高中数学人教a版选修2-2（课时训练）：1.4 生活中的优化问题举例 15页

1.4 生活中的优化问题举例 [学习目标] 1．了解导数在解决实际问题中的作用． 2．掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题． [知识链接] 设两正数之和为常数 c，能否借助导数求两数之积的最大值，并由此证明不等 式a＋b 2 ≥ ab(a，b＞0)? 答 设一个正数为 x，则另一个正数为 c－x，两数之积为 f(x)＝x(c－x)＝cx－x2(0＜x＜c)，f′(x)＝c－2x. 令 f′(x)＝0，即 c－2x＝0，得 x＝c 2. 故当 x＝c 2 时，f(x)有最大值 f c 2 ＝c2 4 ，即两个正数的积不大于这两个正数的和的平 方的1 4. 若设这两个正数分别为 a，b，则有a＋b2 4 ≥ab(a＞0，b＞0)，即a＋b 2 ≥ ab(a，b ＞0)，当且仅当 a＝b 时等号成立． [预习导引] 1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称 为优化问题． 2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值． 3．解决优化问题的基本思路是 优化问题 → 用函数表示的数学问题 优化问题的答案 ← 用导数解决数学问题 上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程． 要点一 用料最省问题 例 1 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边 A 处，乙厂与甲厂在河的 同侧，乙厂位于离河岸 40 千米的 B 处，乙厂到河岸的垂足 D 与 A 相距 50 千米， 两厂要在此岸边合建一个供水站 C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每 千米 3a 元和 5a 元，问供水站 C 建在岸边何处才能使水管费用最省？ 解 如图，由题意知，只有点 C 位于线段 AD 上某一适当位置时，才能使总费用最省， 设点 C 距点 D 为 x km，则 BC＝ BD2＋CD2＝ x2＋402，又设总的水管费用为 y 元，依题意有 y＝3a(50－x)＋5a x2＋402(020 时，q′>0， ∴当 v＝20 时，q 取得最小值， 即速度为 20 海里/时时，航行 1 海里所需费用总和最小． 要点二 面积、容积的最值问题 例 2 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即 图中阴影部分)，这两栏的面积之和为 18 000 cm2，四周空白的宽度为 10 cm，两 栏之间的中缝空白的宽度为 5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能 使矩形广告面积最小？ 解 设广告的高和宽分别为 x cm，y cm， 则每栏的高和宽分别为 x－20 cm，y－25 2 cm， 其中 x>20，y>25. 两栏面积之和为 2(x－20)·y－25 2 ＝18 000， 由此得 y＝18 000 x－20 ＋25. 广告的面积 S＝xy＝x 18 000 x－20 ＋25 ＝18 000x x－20 ＋25x， ∴S′＝18 000[x－20－x] x－202 ＋25＝－360 000 x－202 ＋25. 令 S′>0 得 x>140，令 S′<0 得 200)；固定部分为 a 元． (1)把全程运输成本 y(元)表示为速度 v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义 域； (2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 解 (1)依题意汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为s v ，全程运输成本为 y＝a·s v ＋bv2·s v ＝s a v ＋bv ， ∴所求函数及其定义域为 y＝s a v ＋bv ，v∈(0，c] (2)由题意 s、a、b、v 均为正数． y′＝s b－a v2 ＝0 得 v＝ a b.但 v∈(0，c]． ①若 a b ≤c，则当 v＝ a b 时，全程运输成本 y 最小； ②若 a b>c，则 v∈(0，c]， 此时 y′<0，即 y 在(0，c]上为减函数． 所以当 v＝c 时，y 最小． 综上可知，为使全程运输成本 y 最小， 当 a b ≤c 时，行驶速度 v＝ a b ； 当 a b>c 时，行驶速度 v＝c. 规律方法 正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解题的主要思路．另 外需注意： ①合理选择变量，正确给出函数关系式． ②与实际问题相联系． ③必要时注意分类讨论思想的应用． 跟踪演练 3 已知某商品生产成本 C 与产量 q 的函数关系式为 C＝100＋4q，价 格 p 与产量 q 的函数关系式为 p＝25－1 8q.求产量 q 为何值时，利润 L 最大？ 解 收入 R＝q·p＝q 25－1 8q ＝25q－1 8q2， 利润 L＝R－C＝ 25q－1 8q2 －(100＋4q) ＝－1 8q2＋21q－100(00)．∴S′＝ 3 x2 (x3－4V)．令 S′＝0，得 x＝3 4V. 3．在边长为 60 cm 的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线 折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积 是多少？ 解 设箱底边长为 x cm，则箱高 h＝60－x 2 cm，箱子容积 V(x)＝x2h＝60x2－x3 2 (0 ＜x＜60)． V′(x)＝60x－3 2x2 令 V′(x)＝60x－3 2x2＝0， 解得 x＝0(舍去)或 x＝40，并求得 V(40)＝16 000. 由题意知，当 x 过小(接近 0)或过大(接近 60)时，箱子容积很小，因此，16 000 是最大值． 答 当 x＝40 cm 时，箱子容积最大，最大容积是 16 000 cm3. 4．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y(升)关于行驶速度 x(千米/时)的函数解析式可以表示为 y＝ 1 128 000x3－ 3 80x＋8(00，h(x)是增函数， 所以当 x＝80 时，h(x)取得极小值 h(80)＝11.25(升)． 因为 h(x)在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值． 答 汽车以 80 千米/时匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为 11.25 升． 1．解有关函数最大值、最小值的实际问题，在分析问题中的各个变量之间的关 系的基础上，列出合乎题意的函数关系式，并确定函数的定义域．注意所求得的 结果一定符合问题的实际意义． 2．利用导数解决生活中的优化问题时，有时会遇到在定义域内只有一个点使 f′(x)＝0，如果函数在该点取得极大(小)值，极值就是函数的最大(小)值，因此 在求有关实际问题的最值时，一般不考虑端点． 一、基础达标 1．方底无盖水箱的容积为 256，则最省材料时，它的高为( ) A．4 B．6 C．4.5 D．8 答案 A 解析 设底面边长为 x，高为 h， 则 V(x)＝x2·h＝256，∴h＝256 x2 ， ∴S(x)＝x2＋4xh＝x2＋4x·256 x2 ＝x2＋4×256 x ， ∴S′(x)＝2x－4×256 x2 . 令 S′(x)＝0，解得 x＝8，∴h＝256 82 ＝4. 2．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正 比，比例系数为 k(k>0)．已知贷款的利率为 0.048 6，且假设银行吸收的存款能 全部放贷出去．设存款利率为 x，x∈(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则 x 的取值为( ) A．0.016 2 B．0.032 4 C．0.024 3 D．0.048 6 答案 B 解析 依题意，得存款量是 kx2，银行支付的利息是 kx3，获得的贷款利息是 0.048 6kx2，其中 x∈(0,0.048 6)． 所以银行的收益是 y＝0.048 6kx2－kx3(00； 当 0.032 40， ∴r＝l 6 是其唯一的极值点． ∴当 r＝l 6 时，V 取得最大值，最大值为 l 6 3π. 4．用边长为 120 cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正 方形，然后把四边翻转 90°角，再焊接成水箱，则水箱最大容积为( ) A．120 000 cm3 B．128 000 cm3 C．150 000 cm3 D．158 000 cm3 答案 B 解析 设水箱底边长为 x cm，则水箱高 h＝60－x 2(cm)． 水箱容积 V＝V(x)＝x2h＝60x2－x3 2 (00. 求导数，得 S′(x)＝2－512 x2 . 令 S′(x)＝2－512 x2 ＝0，解得 x＝16(x＝－16 舍去)． 于是宽为128 x ＝128 16 ＝8.当 x∈(0,16)时，S′(x)<0； 当 x∈(16，＋∞)时，S′(x)>0. 因此，x＝16 是函数 S(x)的极小值点，也是最小值点． 所以，当版心高为 16 dm，宽为 8 dm 时，能使四周空白面积最小． 二、能力提升 8．把长为 12 cm 的细铁丝截成两段，各自摆成一个正三角形，那么这两个正三 角形的面积之和的最小值是( ) A.3 2 3 cm2 B．4 cm2 C．3 2 cm2 D．2 3 cm2 答案 D 解析 设一个正三角形的边长为 x cm，则另一个正三角形的边长为(4－x)cm，则 这两个正三角形的面积之和为 S＝ 3 4 x2＋ 3 4 (4－x)2＝ 3 2 [(x－2)2＋4]≥2 3(cm2)， 故选 D. 9．某公司生产一种产品， 固定成本为 20 000 元，每生产一单位的产品，成本 增 加 100 元 ， 若 总 收 入 R 与 年 产 量 x 的 关 系 是 R(x) ＝ － x3 900 ＋400x，0≤x≤390， 90 090，x>390， 则当总利润最大时，每年生产 产品的单位数是( ) A．150 B．200 C．250 D．300 答案 D 解析 由题意得，总利润 P(x)＝ － x3 900 ＋300x－20 000，0≤x≤390， 70 090－100x，x>390， 令 P′(x)＝0，得 x＝300，故选 D. 10．为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为 2 米的无盖长方体沉淀箱，污 水从 A 孔流入，经沉淀后从 B 孔流出，设箱体的长为 a 米，高为 b 米．已知流 出的水中该杂质的质量分数与 a，b 的乘积 ab 成反比，现有制箱材料 60 平方米， 问当 a＝________，b＝________时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最 小(A，B 孔的面积忽略不计)． 答案 6 3 解析 设 y 为流出的水中杂质的质量分数，则 y＝ k ab ，其中 k(k>0)为比例系数．依 题意，即所求的 a，b 值使 y 值最小，根据题设，4b＋2ab＋2a＝60(a>0，b>0)得 b＝30－a 2＋a .于是 y＝ k ab ＝ k 30a－a2 2＋a ＝k2＋a 30a－a2.(00，f(x)在区间(64,640)内为增函数，所以 f(x)在 x＝64 处 取得最小值． 此时 n＝m x －1＝640 64 －1＝9. 故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小． 12．一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为 20 km/h 时，每小时消耗的煤价值 40 元，其他费用每小时需 200 元，火车的最高 速度为 100 km/h，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？ 解 设速度为 x km/h，甲、乙两城距离为 a km. 则总费用 f(x)＝(kx3＋200)·a x ＝a(kx2＋200 x )． 由已知条件，得 40＝k·203，∴k＝ 1 200 ， ∴f(x)＝a 1 200x2＋200 x (0＜x＜100)． 令 f′(x)＝ax3－20 000 100x2 ＝0， 得 x＝103 20. 当 00. ∴当 x＝10 3 20时，f(x)有最小值， 即速度为 103 20 km/h 时，总费用最少． 三、探究与创新 13．某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间 为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π 3 立方米，且 l≥2r. 假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元，半球形部分每平方米建造费用为 c(c>3)千元．设该容器的建造费用为 y 千元． (1)写出 y 关于 r 的函数表达式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的 r. 解 (1)设容器的容积为 V，由题意知 V＝πr2l＋4 3πr3， 又 V＝80π 3 ， 故 l＝V－4 3πr3 πr2 ＝80 3r2 －4r 3 ＝4 3 20 r2 －r .由于 l≥2r，因此 03，所以 c－2>0. 当 r3－ 20 c－2 ＝0 时，r＝3 20 c－2.令3 20 c－2 ＝m，则 m>0， 所以 y′＝8πc－2 r2 (r－m)(r2＋rm＋m2)． ①当 09 2 时，令 y′＝0，得 r＝m. 当 r∈(0，m)时，y′<0；当 r∈(m,2]时，y′>0， 所以 r＝m 是函数 y 的极小值点，也是最小值点． ②当 m≥2，即 39 2 时，建造费用最小时 r＝ 3 20 c－2.