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- 2021-06-16 发布
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第2课时 函数的定义域与值域
题型一 函数的定义域
命题点1 求函数的定义域
例1 (1)(2018·江苏)函数f(x)＝的定义域为________．
答案 {x|x≥2}
解析 由log2x－1≥0，即log2x≥log22，解得x≥2，
满足x>0，
所以函数f(x)＝的定义域为{x|x≥2}．
(2)函数f(x)＝ln＋的定义域为________________．
答案 [－4,0)∪(0,1)
解析 由
解得－4≤x<0或02a，∴B
＝{x|2a，所以x－>0，
所以x－＋≥2＝，
当且仅当x－＝，即x＝时取等号．
所以y≥＋，即原函数的值域为.
思维升华 配方法、分离常数法和换元法是求函数值域的有效方法，但要注意各种方法所适用的函数形式，还要注意函数定义域的限制．换元法多用于无理函数，换元的目的是进行化归，把无理式转化为有理式来解．二次分式型函数求值域，多采用分离出整式再利用基本不等式求解．
跟踪训练2 (1)函数y＝2x－的值域是________．
答案
解析 令＝t，则t≥0且x＝t2＋1≥1，
于是y＝2x－＝2t2－t＋2＝22＋.
又因为t≥0，所以y≥.
因此值域为.
(2)函数f(x)＝的值域是________．
答案 (－1,1)
解析 由y＝，得e2x＝>0，
解得－10时，＝
＝≤，当且仅当x＝1时取等号．
∴00且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________．
答案 (1,2]
解析 当x≤2时，－x＋6≥4，要使得函数f(x)的值域为[4，＋∞)，只需当x>2时，f(x)＝3＋logax的值域在区间[4，＋∞)内即可，故a>1，所以3＋loga2≥4，解得10且a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝________.
答案 －
解析 当a>1时，该方程组无解；
当00，
由f(x)的图象可知，当x∈(2,8]时，f(x)>0.
10．设函数f(x)＝若a＝0，则f(x)的最大值为________；若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是________．
答案 1 (－∞，－1)
解析 函数y＝－x2－2x与函数y＝－x的图象相交于点(0,0)，(－1,1)，结合分段函数f(x)的图象知(图略)，
当a<－1时，f(x)无最大值；
当a≥－1时，f(x)的最大值为1.
11．求下列函数的值域：
(1)f(x)＝x－；
(2)y＝；
(3)y＝，x∈[3,5]；
(4)y＝(x>1)．
解 (1)方法一 (换元法)
令＝t，则t≥0且x＝，
于是f(t)＝－t＝－(t＋1)2＋1.
由于t≥0，所以f(t)≤，
故函数的值域是.
方法二 (单调性法)
容易判断f(x)为增函数，而其定义域应满足1－2x≥0，即x≤，
所以f(x)≤f ＝，
即函数的值域是.
(2)y＝＝－1.
因为1＋x2≥1，所以0<≤2.
所以－1<－1≤1，即y∈(－1,1]．
所以函数的值域为(－1,1]．
(3)方法一 由y＝＝2－，
结合图象(图略)知，函数在[3,5]上是增函数，
所以ymax＝，ymin＝，
故所求函数的值域是.
方法二 由y＝，得x＝.
因为x∈[3,5]，所以3≤≤5，解得≤y≤，
即所求函数的值域是.
(4)(基本不等式法)
令t＝x－1，则x＝t＋1(t>0)，
所以y＝＝
＝t＋－2(t>0)．
因为t＋≥2＝2，
当且仅当t＝，即x＝＋1时，等号成立，
故所求函数的值域为[2－2，＋∞)．
12．已知函数f(x)＝1－2ax－a2x(a>1)．
(1)求函数f(x)的值域；
(2)若x∈[－2,1]时，函数f(x)的最小值为－7，求a的值及函数f(x)的最大值．
解 (1)f(x)＝－(ax＋1)2＋2.
因为ax>0，所以f(x)<1，故f(x)的值域为(－∞，1)．
(2)因为a>1，所以当x∈[－2,1]时，a－2≤ax≤a，
于是－(a＋1)2＋2≤f(x)≤－(a－2＋1)2＋2，
因此－(a＋1)2＋2＝－7，得a＝2(a＝－4舍去)，
此时f(x)的最大值为－(2－2＋1)2＋2＝.
13．定义新运算“★”：当m≥n时，m★n＝m；当m1，函数f(x)＝x3－3ax＋a2，g(x)＝10x－1.
(1)求函数f(x)在x∈[0,1]上的值域M；
(2)若对∀x1∈[0,1]，∃x2∈[0,1]，使得g(x2)＝f(x1)成立，求a的取值范围．
解 (1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)．
因为x∈[0,1]且a>1，
所以f′(x)<0，函数f(x)为[0,1]上的减函数，
于是f(x)min＝f(1)＝a2－3a＋1，f(x)max＝f(0)＝a2，
从而M＝[a2－3a＋1，a2]．
(2)g(x)＝10x－1在x∈[0,1]上的值域N＝[－1,9]．
由题意知，M⊆N，即
解得2≤a≤3，故a的取值范围为[2,3]．
15.如图为一木制框架，框架的下部是边长分别为x，y(单位：m)的矩形，
上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为4 m2，设用x表示y的表达式为f(x)，则f(x)＝______________.
答案 －(0
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