高考数学玩转压轴题专题2_2导数定调情况多参数分类与整合1 15页

专题 2.2 导数定调情况多参数分类与整合 【题型综述】 用导数研究函数的单调性 （1）用导数证明函数的单调性 证明函数单调递增（减），只需证明在函数的定义域内 ' ( )f x  （  ）0 （2）用导数求函数的单调区间 求函数的定义域 D →求导 ' ( )f x →解不等式 ' ( )f x ＞  0 得解集 P →求 D P ，得函数 的单调递增（减）区间． 一般地，函数 ( )f x 在某个区间可导， ' ( )f x ＞0 ( )f x 在这个区间是增函数 一般地，函数 ( )f x 在某个区间可导， ' ( )f x ＜0 ( )f x 在这个区间是减函数 （3）单调性的应用（已知函数单调性） 一般地，函数 ( )f x 在某个区间可导， ( )f x 在这个区间是增(减)函数 ' ( )f x ≥ ( ) 0 1、利用导数求函数 f(x)的单调区间的一般步骤： (1)确定函数 f(x)的定义域；(2)求导数 f′(x)； (3)在函数 f(x)的定义域内解不等式 f′(x)>0 和 f′(x)<0； (4)根据(3)的结果确定函数 f(x)的单调区间． 2、求函数的单调区间的“两个”方法 方法一：(1)确定函数 y＝f(x)的定义域；(2)求导数 y′＝f′(x)； (3)解不等式 f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式 f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 方法二：(1)确定函数 y＝f(x)的定义域； (2)求导数 y′＝f′(x)，令 f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根； (3)把函数 f(x)的间断点(即 f(x)的无定义点)的 横坐标和上面的各实数根按由小到大的 顺序排列起来，然后用这些点把函数 f(x)的定义区间分成若干个小区间； (4)确定 f′(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性． 3、由函数  f x 的单调性求参数的取值范围的方法 （1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上   0f x  (或   0f x  )(  f x 在该区间的任意子区间内都不恒等于 0)恒成立，然后分离参数，转化 为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围； （2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上 就是 ( ) 0f x  (或 ( ) 0f x  )在该区 间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题； （3）若已知  f x 在区间 I 上的单调性，区间 I 中含有参数时，可先求出  f x 的单调区 间，令 I 是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围． 【典例指引】 例 1．已知函数 3 21 1( ) ( 0)3 2f x x ax x b a     ， '( )f x 为函数 ( )f x 的导函数． (1)设函数 ( )f x 的图象与 x 轴交点为 A，曲线 y=f(x)在 A 点处的切线方程是 3 3y x  ， 求 ,a b 的值； (2)若函数 ( ) '( )axg x e f x  ，求函数 ( )g x 的单调区间． (Ⅱ) '( )( ) ax f xg x e  2 1 ax x ax e   ( )x R ． '( )g x  2 2 (2 ) ( 1) ( ) ax ax ax x a e a x ax e e     2[ ( 2)] axx ax a e    ①当 0a  时， '( ) 2g x x ， x ( ,0) 0 (0, ) '( )g x - 0 + ( )g x ↘ 极小值 ↗ ( )g x 的单调递增区间为 (0, ) ，单调递减区间为 ( ,0) (ⅱ)当 2 0aa   ，即 2a  时， '( )g x  2 22 0xx e   ， 故 ( )g x 在 ( , )  单调递减； (ⅲ)当 2 0aa   ，即 2a  时， x 2( , )aa   2 aa  2( ,0)aa  0 (0, ) '( )g x - 0 + 0 - ( )g x ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ ( )g x 在 22( ,0)a a  上单调递增，在 (0, ) ， 22( , )a a  上单调递减 综上所述，当 0a  时， ( )g x 的单调递增区间为 (0, ) ，单调递减区间为 ( ,0) ； 当 0 2a  时， ( )g x 的单调递增区间为 22(0, )a a  ，单调递减区间为 ( ,0) 当 2a  ， ( )g x 的单调递减区间为 ( , )  当 2a  时， ( )g x 的单调递增区间为 2( ,0)aa  ，单调递减区间为 (0, ) 、 2( , )aa   例 2．已知函数   21ln 2f x x ax  ， a R ． （1）求函数  f x 的单调区间； 【思路引导】 （1）先确定函数的定义域，求导后得   21' axf x x  ，根据 a 正负进行讨论，可得函数的单 调区间； 试题解析：（1）函数  f x 的定义域为 0, ． 由题意得   21 1' axf x axx x    ， 当 0a  时，  ' 0f x  ，则  f x 在区间 0, 内单调递增； 当 0a  时，由  ' 0f x  ，得 1x a  或 1x a   （舍去）， 当 10 x a   时，  ' 0f x  ，  f x 单调递增， 当 1x a  时，  ' 0f x  ，  f x 单调递减． 所以当 0a  时，  f x 的单调递增区间为 0, ，无单调递减区间； 当 0a  时，  f x 的单调递增区间为 10, a       ，单调递减区间为 1 ,a      ． 例 3．已知函数   xf x e ，   2 2 ag x x x   ，（其中 a R ， e 为自然对数的底数， 2.71828e  ……）． （1）令    h x f x  ，求  h x 的单调区间； 【思路引导】 （1）求导函数的导数得   exh x a   ，再根据是否变号进行分类讨论单调性：当 0a  时， 导函数不变号，为单调递增；当 0a  时，导函数先负后正，对应单调区间为先减后增． 所以  h x 的减区间为 ,lna ，增区间为 ln ,a  综上可得，当 0a  时，  h x 在 上单调递增 当 0a  时，  h x 的增区间为  ln ,a  ，减区间为 ,lna ． 例 4．已知函数   1ln ,1 xf x a x x    其中实数 a 为常数且 0a  ． （I）求函数  f x 的单调区间； 【思路引导】 （1）利用导数并结合实数 a 的不同取值求解单调区间； 例 5．已知函数    2 2x xf x ae a e x    ． （1）讨论的单调性  f x ； 【思路引导】 （1）求出  'f x ，分类讨论，分别由  ' 0f x  可得增区间，由  ' 0f x  可得减区间 【同步训练】 1．已知   3 2 , ,f x x ax bx a b R    （1）若 1b  ，且函数  f x 在区间 11, 2     上单调递增，求实数 a 的范围； 【思路引导】 （1）求导后根据函数在区间单调递增，导函数大于或等于 0（2）先判断 0x 为一个零点，然后 再求导，根据 1 0 22 3x x x  ，化简求得另一个零点。 解析：（1）当 =1b 时，   23 +2 1f x x ax  ，因为函数  f x 在 11, 2     上单调递增，所以当 11, 2x      时，   23 +2 1 0f x x ax   恒成立． 函数   23 +2 1f x x ax  的对称轴为 3 ax   ． ① 13 a   ，即 3a  时，  1 0f    ，即3 2 1 0a   ，解之得 3 2a  ，解集为空集； ② 11 3 2 a    ，即 3 32 a   时， 03 af       即 2 3 +2 1 09 3 a aa         ，解之得 3 3a   ，所以 3 32 a   ③ 1 3 2 a  ，即 3 2a   时， 1 02f       即 13 1 04 a    ，解之得 7 4a   ，所以 7 3 4 2a    综上所述，当 7 34 a   函数  f x 在区间 11, 2     上单调递增． 2．已知函数      2 2 1 1 ,x xf x e a e a x a R      ． (1)讨论  f x 的单调性； 【思路引导】 （1）对函数进行求导分解因式可得  f x    2 1 1x xe e a      ，分为 1a   和 1a   讨论导数与 0 的关系，得到单调性； 3．设函数    2ln 2 , .f x x mx n m n R    （1）讨论  f x 的单调性； 【思路引导】 （1）函数 f（x）的定义域为（0，+∞），   21 1 4' 4 mxf x mxx x    ，对 m 分类讨论即可 得出． 试题解析：（1）函数  f x 定义域为 0, ，   21 1 4' 4 mxf x mxx x    当 0m  时，  ' 0f x  ，∴  f x 在 0, 上单调递增； 当 0m  时，  ' 0f x  得 10 2 x m   ， ∴  f x 在 0, 2 m m       上单调递增；在 ,2 m m      上单调递减. 点评：讨论函数的单调性即讨论导函数的正负，导函数中有参数 m，需要对 m 进行讨论，来判 断正负； 4．已知函数   xf x e ax a   ，其中 a R ( e 为自然对数的底数). （Ⅰ）讨论函数  f x 的单调性，并写出相应的单调区间； 【思路引导】 (I)求出  'f x ，对 0a  和 0a  分别讨论单调性，求出单调区间; 5．已知函数   21ln 2f x x ax  ， a R ． （1）求函数  f x 的单调区间； 【思路引导】 （1）先确定函数的定义域，求导后得   21' axf x x  ，根据 a 正负进行讨论，可得函数的单 调区间； 6．已知函数     2ln , 1f x x ax g x ax    ，其中 e 为自然对数的底数. （1）讨论函数  f x 在区间 1,e 上的单调性； 【思路引导】 （1）求出  'f x ，讨论三种情况 1a e  ， 1a  ， 1 1ae   ，分别令  ' 0f x  可得增区 间，  ' 0f x  可得减区间； 试题解析：（1） ，①当 时， ， ， 在 上单调递增， ②当 时， ， ， 在 上单调递增，③当 时， 时， ， 在 上单调递增， 时， ， 在 上单调递减，④当 时， ， ， 在 上单调递增，综上所述，当 或 时， 在 上单调 递增，当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减 7．设函数     ln 1 0, 0f x a x b x x ab     ． （1）讨论函数  f x 的单调性； （2）若 2b a  ，求函数  f x 的最值． 【思路引导】 （1）先求导，分类讨论即可求出函数的单调区间；（2）求导，根据导数和函数的最值得关系 即可求出，注意分类讨论． ④若 0, 0b a  ，则   0f x  恒成立，所以函数  f x 在 0, 上单调递减. （2）若 2b a  ， ①当 0a  时， 0b  ，由（1）得，函数  f x 在 10, 2      上单调递增，在 1 ,2     上单调递 减， 故 0a  时，函数  f x 有最大值 1 1 1ln 2 ln22 2 2f a a a a                     ，无最小值； ②当 0a  时， 0b  ，由（1）得，函数  f x 在 1 ,2     上单调递增，在 10, 2      上单调递 减， 故 0a  时，函数  f x 有最小值 1 ln22f a a       ，无最大值. 8．已知函数 f(x)＝ln (x＋1)－ 1 ax x  －x，a∈R. (1)当 a>0 时，求函数 f(x)的单调区间； 【思路引导】 （1）先求导数，转化研究二次函数 2y x x a    符号变化规律：当判别式非正时，导函数 不变号；当判别式大于零时，定义域上有两个根 ，导函数符号先负再正再负. 9．已知常数 ，函数 . (1)讨论 在区间 上的单调性； 【思路引导】 (1)结合函数的解析式可得 ，分类讨论有： 当 时， 在区间 上单调递增； 当 时， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增； 试题解析：（1） 当 时， 此时 ， 在区间 上单调递增 当 时， ，得 当 时， ； 时， ； 故 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增 综上所述，当 时， 在区间 上单调递增；当 时， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增 点评：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知 识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出． 10．已知函数 . （1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程； （2）求函数 的单调区间； （3）设函数 .若对于任意 ，都有 成立，求实数 的取值范围. 【思路引导】 （1）代入 ，求导 ，可求出切线方程。（2）因为 . 又因为 ， 的两根 >0，所以分 与 与 三类讨论单调性。 （3）由 成立，即 ，变形 . ，所以只需 。