【数学】2020届一轮复习苏教版专题一第三讲大题考法——解三角形学案 14页

第三讲 大题考法——解三角形 题型(一)‎ 三角变换与解三角形的综合问题 主要考查利用正、余弦定理求解三角形的边长或角的大小 ‎　(或三角函数值)，且常与三角恒等变换综合考查.‎ ‎[典例感悟]‎ ‎[例1]　(2018·南京学情调研)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos B＝.‎ ‎(1)若c＝2a，求的值；‎ ‎(2)若C－B＝，求sin A的值．‎ ‎[解]　(1)法一(角化边)：在△ABC中，因为cos B＝，所以＝.‎ 因为c＝2a，所以＝，即＝，‎ 所以＝.‎ 又由正弦定理得，＝，所以＝.‎ 法二(边化角)：因为cos B＝，B∈(0，π)，‎ 所以sin B＝＝.‎ 因为c＝2a，由正弦定理得sin C＝2sin A，‎ 所以sin C＝2sin(B＋C)＝cos C＋sin C，‎ 即－sin C＝2cos C.‎ 又因为sin2C＋cos2C＝1，sin C＞0，解得sin C＝，‎ 所以＝.‎ ‎(2)因为cos B＝，所以cos 2B＝2cos2B－1＝.‎ 又0＜B＜π，所以sin B＝＝，‎ 所以sin 2B＝2sin Bcos B＝2××＝.‎ 因为C－B＝，即C＝B＋，‎ 所以A＝π－(B＋C)＝－2B，‎ 所以sin A＝sin ‎＝sincos 2B－cossin 2B ‎＝×－× ‎＝.‎ ‎[方法技巧]‎ 三角变换与解三角形综合问题求解策略 ‎(1)三角变换与解三角形综合问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的，其基本步骤是：‎ ‎(2)三角变换与解三角形的综合问题要关注三角形中的隐藏条件，如A＋B＋C＝π，sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C, 以及在△ABC中，A>B⇔sin A>sin B等．‎ ‎[演练冲关]‎ ‎1．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且bsin 2C＝csin B.‎ ‎(1)求角C；‎ ‎(2)若sin＝，求sin A的值．‎ 解：(1)由正弦定理及bsin 2C＝csin B，‎ 得2sin Bsin Ccos C＝sin Csin B，‎ 因为sin B>0，sin C>0，所以cos C＝，‎ 又C∈(0，π)，所以C＝. ‎ ‎(2)因为C＝，所以B∈，‎ 所以B－∈，‎ 又sin＝，‎ 所以cos＝ ＝.‎ 又A＋B＝，即A＝－B，‎ 所以sin A＝sin＝sin＝sin·cos－cossin＝×－×＝.‎ ‎2．在△ABC中，AC＝6，cos B＝，C＝.‎ ‎(1)求AB的长；‎ ‎(2)求cos的值．‎ 解：(1)因为cos B＝，0＜B＜π，‎ 所以sin B＝ ＝ ＝.‎ 由正弦定理知＝，‎ 所以AB＝＝＝5.‎ ‎(2)在△ABC中，A＋B＋C＝π，‎ 所以A＝π－(B＋C)，‎ 于是cos A＝－cos(B＋C)＝－cos ‎＝－cos Bcos＋sin Bsin.‎ 又cos B＝，sin B＝，‎ 故cos A＝－×＋×＝－.‎ 因为0＜A＜π，所以sin A＝＝.‎ 因此，cos＝cos Acos＋sin Asin ‎＝－×＋×＝.‎ 题型(二)‎ 解三角形与平面向量结合 主要考查以平面向量的线性运算和数量积为背景的解三角形问题.‎ ‎[典例感悟]‎ ‎[例2]　(2018·盐城模拟)设△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC面积的大小为S,3·＝2S.‎ ‎(1)求sin A的值；‎ ‎(2)若C＝，·＝16，求b.‎ ‎[解]　(1)由3·＝2S，‎ 得3bccos A＝2×bcsin A，即sin A＝3cos A.‎ 整理化简得sin2A＝9cos2A＝9(1－sin2A)，‎ 所以sin2A＝.‎ 又A∈(0，π)，所以sin A>0，故sin A＝.‎ ‎(2)由sin A＝3cos A和sin A＝，‎ 得cos A＝，‎ 又·＝16，所以bccos A＝16，‎ 得bc＝16.①‎ 又C＝，‎ 所以sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝.‎ 在△ABC中，由正弦定理＝，‎ 得＝，即c＝b.②‎ 联立①②得b＝8.‎ ‎[方法技巧]‎ 解三角形与平面向量综合问题的求解策略 ‎(1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题．‎ ‎(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响．‎ ‎[演练冲关]‎ ‎1．(2018·南通三调)已知△ABC是锐角三角形，向量m＝，n＝(cos B，sin B)，且m⊥n.‎ ‎(1)求A－B的值；‎ ‎(2)若cos B＝，AC＝8，求BC的长．‎ 解：(1)因为m⊥n，‎ 所以m·n＝coscos B＋sinsin B＝‎ cos＝0，‎ 又A，B∈，所以A＋－B∈，‎ 所以A＋－B＝，即A－B＝.‎ ‎(2)因为cos B＝，B∈，所以sin B＝.‎ 所以sin A＝sin＝sin Bcos＋cos Bsin ‎＝×＋×＝.‎ 由正弦定理，得BC＝×AC＝×8＝4＋3.‎ ‎2．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(1,2)，n＝‎ ，且m·n＝1.‎ ‎(1)求角A的大小；‎ ‎(2)若b＋c＝2a＝2，求sin的值．‎ 解：(1)由题意得m·n＝2cos2A－1＋cos A＋1＝2cos2A＋cos A＝1，‎ 解得cos A＝或cos A＝－1，∵0