥α，得 l⊥m.因为 l 只垂直于β内的一条直线 m，所以不能确定 l 是否 垂直于β，③错误； ④由 l⊥α，l⊥β，得α∥β.因为 m⊂β，所以 m∥α，④正确． 答案：①④ 10．已知 PD 垂直于正方形 ABCD 所在的平面，连结 PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相 垂直的平面有________对． 解析：如图，由于 PD⊥平面 ABCD.故平面 PAD⊥平面 ABCD，平面 PDB ⊥平面 ABCD，平面 PDC⊥平面 ABCD，平面 PDA⊥平面 PDC，平面 PAC⊥平 面 PDB，平面 PAB⊥平面 PAD，平面 PBC⊥平面 PDC，共 7 对． 答案：7 11．以一个圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，若所得的圆锥 底面半径等于圆锥的高，则圆锥的侧面积与圆柱的侧面积之比为________． 解析：设圆锥的底面半径为 r，由题意圆锥底面半径等于圆锥的高，可知圆锥的侧面积 为：πr· 2r＝ 2πr2.圆柱的侧面积为：2πr·r＝2πr2.所以圆锥的侧面积与圆柱的侧面 积之比为： 2πr2∶2πr2＝ 2 2 . 答案： 2 2 12．正六棱柱的底面边长为 4，高为 6，则它的外接球(正六棱柱的顶点都在此球面上) 的表面积为________． 解析：因为正六棱柱的底面边长为 4，所以它的底面圆的半径为 4，所以外接球的半径 为 r＝ 42＋32＝5，故外接球的表面积为 4πr2＝4π×25＝100π. 答案：100π 13．已知矩形 ABCD 的边 AB＝4，BC＝3，若沿对角线 AC 折叠，使平面 DAC⊥平面 BAC， 则三棱锥 DABC 的体积为________． 解析：在平面 DAC 内作 DO⊥AC，垂足为点 O，因为平面 DAC⊥平面 BAC，且平面 DAC∩平面 BAC＝AC，所以 DO⊥平面 BAC，因为 AB＝4，BC ＝3，所以 DO＝12 5 ，S△ABC＝1 2 ×3×4＝6，所以三棱锥 DABC 的体积为 V ＝1 3 ×6×12 5 ＝24 5 . 答案：24 5 14.如图，在四棱锥 PABCD 中，PD⊥平面 ABCD，底面 ABCD 为正方形，PD＝AD＝2，M， N 均为线段 AC 上的点．若∠MBN＝30°，则三棱锥 MPNB 的体积的最小值为________． 解析：易知 VMPNB＝VPMNB ＝1 3 PD·S△MNB＝1 3 PD·1 2 MN·h， h 为点 B 到 AC 的距离， 又 h＝1 2 BD＝ 2， 所以 VMPNB＝1 3 ×2×1 2 ×MN× 2＝ 2 3 MN， 显然当△MNB 为等腰三角形时，MN 取得最小值， 此时 MN＝2 2tan 15°＝4 2－2 6， 从而可得(VMPNB)min＝ 2 3 ×(4 2－2 6)＝8－4 3 3 . 答案：8－4 3 3