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- 2021-06-16 发布
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微专题一 分段函数探究
一、分段函数的性质
例1 函数f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，求a的取值范围．
解 因为函数f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，
所以①当x<1时，f(x)＝x2－(4a＋1)x－8a＋4，x<1是减函数，即≥1；
②当x≥1时，f(x)＝logax是减函数，即00时，－x<0，由已知得f(－x)＝xlg(2＋x)，
所以－f(x)＝xlg(2＋x)，
即f(x)＝－xlg(2＋x)(x>0)．
所以f(x)＝
即f(x)＝－xlg(2＋|x|)(x∈R)．
跟踪训练1 (1)函数y＝－(x－3)|x|的单调增区间是________．
答案
解析 y＝－(x－3)|x|＝
作出该函数的图象如图所示，
观察图象知函数的单调增区间为.
(2)已知函数f(x)＝是R上的增函数，则实数k的取值范围是________．
答案
解析 由题意得解得≤k<1.
(3)判断g(x)＝的奇偶性．
解 当x>0时，－x<0，g(－x)＝＝＝g(x)，
当x<0时，－x>0，g(－x)＝＝g(x)，
又g(－0)＝g(0)，
所以g(x)＝为偶函数．
(4)已知函数f(x)＝若f(2－a2)>f(a)，求实数a的取值范围．
解 当x≥0时，函数f(x)＝x2＋4x在[0，＋∞)上是增函数，
当x<0时，函数f(x)＝－x2＋4x在(－∞，0)上是增函数，
易知连续函数y＝f(x)是定义在R上的增函数，
因为f(2－a2)>f(a)，所以2－a2>a，所以－21，所以12时，f(x)＝
当x＝－时，f(x)取得最小值3，
此时－1－a＝3，解得a＝8，故a＝－4或8.
跟踪训练2 (1)已知函数f(x)＝则函数f(x)的值域为________．
答案 (－1，＋∞)
解析 根据分段函数f(x)＝的图象(图略)可知，该函数的值域为(－1，＋∞)．
(2)函数f(x)＝的最大值为________．
答案 2
解析 当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，
所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；
当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.
故函数f(x)的最大值为2.
(3)已知a∈R，函数f(x)＝＋a在区间[1,4]上的最大值是5，则a的取值范围是________．
答案
解析 方法一 当x∈[1,4]时，x＋∈[4,5]．
①当a≥5时，f(x)＝a－x－＋a＝2a－x－，函数的最大值为2a－4＝5，解得a＝(舍去)；
②当a≤4时，f(x)＝x＋－a＋a＝x＋≤5，此时符合题意；
③当4＜a＜5时，f(x)max＝max{|4－a|＋a，|5－a|＋a}，
则
或解得a＝或a＜.
综上，a的取值范围是.
方法二 当x∈[1,4]时，令t＝x＋∈[4,5]．
则f(x)＝|t－a|＋a，结合数轴易知，t＝为[4,5]的对称轴，
当a≤时，a靠近左端点4，
此时|t－a|≤|5－a|＝5－a，即f(x)max＝5－a＋a＝5，符合题意．
当a＞时，a靠近右端点5，此时|t－a|≤|4－a|＝a－4，
即f(x)max＝a－4＋a＝2a－4＞5，不符合题意．
综上可得，a的取值范围是.
方法三 当x∈[1,4]时，x＋∈[4,5]．
结合数轴可知，
f(x)max＝max{|5－a|，|4－a|}＋a＝
令f(x)max＝5，得a∈.
(4)函数f(x)＝的值域为R，求实数a的取值范围．
解 因为当x≥1时，ln x≥0，
又因为函数f(x)＝的值域为R，
所以当x<1时，f(x)＝(1－2a)x＋3a必须取到所有的负数，
所以解得－1≤a<，
所以实数a的取值范围是.
三、分段函数的零点
例5 (1)已知f(x)＝则g(x)＝f(x)－的零点个数为________．
答案 2
解析 令g(x)＝0，得f(x)＝.
当x≤1时，2－x＝，即x＝1；
当x>1时，log81x＝，即x＝＝9.
故所求零点为1和9，g(x)的零点个数为2.
(2)函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝kx－k至少有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是________．
答案 ∪(1，＋∞)
解析 如图，作出函数图象，y＝kx－k过定点(1,0)，
临界点和(1,0)连线的斜率为－，
又f′(1)＝1，由图象知实数k的取值范围是∪(1，＋∞)．
跟踪训练3 已知函数f(x)＝若函数g(x)＝2f(x)－ax恰有2个不同零点，求实数a的取值范围．
解 函数g(x)＝2f(x)－ax恰有2个不同的零点，
即方程2f(x)－ax＝0恰有2个不相等的根，
亦即方程组①或②
共有2个不相等的根．
首先①中2x－ax＝0，即(2－a)x＝0，若a＝2，
则x≥2都是方程2x－ax＝0的根，不符合题意，
所以a≠2，因此由2x－ax＝0，解得x＝0，
下面分情况讨论．
(1)若x＝0是方程①的根，则必须满足0≥a，即a≤0，
此时方程②必须再有另一个根，即有一根，
因为x≠0，由2x3－6x－ax＝0，得2x2＝6＋a必须有满足x0，其次解得负根需满足－ 0，
此时方程②必须有两个不相等的根，
即有两个不相等的根，
由2x3－6x－ax＝0，得x＝00的非零实根，首先6＋a>0，
由于解得的负根－0总成立，
故要求解得的正根需满足≥a，
从而解得0
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