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- 2021-06-16 发布
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- 1 -
开封市 2020 届高三第三次模拟考试
数学(理科)试题
注意事项:
1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本
试卷上无效.
3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的.
1. 已知集合 2| 4 3 0A x x x , | 2 3 0B x x ,则集合 RC A B I ( )
A. 33, 2
B. 3 ,32
C. 31, 2
D. 3 ,32
【答案】D
【解析】
【分析】
根据一元二次不等式求得集合 A ,并计算 RC A ,然后根据一元一次不等式可得 B ,最后根据
交集的概念可得结果.
【详解】由 2 4 3 0 1 3 0 1 x x x x x 或 3x
所以 1A x x 或 3x ,则 1 3RC A x x
32 3 0 2B x x x x
所以 3 33 ,32 2RC A B x x
故选:D
【点睛】本题考查一元二次不等式的解法以及集合的运算,考查基础知识的认识,属基础题.
2. 如图,在平行四边形OABC 中,顶点O ,A ,C 在复平面内分别表示 0,3 2i , 2 4i ,
则点 B 对应的复数为( )
- 2 -
A. 1 6i B. 5 2i
C. 1 5i D. 5 6i
【答案】A
【解析】
【分析】
利用平行四边形法则,求得OB OA OC ,利用复数的运算法则求得结果.
【详解】OB OA OC ,
所以 OB
对应的复数为 (3 2 ) ( 2 4 ) 1 6i i i ,
即点 B 对应的复数为1 6i ,
故选:A.
【点睛】该题考查的是有关复数的问题,涉及到的知识点有复数在复平面内对应点的坐标的
求解,属于基础题目.
3. 设 a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
根据不等式的基本性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断,即可得到结论.
【详解】由 a>b,
①当 a>b≥0 时,不等式 a|a|>b|b|等价为 a•a>b•b,此时成立.
②当 0>a>b 时,不等式 a|a|>b|b|等价为﹣a•a>﹣b•b,即 a2<b2,此时成立.
③当 a≥0>b 时,不等式 a|a|>b|b|等价为 a•a>﹣b•b,即 a2>﹣b2,此时成立,
即充分性成立;
由 a|a|>b|b|,
- 3 -
①当 a>0,b>0 时,a|a|>b|b|去掉绝对值得,(a﹣b)(a+b)>0,
因为 a+b>0,所以 a﹣b>0,即 a>b.
②当 a>0,b<0 时,a>b.
③当 a<0,b<0 时,a|a|>b|b|去掉绝对值得,(a﹣b)(a+b)<0,
因为 a+b<0,所以 a﹣b>0,即 a>b.即必要性成立,
综上可得“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件,
故选:C.
【点睛】本题主要考查了充要条件的判定,以及不等式的基本性质的综合应用,意在考查推
理与运算能力,属于中档试题.
4. 随着 2022 年北京冬奥会临近,中国冰雪产业快速发展,冰雪运动人数快速上升,冰雪运
动市场需求得到释放,将引领户外用品行业市场增长.下面是 2012 年至 2018 年中国雪场滑
雪人次(万人次)与同比增长率的统计图,则下面结论中不正确的是( )
A. 2013年至 2018 年,中国雪场滑雪人次逐年增加
B. 2013年至 2015 年,中国雪场滑雪人次和同比增长率均逐年增加
C. 2018 年与 2013年相比,中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等,所以同比增长人数也
近似相等
D. 2018 年与 2016 年相比,中国雪场滑雪人次增长率约为30.5%
【答案】C
【解析】
【分析】
观察 2012 年至 2018 年中国雪场滑雪人次(万人次)与同比增长率的统计图,结合统计图的
性质能求出结果.
【详解】由 2012 年至 2018 年中国雪场滑雪人次(万人次)与同比增长率的统计图,得:
- 4 -
对于 A, 2013年至 2018 年,中国雪场滑雪人次逐年增加,故 A 正确;
对于 B, 2013年至 2015 年,中国雪场滑雪人次和同比增长率均逐年增加,故 B 正确;
对于 C, 2018 年与 2013年相比,中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等,
但是同比增长人数也不相等, 2018 年比 2013年增长人数多,故 C 错误;
对于 D, 2018 年与 2016 年相比,中国雪场滑雪人次增长率约为:
1970 1510 100% 30.5%1510
.故 D 正确.
故选:C.
【点睛】本题考查统计图表的应用,考查学生的数据分析能力,属于基础题.
5. 执行如图的程序框图,若输入 x 的值为 1
8
,则输出的 y=( )
A. 1
4
B. 1
2
C. 2 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据程序模拟运行,当满足条件时,计算 x 的值,并再次进入循环体,当不满足条件时退出循
环,计算并输出 y 的值,即可求解.
【详解】解:开始:
输入 1
8x = ,
- 5 -
进入循环,满足条件 0x ,计算 x 2
11 48log ,
第二次进入循环,满足条件 0x ,计算 x=1﹣log24=﹣1,
第三次进入循环,不满足条件 0x ,
退出循环,计算 1 12 2y .
输出 1
2
,
故选:B.
【点睛】本题考查程序框图的输入输出值的确定,涉及循环结构,对数运算,属基础题,难
度较易.
6. 为了得到函数 2 sin 2 cos2y x x 的图象,只需把函数 2sin 2y x 图象上所有的点
( )
A. 向左平移
4
个单位长度
B. 向左平移
8
个单位长度
C. 向右平移
4
个单位长度
D. 向右平移
8
个单位长度
【答案】B
【解析】
【分析】
首先利用辅助角公式化简,然后根据平移公式,判断平移方向和平移单位量.
【详解】 2 sin 2 cos2 2sin 2 2sin 24 8y x x x x
,
根据平移左加右减的原则可知,
向左平移
8
个单位长度.
故选:B.
【点睛】本题主要考查三角函数的平移问题.需注意平移前后的解析式, x x
,
- 6 -
这种类型的平移量,需要提出 ,平移量为
个单位.属于较易题.
7. 若函数 2( ) ( )f x x x c 在 x=2 处有极大值,则常数 c 为( )
A. 2 B. 6 C. 2 或 6 D. -2 或-6
【答案】B
【解析】
【分析】
求出函数的导数,则 2 0f ,求出 c 值.然后再代回去检验函数的导数在 2x 处左侧为
正数,右侧为负数.因为满足这个条件才能说在 2x 处取得极大值.
【详解】∵函数 2 3 2 22f x x x c x cx c x ,它的导数为 2 23 4f x x cx c ,
由题意知,在 x=2 处的导数值为 212 8 0c c ,∴c=6,或 c=2,
又函数 2f x x x c 在 x=2 处有极大值,故导数值在 x=2 处左侧为正数,右侧为负数.
当 c=2 时, 2 23 8 4 3 23f x x x x x
,不满足导数值在 x=2 处左侧为正数,
右侧为负数.
当 c=6 时, 2 23 24 36 3 8 12 3 2 6f x x x x x x x ,
满足导数值在 x=2 处左侧为正数,右侧为负数.故 c=6.
故选 B.
【点睛】函数在 0x 处取得极值的充要条件是:1) 0 0f x 2)导函数在 ox 处两端异号.
所以此类题先求 0 0f x ,再判断导函数在 0x 处是否异号即可.
8. 若不等式组
0
0
4 3 12 0
x
y
x y
所表示的平面区域被直线 3 4z x y 分为面积相等的两部
分,则 z 的值是( )
A. 16 10 2 B. 15 29 2
C. 6 10 2 D.
10 2 16
- 7 -
【答案】D
【解析】
【分析】
作 出 不 等 式 组 所 表 示 的 平 面 区 域 , 根 据 题 意 求 得 直 线 3 4z x y 与 y 轴 和 直 线
4 3 12 0x y 的交点坐标,根据题意得出关于 z 的等式,进而可求得 z 的值.
【详解】作出不等式组
0
0
4 3 12 0
x
y
x y
所表示的平面区域如下图所示:
直线 4 3 12 0x y 交 y 轴于点 0,4A ,交 x 轴于点 3,0B , 1 3 4 62OABS △ .
当直线 3 4z x y 过原点时, 0z ,
联立 4 3 12 0
3 4 0
x y
x y
,解得
48
25
36
25
x
y
,即点 48 36,25 25C
,
则 AOC△ 的面积为 1 48 96 14 32 25 25 2AOC OABS S △ △ ,
当不等式组
0
0
4 3 12 0
x
y
x y
所表示的平面区域被直线 3 4z x y 分为面积相等的两部分,
直线 3 4z x y 位于直线 OC 的上方,
此时,直线 3 4z x y 交 y 轴于点 0, 4
zD
,
- 8 -
联立 3 4
4 3 12 0
z x y
x y
,解得 48 3
25
zx , 36 4
25
zy ,即点 48 3 36 4,25 25
z zE
,
由题意可知 0 44
z ,解得 16 0z ,
23 161 48 34 32 4 25 200ADE
zz zS
,得 216 200z ,
解得 16 10 2z , 16 0z ,因此, 10 2 16z .
故选:D.
【点睛】本题考查利用不等式组所表示的平面区域的面积求参数,解答的关键在于求得直线
所过的点的坐标,考查计算能力,属于中等题.
9. 已知 A 是△ABC 的一个内角,且 sinA+cosA=a,其中 a∈(0,1),则关于 tanA 的值,以
下答案中,可能正确的是( )
A. ﹣2 B. 1
2
C. 1
2
D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】
把已知的等式两边平方,由同角三角函数间的基本关系化简后,得到 2sinAcosA=a2﹣1<0,
进而得到 cosA<0,得到 sinA>﹣cosA,再结合三角函数的基本关系式,求得 tanA 值的范围,
即可判断出符合题意的 tanA 值的可能值.
【详解】由 sinA+cosA=a,两边平方得:(sinA+cosA)2=a2,
即 sin2A+cos2A+2sinAcosA=1+2sinAcosA=a2,
又因为 a∈(0,1),所以 2sinAcosA=a2﹣1<0,
因为 0<A<π,得到sin 0A ,所以 cosA<0,
又由 sinA+cosA=a>0,所以 sinA>﹣cosA>0,
则 tanA<﹣1.比较四个选项,只有 A 正确.
故选:A.
【点睛】本题主要考查了三角函数基本关系式的综合应用,意在考查推理与运算能力,属于
中档试题.
10. 某地有 A , B ,C , D 四人先后感染了传染性肺炎,其中只有 A 到过疫区, B 确定是受
A 感染的.对于C 因为难以判定是受 A 还是受 B 感染的,于是假定他受 A 和 B 感染的概率都
- 9 -
是 1
2
.同样也假定 D 受 A , B 和C 感染的概率都是 1
3
.在这种假定下, B ,C , D 中恰有两
人直接受 A 感染的概率是( )
A. 1
6
B. 1
3
C. 1
2
D. 2
3
【答案】C
【解析】
【分析】
设 , ,B C D 直接受 A 感染为事件 B、C、D,分析题意得出 ( ) 1P B , 1( ) 2P C , 1( ) 3P D ,
B ,C , D 中恰有两人直接受 A 感染为事件CD CD ,利用公式求得结果.
【详解】根据题意得出:因为直接受 A 感染的人至少是 B,
而 C、D 二人也有可能是由 A 感染的,
设 , ,B C D 直接受 A 感染为事件 B、C、D,
则事件 B、C、D 是相互独立的,
( ) 1P B , 1( ) 2P C , 1( ) 3P D ,
表明除了 B 外, ,C D 二人中恰有一人是由 A 感染的,
所以 1 2 1 1 1( ) ( ) ( ) 2 3 2 3 2P CD CD P CD P CD ,
所以 B、C、D 中直接受 A 传染的人数为 2 的概率为 1
2
,
故选:C.
【点睛】该题考查的是有关概率的问题,涉及到的知识点有随机事件发生的概率,相互独立
事件同时发生的概率公式和互斥事件有一个发生的概率公式,属于简单题目.
11. 若函数 f x 对 a 、b R ,同时满足:(1)当 0a b 时有 0f a f b ;(2)
当 0a b 时有 0f a f b ,则称 f x 为 函数.下列函数中:① sinx x xf ;
② x xf x e e ;③ x xf x e e ;④
0, 0
1 , 0
x
f x
xx
.是 函数的为( )
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④
【答案】A
【解析】
- 10 -
【分析】
由题意可得 y f x 满足是 R 上的奇函数,且为增函数,称为 函数,由函数的奇偶性和单
调性与导数之间的关系,分别判断①、②、③、④的函数的奇偶性和单调性,可得所求结论.
【详解】由(1)当 0a b 时有 0f a f b ,即为 f a f a ,则 y f x 为
R 上的奇函数;
由(2)当 0a b 时有 0f a f b ,即为 a b , f a f b f b ,
可得 y f x 为 R 上的增函数,
则函数 y f x 为 R 上的奇函数,且为增函数.
由① sinx x xf ,定义域为 R ,
sin sin sinf x x x x x x x f x ,即 y f x 为奇函数,
又 1 cos 0f x x ,可得 y f x 为 R 上的增函数,故①是 函数;
② x xf x e e ,定义域为 R , x x x xf x e e e e f x ,即 y f x 为
奇函数,
又 0x xf x e e ,可得 y f x 为 R 上的增函数,故②是 函数;
③ x xf x e e ,定义域为 R , x xf x e e f x ,可得 y f x 为偶函数,故
③不是 函数;
④
0, 0
1 , 0
x
f x
xx
,定义域为 R , 0x 时, 1 1f x f xx x
,可得 y f x
为奇函数,
又 y f x 在 ,0 , 0, 上单调递增,但在 R 上不为增函数,比如 1 1f f ,
故④不是 函数.
故选:A.
【点睛】本题考查函数的新定义,主要考查函数的奇偶性与单调性的判断,考查推理能力,
属于中等题.
12. 已知三棱锥 D ABC 中, DA 平面 ABC , 2AB AD , 3BC AC ,则三棱锥
- 11 -
D ABC 体积最大时,其外接球的体积为( )
A. 20 2
3
B. 64 2
3
C. 4 5
3
D. 20 5
3
【答案】D
【解析】
【分析】
首先根据题意得到当 ABC 的面积最大时,此时三棱锥 D ABC 的体积最大,设 AC m ,
利用正弦定理和余弦定理得到 2 21 4 34ABCS m △ ,从而得到当 2AC 时, ABCS 最
大,再将三棱锥 D ABC 放入直三棱柱 1 1DB C ABC 中,求外接球体积即可.
【详解】如图所示:
因为 DA 平面 ABC , 2AB AD ,
所以当 ABC 的面积最大时,此时三棱锥 D ABC 的体积最大.
设 AC m ,则 3 3BC AC m ,
22 2
2
3 4 2 2cos
2 3 3
m m mACB
m m m
,
所以
22 4 2
2
42
2 2 8 4sin 1 33
m m mACB mm
.
所以 4 2
2 2 2 2
4
1 8 4 13 4 34 3 4ABC
m mS m m mm
△ ,
当 2 4m ,即 2m 时, ABCS 最大.
当 2m 时, 22 22 2 2 3 1cos 2 2 2 2BAC
,则 cos 120BAC .
- 12 -
将三棱锥 D ABC 放入直三棱柱 1 1DB C ABC 中,
1O , 2O 分别为上下底面外接圆圆心,设外接圆半径为 r ,
则 1 2O O 的中点O 为直三棱柱 1 1DB C ABC 外接球球心,设外接球半径为 R ,
如图所示:
根据正弦定理 2 3 2sin120 r
,解得 2r = ,所以 2 21 2 5R .
故外接球体积 34 20 553 3V .
故选:D
【点睛】本题主要考查三棱锥的外接球,根据题意求出三棱锥的体积最大值为解题的难点,
属于难题.
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13. 已知 nS 为等差数列 na 的前 n 项和,若 5 24S a ,则 7a __________.
【答案】0
【解析】
【分析】
设等差数列 na 的公差为 d,由已知结合等差数列的通项公式及求和公式得到 1 6 0,a d 即
得 7a 的值..
【详解】设等差数列 na 的公差为 d,由 5 24S a ,
- 13 -
所以 1 1 15 10 4 4 , 6 0,a d a d a d
则 7 0a .
故答案为:0.
【点睛】本题主要考查等差数列的通项和求和公式,意在考查学生对这些知识的理解掌握水
平.
14. 若平面向量 a
,b
满足 2a b
, 3a b
,则 a b __________.
【答案】 1
4
【解析】
【分析】
由平面向量模的运算可得: 2 22 2
a a b b ①, 2 22 3
a a b b ②,则① ②即可得解.
【详解】因为向量 a
, b 满足 2a b
, 3a b
,
所以 2 22 2
a a b b ①, 2 22 3
a a b b ②,
由① ②得: 4 1
a b ,即 1
4
a b ,
故答案为: 1
4
.
【点睛】本题主要考查了平面向量模和数量积的运算,意在考查学生对这些知识的理解掌握
水平,属基础题.
15. 已知 1F , 2F 是双曲线C :
2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
的两个焦点, P 为C 上一点,O 为
坐标原点,若 2POFV 为等边三角形,则 C 的离心率 e __________.
【答案】 3 1
【解析】
【分析】
设 F 为双曲线C 的右焦点, P 为双曲线C 在第一象限内的点,由题意可知 3,2 2
c cP
,代入
计算得到答案.
【详解】设 F 为双曲线 C 的右焦点, P 为双曲线C 在第一象限内的点,
- 14 -
由题意可知 3,2 2
c cP
,
代入双曲线方程得
2 2
2 2
3 14 4
c c
a b
,
即
2
2
2
3 41
ee e
,又 1e ,解得 3 1e .
故答案为: 3 1 .
【点睛】该题考查了双曲线离心率,意在考查学生的计算能力和转化能力,属于简单题目.
16. 在△ ABC 中,角 A ,B ,C 的对边分别为 a ,b ,c ,若 2b , 3 3c ,tan 2tanA B ,
则 cos A __________,△ ABC 的面积为__________.
【答案】 (1). 3
2
(2). 3 3
2
【解析】
【分析】
首先根据 tan 2tanA B ,切化弦整理得到 sin cos cos sin 3cos sinA B A B A B ,利用正
弦和角公式以及诱导公式得到sin 3cos sinC A B ,再借助于正弦定理,利用题中所给的边
长,求得 3cos 2A ,利用同角三角函数关系式求得 1sin 2A ,之后利用面积公式
1 sin2S bc A 直接计算.
【详解】因为 tan 2tanA B ,所以 sin 2sin
cos cos
A B
A B
,
sin cos cos sin 3cos sinA B A B A B ,
即sin( ) 3cos sinA B A B ,sin 3cos sinC A B ,
所以 sin3cos sin
CA B
,
由正弦定理可得 sin 3 3
sin 2
C c
B b
,
所以求得 3cos 2A ,又因为 0 A ,所以 2 3 1sin 1 cos 1 4 2A A ,
- 15 -
1 1 1 3 3sin 2 3 32 2 2 2△ ABCS bc A ,
故答案为:① 3
2
;② 3 3
2
.
【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题,涉及到的知识点有同角三角函数关系式,正弦
和角公式,正弦定理,三角形面积公式,属于简单题目.
三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题,
每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共 60 分.
17. 已知数列 na 满足: 1 1a , 1 2 2n n nn a a a , *n N .
(1)证明:数列 na
n
是等比数列;
(2)求数列 na 的前 n 项和 nS .
【答案】(1)证明见解析;(2) 1 2 ( 1)n
nS n .
【解析】
【分析】
(1)依题意化简式子可得 1 21
n na a
n n
,根据等比数列的定义可得结果.
(2)根据(1)的结论可得 12n
na n ,然后利用错位相减的方法进行求和,可得结果.
【详解】(1)由 1 2 2n n nn a a a ,得 1 2( 1) nnna n a ,
则 1 21
n na a
n n
,又 1 1a ,所以 1 11
a
所以数列 na
n
是以 1 为首项,2 为公比的等比数列.
(2)由(1)知, 12nna
n
, 12n
na n .
0 1 2 3 11 2 2 2 3 2 4 2 2n
nS n ,
1 2 3 12 1 2 2 2 3 2 ( 1) 2 2n n
nS n n ,
- 16 -
0 1 2 12 2 2 2 2
1 1
2 2
2
1
n
n
n n
nS n n ,
则 1 2 2n n
nS n ,
所以 1 2 ( 1)n
nS n .
【点睛】本题考查了利用定义证明等比数列,考查了错位相减法求和,熟悉常用的求和公式:
公式法、裂项相消法、错位相减法,属于中档题.
18. 如图,四棱锥 P ABCD 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形, PAD△ 为等边三角
形, E , F 分别为 PC 和 BD 的中点,且 EF CD .
(1)证明:平面 PAD 平面 ABCD ;
(2)求 EF 与平面 PDB 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2) 21
7
.
【解析】
【分析】
(1)首先连接 AC ,根据题意易证 PA CD , AD CD ,从而得到 CD 平面 PAD ,再
根据面面垂直的判定即可得到平面 PAD 平面 ABCD .
(2)首先根据 / /EF PA 得到 EF 与平面 PDB 所的成角等于 PA 与平面 PDB 所成角,再以O
为原点,OA, OF ,OP 所在直线分别为 x , y , z 轴建立空间直角坐标系,利用向量法求
解线面角即可.
【详解】连接 AC ,如图所示:
- 17 -
四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,
F 是 BD 的中点,也是 AC 的中点,
又 E 是 PC 的中点,∴ / /EF PA ,
∵ EF CD ,∴ PA CD ,
∵ AD CD , AD AP A ,∴CD 平面 PAD ,
又∵CD 平面 ABCD ,∴平面 PAD 平面 ABCD .
(2)由(1)知 / /EF PA ,
∴ EF 与平面 PDB 所的成角等于 PA 与平面 PDB 所成角,
取 AD 中点O ,连接 PO ,
∵ PAD△ 是边长为 2的等边三角形,
∴ PO AD 且 3PO ,
由(1)知平面 PAD 平面 ABCD ,故 PO 平面 ABCD ,
以O 为原点,OA, OF , OP 所在直线分别为 x , y , z 轴,
建立空间直角坐标系O xyz ,如图所示:
则 0,0,0O , 1,0,0A , 1,2,0B , 0,0, 3P , 1,0,0D ,
1,0, 3PA
, 1,2, 3PB
, 1,0, 3PD
,
- 18 -
设平面 PDB 的法向量为 , ,n x y z ,
则 0
0
n PB
n PD
, 2 3 0
3 0
x y z
x z
,令 1z ,∴ 3, 3,1n
,
设 EF 与平面 PDB 所成角为 ,
则 2 3 21sin 72 7
PA n
PA n
,
∴ EF 与平面 PDB 所成角的正弦值为 21
7
.
【点睛】本题第一问考查面面垂直的证明,第二问考查向量法求解线面角,同时考查学生的
计算能力,属于中档题.
19. 已知椭圆C :
2 2
2 2 1 0x y a ba b
的上顶点 A 与左、右焦点 1F , 2F 构成一个面积为
1 的直角三角形.
(1)求椭圆C 的标准方程;
(2)若直线 l 与椭圆C 相切,求证:点 1F , 2F 到直线l 的距离之积为定值.
【答案】(1)
2
2 12
x y ;(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)利用已知条件可得 , 1b c bc ,求出 ,b c ,利用 , ,a b c 的关系求 a ,即可得出结果. (2)
首先讨论直线 l 的斜率是否存在,当不存在时直线 l 的方程为 2x ,求出点 1F , 2F 到直
线l 的距离之积;当存在时设其方程为 y kx m ,与椭圆的方程联立消元,让 0 ,得出 ,m k
的关系式,求出点 1F , 2F 到直线 l 的距离之积,即可证明出结论.
【详解】(1)解:∵椭圆C 的上顶点 A 与左、右焦点 1F , 2F 构成一个面积为 1 的直角三角形,
∴
1
b c
bc
,
∴ 1b c ,
∴ 2 2 2 2a b c ,
- 19 -
∴椭圆C 的方程为
2
2 12
x y .
(2)证明:①当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 2x ,
点 1F , 2F 到直线l 的距离之积为 2 1 2 1 1 ,
②当直线 l 的斜率存在时,设其方程为 y kx m ,
联立 2
2 12
y kx m
x y
得 2 2 21 2 4 2 2 0k x kmx m ,
2 2 2 2 2(4 ) 4 1 2 2 2 8 2 1 0km k m m k ,
∴ 2 21 2m k ,
点 1F 到直线l : y kx m 的距离 1 2 1
k md
k
,
点 2F 到直线l : y kx m 的距离 2 2 1
k md
k
.
∴
2 2 2 2
1 2 2 22 2
2 1
11 11 1
m k k kk m k md d k kk k
.
综上,可知当直线 l 与椭圆C 相切时,点 1F , 2F 到直线l 的距离之积为定值 1.
【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程以及直线与椭圆的位置关系.属于中档题.
20. 已知函数 lnxf x axe x b 在 1x 处的切线方程为 2 1y e x e .
(1)求 a ,b 值;
(2)若 f x mx 恒成立,求实数 m 的取值范围.
【答案】(1) 1a , 1b ;(2) 1m £ .
【解析】
【分析】
(1)求出导函数,根据切线斜率和切点纵坐标建立方程组即可求解;
(2)分离参数 ln 1xxe xm x
,求出 ln 1( )
xxe xx x
的最小值即可得解.
【详解】解:(1) 1x xae axe xf x ,
- 20 -
因为函数 lnxf x axe x b 在 1x 处的切线为 2 1y e x e ,
所以 (1) 1
(1) 2 1 2 1
f ae b e
f ae e
,
解得 1a , 1b .
(2)由 f x mx 得: ln 1 ( 0)xxe x mx x ,即 ln 1xxe xm x
,
令 ln 1( )
xxe xx x
,则
2
2
ln( )
xx e xx x
,
令 2 lnxh x x e x , 2 12 0xh x x x e x
, h x 在 0, 单调递增,
1 2
2 2
1 1 1 1 0e eh ee e e
, 1 0h e , h x 在 1 ,1e
存在零点 0x ,
即 02
0 0 0ln 0xh x x e x ,
0 0 0
1ln
2 0
0 0 0
0 0
ln 1ln 0 lnx x xxx e x x e ex x
,
令 xy xe 由于 1 0xy x e ,所以 xy xe 在 0, 单调递增,故 0 0
0
1ln lnx xx
,
即 0
0
1xe x
,
x 在 00, x 减,在 0,x 增,
0
0 0 0
min
0 0
ln 1 1 1( ) 1
xx e x xx x x
,
所以 1m £ .
【点睛】此题考查导数的几何意义,根据曲线上某点处的切线方程求解参数值,涉及参数的
不等式问题利用分离参数,对新函数利用导函数讨论函数单调性解决最值问题,属于难题.
21. 当前,全球贸易格局发生重大变化,随着中美贸易战的不断升级,让越来越多的中国科
技企业开始意识到自主创新的重要性,大大加强科技研发投入的力度,形成掌控高新尖端核
心技术及其市场的能力.某企业为确定下一年对某产品进行科技升级的研发费用,需了解该产
品年研发费用 x(单位:千万元)对年销售量 y(单位:千万件)和年利润 z (单位:千万元)
- 21 -
的影响.根据市场调研与模拟,对收集的数据 , 1,2,3, ,10i ix y i 进行初步处理,得到散
点图及一些统计量的值如下:
10
1
i i
i
u v
10
1
i
i
u
10
1
i
i
v
10
2
1
i
i
u
30.5 15 15 46.5
表中 lni iu x , lni iv y .
(1)根据散点图判断, y a bx 与 dy cx 哪一个更适合作为年销售量 y 关于年研发费用 x
的回归方程类型(给出判断即可,不必说明理由),并根据判断结果及表中数据,建立 y 关于
x 的回归方程;
附:对于一组数据 , 1,2,3, ,i iu v i n ,其回归直线 v u 的斜率和截距的最小二乘
估计分别为
1 1
2 22
1 1
n n
i i i i
i i
n n
i i
i i
u u v v u v nuv
u u u nu
, v u .
(2)已知年利润 z 与 x , y 的关系为 27z y xe
(其中 e 为自然对数的底数),要使企业下
一年的年利润最大,预计下一年应投入多少研发费用?
(3)科技升级后,该产品的效率 X 大幅提高,经试验统计得 X 大致服从正态分布
20.52,0.01N .企业对科技升级团队的奖励方案如下:若 X 不超过50%,不予奖励;若 X
超过50% ,但不超过53%,每件产品奖励 2 元;若 X 超过53%,每件产品奖励 4 元.记Y 为
- 22 -
每件产品获得的奖励,求 E Y (精确到 0.01).
附:若随机变量 2, 0X N ,则 0.6827P X ,
2 2 0.9545P X .
【答案】(1) dy cx 更适合作为 y 关于 x 的回归方程类型, 1
3y ex ;(2)54 千万元;(3)
2.27 元.
【解析】
【分析】
(1)观察散点图中各点更靠近曲线 dy cx ,因此得结论;
对 dy cx 取对数有 ln ln lny c d x ,即 lnv c du 这是线性的方程,根据已知数据求出
系数 ,lnd c 后可得回归方程;
(2)把(1)的结论代入 z ,利用导数求出最大值;
(3)根据正态分布的概率公式计算出 (0.50 0.53)P X , ( 0.53)P X ,由期望公式可得
期望.
【详解】解:(1)根据散点图可判断, dy cx 更适合作为 y 关于 x 的回归方程类型.
对 dy cx 两边取对数,得 ln ln lny c d x ,即 lnv c du ,
由表中数据得: 1.5v u ,
10
1
10 22
1
30.5 10 1.5 1.5 1
46.5 10 1.5 1.5 3
i i
i
i
i
u v nuv
d
u nu
,
1ln 1.5 1.5 13c v du ,所以 c e ,
所以 y 关于 x 的回归方程为 1
3y ex .
(2) 1
3( ) 27z x x x , 2
3'( ) 9 1z x x
,令 ' 0z x ,得 27x ,
当 0,27x 时, ' 0z x , z x 单调递增;
当 27,x 时, ' 0z x , z x 单调递减.
所以预计下一年投入 27x 千万元时,
- 23 -
年利润 z 取得最大值为 1
3(27) 27 27 27 54z 千万元.
(3)因为 2 0.5 , 0.53 ,所以
(0.50 0.53) ( 2 )P X P X
( 2 ) ( )P X P X
0.9545 0.6827 0.6827 0.81862
,
1 0.6827( 0.53) ( ) 2P X P X ,
1 0.6827( ) 0 2 0.8186 4 2.2718 2.272E Y (元).
【点睛】本题考查回归分析,考查用导数求最值,考查正态分布的概率公式,非线性的回归
方程可通过取对数化为线性回归直线方程,从而求出,本题考查学生的数据处理能力,运算
求解能力.属于中档题.
(二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多选,则按所做的第一
题计分.
[选修 4—4:坐标系与参数方程]
22. 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为
1
x cos
y sin
(φ为参数).以坐标原点
O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 2 3 cos ,曲线
C1 和 C2 在第一象限交于点 A.
(1)求点 A 的直角坐标;
(2)直线 ( (0, ), )3
R 与曲线 C1,C2 在第一象限分别交于点 B,C,若△ABC 的面
积为 3 ,求α的值.
【答案】(1)( 3 3
2 2
, );(2)
12
.
【解析】
【分析】
(1)直接利用转换关系,把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.
(2)利用三角形面积公式和三角函数关系式,求出结果.
- 24 -
【详解】(1)曲线 C1 的参数方程为
1
x cos
y sin
( 为参数),
转换为直角坐标方程为 22 ( 1) 1yx .根据
2 2 2
x cos
y sin
x y
22 ( 1) 1yx 转换为极坐标方程为 2sin .
联立曲线 C1 和 C2 得到: 2 3
2sin
cos
,解得
3
3
,
即 ( 3 )3
,A 转换为直角坐标为( 3 3
2 2
, ).
(2)连接 OA,由(1)得: ( 3 )3
,A ,
可得:|OA| 3 ,
3AOx ,
将直线 与曲线 C1 和 C2 联立可得: (2sin ), B , (2 3 ), C cos .
2sin OB , 2 3OC cos ,
COx BOx ,所以
3AOB AOC .
则:S△ABC=S△AOC﹣S△AOB
1 1
2 2OA OC sin AOC OA OB sin AOB ,
1 13 2 3 3 22 3 2 3sin sin sin sin
,
3 33sin cos sin
,
22 3 33sin
,
整理得 2 1
3 2sin
,
所以
12
.
【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换、三角形面积公式、
三角函数关系式,考查了数学运算能力,逻辑推理能力,转化数学思维,属于中档题.
- 25 -
[选修 4—5:不等式选讲]
23. 关于 x 的不等式 *| 2 |x m m N 的解集为 A,且 3
2
∈A, 1
2
∉ A.
(1)求 m 的值;
(2)设 a,b,c 为正实数,且 3a b c m ,求 a b c 的最大值.
【答案】(1) 1m ;(2)3.
【解析】
【分析】
(1)根据集合的特点可得 3
2
∈A, 1
2
∉ A,从而得到关于 m 的不等式,即可得答案;
(2)利用基本不等式,即可得答案;
【详解】(1)∵ 3
2
∈A, 1
2
∉ A,
3 12 , 22 2m m ,∴ 1 3
2 2m
*, 1m N m .
(2)a,b,c 为正实数,且 3a b c ,
∴ 1 1 1a b c a b c
1 1 1 ( ) 3 3 3 32 2 2 2 2
a b c a b c .
当且仅当 1a b c 时取等号.
∴ a b c 的最大值为 3.
【点睛】本题考查利用不等式的解集确定参数值,以及利用基本不等式求最值,属综合基础
题.
- 26 -
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