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- 2021-06-16 发布
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第二章 随机变量及其分布
2.2 二项分布及其应用
2.2.3 独立重复试验与二项分布
A 级 基础巩固
一、选择题
1.若 X~B(10,0.8),则 P(X=8)等于( )
A.C810×0.88×0.22 B.C810×0.82×0.28
C.0.88×0.22 D.0.82×0.28
解析:因为 X~B(10,0.8),所以 P(X=k)=Ck100.8k(1-0.8)10-k,
所以 P(X=8)=C810×0.88×0.22.
答案:A
2.某电子管正品率为3
4
,次品率为1
4
,现对该批电子管进行测试,
设第ξ次首次测到正品,则 P(ξ=3)=( )
A.C23
1
4
2×3
4 B.C23
3
4
2×1
4
C.
1
4
2×3
4 D.
3
4
2×1
4
解析:前两次测到的都是次品,第三次测到的是正品,
所以 P(ξ=3)=1
4
×1
4
×3
4
=
1
4
2
×3
4.
答案:C
3.在某次试验中,事件 A 出现的概率为 p,则在 n 次独立重复试
验中
—
A 出现 k 次的概率为( )
A.1-pk B.(1-p)kpn-k
C.1-(1-p)k D.Ckn(1-p)kpn-k
解析:
—
A 出现 1 次的概率为 1-p,由二项分布概率公式可得
—
A 出
现 k 次的概率为 Ckn(1-p)kpn-k.
答案:D
4.(2015·课标全国Ⅰ卷)投篮测试中,每人投 3 次,至少投中 2 次
才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6,且各次投篮是
否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( )
A.0.648 B.0.432
C.0.36 D.0.312
解析:根据独立重复试验公式得,该同学通过测试的概率为 C230.62
×0.4+0.63=0.648.
答案:A
5.一袋中有 5 个白球,3 个红球,现从袋中往外取球,每次任取
一个记下颜色后放回,直到红球出现 10 次时停止,设停止时共取了ξ
次球,则 P(ξ=12)等于( )
A.C912
3
8
10 5
8
2
B.C911
3
8
10 5
8
2
C.C911
5
8
10 3
8
2
D.C911
3
8
9 5
8
2
解析:当ξ=12 时,表示前 11 次中取到 9 次红球,第 12 次取到红
球,所以 P(ξ=12)=C911
3
8
9 5
8
23
8.
答案:B
二、填空题
6.下列例子中随机变量ξ服从二项分布的有________.
①随机变量ξ表示重复抛掷一枚骰子 n 次中出现点数是 3 的倍数的
次数;
②某射手击中目标的概率为 0.9,从开始射击到击中目标所需的射
击次数ξ;
③有一批产品共有 N 件,其中 M 件为次品,采用有放回抽取方法,
ξ表示 n 次抽取中出现次品的件数(M<N);
④有一批产品共有 N 件,其中 M 件为次品,采用不放回抽取方法,
ξ表示 n 次抽取中出现次品的件数.
解析:对于①,设事件 A 为“抛掷一枚骰子出现的点数是 3 的倍
数”,P(A)=1
3.而在 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生了 k 次(k=0,
1,2,…,n)的概率 P(ξ=k)=Ckn
1
3
k 2
3
n-k
,符合二项分布的定义,即
有ξ~B n,1
3 .对于②,ξ的取值是 1,2,3,…,P(ξ=k)=0.9×0.1k-1(k
=1,2,3,…,n),显然不符合二项分布的定义,因此ξ不服从二项
分布.③和④的区别是:③是“有放回”抽取,而④是“无放回”抽
取,显然④中 n 次试验是不独立的,因此ξ不服从二项分布,对于③有
ξ~B n,M
N .故应填①③.
答案:①③
7.设随机变量 X~B(2,p),随机变量 Y~B(3,p),若 P(X≥1)
=5
9
,则 P(Y≥1)=________.
解析:因为 X~B(2,p),所以 P(X≥1)=1-P(X=0)=1-C02(1-
p)2=5
9
,解得 p=1
3.又 Y~B(3,p),所以 P(Y≥1)=1-P(Y=0)=1-C03(1
-p)3=19
27.
答案:19
27
8.口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球,有放回地每次摸
取一个球,定义数列{an}:an=
-1,第 n 次摸取红球,
1,第 n 次摸取白球, 如果 Sn 为数列
{an}的前 n 项和,那么 S5=3 的概率为________.
解析:由题意知有放回地摸球为独立重复试验,且试验次数为 5,
这 5 次中有 1 次摸得红球.每次摸取红球的概率为2
3
,所以 S5=3 时,
概率为 C15×
2
3
1 1
3
4
= 10
243.
答案: 10
243
三、解答题
9.某单位为绿化环境,移栽了甲、乙两种大树各 2 棵.设甲、乙
两种大树移栽的成活率分别为5
6
和4
5
,且各棵大树是否成活互不影响,
求移栽的 4 棵大树中.
(1)至少有 1 棵成活的概率;
(2)两种大树各成活 1 棵的概率.
解:设 Ak 表示第 k 棵甲种大树成活,k=1,2,Bl 表示第 l 棵乙种
大树成活,l=1,2,
则 A1,A2,B1,B2 相互独立,且 P(A1)=P(A2)=5
6
,P(B1)=P(B2)
=4
5.
(2)由独立重复试验中事件发生的概率公式知,所求概率为 P=
C12
5
6
1
6 ·C12
4
5
1
5 =10
36
× 8
25
= 80
900
= 4
45.
10. 一名学生骑自行车去上学,从他家到学校的途中有 6 个交通
岗,假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是1
3.
设 X 为这名学生在途中遇到红灯的次数,求 X 的分布列.
解:依据已知条件,可将遇到每个交通岗看作一次试验,遇到红
灯的概率都是1
3
,且每次试验结果都是相互独立的,所以 X~B 6,1
3 .
故 P(X=k)=Ck6
1
3
k 1-1
3
6-k
=Ck6
1
3
k 2
3
6-k
,k=0,1,2,…,6.
因此所求 X 的分布列为:
X 0 1 2 3 4 5 6
P 64
729
64
243
80
243
160
729
20
243
4
243
1
729
B 级 能力提升
1.在 4 次独立重复试验中,随机事件 A 恰好发生 1 次的概率不大
于其恰好发生 2 次的概率,则事件 A 在一次试验中发生的概率 p 的取
值范围是( )
A.0.4,1) B.(0,0.4]
C.0.6,1) D.(0,0.6]
解析:由条件知 P(ξ=1)≤P(ξ=2),
所以 C14p(1-p)3≤C24p2(1-p)2,2(1-p)≤3p,
所以 p≥0.4.
又 0≤p<1,所以 0.4≤p<1.
答案:A
2.在一次数学考试中,第 14 题和第 15 题为选做题.规定每位考
生必须且只需在其中选做一题.设 4 名考生选做这两题的可能性均为1
2.
其中甲、乙 2 名学生选做同一道题的概率是________.
解析:设事件 A 表示“甲选做第 14 题”,事件 B 表示“乙选做
第 14 题”,则甲、乙 2 名学生选做同一道题的事件为“AB+
—
A
—
B ”,
且事件 A,B 相互独立.
所以 P(AB+
—
AB )=P(A)P(B)+P(
—
A )P(
—
B )=1
2
×1
2
+ 1-1
2 1-1
2 =
1
2.
答案:1
2
3.甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜 3 局者获得比赛的胜利,
比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是1
2
外,其余每局比赛甲队获
胜的概率都是2
3.假设各局比赛结果相互独立.
(1)分别求甲队以 3∶0,3∶1,3∶2 胜利的概率;
(2)若比赛结果为 3∶0 或 3∶1,则胜利方得 3 分、对方得 0 分;
若比赛结果为 3∶2,则胜利方得 2 分、对方得 1 分.求乙队得分 X 的
分布列.
解:(1)记“甲队以 3∶0 胜利”为事件 A1,“甲队以 3∶1 胜利”
为事件 A2,“甲队以 3∶2 胜利”为事件 A3.
由题意,各局比赛结果相互独立,
故 P(A1)=
2
3
3
= 8
27
,
P(A2)=C23
2
3
2 1-2
3 ×2
3
= 8
27
,
P(A3)=C24
2
3
2 1-2
3
2
×1
2
= 4
27.
所以,甲队以 3∶0 胜利、以 3∶1 胜利的概率都为 8
27.
以 3∶2 胜利的概率为 4
27.
(2)设“乙队以 3∶2 胜利”为事件 A4,
由题意,各局比赛结果相互独立,所以
P(A4)=C24
1-2
3
2
×
2
3
2
× 1-2
3 = 4
27.
由题意,随机变量 X 的所有可能的取值为 0,1,2,3.
根据事件的互斥性得
P(X=0)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=16
27
;
P(X=1)=P(A3)= 4
27
;
P(X=2)=P(A4)= 4
27
;
P(X=3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)= 3
27.
故 X 的分布列为:
X 0 1 2 3
P 16
27
4
27
4
27
3
27
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