【数学】2019届一轮复习北师大版待定系数法学案 8页

‎ 第三篇 方法应用篇 ‎ 一、待定系数法 待定系数法是根据已知条件，建立起给定的算式和所求的结果之间的恒等式，得到以需要待定的系数为未知数的方程或方程组，解方程或方程组得到待定的系数的一种数 方法．‎ ‎ 待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数 问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组 解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数 问题是否具有某种确定的数 表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解.例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数 表达形式，所以都可以用待定系数法求解.‎ ‎ 二、待定系数法解题的基本步骤 ‎ ‎ 使用待定系数法，它解题的基本步骤是 ‎ 第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；‎ 第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；‎ 第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决.‎ 本文在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，从以下四个方面总结高考中的待定系数法.‎ ‎1．用待定系数法求曲线方程 ‎ 确定曲线方程常用的方法有定义法、直接法、待定系数法等，当已知曲线类型及曲线的几何性质时，往往利用待定系数法，通过设出方程形式，布列方程（组），使问题得到解决.‎ 例1.【2018届江苏省镇江市高三上 期期末】已知圆与圆相切于原点，且过点，则圆的标准方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设圆的标准方程为，其圆心为，半径为 ‎∵可化简为 ‎∴其圆心为，半径为 ‎∵两圆相切于原点，且圆过点 例2.【2018届山西省孝义市高三下 期名校最新高考模拟卷（一）】已知椭圆的左、右焦点分别为、，且点到椭圆上任意一点的最大距离为3，椭圆的离心率为.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程； ‎ ‎(2)是否存在斜率为的直线与以线段为直径的圆相交于、两点，与椭圆相交于、，且？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析 （1）由椭圆的几何性质可得，结合，可求得参数值，进而得到方程；（2）由圆中的垂径定理得到由弦长公式得到，再有，可解出参数值.‎ 解析 ‎ ‎(1)设， 的坐标分别为， ，根据椭圆的几何性质可得，解得， ，‎ ‎2．用待定系数法求函数解析式 ‎ 利用待定系数法确定一次函数、二次函数的解析式，在教材中有系统的介绍，通过练习应 会“迁移”，灵活应用于同类问题解答之中.‎ 例3.【2018届湖南省长沙市长郡中 高三】已知函数的图象过点，且点是其对称中心，将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则函数的解析式为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由函数f（x）过点（，2），（﹣，0）得 ‎ ‎ ‎ 解得 ‎ ‎∴f（x）=sin2x+cos2x=2sin（2x+），‎ ‎∴g（x）=2sin2x，‎ 故答案为 A. ‎ 例4.【2018届天津市耀华中 高三上 期第三次月考】若幂函数在上为增函数，则实数的值为_________.‎ ‎【答案】2‎ 例5.已知二次函数的最小值为，且.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）若在区间上不单调，求实数的取值范围；‎ ‎（3）在区间上，的图象恒在的图象上方，试确定实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ;(2) ;(3) .‎ ‎【解析】试题分析 (1)由 ‎, 根据二次函数的对称性可得函数的对称轴,又已知函数的最小值,可设二次函数的顶点式,再，得值,可得二次函数;(2)二次函数在区间不单调, ‎ 例6.某同 用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如表 ‎ ωx+φ ‎0‎ π ‎ ‎2π x Asin(ωx+φ)‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎-5‎ ‎0‎ ‎(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式.‎ ‎(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为,求θ的最小值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）. （Ⅱ）当时，取得最小值.‎ ‎【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得. 数据补全如下表 ‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎0‎ 且函数表达式为. ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，得.‎ ‎ 因为的对称中心为，. 令，解得， . ‎ ‎ 由于函数的图象关于点成中心对称，令，‎ ‎ 解得，. 由可知，当时，取得最小值.‎ ‎3．用待定系数法求数列通项式 ‎ 等差数列、等比数列是高中阶段重点研究的两类数列，在高考题中，除设计直接考查等差数列、等比数列的题目外，还常常命制通过转化而成为我们熟悉数列的问题，而利用待定系数法往往可以实现这一转化.利用待定系数法求数列的解析式，首先把某些已知条件转化成我们熟知的简单的数列的形式，比如等差数列、等比数列等，用字母表示，然后根据数列的性质，解出未知数，即可得结果．‎ 例7.已知等差数列的前项和为，，，则数列的前100项和为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，且为递增数列，若，求证 ．‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.[ + + ]‎ ‎【解析】‎ ‎4．用待定系数法求解的其它类型 例9. 若向量,是不共线的两向量，且，（），则A，B，C三点共线的条件是（ ）．‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】求A，B，C三点共线的条件即为求向量和向量共线的条件，则根据向量共线的条件可知，存在（且），使，即．由向量和不共线，则根据，前的系数相等可列出方程组，解得 ‎，故，选D．[ ]‎ 例10.【2015高考新课标2】设向量，不平行，向量与平行，则实数_________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】因为向量与平行，所以，则所以．[ , , ,X,X, ]‎ ‎【反思提升】综上所述，待定系数法实际就是将待定的未知数与已知数建立数量关系，从而列出方程或方程组，解方程或方程组即可得待定的未知数．之后就只需根据题目给出的条件，解题即可．用待定系数法解题，思路较为清晰，操作比较方便，在诸如函数、数列、解析几何、平面向量等题目中都可以应用．但是在解题过程中，待定系数法并不是最为简单，最为合适的方法．解题时要根据具体的题目，选择简单又适合的方法．‎