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- 2021-06-16 发布
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第5节 指数与指数函数
最新考纲 1.了解指数函数模型的实际背景;2.理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算;3.理解指数函数的概念及其单调性,掌握指数函数图像通过的特殊点,会画底数为2,3,10,,的指数函数的图像;4.体会指数函数是一类重要的函数模型.
知 识 梳 理
1.根式
(1)概念:式子叫作根式,其中n叫作根指数,a叫作被开方数.
(2)性质:()n=a(a使有意义);当n为奇数时,=a,当n为偶数时,=|a|=
2.分数指数幂
(1)规定:正数的正分数指数幂的意义是a=(a>0,m,n∈N+,且n>1);正数的负分数指数幂的意义是a-=(a>0,m,n∈N+,且n>1);0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义.
(2)有理指数幂的运算性质:aras=ar+s;(ar)s=ars;(ab)r=arbr,其中a>0,b>0,r,s∈Q.
3.指数函数及其性质
(1)概念:函数y=ax(a>0且a≠1)叫作指数函数,其中指数x是自变量,函数的定义域是R,a是底数.
(2)指数函数的图像与性质
a>1
00时,y>1;
当x<0时,01;
当x>0时,00且a≠1)的图像越高,底数越大.
2.指数函数的单调性仅与底数a的取值有关.
3.画指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图像,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),.
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)=-4.( )
(2)(-1)=(-1)=.( )
(3)函数y=2x-1是指数函数.( )
(4)函数y=ax2+1(a>1)的值域是(0,+∞).( )
解析 (1)由于==4,故(1)错.
(2)(-1)==1,故(2)错.
(3)由于指数函数解析式为y=ax(a>0,且a≠1),
故y=2x-1不是指数函数,故(3)错.
(4)由于x2+1≥1,又a>1,∴ax2+1≥a.
故y=ax2+1(a>1)的值域是[a,+∞),(4)错.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
2.(教材例题改编)若函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图像经过,则
f(-1)=( )
A.1 B.2 C. D.3
解析 依题意可知a2=,解得a=,
所以f(x)=,所以f(-1)==.
答案 C
3.(2017·北京卷)已知函数f(x)=3x-,则f(x)( )
A.是偶函数,且在R上是增函数
B.是奇函数,且在R上是增函数
C.是偶函数,且在R上是减函数
D.是奇函数,且在R上是减函数
解析 ∵函数f(x)的定义域为R,
f(-x)=3-x-=-3x=-f(x),
∴函数f(x)是奇函数.
∵函数y=在R上是减函数,
∴函数y=-在R上是增函数.
又∵y=3x在R上是增函数,
∴函数f(x)=3x-在R上是增函数.
答案 B
4.设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系是( )
A.a1,∴b0,a≠1)的图像恒过点A,下列函数中图像不经过点A的是( )
A.y= B.y=|x-2|
C.y=2x-1 D.y=log2(2x)
(2)(2018·长沙一中质检)若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数b的取值范围是________.
解析 (1)由题意,得点A(1,1),将点A(1,1)代入四个选项,y=的图像不过点A(1,1).
(2)将函数f(x)=|2x-2|-b的零点个数问题转化为函数y=|2x-2|的图像与直线y=b的交点个数问题,数形结合求解.
在同一平面直角坐标系中画出y=|2x-2|与y=b的图像,如图所示.
∴当01.73 B.0.6-1>0.62
C.0.8-0.1>1.250.2 D.1.70.3<0.93.1
解析 (1)令g(x)=ax2+2x+3,
由于f(x)的值域是,
所以g(x)的值域是[2,+∞).
因此有解得a=1,
这时g(x)=x2+2x+3,f(x)=.
由于g(x)的单调递减区间是(-∞,-1],
所以f(x)的单调递增区间是(-∞,-1].
(2)A中,∵函数y=1.7x在R上是增函数,2.5<3,
∴1.72.5<1.73,错误;
B中,∵y=0.6x在R上是减函数,-1<2,
∴0.6-1>0.62,正确;
C中,∵(0.8)-1=1.25,
∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小.
∵y=1.25x在R上是增函数,0.1<0.2,
∴1.250.1<1.250.2,即0.8-0.1<1.250.2,错误;
D中,∵1.70.3>1, 0<0.93.1<1,
∴1.70.3>0.93.1,错误.故选B.
答案 (1)(-∞,-1] (2)B
规律方法 1.比较指数式的大小的方法是:(1)能化成同底数的先化成同底数幂,再利用单调性比较大小;(2)不能化成同底数的,一般引入“1”等中间量比较大小.
2.求解与指数函数有关的复合函数问题,首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质,其次要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
易错警示 在研究指数型函数的单调性时,当底数a与“1”的大小关系不确定时,要分类讨论.
【训练3】 (1)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数,记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为( )
A.a0时,f(x)为增函数,
log0.53=-log23,所以log25>|-log23|>0,
所以b=f(log25)>a=f(log0.53)>c=f(2m)=f(0),
故b>a>c.
(2)原不等式变形为m2-m<,
又y=在(-∞,-1]上是减函数,知≥=2.
故原不等式恒成立等价于m2-m<2,解得-11时,a,b,c的大小关系是( )
A.c1时,01,c=logx<0,所以c0,将表示成分数指数幂的形式,其结果是( )
A.a B.a C.a D.a
解析 原式===a.
答案 C
3.(2018·南阳、信阳等六市一模)设x>0,且10时,11.
∵x>0时,bx0时,>1.
∴>1,∴a>b,∴11,b<0
B.a>1,b>0
C.00
D.00,且a≠1),满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是( )
A.(-∞,2] B.[2,+∞)
C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]
解析 由f(1)=,得a2=,解得a=或a=-(舍去),即f(x)=.
由于y=|2x-4|在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增,所以f(x)在(-∞,2]上递增,在[2,+∞)上递减.
答案 B
二、填空题
6.不等式2x2-x<4的解集为________.
解析 ∵2x2-x<4,∴2x2-x<22,
∴x2-x<2,即x2-x-2<0,解得-10,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b=________.
解析 若a>1,则f(x)=ax+b在[-1,0]上是增函数,
∴则a-1=0,无解.
当0e,
因此x=1时,f(x)有最小值f(1)=e.
答案 e
三、解答题
9.已知f(x)=x3(a>0,且a≠1).
(1)讨论f(x)的奇偶性;
(2)求a的取值范围,使f(x)>0在定义域上恒成立.
解 (1)由于ax-1≠0,则ax≠1,得x≠0,
所以函数f(x)的定义域为{x|x≠0}.
对于定义域内任意x,有
f(-x)=(-x)3
=(-x)3
=(-x)3
=x3=f(x).
∴f(x)是偶函数.
(2)由(1)知f(x)为偶函数,∴只需讨论x>0时的情况,
当x>0时,要使f(x)>0,即x3>0,
即+>0,即>0,则ax>1.
又∵x>0,∴a>1.
因此当a的取值范围为(1,+∞)时,f(x)>0.
10.(2018·南昌三校联考)已知函数f(x)=,a为常数,且函数的图像过点(-1,2).
(1)求a的值;
(2)若g(x)=4-x-2,且g(x)=f(x),求满足条件的x的值.
解 (1)由已知得=2,解得a=1.
(2)由(1)知f(x)=,
又g(x)=f(x),则4-x-2=,
∴--2=0,
令=t,则t>0,t2-t-2=0,即(t-2)(t+1)=0,
又t>0,故t=2,即=2,解得x=-1,
故满足条件的x的值为-1.
能力提升题组
(建议用时:20分钟)
11.(2018·郑州质检)设y=f(x)在(-∞,1]上有定义,对于给定的实数K,定义fK(x)=给出函数f(x)=2x+1-4x,若对于任意的x∈(-∞,1],恒有fK(x)=f(x),则( )
A.K的最大值为0 B.K的最小值为0
C.K的最大值为1 D.K的最小值为1
解析 对于任意的x∈(-∞,1],恒有fK(x)=f(x),
则f(x)≤K在(-∞,1]上恒成立,
即f(x)的最大值小于或等于K即可.
令2x=t,则t∈(0,2],y=-t2+2t=-(t-1)2+1,
可得y的最大值为1,故K≥1.
答案 D
12.(2018·安徽江南十校联考)函数f(x)=x2-bx+c满足f(x+1)=f(1-x),且f(0)=3,则f(bx)与f(cx)的大小关系是________.
解析 由f(x+1)=f(1-x)知y=f(x)的图像关于x=1对称,∴b=2.
又f(0)=3,得c=3.
则f(bx)=f(2x),f(cx)=f(3x).
当x≥0时,3x≥2x≥1,且f(x)在[1,+∞)上是增函数,
∴f(3x)≥f(2x).
当x<0时,0<3x<2x<1,且f(x)在(-∞,1]上是减函数,∴f(3x)>f(2x),从而有f(cx)≥f(bx).
答案 f(cx)≥f(bx)
13.已知定义在R上的函数f(x)=2x-,
(1)若f(x)=,求x的值;
(2)若2tf(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围.
解 (1)当x<0时,f(x)=0,故f(x)=无解;
当x≥0时,f(x)=2x-,
由2x-=,得2·22x-3·2x-2=0,
将上式看成关于2x的一元二次方程,
解得2x=2或2x=-,
因为2x>0,所以2x=2,所以x=1.
(2)当t∈[1,2]时,2t+m≥0,
即m(22t-1)≥-(24t-1),因为22t-1>0,
所以m≥-(22t+1),
因为t∈[1,2],所以-(22t+1)∈[-17,-5],
故实数m的取值范围是[-5,+∞).