【数学】2019届一轮复习北师大版忽略基本不等式等号成立的条件学案 9页

‎ 专题六 不等式 误区一 忽略基本不等式等号成立的条件 一、易错提醒 基本不等式可以巧妙地解决两正数的和、积、平方和、倒数和的相互转化问题,所以常利用基本不等式解决相关的大小比较、证明不等式、求函数的最值等,但是在实际应用中,常由于忽略使用基本不等式的前提条件而致错,即没有注意到正数、等号成立的前提条件．‎ 二、典例精析 ‎(一) 忽视“正数”条件致错 ‎【例1】函数y＝1－2x－(x<0)的最小值为________．‎ ‎【错解】没有注意到x<0这个条件误用基本不等式得2x＋≥2.‎ ‎【正解】∵x<0,∴y＝1－2x－＝1＋(－2x)＋(－)≥1＋2＝1＋2,当且仅当x＝－时取等号,故y的最小值为1＋2.‎ ‎【点评】应用基本不等式解题一定要注意应用的前提 “一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件．‎ ‎【小试牛刀】y＝x＋的值域是________．‎ ‎(二) 忽略验证“积为定值”或“和为定值”致错 ‎【例2】 当时,求的最小值．‎ ‎【小试牛刀】求的最小值．‎ ‎ ‎ ‎(三) “等号”不成立致错 ‎ ‎【例3】【2017届江苏扬州中 等七校高三上期中联考】正数满足,则的最小值为 ．‎ ‎【错解】因为,所以,故,‎ 即的最小值为8.‎ ‎【正解】‎ 当且仅当时取等号.‎ ‎【点评】尽量避免多次使用基本不等式,若必须多次使用,一定要保证等号成立的条件一致．‎ ‎【小试牛刀】已知为正常数,正数满足,求的最小值．‎ 一位同 是这样做的 解 ,得,则,如果这种解法能得到正确结论,应满足的关系是 ．‎ ‎【解答】第一个等号成立的条件是,第二个等号成立的条件是,能得到正确结论说明两次取得等号的条件相同,故．‎ 综上所述,应用均值不等式求最值要注意 ‎ 一要正 各项或各因式必须为正数；‎ 二可定 必须满足“和为定值”或“积为定值”,要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构,如果找不出“定值”的条件用这个定理,求最值就会出错； = ‎ 三能等 要保证等号确能成立,如果等号不能成立,那么求出的仍不是最值．‎ 三、迁移运用 ‎1．下列不等式一定成立的是(　　)‎ A．lg(x2＋)>lgx(x>0)‎ B．sinx＋≥2(x≠ π, ∈ )‎ C．x2＋1≥2|x|(x∈R)‎ D.>1(x∈R)[ ]‎ ‎【答案】C ‎【解析】当x>0时,x2＋≥2·x·＝x,所以lg(x2＋)≥lgx(x>0),故选项A不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定“三相等”,而当x≠ π, ∈ 时,sinx的正负不定,故选项B不正确；由基本不等式可知,选项C正确；当x＝0时,有＝1,故选项D不正确．‎ ‎2.设非零实数a,b,则“a2＋b2≥2ab”是“＋≥2”成立的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】因为a,b∈R时,都有a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0,即a2＋b2≥2ab,而＋≥2⇔ab>0,‎ 所以“a2＋b2≥2ab”是“＋≥2”的必要不充分条件,故选B.‎ ‎3．【北京市西城15中2017-2018 年高三上 期期中】若， 均为大于的正数，且，则的最大值是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵， ，∴， ，‎ ‎∴，‎ 当且仅当时，等号成立，即的最大值是．故选．‎ ‎4．【北京市人大附中2017-2018 年高三十月月考】“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】先考虑充分性,当x>0时， ，当且仅当x=1时取等.所以充分条件成立.‎ 再考虑必要性，当时，如果x>0时， 成立，当x=1时取等.当x<0时，不等式不成立. 所以x>0.故选C.‎ ‎5．【云南省保山市2018届普通高中毕业生第二次市级统测】在中，若，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B[ ]‎ ‎6．【2015-2016 年河北省衡水二中高二上期中】设,则的最小值为（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】 因为,则,当且仅当,即且时取等号,所以的最小值为4．‎ ‎7．【2016届河北省正定中 高三上 期期中】设均为正实数,且,则的最小值为 A．4 B． C．9 D．16 [ _ _ ]‎ ‎【答案】D ‎ ‎【解析】因为,所以,即,所以,所以,应用基本不等式可得 ‎ ‎,故应选．‎ ‎8．【2016届河北省正定中 高三上 期期中】已知a＞0,b＞0,则＋＋2的最小值是（ ）‎ A．2 B．2 C．4 D．5‎ ‎【答案】C ‎【解析】＋＋2,当且仅当,即时等号成立,取得最值 ‎9．若实数,满足,则的最小值为 A. B. 2 C. 2 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】由可知. 由基本不等式可得 ‎. 所以,解得,‎ 当且仅当时取等号,即的最小值为.故选C.‎ ‎10.若关于x的方程9x＋(4＋a)3x＋4＝0有解,则实数a的取值范围是________．‎ ‎【答案】(－∞,－8]‎ ‎【解析】分离变量得－(4＋a)＝3x＋≥4,得a≤－8.‎ ‎11．已知,且,则的最小值是 ．‎ ‎12．若不等式对任意的恒成立,[ ]‎ 则的最大值是 ．‎ ‎ 13．若对任意x>0,≤a恒成立,则a的取值范围是________．‎ ‎ 14． 求函数的值域．‎ 请说出下面错解的原因． = ‎ ‎【错解】,当且仅当即时取等号．∴当时,y的最小值为25,此函数没有最大值．‎